循环小数
循环小数简便形式表示
循环小数简便形式表示循环小数是指一个有限小数部分和一个无限重复的小数部分组成的小数。
它可以用简便形式来表示，即将重复的部分用括号括起来。
循环小数的出现可以追溯到古希腊时期。
希腊数学家克里希提亚劳斯在他的著作《元素》中首次提到了循环小数的概念。
他解释了循环小数是一种无理数，即不能用两个整数的比例来表示的数。
循环小数的简便形式表示方法非常简单。
我们以一个例子来说明：假设我们有一个循环小数0.1666...，我们可以将重复的部分用括号括起来，得到0.16(6)。
循环小数在数学中有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，循环小数常常用于表示无限不循环小数。
在统计学中，循环小数被用来表示概率。
在金融领域中，循环小数则用于计算利息和汇率等。
循环小数的简便形式表示可以提高计算的效率和准确性。
除了简便形式表示，循环小数还可以通过一些运算方法来进行转换。
例如，我们可以通过除法运算将循环小数转换为分数。
具体方法是将循环小数的重复部分作为分子，分母则是一个与循环部分长度相等的全为9的数。
例如，将循环小数0.16(6)转换为分数时，分子为16，分母为99。
循环小数还可以进行加、减、乘、除等基本运算。
在进行这些运算时，我们需要注意保留足够的位数，以保证结果的准确性。
另外，我们还可以使用循环小数的性质来简化运算。
例如，将循环小数除以10可以将小数点向左移动一位，将循环小数乘以10则将小数点向右移动一位。
循环小数的研究对于数学的发展具有重要意义。
它不仅帮助我们理解无理数的性质，还为其他数学领域的研究提供了基础。
循环小数的简便形式表示方法更是为数学计算提供了便利，使得复杂的运算变得简单而高效。
总结起来，循环小数是由有限小数部分和无限重复小数部分组成的小数。
它可以用简便形式表示，即将重复的部分用括号括起来。
循环小数在数学中有着广泛的应用，并且可以通过一些运算方法进行转换和简化。
循环小数的研究对于数学的发展有着重要意义，它不仅帮助我们理解无理数，还提高了数学计算的效率和准确性。
《循环小数》课件
如何将有限小数转换为循环小数
有限小数可以转换为循环小数的方法之一是将有限小数的分子乘以一个适当的数，使得乘积为整数。
循环小数与贝尔特朗悖论
贝尔特朗悖论是指存在一种情况，使得循环小数中的某些数字无法被无限重 复。
循环小数与无理数的关系
循环小数是一种有理数，而无理数不是循环小数。
循环小数的性质及其应用
圆周率和自然对数的循环小数开具有特殊的规律性。
无理数的绝对收敛和条件收敛 的比较
无理数的绝对收敛和条件收敛是分析学中的重要概念，与循环小数的收敛性 相关。
循环小数的无限不循环部分
循环小数的无限不循环部分是指循环部分之后的数字序列，它们不会重复。
循环小数具有周期性和重复性，这使得它们在数学和工程领域有广泛的应用。
循环小数在解决实际问题中的 应用
循环小数在金融、物流和科学研究等领域中可以用于解决实际问题，如计算 利息、预测货物到达时间等。
循环小数的计算方法与技巧
计算循环小数的方法包括割线法、长除法和观察循环节规律等技巧。
割线法求解无理数的循环小数
模n意义下的最小循环节
在模n意义下，循环小数的最小循环节是指能够与原循环节等价的最小整数。
循环小数的分类和基本性质
根据循环小数的规律和性质，可以对其进行分类，并研究其基本性质和特点。
循环小数与尾数重复的关系
循环小数的尾数重复性指循环小数末尾的数字会按照一定的规律不断重复出 现。
规律循环小数和混沌循环小数
《循环小数》PPT课件
欢迎来到我们的《循环小数》PPT课件！今天我们将深入探讨循环小数的定 义、性质和应用，帮助您更好地理解这一数学概念。
什么是循环小数?
