第二讲-循环小数化分数
无限循环小数化为分数的方法
无限循环小数化为分数的方法无限循环小数化为分数的方法如下：一、等比数列法无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
再如：0.999999.......循环节为9则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^n=0因此：0.99999.....=0.9/0.9=1二、解方程法无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数纯小数纯循环小数例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：10x-x=1.1111……-0.1111……9x=1X=1/9例：0.999999.......=1设x=0.9999999......10x-x=9.999999.....-0.999999.....9x=9x=1关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。
例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333归纳为了公式化，我们可以这样表示：x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。
奥数循环小数与分数转化规律
奥数循环小数与分数转化规律循环小数与分数循环小数有关概念：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数。
如0.3333330.142514251，循环节不是从小数部分第一位开始的，叫混循环小数。
如0.12222，13.098434343分数转化成循环小数的判断方法：1：有限小数：分母的质因数中只有2与5（10,25·····）2：纯循环小数：分母的质因数中没有因数2与5（33,11，····）把纯循环小数的小数部分化成分数的规则纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
公式：0. a =a ab 0. a b =9，99，3：混循环小数：分母的质因数中不仅只有2与5，还有其因数，不循环的位数等于b 中质因数2与5较多的个数。
把混循环小数的小数部分化成分数的规则混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
0.0a b =ab 1ab abc -a⨯=0. abc =9910990，990例1、将下面循环小数化为分数①0.3 ②0.189 ③7.1631 ④9.2535a例2、真分数7化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少？例3、某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3。
则正确结果应该是多少？例4、计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。
例5、计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89例6、将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留100位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？20021例7、2019和287化成循环小数后，第100位上的数字之和是________。
循环小数化分数
循环小数化分数的规则：纯循环小数的分母都是9，9的个数与循环节的位数相同，分子就是循环节，最后要化简。
比如0.3（3循环）=3/9=1/3 0.37（37循环）=37/99混循环小数所化成的分数的分母由9和0组成，分母中9的个数与循环小数的循环节的位数相同（就是一位循环小数就是1个9，两位循环小数就是2个9），9后面的0的个数与循环小数小数点后不循环的位数相同；分子则是小数点后不循环的部分与第一个循环节所组成的多位数与不循环部分组成的多位数的差，如果这样所得的分数不是最简分数，还需要将其化简。
例如：0.12（2循环），因为循环部分是一位（就是2），分母里就有1个9，不循环部分也是一位（就是1），分母里就有一个0，所以分母是90，分子就是12-1=11, 0.12（2循环）=11/90；再比如0.123（23循环），分母就是990，分子是123-1=122，这个分数是122/990=61/495；如果是0.123（3循环），则分母是900，分子是123-12=111，这个分数是111/900=37/300混循环小数化分数提问者：su4399|浏览次数：743次我看过网上的：循环节-不循环的/前面:循环节位数个9连写后面再连写不循环节位数个0 可我试验后不相等，如0.356,56的循环。
化成分数与原来不相等，请高手把过程发过来！最佳答案你的混循环小数化分数公式最前面有点问题，应该是这样的：为清晰起见，我们设：x=从小数点后第一位开始到第一个循环节最后一位，即不循环部分拼上循环节y=不循环部分p=不循环节位数q=循环节位数这样：混循环小数化分数公式=(x-y)/[10^p(10^q-1)]对于你的题中的例子：x=356，y=3，p=1，q=2所以：0.35656...=(356-3)/[10^1(10^2-1)]=353/990你用计算器检验一下，这样对了吗？和你的公式的区别就在x上，你只有循环节，其实是“不循环部分拼上循环节”下面我们简单推导一下混循环小数化分数的公式。
