循环小数
循环小数简便形式表示
循环小数简便形式表示循环小数是指一个有限小数部分和一个无限重复的小数部分组成的小数。
它可以用简便形式来表示，即将重复的部分用括号括起来。
循环小数的出现可以追溯到古希腊时期。
希腊数学家克里希提亚劳斯在他的著作《元素》中首次提到了循环小数的概念。
他解释了循环小数是一种无理数，即不能用两个整数的比例来表示的数。
循环小数的简便形式表示方法非常简单。
我们以一个例子来说明：假设我们有一个循环小数0.1666...，我们可以将重复的部分用括号括起来，得到0.16(6)。
循环小数在数学中有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，循环小数常常用于表示无限不循环小数。
在统计学中，循环小数被用来表示概率。
在金融领域中，循环小数则用于计算利息和汇率等。
循环小数的简便形式表示可以提高计算的效率和准确性。
除了简便形式表示，循环小数还可以通过一些运算方法来进行转换。
例如，我们可以通过除法运算将循环小数转换为分数。
具体方法是将循环小数的重复部分作为分子，分母则是一个与循环部分长度相等的全为9的数。
例如，将循环小数0.16(6)转换为分数时，分子为16，分母为99。
循环小数还可以进行加、减、乘、除等基本运算。
在进行这些运算时，我们需要注意保留足够的位数，以保证结果的准确性。
另外，我们还可以使用循环小数的性质来简化运算。
例如，将循环小数除以10可以将小数点向左移动一位，将循环小数乘以10则将小数点向右移动一位。
循环小数的研究对于数学的发展具有重要意义。
它不仅帮助我们理解无理数的性质，还为其他数学领域的研究提供了基础。
循环小数的简便形式表示方法更是为数学计算提供了便利，使得复杂的运算变得简单而高效。
总结起来，循环小数是由有限小数部分和无限重复小数部分组成的小数。
它可以用简便形式表示，即将重复的部分用括号括起来。
循环小数在数学中有着广泛的应用，并且可以通过一些运算方法进行转换和简化。
循环小数的研究对于数学的发展有着重要意义，它不仅帮助我们理解无理数，还提高了数学计算的效率和准确性。
循环小数的写法
循环小数的写法
1、纯循环小数,（例如0.111……）直接在循环位上点一个点儿。
（在第一个1上点一个点，后不用再写后面的1o）
2、混循环小数，（例如0.1232323……）在第一个循环节的首位和末位个点一个点儿。
（在2与3的上方个点一个点。
）
化分数表示：
1、纯循环小数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9,9的个数与循环节中的数字的个数相同。
例如:0.111..=1/9,0.12341234..=1234/9999
2、混循环
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9,末几位数字是0,9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。
例如：0.1234234234..=（1234-1）/9990
0.55889888988898..=（558898-55）/999900。
循环小数打点规则
循环小数打点规则
摘要：
1.循环小数的定义
2.循环小数的分类
3.循环小数的打点规则
4.循环小数的应用
正文：
循环小数是一种特殊的小数，它的小数部分有一个或多个数字不断重复出现。
根据循环节的长度，循环小数可以分为纯循环小数和混循环小数。
纯循环小数的循环节从小数部分的第一位开始，而混循环小数的循环节则从非第一位开始。
循环小数的打点规则是指在表示循环小数时，如何用符号来表示循环节。
一般采用圆点（.）来表示循环节，即将循环节的首位和末位数字上面的圆点去掉，其他的数字上面的圆点保留。
例如，对于纯循环小数3.12222…，我们写作3.1·2·2，其中的圆点表示循环节。
循环小数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
例如，在计算机程序中，循环小数常常用来表示无限循环的过程。
此外，循环小数也是金融、统计等领域中常用的一种数据表示方式。
小学奥数之循环小数的计算(完整版)
【例 19】将循环小数 与 相乘，小数点后第 位是。
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 ， ，所以乘积为 ，
，所以第 位是 。
【答案】
【考点】循环小数计算【难度】4星【题型】计算
【解析】由于 ， ，
所以 ，
而 ，
所以，
【答案】
【例 14】某学生将 乘以一个数 时，把 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【解析】由题意得： ，即： ，所以有： ．解得 ，
所以
【答案】
【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，1试
【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为
【答案】
【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【答案】
【巩固】真分数 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是 ，则 是多少？
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】我们知道形如 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么 就应该由若干个完整的 和一个不完整 组成。 ，而 ，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“ ”，因此这个分数应该为 ，所以 。
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】 …… 个数一循环， ……5，是4
