2014届高三理科数学测试B18

2014届高三理科数学测试B18一、 选择题:1．设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则()=B C A U （ ）A ．{}4,5B ．{}2,3C ．{}1D ．}2{ 2．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 3.若复数11z i =+，21z i =-，则12z z = A ．i - B ．1- C ．i D ．14. 若0,0x y ≥≥,且21x y +=,则223x y +的最小值是（ ）A ．2B ．34 C ．23D ．0 5. 已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ= ,//l α,m α⊂,m γ⊥,则下列命题一定正确的是（ ）A ．αγ⊥且 l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥6.已知函数||lg )(x x f =，R x ∈且0≠x ，则)(x f 是A ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递增B ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递增C ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递减D ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递减 7.从一个五棱锥的顶点和底面各顶点（共6个点）中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于 A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 8. 曲线21()2f x x =在点11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 A. 2210x y ++= B. 2210x y +-= C. 2210x y --= D. 2230x y --=二、填空题：9.在平面直角坐标系xOy 中，以点)1 , 1(-M 为圆心，且与直线022=+-y x 相切的圆的方程是 ．10. 设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值是 ．11. 已知某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的表面积和体积分别为 与12. 在实数范围内，方程｜x ｜＋｜x ＋1｜＝1的解集是 ．13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线sin a ρθ= 与θρcos a =（a >0，0,0ρθπ>≤<）的交点的极坐标为 ． 14.（几何证明选讲选做题）如图5，两圆相交于A 、B 两点，P 为两圆公共弦AB 上任一点，从P 引两圆的切线PC 、PD ，若PC =2cm ，则PD = cm.二、 解答题15. 已知函数)6cos(sin )(π-+=x x x f ，R ∈x ．（1）求)(x f 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6(2π-=A f a b ，求角C 的大小．16. 某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．17. 已知椭圆E :()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为()1F ,而且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；PCDEFBA 18. 如图所示四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 中,AB AD ⊥,//BC AD ,2PA AB BC ===,4AD =,E 为PD 的中 点,F 为PC 中点.（Ⅰ）求证:CD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求证://BF 平面ACE ；（Ⅲ）求直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值；答案：1-8C B C B A B B C 9. 5)1()1(22=++-y x 10.5；11.12404S S S π=+=+124163V V V π=+=+ 12. ]0,1[-13. 4π⎫⎪⎪⎝⎭.14.2 15. 解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ……………………2分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ． （注：也可以化为)3cos(3π-x ……4分 所以)(x f 的最大值为3． ……………………………6分 （注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin 32sin =．………7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2sin 3cos sin =， ………9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，33tan =A ， ………11分 所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． ……………………………12分16. （1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ………………………1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ， ……………………………3分53)1()(2613131====C C C P A P ξ， ……………………………5分51)2()(26232====C C P A P ξ． ………………………7分所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………………………8分PEFAG （2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， ……………………9分2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …………………10分151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）． …………………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ． …………………12分 17. （Ⅰ）解法1:由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-141332222b a b a ,,解得224,1a b ==, 所以椭圆E 的方程为2214x y +=.………………………………………………4分 解法2:椭圆的两个交点分别为())12,F F ,由椭圆的定义可得42127221=+=+=HF HF a ,所以2a =,()132222===b ， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=.………………………………………………4分 18. 解析：（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂面ABCD , ∴PACD ⊥,又∵直角梯形面ABCD 中,AC CD == ∴222AC CD AD +=,即AC CD ⊥, 又PA AC A = ,∴CD ⊥平面PAC ；………4分（Ⅱ）解法1:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G 和PC 的中点F, 连接,,BG FG EO ,则在PCE ∆中,F,G 分别为PC,PE 中点，则//FG CE , 又EC ⊂平面ACE ,FG ⊄平面ACE , ∴//FG 平面ACE , ∵//BC AD ,∴21==AD BC OD BO ，又21=ED GE ∴BO GEOD ED=,则//OE BG ,PCDE FBA OG H又OE ⊂平面ACE ,BG ⊄平面ACE , ∴//BG 平面ACE ,又BG FG G = ,∴平面//BFG 平面ACE ,又BF ⊂平面BFG , ∴//BF 平面ACE .………10分解法2:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中 点G 和PC 的中点F,连接FD 交CE 于H , 连接OH ,在PCE ∆中,F,G 分别为PC,PE 中点，则//FG CE ,在DFG ∆中，//HE FG ,则12GE FH ED HD ==, 在底面ABCD 中,//BC AD ，∴12BO BC OD AD ==,∴12FH BO HD OD ==,故//BF OH ,又OH ⊂平面ACE ,BF ⊄平面ACE , ∴//BF 平面ACE .………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,CD ⊥平面PAC , ∴DPC ∠为直线PD 与平面PAC 所成的角,在RtPCD ∆中,CD PD ===∴sin CD DPC PD ∠===, 故直线PD 与平面PAC ………14分 (坐标法)(2)分别以AP AD AB ,,为z y x ,,轴建立如图的空间直角坐标系()()()0,2,2,0,0,0,0,0,2C A B ∴,)1,26,26(),1,2,0(F E ),1,26,226(-=∴ )1,2,0(),0,2,2(== ,设平面ACE 的法向量为()z y x n ,,=则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥AEn ,即⎩⎨⎧=+=+02022z y y x设1=x ,则)2,1,1(,2,1-=∴=-=n z y0226226=+--=⋅∴,即n BF ⊥ ∴BF∥平面ACE ……………………10分 (3))2,4,0(),0,4,0(),2,0,0(-=∴PD D P由(1)知CD⊥平面PAC ，则平面PAC 的法向量为()0,2,2-= 设直线PD 与平面PAC 所成的角为θ，则,51022520420|,cos |sin =⨯+⨯+=><=θ故直线PD 与平面PAC 所成的角正弦值为510 (4)。