循环小数化分数方法
循环小数与分数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？分析与解：上述分数都是最简分数，并且32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，117=33×13，850=2×52×17，根据上面的结论，得到：不循环部分有两位。
循环小数化分数方法1.将纯循环小数化成分数。
将上两式相减，得将上两式相减，得从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
循环小数怎么化成分数？
循环⼩数怎么化成分数？
⼤家都知道，如何将分数化成⼩数，⽤分⼦除以分母，结果有两种可能，⼀是除尽，⼆是不能除尽。
能除尽的得到的结果就是有限⼩数，不能除得到的结果必然是个循环⼩数，有可能是纯循环⼩数，还有可能是混循环⼩数。
下⾯我们把问题反过来，那就是循环⼩数怎么化成分数？需要分类讨论，⼀是纯循环⼩数、⼆是混循环⼩数。
我们要知其然，还要知其所以然，下⾯我就为⼤家讲⼀下这个⽅法是怎么来的。
下⾯我给⼤家介绍⼀种⼩学⽣能够理解得了的⽅法。
⼤家观察上⾯这个图，分母位置正是n个9，分⼦位置则是循环节的数字。
⽅程的⽅法很直观。
循环⼩数化成分数，实质上是⽆穷等⽐递缩数列求和，涉及到极限的⼀些知识，这⾥就不再具体讲解了。
下⾯为⼤家介绍混循环⼩数如何化为分数，还是采⽤⽅程法，请看我⼿写的过程。
这⼀⼤堆式⼦什么意思。
总结如下。
1、分数的分母是有9和0构成,循环节有⼏位,就先写⼏个9,不循环的数字有⼏位,就在
这些9后⾯添⼏个0。
2、分⼦，⼩数点后的数减去不循环的部分。
注意：本⽂中⼩数都是从0.⼏开始的，如果整数不是0，加上即可，另外有的时候要将分数进⾏约分化⾄最简。
把循环小数化成分数的方法
2011年12月12日
＠⑧＝18/99＝2/11，验算：2/11＝2÷11＝0.181818……
经过这次猜想和验证，我们可以得出这样的结论：循环节是两位数字的纯循环小数化成分数时，用一个循环节组成的数作分子，用99作分母；然后，能约分的再约分。
现在，你能推断出循环节是三位数字的纯循环小数化成分数的方法吗？
因为循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时，用9作分母，循环节是两位数字的纯循环小数化成分数时，用99作分母，所以循环节是三位数字的纯循环小数化成分数时，我们猜想是用999作分母，分子也是一个循环节组成的数。让我们再来验证一下，如果这个猜想也是正确的，那么，我们就可以依次推下去了。
浅谈循环小数化成分数
立岗小学：李绍兴
把循环小数化成分数的方法，可以用移动循环节的过程来推导，也可以用无限递缩等比数列的求和公式计算得到。下面我们运用猜想验证的方法来推导。
（一）化纯循环小数为分数
大家都知道：一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。那么，一个纯循环小数可以化成分母是怎样的分数呢？我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。如：＠①、＠②……化成分数时，它们的分母可以写成几呢？
（1）21－19＝2（2）543－489＝54（3）696－627＝69
细心观察不难看出：分子恰好是一个比不循环部分与第一个循环节所组成的数少一个由不循环部分的数字所组成的数。这个规律具有普遍性吗？让我们运用以上的规律把
附图{图}
循环小数化成分数方法
循环小数化成分数方法循环小数是指小数部分有限位数，但出现了重复的数字，例如0.3333……，这种小数称为循环小数。
循环小数化成分数是数学中的一个重要问题，它可以帮助我们更好地理解小数和分数之间的关系，也有助于我们简化计算和解决实际问题。
一、循环小数的表示方法。
在数学中，循环小数通常用括号来表示循环部分。
比如0.3333……可以表示为0.(3)，0.146146……可以表示为0.1(46)。
通过这种表示方法，我们可以清晰地看出循环小数的循环部分是哪些数字，从而更好地进行化成分数的运算。
二、循环小数化成分数的方法。
1. 基本思路。
化成分数的方法主要是通过观察循环小数的规律，找出循环节的长度和循环节的数值。
一般来说，化成分数的步骤如下：将循环小数表示为分数形式，设循环节长度为n，循环节的数值为a；将循环小数乘以10的n次方，记为A；将A减去原来的循环小数，记为B；由于B的小数部分是非循环的，可以将B表示为一个分数；将B化成分数形式，即可得到原来循环小数的分数表示。
2. 具体步骤。
以0.3333……为例，我们来看一下具体的化成分数步骤：将0.3333……表示为分数x；将x乘以10，得到3.3333……，记为A；A减去x，得到3；将3表示为分数3/10；将3/10化成分数，得到1/3。
通过以上步骤，我们可以得到0.3333……化成分数的结果为1/3。
三、注意事项。
在化成分数的过程中，需要注意以下几点：1. 确定循环节的长度和数值，这是化成分数的关键；2. 注意小数部分的运算，要确保准确性和规范性；3. 对于复杂的循环小数，可以采用分步骤化成分数的方法，逐步推导，避免出现错误。
四、实例分析。
1. 化成分数的实例。
我们以0.363636……为例，来演示一下化成分数的过程：将0.363636……表示为分数x；将x乘以100，得到36.3636……，记为A；A减去x，得到36；将36表示为分数36/100；将36/100化成最简分数，得到9/25。
