第3讲循环小数化分数
五年级上册数学教案-循环小数-人教版(3)
五年级上册数学教案循环小数人教版 (3)今天我要为大家分享的是五年级上册数学教案中的循环小数部分，这是我们人教版的教材内容。
一、教学内容我们今天要学习的循环小数，主要涉及到教材第六章第三节的内容。
这部分内容包括循环小数的定义、循环小数的简写方法以及循环小数的运算方法。
二、教学目标通过今天的学习，我希望孩子们能够掌握循环小数的定义，了解循环小数的简写方法，并能够熟练地进行循环小数的运算。
三、教学难点与重点循环小数的定义和简写方法是本节课的重点，而循环小数的运算则是本节课的难点。
四、教具与学具准备为了更好地进行课堂教学，我准备了一些的教具和学具，包括黑板、粉笔、多媒体教学设备以及学生们手中的练习册。
五、教学过程我将以一个实践情景引入，然后逐步讲解循环小数的定义、简写方法以及运算方法。
在讲解的过程中，我会结合例题进行讲解，并组织学生们进行随堂练习。
1. 实践情景引入：假设有一个小数0.3333，这个小数一直重复下去，我们怎么来表示这个小数呢？2. 循环小数的定义：循环小数是指小数部分有一个或几个数字不断重复出现的小数。
3. 循环小数的简写方法：我们可以将循环的数字上面加一个点，比如0.3333可以简写为0.3̅。
4. 循环小数的运算方法：循环小数的运算可以转化为分数的运算，具体的运算法则是通过观察循环的数字来确定分数的分子和分母。
5. 例题讲解：比如我们要计算0.6̅的值，我们可以观察到循环的数字是6，所以我们可以将0.6̅转化为分数6/9，然后进行约分，得到的结果是2/3。
6. 随堂练习：请同学们计算0.2̅的值。
六、板书设计我在黑板上会写上循环小数的定义、简写方法和运算方法，以及我们刚刚讲解的例题。
七、作业设计1. 0.1̅2. 0.2̅3. 0.3̅答案：1. 1/92. 1/53. 1/3八、课后反思及拓展延伸通过今天的学习，我发现学生们对循环小数的定义和简写方法掌握得比较好，但在运算方面还有一些困难。
分数的速算与巧算(教师)
分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
循环小数化分数的口诀
循环小数化分数的口诀《口诀一：纯循环小数化分数》小朋友们呀，听我来讲纯循环小数化分数。
就像把一个完整的循环圈变成分数呢。
纯循环小数呀，分子就是一个循环节。
比如说0.333…，3就是循环节，分子就是3。
分母呢，是几个9，这几个9呀，就看循环节有几位。
像这个0.333…循环节是1位，分母就是1个9，也就是9。
那这个0.333…化成分数就是3/9，约分一下就是1/3啦。
再比如0.121212…，循环节是12，分子就是12，循环节有2位，分母就是2个9，也就是99，这个小数化成分数就是12/99，约分后是4/33。
这样是不是很简单呀，就像把循环的小火车一节一节地装进分数的车厢里呢。
《口诀二：混循环小数化分数》小宝贝们，混循环小数化分数也不难哦。
混循环小数化分数呀，分子就有点特别啦。
分子呢，是用整个小数部分，去掉不循环的部分，再减去不循环部分组成的数。
比如说0.2343434…，不循环的是2，那分子就是234 - 2 = 232。
分母呢，是几个9和几个0。
9的个数看循环节的位数，0的个数看不循环部分的位数。
这里循环节34是2位，不循环部分2是1位，分母就是990。
那这个小数化成分数就是232/990，约分一下就好啦。
就好像把混在一起的水果，把不能循环的挑出来处理一下，再按照规则放进分数的盘子里呢。
《口诀三：一位循环节化分数》小朋友们，要是循环节只有一位数的循环小数化分数呀，那可真是太容易啦。
就像一个小独轮车在数字的道路上转呀转。
要是0.111…这种，分子就是1，分母就是9，因为循环节就1位嘛，就1个9。
再看0.555…，分子是5，分母就是9，化成分数就是5/9。
这就好比是一个小珠子在9个小格子里占了对应循环节数字的格子一样。
简单又好记，只要看到一位循环节的循环小数，就按照这个法子来，保证不会错，就像1 + 1 = 2那么确定呢。
《口诀四：两位循环节化分数》小同学们，当循环小数的循环节是两位的时候，我们来化分数。
六年级奥数-.分数的速算与巧算
分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的 左侧
；
；
2、单位分数的拆分：
例： =
=
=
；
=
=
分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：
=
本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：
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【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式
和连加式
．
则：
如果选10、5、2，那么有：
．
另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分 数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到
，根据前面的拆分随意选取一组，比如
同，那么最后得到的 和 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有
种，但是其中
比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：
．
（2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