循环小数是指无穷不循环小数，其中有一段数字会不断地循环出现。
循环小数的判断方法
循环小数的判断方法
循环小数是指在十进制下，无限循环地重复出现一些数字的小数表示形式。
例如，1/3在十进制下表示为0.3333...，其中3无限循环出现。
判断一个小数是否为循环小数可以采用以下方法：
1. 观察法：观察小数的数字是否出现循环的模式。
如果数字在小数点后不停地重复出现，那么它就是一个循环小数。
举个例子，0.3333...和0.142857142857...就都是循环小数，因为它们的数字模式不断重复出现。
2. 除法法：通过将分子除以分母来计算小数。
如果出现余数重复出现的情况，那么这个小数就是循环小数。
例如，将1除以3得到的小数是0.333
3...，当我们计算余数时，会发现重复出现的余数是1，这就表明这个小数是循环小数。
3. 分数法：将一个小数转换为分数形式，并判断分母是否含有因子2和因子5以外的素因子。
如果分母仅包含2和5的素因子，那么这个小数是有限小数，否则就是循环小数。
像0.6和0.75这样的小数都可以转换为有限的分数，因为它们的分母只包含2和5的因子。
但是像0.3333...和0.142857142857...这样的小数无法转换为有限分数，因为它们的分母含有因子3和7的素因子。
使用这些方法，我们可以判断一个小数是否为循环小数。
这有助于我们理解和处理循环小数在数学和科学中的应用。
无限小数和循环小数的例子
无限小数和循环小数的例子
无限小数是指小数点后的小数部分无穷无尽的小数。
例如：1.23456789...，这是一个无限小数。
它的小数部分不断重复，永远不会停止。
循环小数则是指小数点后的小数部分按一定的规律重复出现的小数。
例如：1.3333333...，这是一个循环小数。
它的小数部分按照“3”的规律不断重复，循环不息。
在数学中，无限小数和循环小数都有其独特的性质和意义。
无限小数常常用于表示一些无法精确表示的数，如圆周率π；而循环小数则常常用于简化一些复杂的小数表示形式，如分数。
需要注意的是，不是所有的无限小数都是循环小数，也不是所有的循环小数都是无限小数。
例如：1.123456789...是一个无限但不是循环小数，而1.3333333...则是一个循环但非无限小数。
循环小数的计算范文
循环小数的计算范文循环小数的计算是数学中的一个重要概念，它是指除法计算中出现的一种特殊情况。
循环小数的特点是小数部分中存在一段重复的数字，这个数字序列会一直循环下去。
在本文中，我们将介绍循环小数的计算方法以及相应的例题。
一、循环小数的定义循环小数是指一个无限不循环小数的一种特殊情况，其小数部分中存在一段重复的数字序列。
它可以用有限小数和循环节表示，循环节是重复出现的数字序列。
二、循环小数的计算方法1.除数与被除数的形式：循环小数的计算是通过除法来完成的。
我们先写出除数和被除数的形式。
例如，要计算4除以3的循环小数，我们可以写成4÷32.商与余数的计算：开始计算时，我们先将除数除以被除数，得到一个商和一个余数。
商是整数部分，余数是小数部分的最高位数。
例如，4除以3等于1余1，所以商为1，余数为13.余数的进位：我们将余数乘以10，并再次除以被除数，得到新的商和余数。
这个过程可以一直执行下去，直到遇到循环节为止。
例如，余数1乘以10再除以3等于3余1，商为3，余数为14.循环节的确定：在得到新的商和余数后，我们将新的余数与之前的余数进行比较。
如果两个余数相等，说明出现了循环节，我们就可以确定出循环小数的循环节。
例如，在上一步的计算中，新的余数与之前的余数相等，说明循环小数的循环节为15.循环小数的表示：最后，我们把商和循环节放在一起，就可以表示循环小数。
例如，4除以3的循环小数表示为1.1三、循环小数的例题1.计算0.15的循环小数。
解析：我们可以将0.15写成15÷100，然后开始除法计算。
15除以100等于0.15，所以0.15是个有限小数，没有循环节。
2.计算1除以7的循环小数。
解析：我们可以将1写成1÷7，然后开始除法计算。
1除以7等于0余1，所以商为0，余数为1接下来，我们将余数1乘以10再除以7，得到新的商和余数。
10除以7等于1余3，所以新的商为1，新的余数为3四、总结循环小数的计算是通过除法来完成的，我们可以将除数与被除数写成分数的形式，并使用商和余数的计算方法得出循环小数。
《循环小数》
02
循环小数的范围通常表示为 0.ABC（其中ABC是循环部分 ）或ABC（其中ABC是循环部 分）。
03
循环小数一定是无限小数，但 无限小数不一定是循环小数。
循环小数的运算性质
乘法运算
两个循环小数相乘，其结果的小数部分也是一个循环小数。
加法运算
两个循环小数相加，其结果的小数部分也是一个循环小数。
循环小数与分数的转换关系
循环小数可以表示为分数 形式
将循环小数转化为分数，可以通过确定循环 节的长度，将循环节作为分子，然后根据循 环节的长度确定分母，从而将循环小数转化 为分数。
分数可以转化为循环小数
将分数转化为循环小数，可以通过对分子进 行重复运算，从而得到一个循环小数。
循环小数与分数的运算关系
纯循环小数
定义
纯循环小数是一种特定的小数，其小数部分从小数点后 第一位开始循环。例如，1/3=0.333...中的"3"是无限循 环的。
特点
纯循环小数的循环节位数是有限的，且循环节的数字不 重复。
例子
0.333..., 0.444..., 0.555...等。
混循环小数
定义
混循环小数是一种特殊的小数，其小数部分从小数点后某一位开始循环，然后跳过几位后再继续循环。例如， 2/7=0.285714...中的"2857"是循环节，跳过了"3"。
循环小数
2023-11-04
目录
• 循环小数的定义 • 循环小数的性质 • 循环小数的分类 • 循环小数的实例 • 循环小数与分数的关系 • 循环小数的应用