循环小数化分数的方法
循环小数化分数的方法循环小数是指小数部分有重复数字的小数，例如1.3333……，这种小数在书写时通常会用上横线或者括号来表示循环节，但有时候我们需要将循环小数化成分数形式，那么该如何进行呢？接下来我们就来探讨一下循环小数化分数的方法。
首先，我们需要明确循环小数的含义。
循环小数是指小数部分有一段数字不断重复出现，这段数字称为循环节。
比如0.3333……中的3就是循环节。
化循环小数为分数的方法有两种，一种是直接利用循环节的性质进行推导，另一种是利用代数方法进行转化。
接下来我们将分别介绍这两种方法。
首先是直接利用循环节的性质进行推导。
对于一个循环小数a.bc(def)…，其中括号内的def为循环节，我们可以利用10的倍数关系进行转化。
具体来说，我们将循环小数表示为x，然后乘以一个适当的倍数10^n，将结果减去x，再进行因式分解，就可以得到一个关于x的方程。
通过解这个方程，我们就可以得到循环小数对应的分数形式。
这种方法需要一定的代数知识和计算技巧，但对于一些简单的循环小数来说，是比较直接有效的。
其次是利用代数方法进行转化。
对于循环小数a.bc(def)…，我们可以将其表示为x=(a.bc(def)…)，然后再乘以一个适当的倍数10^n，将结果减去x，再进行因式分解，就可以得到一个关于x的方程。
通过解这个方程，我们就可以得到循环小数对应的分数形式。
这种方法需要一定的代数知识和计算技巧，但对于一些简单的循环小数来说，是比较直接有效的。
总结一下，化循环小数为分数的方法有两种，一种是直接利用循环节的性质进行推导，另一种是利用代数方法进行转化。
无论采用哪种方法，都需要一定的代数知识和计算技巧。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地理解循环小数化分数的方法，从而在实际问题中灵活运用。
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第二讲 循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
典型题解一、循环小数化成分数1．纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化成分数呢？看下面例题。
例1，把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.10210.610 6.6666 0.6=0.6666 0.69 6 62 0.6=93⨯=⨯==解：（）两式相减得所以 23.1020.1020.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333102 3.1023999⨯==⨯=====解：（）先看小数部分……?…两式相减得所以343333从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
1、 混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2，把混循环小数化分数10.215 2 6.353（）（） 10.2151000=215.1515 0.21510=2.1515150.215990=2152215-2213710.215=990990330⨯⨯⨯-==解：（）…………两式相减得20.3530.3531000=353.333 0.353100=35.3330.353900=35335353-3531853 0.353=900900150353-353186.353=66900⨯⨯⨯-===解：（）先看小数部分…………两式相减得 所以 536900150=由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
练习：1、化纯循环小数为分数。
10.23 20.107（）（）2、 化下列混循环小数为分数。
10.312 20.003 30.2316（）（）（） 二，循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题： 12.45+3.13 22.6091.32 (3)4.3 2.4 (4)1.240.3⨯÷（）（）-解：先把循环小数化成分数后计算。
529712+3=511151656132283922-1=11009999001416(3)42=103927818(4)1=333311⨯÷（）原式=（）原式=原式=原式=三，循环小数作加法循环小数能直接作加法运算吗？有限小数加循环小数考察下面的例子。
计算：0.20.3+ 0.280.7+ 0.40.32+0.980.45+0.60.38++0.6780.54目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果。
118+=+==0.20.30.53531577238+=+==0.280.7 1.057259225232358+=+==0.40.320.7232599495495789+=+==0.980.45 1.4345501155033966729+=+==0.6780.54 1.22345450011550033589+=+==0.60.380.9859090现在，根据下面的提示，直接观察每个算式于最后结果之间的关系，希望你能从中发现直接运算的法则。