另外的解让学生去尝试练习． 【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
【例 14】
．
【解析】 原式
【巩固】 计算：
．
【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式
【巩固】 计算：
．
【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式
其中
可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 进行计算．
五年级上册数学教案-3.4循环小数新人教版
五年级上册数学教案3.4循环小数新人教版一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材第67页至第69页的循环小数相关知识。
具体包括循环小数的定义、循环小数的表示方法、循环小数的性质以及循环小数的运算方法等。
二、教学目标通过本节课的学习，使学生能够理解循环小数的含义，掌握循环小数的表示方法，了解循环小数的性质，并能够运用循环小数进行简单的运算。
三、教学难点与重点教学难点：循环小数的表示方法和性质。
教学重点：循环小数的定义和运算方法。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 情景引入：通过生活中的一些实例，如钟表的滴答声、水滴的声音等，引导学生初步感受循环现象。
2. 知识讲解：(1) 循环小数的定义：小数部分有一个或几个依次不断重复出现的数字，这样的小数叫做循环小数。
(2) 循环小数的表示方法：在循环节的首位和末位的上面各记一个小圆点。
(3) 循环小数的性质：循环小数的位数是无限的，但可以将其化为分数形式。
3. 例题讲解：例1：求循环小数0.333的值。
解答：0.333 = 1/3例2：计算循环小数2.666与1.333的和。
解答：2.666 + 1.333 = 44. 随堂练习：(1) 把下列循环小数写成分数形式：a) 0.333b) 0.121212(2) 计算下列循环小数的和：a) 1.222 + 0.111b) 3.444 1.111六、板书设计板书内容主要包括循环小数的定义、表示方法、性质和运算方法。
七、作业设计1. 题目：求下列循环小数的值：a) 0.232323b) 0.1414142. 题目：计算下列循环小数的和：a) 2.333 + 1.111b) 4.444 2.222答案：a) 0.232323 = 23/99b) 0.141414 = 14/99a) 2.333 + 1.111 = 3.444b) 4.444 2.222 = 2.222八、课后反思及拓展延伸课后反思：本节课通过实例引入循环小数的概念，让学生在理解的基础上掌握了循环小数的表示方法和性质。
分数与小数的互化
分数与小数的互化是六年级数学上学期第二章第2节中的内容．通过本讲的学习，我们需要学会分数与有限小数及无限循环小数的互化，并利用分数与小数互相转化的方法比较分数与小数的大小，从而熟练分数与小数的互化，为后面学习分数与小数的四则混合运算做好准备．1、分数化小数利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如：3350.65=÷=．2、可化为有限小数的分数的规律一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数．3、有限小数化为分数原来有几位小数，就在1后面添几个零作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分．注意：结果一定要化为最简分数．分数与小数的互化内容分析知识结构模块一：分数与有限小数的互化知识精讲【例1】 把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，则将其保留3位小数．35、56、18、920、7112、124【难度】★【答案】0.6；0.833；0.125；0.45；1.583；2.25． 【解析】考察分数与小数的互化．【例2】 把下列小数化成分数．0.12，0.076，1.35，2.02．【难度】★【答案】3197112252502050，，，．【解析】2531001212.0==，25019100076076.0==，207110035135.1==，50121002202.2==．【总结】考察分数与小数的互化．【例3】 比较下列两组数的大小：1320______0.66，1.35______37180． 【难度】★【答案】< ；<． 【解析】66.065.02013<=，35.14625.180371>=．【总结】考查分数与小数的大小比较，可以将分数化为小数，也可将小数化成分数，然后再比较大小．【例4】 将12，35，58，710，1320，1725按从小到大的顺序排列．【难度】★★【答案】12<35<58<1320<1725<710． 【解析】1=0.52，3=0.65，5=0.6258，7=0.710，13=0.6520，17=0.6825．【总结】主要考查分数的大小比较，可以将分数化为小数，然后再比较大小．例题解析【例5】 下列说法错误的是（ ）A ．任何分数都能化为小数B ．任何小数都能化为最简分数C ．任何分数都能化为有限小数D ．任何有限小数都能化为分数【难度】★★ 【答案】C【解析】分数可以化为有限小数和无限不循环小数． 【总结】考查分数化为小数的方法．【例6】 在分数313，714，1150，1215，2332，76中能化为有限小数的分数有______个．【难度】★★【答案】4【解析】714，1150，1215，2332均可化为有限小数．【总结】考察分数转化为有限小数的条件．