01
循环小数的定义
定义及特性
循环小数是一种小数，其小数点后某一段数字不断重复出现 。
循环小数的概念
循环小数的概念
循环小数是一种特殊的小数表达式，它以相同的数字或组合开头，通过无限循环结尾。
循环小数这种循环结构使其有几个显著的数学特性，如无穷性、极限性、对称性及有趣的图形特性等。
例如，循环小数0.9，其中0.9是小数点后的三位数字。
它的数学特性是永不终止的无限循环，每三位就会重复自身的这三位小数。
这意味着，即使字数无限增加，其整体意义仍然相同。
此外，它也具有不变性，即在数值范围之内它总是0.9。
而另一个循环小数的例子是0.142857，一个非常熟悉的数字，它经过无限循环从第一位到最后一位，都是142857或者重复下去。
这种循环性表示它也具备不变性，即无论小数字数字有多少，它总是按142857结尾。
总之，循环小数是一种特殊小数表达式，其有一些显著特性，如无穷性、极限性、对称性及具有有趣的图形性质等。
它也具有独特的数学价值，以及给教室带来了更多有趣的思考和讨论。
关于什么是循环小数
关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。
前者是有限小数，后者是无限小数。
循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。
一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。
例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。
比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
按要求填数。 5.2
… 3.815
15.333
….09
… 5.66
有限小数:( 5.2
9.09 15.333 … … 7.02626 无限小数:( 3.815
… … 20.15179 0.8383 … 5.66 )
绿色圃中小学教育网
你能列一下算式吗？
绿色圃中小学教育网
绿色圃中小学教育网
绿色圃中小学教育网
400÷75＝ 5. 3 3 3 75 4 0 0 375 250 225 观察这个竖式,你发现 了什么？ 250 225 250 225 25
4÷11＝ 0.3636…
5÷11＝ 0.4545…
趣 味 练 习
6÷11＝ 0.5454…
7÷11＝ 0.6363…
今天我们学习了哪些内容？ 你有什么收获？快说出来大家 一起分享吧！
本节课你有何收 获？
400÷75＝5.333… 继续除下去，可能永 5. 3 3 3 远也除不完。 75 4 0 0 375 商的小数部分总是重 250 复出现“3”。 225 250 225 250 225 余数怎么总是“25”？ 25
2.29÷1.1
请你试着列竖式计算一下。
2.29÷1.1 ＝ 2.08181… 2.0 8 1 8 1 1.1 2 .2 .9 观察这个竖式，能说 22 说你的发现吗？ 90 88 20 11 余数依次不断重复出 现9和2，商就不断重 90 复出现8和1。 88 20 11 9
考考你
下面的数中，哪些是循环小数？将它 们用简便形式表示出来： 0.3757… × 1.23666… =1.236 0.417417… =0.417 5.7234241… ×
3.191919… =3.19
4.3737
×
考考你
把循环小数的简便形式改写成一般形式。
2.49= 2.499… ，
7.518 = 7.518518…
42.512 =
42.51212… ，
在改写成一般形 式的时候，只要把 循环节连续重复两 ， 次，再添上省略号 就可以了。
8.0479 = 8.0479479… 。
考考你
比较下面两个数的大小。 4.55 ＜ 4.5 1.62 ＞ 1.6222
2.35 ＜ 2.53 1.12 ＜ 1.12
当两个循环小数不能直接比出大小的
时候，可以先把循环小数写成一般形式后 再比。
考考你
求下面循环小数的近似数（保留三 位小数）。
… 1.29090 ≈ … 0.4444 ≈
· · 1.291 0.0183≈ 0.018 ·· 0.444 7.275 ≈ 7.275
15÷16= 0.9375
有限小数
小数部分的位数是有限的 小数，叫做有限小数。 1.5÷7= 0.2142857142857…
)
循环小数:( 7.02626 … 0.8383 … 5.66… )
请你判断:
1. 凡是循环小数都是无限小数，凡是无 限小数都是循环小数。 ( ×) 2. 0.88 … 保留三位小数是0.880 。 ( × )
4. 3232.32是有限小数，也是循环小数。 （× ） 5.无限小数比有限小数大。
6. 2.07=2.07
像5.33…，2.08181…这样的小数就是 循环小数。 谁能试着说说什么叫循环小数？ 一个数的小数部分，从某一位起， 一个数字或者几个数字依次不断重复出 现，这样的小数叫做循环小数。
循环小数的小数部分依次不断重 复出现的数字，叫做这个循环小数的
循环节。
考考你
0.333… 循环节是 3 ，写作 0.3 读作：0.3，3循环 … 1.24545 循环节是 45 ，写作 1.245 读作：1.245，45循环 0.108108 … 循环节是 108 ，写作 0.108 读作：0.108，108循环
..
（ ×）
（ ×）
请你选择。 （1）循环小数（ A ）无限小数，无限 小数（ C ）循环小数。 A、是 B、不是 C、不一定是
（2）3.223223 …的循环节是（ B ）。 A、233 B、223 C、322
你能根据下面各式的商，很快说 出其它各式的商吗？
1÷11＝0.0909 … 2÷11＝0.1818 … 3÷11＝0.2727 …