2013年西北师范大学高等数学考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题
2013考研数三真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>精选（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
2013年考研数学一真题及详细解答
2013硕士研究生入学考试 数学一一，选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1.已知极限0arctan lim k x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（ ） A.12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ）A.2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)nb f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234max ,,,I I I I = A.1I B. 2I C. 3I D 4I5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）A.0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ）A.123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则{}2P Y c >=( )二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
2013年考研数学三真题及答案解析
a 0
0
,
B
1
1 b
，当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C
使得
AC
CA
B
，并求所有矩阵
C
。
（21）（本题满分 11 分）
a1 b1
设二次型
f
x1, x2, x3
2 a1x1
a2x2
a3x3 2
b1x1
b2x2
b3x3 2 ，记
a2
,
b2
。
a3
b3
（I）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；
1 a 1 2 0 0
（6）矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为
1 a 1 0 0 0
（A） a 0, b 2
（B） a 0,b为任意常数
（C） a 2,b 0
（D） a 2,b为任意常数
（7）设 X1，X2，X3 是随机变量，且 X1~N(0,1)，X2 ~N(0,22），X3 ~ N(5,32 ) , Pj P{2 X j 2}( j 1, 2,3), 则（ ） （A） P1 P2 P3 （B） P2 P1 P3 （C） P3 P1 P2 （D） P1 P3 P2
aij Aij 0(i, j 1, 2,3),则 A ____
（14）设随机变量 X 服从标准正态分布 X ~N(0,1) ,则 E( Xe2X ) = ________。
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
（10）设函数 z z(x, y) 由方程 (z y) x
考研数一真题
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）（A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==-（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ）（A ）2x y z -+=- （B ）x +y +z =0 （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则9(4S -=（ ） （A ）34 （B ）14（C ）14-（D ）34-（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++-=⎰，则= ( )考研老司机552（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）I 4（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C,且B 可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2==（B ）为任意常数b a ,0=（C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α-考研老司机55二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e--=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= ．(10)已知321xxy e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。
2013年全国硕士研究生入学考试数学一试题答案(详解)
∫ 1
1
= −4 x ln(1+ x) + 4
x dx （设 x = t ）
0 01+ x
= −4 ln 2 + 8 − 2π
（16）（本题满分 10 分）设数列{an} 满足条件： a0 = 3 ， a1 = 1 ， an−2 − n(n − 1)an = 0
∞
∑ (n ≥ 2) ， S( x) 是幂级数 an xn 的和函数。
【答案】（A）
∫ ∑ （3）设
f
(x) =
x−
1 2
， bn
=2
1 0
f (x)sin nπ xdx
(n
= 1, 2,⋯) ，令 S( x) =
∞
bn sin nπ x ，
n=1
则 S(− 9) = （ ） 4
3
1
(A)
(B)
4
4
【答案】 （C）
1 (C) −
4
3 (D) −
4
（4）设 L1 : x2 + y2 = 1， L2 : x2 + y2 = 2 ， L3 : x2 + 2 y2 = 2 ， L4 : 2x2 + y2 = 2 为四条逆
0
⎟ ⎟
（
k,
l
为任意常数）
⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
第 5页（共 7页）
故
C
=
⎛ ⎜ ⎝
k
+l k
+
1
−k l
⎞ ⎟ ⎠
（
k,
l
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （ ） （A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小 （D ）与x 等价无穷小2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→12lim n f n n （ ） （A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（ ） （Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点． （Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点． （Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导． （Ｄ）)(x F 在π=x 可导． ４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（ ）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α ５．设函数()xy f xy z =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价．（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价．（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．8．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9． =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→xx x x 10)1ln(2lim ． 10．设函数dt e x f xt ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx ． 11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为 ． 12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty t x 对应于1=t 处的法线方程为 ． 13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为 ．14．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 是等价无穷小，求常数n a ,．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2．18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．20．（本题满分11） 设函数xx x f 1ln )(+= ⑴求)(x f 的最小值；⑴设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限． 21．（本题满分11）设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=． （1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标．22．本题满分11分） 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．23（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．。
(完整word版)考研数学三真题精选及答案解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷一、选择题：1~8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）档0→x 时,用)(x o 表示比x 的高阶无穷小,则下列式子中错误的是（ ）A 、)()(32x o x o x =⋅B 、)()()(32x o x o x o =⋅C 、)()()(222x o x o x o =+D 、)()()(22x o x o x o =+（2）设函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点个数为（ )A 。
0 B.1 C 。
2 D.3（3）设k D 是圆域{}1),(22≤+=y x y x D 位于第K 象限的部分，记),4,3,2,1()(=-=⎰⎰k dxdy x y I KD k 则（ )A 。
01>IB 。
02>I C.03>I D. 04>I（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是( )A.若1+>n n a a ,则n n n a ∑∞=--11)1(收敛 B.若n n n a ∑∞=--11)1(收敛,则1+>n n a aC.若∑∞=1n n a 收敛,则存在常数1>P ,使n p n a n ∞→lim 存在D.若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n n a 收敛（5）设矩阵A 。
B 。
C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，则B 可逆，则( ）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 。
矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C.矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D.矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件为（ ） A.2,0==b a B.b a ,0=为任意数C 。
13年数学一真题及答案
2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1. 已知极限0arctan lim k x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则2221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x c x kx kx x k x ---→→→→--+-+====+ 因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ） A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。
91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。