【例7】 10.26分米 = ______分米 = ______米；0.26天 =______小时．（填分数） 【难度】★★ 【答案】501310；500131；25156．【解析】501310100261026.10==，251562450132426.0=⨯=⨯． 【总结】考察利用小数分数之间的转化表示单位之间的换算．【例8】 0.24的倒数是______，1.35的倒数是______． 【难度】★★【答案】625，2720．【解析】2561002424.0==，2027207110035135.1===． 【总结】先将小数化为分数，然后再求倒数．【例9】 （1）120.252-；（2）120.253-．【难度】★★【答案】（1）2.25；（2）1212． 【解析】（1）120.25 2.50.25 2.252-=-=；（2）111120.252233412-=-=．【总结】分数与小数混合运算时，有不能化为有限小数的分数时，将所有的数字转化为分数来进行运算．如果可以转换为有限小数时，则可以化做小数再加减运算．【例10】 甲水果店的苹果以9元4千克的价格出售，乙水果店的苹果以16元7千克的价格出售，哪家水果店苹果的价格比较便宜？【难度】★★ 【答案】乙． 【解析】因为1696416916494⨯=⨯⨯=，9166391697167⨯=⨯⨯=，所以16794>， 故乙水果店便宜．【总结】考查利用分数的大小比较解决实际问题．【例11】 某学校组织“分数计算竞赛”，甲、乙、丙三位同学分别耗时0.6小时、3760小时和42分钟，三人中用时最少的是谁？【难度】★★★ 【答案】甲． 【解析】42分钟=6042小时；0.6小时=53小时=6036小时．所以分钟小时小时4260376.0<<，故甲用时最少．【总结】考查利用分数的大小比较解决实际问题．【例12】 已知，a 是一个不大于30的正整数，且9a能化成有限小数，则a 可能取的值有______个．【难度】★★★ 【答案】13【解析】满足条件的有2，4，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，30，共有13个．【总结】本题主要考查分数化为有限小数的条件，主要化成最简分数之后，分母的因数 只有2和5就可以．1、 循环小数一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数．一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节．为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点．例如：0.3333…的循环节为“3”，写作0.3g；0.1363636…的循环节为“36”，写作0.136g g． 像“0.3g”这样的循环小数称为纯循环小数，其循环节从小数点后第一位开始； 像“0.136g g ”这样的循环小数称为混循环小数，其循环节不从小数点后第一位开始． 2、 纯循环小数化为分数纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母全部由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数，最后再化为最简分数．例如：123410.123999333==g g ． 3、 混循环小数化为分数混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节之前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的前几位数是9，末几位数是0，9的个数等于一个循环节中的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．例如：1231122610.123990990495-===g g ． 模块二：分数与循环小数的互化知识精讲【例13】0.102102…的循环节是_______，写作_________，保留2位小数写作_______．【难度】★【答案】102；••201；0.10．【解析】考察循环小数的读法和写法．【例14】已知：0.12222，0.353555…，3.23232323，0.1010010001…，0.1353535…，0.231544307…，其中循环小数有_____个．【难度】★【答案】2个【解析】循环小数有0.353555…，0.1353535…．【总结】考察循环小数的定义．【例15】将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数，并说出其循环节．（1）75；（2）1215；（3）79；（4）4199．【难度】★【答案】（1）1.4；（2）0.8；（3）•7.0，循环节为7；（4）••14.0，循环节为41．【解析】考察分数与小数的互化．【例16】将下列两组数按从小到大的顺序排列．（1）29、16、0.2、516；（2）315、1.62g、138、1.60g g．【难度】★★【答案】（1）16<0.229<516<；（2）3151.60<g g1.62<g138<．【解析】（1）因为20.29•=、10.166•=、0.2、50.312516=，所以16<0.229<516<；（2）因为31 1.65=、131.6258=，所以3151.60<g g1.62<g138<．【总结】考察分数与小数的大小比较，可以将小数化为分数，也可将分数化为小数．例题解析【例17】 将下列循环小数化为分数．（1）0.3g；（2）0.21g g；（3）0.36g；（4）0.321g g．【难度】★★【答案】（1）31；（2）337；（3）3011；（4）53165．