《循环小数》说课稿
《循环小数》说课稿《循环小数》说课稿1一、说教材1、说课内容人教版《义务教育课程标准小学数学实验教材》第九册第27-28页例8和例9。
2、教材简析循环小数是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的根底上进行教学的。
这局部内容概念较多，又比拟抽象，是教学的一个难点。
课本的例8，是教学从某一位起，一个数字重复出现的情况，为认识循环小数提供感性材料。
例9通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复某个数字;另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。
由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。
接着教材用想一想的方式组织学生讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得到的商会有哪些情况”。
由两个数相除时商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。
以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数，到学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，学生认识到除了有限小数以外，还有无限小数，循环小数就是一种无限小数。
3、教学目标知识目标：初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，能正确地区分有限小数和无限小数，了解循环节的概念和循环小数的简便记法。
能力目标：培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高观察、分析、比拟、判断、抽象概括能力。
情感目标：感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，增强学好数学的信心，初步渗透集合思想。
4、教学重点、难点及关键教学重点：理解循环小数的意义。
教学难点：理解循环小数的意义。
教学关键：通过生活实例、实践、观察、分析，理解什么是“循环”，进而理解什么是循环小数。
二、说教法学法(一)关注学生已有的生活经验和知识背景――为学生架起知识迁移的桥梁《数学课程标准》强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知开展水平和已有的知识经验根底之上。
”建构主义教学论指出,复杂的学习领域应针对学生先前的经验和学习兴趣。
新课开始，我以学生身边的循环现象为导入点，让学生体验“循环”的意思，从而说说生活中的“循环现象”，将生活与数学融合在一起，使学生真正理解了“循环”含义，从而为进一步探究“循环小数”的意义架起桥梁。
循环小数简便写法
循环小数的简写方法：如果循环节是一个数字，在写出一个循环节并循环节上面点一个点比如0.3333……=0.3上面点点，如果循环节是两个数字，比如7.3232……=7.32在32上面分别点点。
如果循环节是三个及以上数字，只在首个数字和末尾数字点点。
定义两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333…（循环小数）等，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666...缩写为或（读作“二点九六，六循环”）35.232323…缩写为或（它读作“三十五点二三，二三循环”）36.568568……缩写为或（它读作“三十六点五六八，五六八循环”）循环小数可以利用等比数列求和公式的方法化为分数，所以循环小数均属于有理数。
化分数表示纯循环小数将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999混循环将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.例如：0.1234234234…=(1234-1)/99900.55889888988898...=(558898-55)/999900。
循环小数的规律
循环小数的规律循环小数是指在十进制下，某个数的小数部分是无限重复的一段数字。
例如，1/3在十进制下的小数表示为0.3333...，其中数字3无限重复。
循环小数的规律是指这种重复数字的模式或规律性。
本文将探讨循环小数的规律，并说明其应用和性质。
一、循环小数的表示与性质循环小数可以通过将分数除法转化为长除法的形式来表示。
例如，将1除以3，得到的商为0，余数为1，将1乘以10，得到的商为3，余数为1，再将1乘以10，得到的商为3，余数为1，以此类推，余数重复出现。
循环小数的循环节长度为循环节中数字的个数，例如1/3的循环节长度为1。
二、循环小数的规律性循环小数的规律性主要表现在循环节的重复和循环节中数字的排列。
循环节的重复意味着循环小数在无限位数下，会无限重复同一段数字。
例如，1/7的循环节为142857，这六个数字会无限重复下去。
循环节中数字的排列也有一定的规律性，例如1/7的循环节中的数字按照142857的顺序排列。
三、循环小数的应用循环小数广泛应用于数学和科学领域。
在数学中，循环小数常用于解决分数的表示和计算问题。
在科学领域，循环小数常用于表示重复周期的现象，例如地球的公转周期、月亮的自转周期等。
此外，循环小数还与无理数有关，无理数可以表示为循环小数的无穷小数部分。
循环小数的规律性也与数论中的周期性函数和模运算相关。
四、循环小数的研究和发展循环小数的研究和发展始于古希腊时期的数学家毕达哥拉斯和欧几里得。
他们提出了循环小数的概念，并发现了一些循环小数的规律。
随着数学的发展，人们对循环小数的研究越来越深入。
现代数学中，循环小数的规律性被广泛应用于数论、解析数论和分形几何等领域的研究中。