0.20.30.20.330.53+⇒+⇒+⇒+⇒0.280.70.280.777 1.057+⇒+⇒0.40.320.40.32320.7232+⇒+⇒0.980.450.980.4545 1.4345+⇒+⇒0.6780.540.6780.545454 1.223454+⇒0.60.380.98怎么样？发现了什么直接算的规则了吗？请归纳出来。
我们利用类似的方法还可以去研究其他的几种情形。
（1）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。
考察下面的一些例子。
235+=+==0.20.30.5999123405528+=+==0.1230.4050.52899999999936+=+=0.30.6199875+=+==0.80.7 1.699358491070.580.49 1.08+=+==9999999785841562+=+==0.9780.584 1.563999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。
考察下面的例子：321540.30.210.54+=+==9999962128780.60.2120.878+=+==9999999233245566470.230.3240.556647+=+==999999999995981530.50.98 1.54+=+==999996749811752650.670.498 1.175266+=+==99999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？如果能得出以上三种情形的运算法则的话，那么，利用这些法则去直接计算混循环小数之间的加法运算就不是一件难事了。
规律有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。
其循环节跟原加数的循环节相同。
法则是：用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加，循环小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节……补足再相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。
两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。
法则是：用两个循环节相加的和除于99……9（其中9的个数等于循环节的位数），商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节）。
两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。
方法是：先把两个加数改成循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的循环小数，再按照法则（2）进行计算。
练习1.直接计算下列各题++0.430.35+0.90.80.40.3++0.40.980.980.89+0.50.89++0.780.1230.1230.234+0.4560.567++0.8250.780.40.7892.直接计算下列各题++0.3890.9830.230.435+0.2370.80.75460.283+ 0.2030.023+ 0.6780.678+3.将分数化成小数计算2(1)0.853+ 51(2)0.3869++25491(3)3691199++++ 7583113(4)0.38999999++++二、循环小数与整数作乘法我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。
由于一个数乘以整数就是求几个相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。
下面分两种情形来讨论。
纯循环小数乘以整数。
考察下面例子： 30.3220.69⨯=⨯= 30.344 1.39⨯=⨯= 430.43220.8699⨯=⨯= 83733480.83744 3.351999999⨯=⨯==再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？混循环小数乘以整数。
混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进行计算。
例如，计算 0.325(0.32105)10(3.25)1016.110 1.61⨯=⨯⨯÷=⨯÷=÷=任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化，不是吗？请归纳出法则。
规律纯循环小数乘以整数，积仍然是个纯循环小数，其循环节的位数跟原循环小数中的循环节位数相同。
法则是：用循环节乘以整数的积除以99……9（其中9的个数等于循环节的位数），商作积的整数部分，余数作积的循环节。
混循环小数乘以整数，先将混循环小数扩大一定的倍数，使它变成纯循环小数，按照纯循环小数乘以整数的法则算出积，再将所得的积缩小同样的倍数，就得到混循环小数乘以整数的积。
计算下列各题0.42⨯ 0.044⨯ 0.246⨯0.3248⨯ 0.563⨯ 0.0565⨯0.2567⨯ 0.12569⨯ 0.5068⨯计算0.80.9⨯ 0.870.65⨯ 0.850.613+⨯练习8170.359⨯+ 1250.87⨯⨯ 7.087490.138⨯+。