【解析】（1）310.393==g； （2）2170.219933==g g ；（3）36333110.36909030-===g ； （4）3213318530.321990990165-===g g ． 【总结】考察循环小数化为分数的方法，参考知识精要．【例18】 分数511化为循环小数后，小数点右边第200位上的数字是______． 【难度】★★【答案】5．【解析】••=54.0115，则小数点右边第200位上的数字为5．【总结】考察分数化为小数的方法以及数字的规律．【例19】 移动循环小数2.3020304gg的前一个循环点，使产生的循环小数尽可能小，这个新循环小数是__________．【难度】★★ 【答案】2.3020304gg．【解析】考察循环小数的比较大小．【例20】 将67化为循环小数后，小数点后的前100个数字之和为多少？ 【难度】★★【答案】453．【解析】••=257148.076循环数字有6位，因为100÷6=16余4，所以小数点后的前100个数字之和为：()()453175824175816=+++++++++⨯．【总结】考察分数化成小数的方法，以及对循环节的理解和运用．【例21】 将31 1.25⨯g 的结果化为带分数：______．【难度】★★【答案】45431．【解析】因为9212.1=•，所以381188431 1.215594545⨯=⨯==g ．【总结】现将循环小数化为分数，然后根据分数的乘法法则进行计算．【例22】 计算：（1）2.45 3.13+g gg；（2）2.609 1.32-gg g；（3）4.3 2.4⨯gg；（4）1.240.3÷g gg． 【难度】★★ 【答案】（1）165975；（2）283919900；（3）27286；（4）1141 【解析】（1）45131527522972.453.13232323599901115165165165-+=+=+=+=g gg； （2）609603261322.609 1.3221219009910099--=-=-g g g 283919900=； （3）3439222864.3 2.442999927⨯=⨯=⨯=g g ；（4）243123411.240.3139999911÷=÷=⨯=g g g ．【总结】本题主要考查无限循环小数化成分数的方法以及分数的运算．【例23】 10.610.610.60.6+++gggg．【难度】★★【答案】132205．【解析】212121212121212126443333321231333331339233263=+=+=+=+=+++++++原式239205344132=+=． 【总结】考察繁分数的运算，本题要先将小数化成分数再进行计算．【例24】 计算：0.140.250.360.470.58++++ggggg． 【难度】★★★【答案】1831．【解析】0.140.250.360.470.58++++ggggg．141252363474585=909090909013233343539090909090165319018-----++++=++++== 【总结】本题一方面考查无限循环小数化成分数的方法，另一方面考查分数的加法运算．【例25】 将纯循环小数0.ab g g化为最简分数时，分子与分母之和为19，求a 和b ． 【难度】★★★ 【答案】72a b ==，． 【解析】100.99a b ab +=g g，当分母为9时，则分子为10，则分数为910，不合题意；当分母为11时，分子为8，则分数为••=27.0118，所以72a b ==，． 【总结】考察循环小数化为分数的方法以及对纯循环小数的理解及运用．【例26】 某学生计算1.23g乘以一个数a 时，把1.23g误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3，则正确的结果该是多少？【难度】★★★ 【答案】111． 【解析】因为30719021190223132.1==-=•，所以3.023.13071=-a a ，所以3.03001=a ，所以90=a ；则正确的结果为111903037903071=⨯=⨯．【总结】本题一方面考查学生对题意的理解，另一方面考查无限循环小数与分数的互化以及分数的运算．【例27】 循环小数0.12345gg与0.2345gg在小数点后面第几位第一次同时出现数字5？ 【难度】★★★【答案】小数点后面第20位第一次 同时出现数字5．【解析】0.12345gg循环节有5位，0.2345gg循环节有4位，则小数点后面第20位第一次同时出现数字5．【总结】考察循环小数循环节的规律以及对最小公倍数的运用．【例28】 真分数7x化为小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是91，那么x 等于多少？【难度】★★★【答案】2【解析】••=742851.071，••=485712.072，••=128574.073，••=871425.074，••=514287.075，••=257148.076，观察发现循环节的数字都是1，4，2，8，5，7，一个循环节的和为27758241=+++++，32791=÷余10，只有72中1082=+，所以x 等于2．【总结】考察分数与小数的互化以及对数字规律的观察与总结．【例29】 求证：20.63=g． 【难度】★★★【答案】设a =•6.0，则a 106.6=•，所以66.06.610=-=-••a a ，所以69=a ，所以32=a ． 【解析】考察分数化为循环小数的方法．【例30】 求证：110.3630=g ． 【难度】★★★【答案】设a =•63.0，则a 106.3=•，a 1006.36=•，所以336.36.3610100=-=-••a a ，所以3390=a ，所以3011=a ． 【解析】考察分数化为循环小数的方法．