五、循环小数的计算方法计算循环小数可以通过长除法、连分数展开和递推公式等方法进行。
长除法是最常用的方法，通过将分数除法转化为长除法的形式，得到循环节中的数字。
连分数展开是将循环小数表示为连分数的形式，可以更好地展示循环小数的规律性。
循环小数简写
循环小数简写循环小数是一种数学表示方式，它可以用来表示无限不循环的小数。
它的出现是为了解决无法用有限的数字来表示无限的小数的问题。
循环小数的表达方式也有很多种，主要是分为简写循环小数和完整写法两种。
简写的循环小数是用一个最短的表达式来表示一个无限小数，像是 0.1212121212…写为 0.12(12)，(12)表示这个小数从第二位一直循环到末尾。
而完整写法则是将无限循环的小数转换为有限的分数来表示，例如 0.1212121212…可以转换为 12/99 。
由于完整写法需要将小数转换成分数，所以它一般只用来处理比较简单的小数，而简写循环小数则可以用来表示比较复杂的循环小数。
简写循环小数的表达方式有几种。
第一种是将循环小数的数字用括号括起来表示，例如 0.1212121212…写为 0.12(12) 。
如果由于要表达的循环小数的小数位数十分多，可以省略多余的数字，像是0.1212121212…写为 0.12(1)，或者 0.123456789…写为 0.123(4)。
第二种是将循环小数写成分数形式，例如 0.1212121212…写为12/99，或者 0.123456789…写为 123/999。
第三种是将循环小数写成分子/分母的形式，例如0.1212121212…写为 12/999，或者 0.123456789…写为 123/9999。
最后，还可以用数学符号来表示循环小数。
例如，0.1212121212…以用 0.12∞表示， 0.123456789…以用 0.123∞表示，0.1212121212…以用 12/99∞表示，而 0.123456789…以用 123/999∞表示。
数学中经常使用循环小数，它可以用来表示一些比较复杂的概率，例如不同概率出现的概率，即=3.1415…。
循环小数还可以用来表示数学等式中的不确定系数，例如，用 0.1212121212…表示 a + b = c 中的 a b，因为 a b是不确定的系数。
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混循环小数？ 判断： 无限小数比有限小数大。
0.54848与0.54848…有什么区别？
（
）
帮循环小数、有限小数、无限小数找到家。
小
无 限 小 数
数
有 限 小 数
循环小数
属于无限小数
2.循环小数的表示方法。
写循环小数的时候，为了简便，小数的循
环部分只写出第一个循环节，并在这个循 环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
一个循环小数的小数部分，依次重复出 现的数字，叫做循环小数的循环节。 依次不断重复出现的数字是？
3.4666 …… （
6
）
0.24382438 …… （ 2438 ） 8.4747 …… 0.44222 …… （ 47 （ ） ）
2
判断下列各数，哪些是循环小数？并说明理由。 0.125 0.471471… 7.333… 23.232323
4.890 7.275
..
5 7
4.9 7.3
4.89 7.28
4.891 7.275
. .
0.00707…
0.101101…
把上面的循环小数用简便方法表示： 7.333… 1 0.101101… =0.101
2.比一比：
0.33 ＜ 0.3
.
..
4.3535„＝ 4.35 1.45 ＞ 1.45
6.9797 „ ＞ 6.979
.
..
3.选一选
（1）循环小数（ A ）无限小数，无限 小数（ C ）循环小数。 A、是 B、不是 C、不一定是 （2）3.223223 … 的循环节是（ B ）。 A、233 B、223 C、322
… 64.2454545 7.87 0.666 …
… 2.1313 5.901436 … 9.3737
固安三小 五（4）
学习目标：
1.什么叫循环小数、有限小数、无限 小数？
有限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起， 做有限小数。 如4.5454和0.9375 一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这 2.循环小数的表示方法。 样的小数叫做循环小数。 无限小数：小数部分的位数是无限的小数，叫 4.5454是循环小数吗？ . 做无限小数。如4.5454…和0.9375… 3.了解什么是循环节、纯循环小数、 0.54848…是循环小数吗？
3.33 …… 5.32727 ……
· 写作 3.3 ·· 写作5.327
补充知识：
• 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开
始的循环小数 。如3.8686„
• 混循环小数：循环节不是从小数部分第一
位开始的循环小数。 如0.00909„ 判断： （1）5.55656是混循环小数。 （2）9.66„是纯循环小数。 （×） (√ )
故事会
从前有座山， 从前有座山， 山上有座庙， 从前有座山，山 山上有座庙， 上有座庙，庙里 庙里住着老和 庙里住着老和 住着老和尚和小 尚和小和尚， 尚和小和尚， 和尚，老和尚给 老和尚给小和 小和尚讲故事。 老和尚给小和 讲个什么呢？老 尚讲故事。讲 尚讲故事。讲 和尚说： 个什么呢？老 个什么呢？老 和尚说： 和尚说： 聪明的同学们：这个故事有什么特点？
有限小数
无限小数
循环小数
求下面循环小数的近似数(保留三位小数）。
· 0.018 · 1.29090……≈ 1.291 0.0183≈ ·· 7.275 0.4444 …… ≈ 0.444 7.275 ≈
用“四舍五入法”写出下表中各循环小数的近似数 精确到 精确到 精确到 精确到 个位 十分位 百分位 千分位