【习题1】 把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，则将其保留3位小数．74、415、1324、8335． 【难度】★【答案】7 1.754=、41 1.85=、130.54224=、83 3.22935=． 【解析】考察分数化小数的方法．【习题2】将1722化为循环小数：______． 【难度】★【答案】••7277.0．【解析】考察分数化小数的方法．【习题3】 将0.1503g g 化为分数：______． 【难度】★★【答案】4995751． 【解析】1503115027510.1503999099904995-===g g ． 【总结】考察循环小数化成分数的方法．【习题4】 将1.44、1.4g、41100、1.41从大到小排列：____________________． 【难度】★★【答案】41100<1.41<1.44<1.4g ． 【解析】因为04.110041=，所以41100<1.41<1.44<1.4g ． 【总结】考察分数与小数的大小比较，注意合理方法的选用．随堂检测【习题5】 计算：30.4524⨯=g g ______． 【难度】★★ 【答案】45． 【解析】因为115994554.0==••，所以351150.45241144⨯=⨯=g g ． 【总结】先将循环小数化为分数，然后再做乘法．【习题6】 甲、乙两个工人加工零件，甲平均每分钟加工0.9个，乙平均每分钟加工1011个，谁的工作效率高些？ 【难度】★★【答案】乙 【解析】因为100.900.911••=>，所以乙的工作效率高．【总结】考查分数与小数的大小比较在实际问题中的应用．【习题7】 0.540.36+=g g g______． 【难度】★★ 【答案】990899． 【解析】545364945393608990.540.3690999011990990990-+=+=+=+=g g g ． 【总结】先将循环小数化为分数，然后再做分数加减法．【习题8】 将613化为循环小数后，小数点后的前100个数字之和为多少？． 【难度】★★【答案】448． 【解析】••=861534.0136，循环节共有6位，则4166100Λ=÷， 所以()448516483516416=+++++++++⨯． 【总结】考察分数化成小数的方法，以及对循环节的总结及运用．【习题9】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++g g g g g g ．【难度】★★★ 【答案】512． 【解析】0.010.120.230.340.780.89+++++g g g g g g11212323437878989090909090901112131718190909090909021612905-----=+++++=+++++== 【总结】考察循环小数化为分数的方法以及分数的加法运算，注意结果要化到最简．【习题10】 设a 、b 、c 是0 ~ 9的数字（允许相同），将循环小数0.abc g g 化成最简分数后，分子有多少种不同的情况？【难度】★★★【答案】660． 【解析】0.999abc abc =g g ，因为a 、b 、c 是0 ~ 9的数字，所以abc 可以为001到999．因为373331119999⨯⨯⨯=⨯=，所以001到999中以3为公因数有333个数可以约分，还剩666个．以37为公因数的有27个可以约分，还剩639个．算重复的有 9个，所以剩 下639+9=648．而其中81的倍数有12个，所以共有648+12=660个．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，也比较综合，主要是认真分析题意，根据所学知识求出结论．【作业1】 填空： 12=______； 14=______； 34=______； 15=______； 18=______； 38=______； 58=______； 78=______； 120=______； 125=______； 140=______； 150=______． 【难度】★ 【答案】0.5；0.25；0.75；0.2；0.125；0.375；0.625；0.875；0.05；0.04；0.025；0.02．【解析】考察分数化成小数的方法．【总结】常见分数与小数需要背诵．【作业2】 将无限循环小数3.102g g表示成分数形式：______． 【难度】★【答案】333343． 【解析】102343.10233999333==g g ． 【总结】考察循环小数化分数．【作业3】 将下列小数化成最简分数．0.35，0.02，1.135【难度】★【答案】712712050200，，． 【解析】0.3520710035==，0.022110050==，1.13520027110001351==． 【总结】考察小数化成分数的方法，注意分数一定要化成最简分数．课后作业【作业4】 将435化成循环小数是______，小数点右边第2016位上的数字是______． 【难度】★★ 【答案】0.1142857&&，5． 【解析】40.114285735=&&循环节共有6个数字，()2016163355-÷=L ，所以小数点右 边第2016位上的数字是5．【总结】考察分数化小数的方法以及对循环节的理解及运用．【作业5】 119、522、0.227g g 、0.227g g 、1.2g 这些数中，是否有相等的两个数？若有，请将它们一一写出来．【难度】★★ 【答案】119=1.2g 、522=0.227g g ． 【解析】227222550.22799099022-===g g ；2270.2271000=g g ；2111.2199==g ． 【总结】考察循环小数化分数的方法以及分数的大小比较．【作业6】 化肥厂第一天生产化肥12.5吨，第二天比第一天多生产113吨，两天共生产化肥多少吨？【难度】★★ 【答案】3126． 【解析】31263115.125.12=⎪⎭⎫ ⎝⎛++（吨）． 【总结】考察分数加减法的实际应用．【作业7】 191.21.2427⨯+g g g ． 【难度】★★ 【答案】920． 【解析】192241911123194119201.21.241127999279992727279⨯+=⨯+=⨯+=+=g g g ．【总结】先将循环小数化为分数再做乘法运算．【作业8】 有8个数，0.51g g ，23，59，0.51g ，2447，1325是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51g ，那么按从大到小排列时，第6个数是哪一个数？【难度】★★★【答案】0.51g． 【解析】因为20.63•=，50.59•=，240.510647=L ，130.5225=， 所以2447<0.51g 0.51<g g 1325<59<23<，由于这6个数从小到大的顺序排列0.51&在第二位，而0.51&在八个数按从小到大的顺序排列时位于第4个，所以另外两个数都小于0.51&，所以这八个数从大到小排列时，第四个是0.51&． 【作业9】 纯循环小数0.abc g g写成最简分数时，分子和分母的和是58，那么三位数abc = ______．【难度】★★★【答案】567． 【解析】0.999abc abc =g g ，而37391119999⨯⨯=⨯=，又因为0.abc g g 小于1，且分子和分母 的和是58，所以当分母为37时，则分子为21，即分数为••=765.03721；所以567abc =． 【总结】考察循环小数化为分数的方法．【作业10】 真分数13a 化成小数后，如果小数点后连续2017个数字之和是9075，那么a 等于多少？【难度】★★★【答案】4或5． 【解析】将分数131213111310139138137136135134133132131，，，，，，，，，，，化为小数后发现所有的循环节都是又0、7、6、9、2、3或4、6、1、5、3、8构成．则一个循环节的和为27329670=+++++， 或46153827+++++=，而3336279075Λ=÷，而 只有134，135小数点后第一位为3， 所以45a =或． 【总结】本题主要考查对循环节的规律的归纳及运用．。
小学奥数讲义5年级-1-循环小数与分数-难版
在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
1.17的“秘密” 10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=,…, 60.8571427∙∙= 2.推导以下算式 ⑴10.19=；1240.129933==； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==； 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =；再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论知识梳理0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，……【例1】★把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.10210.610 6.66660.6=0.66660.69 662 0.6=93⨯=⨯==解：（）两式相减得所以 23.1020.1020.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333102 3.1023999⨯==⨯=====解：（）先看小数部分…… ?…两式相减得所以343333【例2】★计算下面各题：12.45+3.13 22.6091.32(3)4.3 2.4 (4)1.240.3⨯÷（）（）-【解析】先把循环小数化成分数后计算。
第3讲 循环小数化分数
第三讲循环小数化分数一．纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化作分数呢？看下面的例题。
例1．把纯循环小数化成分数：（1）0.6；（2）3.102。
解：（1）0.6×10=6.666……①0.6=0.666……②由①–②得到0.6×9=6，所以0.6=62 =93。
（2）3.102先看小数部分0.102，0.102×1000=102.102102……①0.102=0.102102……②由①–②得到999×0.102=102，所以10234 0.102==999333。
102343.102=3=3999333。
从以上例题中可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的位数与循环节的位数相同，并且各位都是9. 注意能约分的一定要约分。
例如0.216=216899937，123414.123=4=4999333。
二．混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫做混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2．把混循环小数化为分数：（1）0.215；（2）6.353。
解：（1）0.215×1000=215.151515…… ①0.215×10=2.151515…… ②由①–②得 990×0.215=251–2=213， 所以2152213710.215=990990330-==。
（2）对于6.353，先看小数部分0.353， 0.353×1000=353.3333…… ① 0.353×100=35.3333…… ②由①–②得0.353×900=353–35， 所以35335318530.353=900300150-==。
所以536.353=6150。
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
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第三讲循环小数化分数
一．纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化作分数呢看下面的例题。
例1．把纯循环小数化成分数：
（1）0.6；（2）3.102。
解：（1）0.6×10=……①
0.6=……②
由①–②得到0.6×9=6，
所以0.6=62 =
93。
（2）3.102先看小数部分0.102，0.102×1000=……①0.102=……②由①–②得到 999×0.102=102，
所以
10234 0.102==
999333。
10234
3.102=3=3
999333。
从以上例题中可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的位数与循环节的位数相同，并且各位都是9. 注意能约分的一定要约分。
例如0.216=2168
99937
，
12341
4.123=4=4
999333。
二．混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫做混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢看下面的例题。
例2．把混循环小数化为分数：
（1）0.215；（2）6.353。
解：（1）0.215×1000=……①
0.215×10=……②
由①–②得 990×0.215=251–2=213，
所以
215221371 0.215=
990990330
-
==。
（2）对于6.353，先看小数部分0.353，0.353×1000=……①
0.353×100=……②
由①–②得0.353×900=353–35，
所以
3533531853 0.353=
900300150
-
==。
所以
53 6.353=6
150。
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数字是9，末几位数字是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
如①把0.276化成分数。
解：
2762783 0.276=
900300
-
=。
②把7.42化成分数；
解：
4243819 7.42=777
909045
-
==。
三．循环小数的四则运算
循环小数化为分数后，循环小数的四则运算可以按分数的四则运算法则进行。
从这种意义上讲，循环小数的四则运算和有限小数的四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3．计算下列各题：
（1） 2.45 3.13+；（2）2.609 1.32-；
（3）4.3 2.4⨯； （4）1.240.3÷。
解：先把循环小数化为分数后再计算。
（1） 52972.45 3.13=2+3=51115165+； （2）613228392.609 1.32=211100999900
--=； （3）1
41322286164.3 2.442103
9392727⨯=⨯=⨯==； （4）24181.240.31399311
÷=÷=。
例4．计算下列各题：
（1）10.610.610.60.6+++； （2）11.250.3 1.25 1.250.63
⨯+⨯+⨯ （3）0.140.250.360.470.58++++。
解：（1）原式=21+213+213+2
33
=21+213+23
3+32
=21
+
26
3+
313
=
21
+
44
3
39
=23920573
+==1 344132132。
（2）可以根据乘法对加法的分配率先把提出，再计算。
原式=
112
1.25()
333
⨯++=
5452
==1
4333
⨯。
（3）把循环小数化为分数，再根据乘法分配率和等差数列求和公式计算。
原式=1323334353 9090909090 ++++
=1
(1323334353) 90
⨯++++
=1(1353)5 902
+⨯
⨯
=1330115
1
90266
⨯==。
练习题
1．把循环小数化为分数：
（1）0.2；（2）0.41；（3）0.205。
解：（1）0.2=2
9
；（2）0.41=
41
99
；（3）0.205=
205
999。
2．把下列混循环小数化成分数：
（1）0.21；（2）0.205；（3）6.142；
解：（1）0.21=21219 9090 -
=；
（2）0.205=2052203 990990
-
=；
（3）6.142=1421412832326666900900225225
-+
=+=+=。
3．计算下列各题： （1）0.24+0.18； （2）2.74 2.16-。
解：（1）0.24+0.18=24189999+=4214=9933
； （2）2.74 2.16-=74162(2)9999+
-+=5899。
4．计算下列各题：
（1）5.230.6⨯； （2）8.460.4÷。
解：（1）5.230.6⨯=232(5)993+⨯=5182993⨯=10361453297297
=； （2）8.460.4÷=74(8)159+
÷=1279154⨯=38120=11920.。