2016年高考文科数学中档题专练

2016年高考文科数学中档题专练中档题专练(一)建议用时：30分钟1．[2015·皖北协作区联考(二)]设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b (cos A －3cos C )＝(3c －a )cos B .(1)求sin A sin C 的值；(2)若cos B ＝16，且△ABC 的周长为14，求b 的值．解 (1)由正弦定理得，(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin A sin C ＝13.(2)由sin A sin C ＝13得c ＝3a ，由余弦定理及cos B ＝16得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋9a 2－6a 2×16＝9a 2. 所以b ＝3a .又a ＋b ＋c ＝14，从而a ＝2，因此b ＝6.2．[2015·郑州质量预测(一)]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，PD ⊥底面ABCD ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点．(1)证明：P A ∥平面BMQ ；(2)已知PD ＝DC ＝AD ＝2，求点P 到平面BMQ 的距离．解 (1)证明：连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，因为∠ADC ＝90°，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．又M 为PC 的中点，即PM ＝MC ，则MN 为△P AC 的中位线，故MN ∥P A ，又MN ⊂平面BMQ ，所以P A ∥平面BMQ .(2)由(1)可知，P A ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P －BMQ ＝V A －BMQ ＝V M －ABQ ，取CD 的中点K ，连接MK ，所以MK ∥PD ，MK ＝12PD ＝1，又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又BC ＝12AD ＝1，PD ＝CD ＝2，所以AQ ＝1，BQ ＝2，MQ ＝3，NQ ＝1，所以V P －BMQ ＝V A －BMQ ＝V M －ABQ ＝13·12·AQ ·BQ ·MK ＝13.S △BMQ ＝2，则点P 到平面BMQ 的距离d ＝3V P －BMQ S △BMQ ＝22. 3．[2015·贵州七校联考(一)]从某校高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．(1)若该校高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分(平均分保留到百分位)；(2)若从[40,50)与[90,100]这两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03.根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于高三年级共有学生640人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为：640× 0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＋0.1×95544≈77.94.(2)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15种，如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法为7种，所以所求概率P ＝715.中档题专练(二)建议用时：30分钟1．若数列{x n }满足：1x n ＋1－1x n＝d (d 为常数，n ∈N *)，则称{x n }为调和数列．已知数列{a n }为调和数列，且a 1＝1，1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝15.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数n ，使得S n ≥2015？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，由1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝15得5a 3＝15，即1a 3＝3，∴公差d ＝1a 3－1a 12＝1，故1a n＝n 即a n ＝1n . (2)S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ①2S n ＝1×22＋…＋(n －1)2n ＋n ×2n ＋1②②－①得S n ＝n ×2n ＋1－(2＋22＋…＋2n )＝(n －1)2n ＋1＋2.由于S n 是递增的，当n ＝7时S 7＝6×28＋2<2015；当n ＝8时S 8＝7×29＋2>211>2015.所以存在正整数n ，使得S n ≥2015，n 的取值集合为{n |n ≥8，n ∈N *}2．[2015·石家庄一模]某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：件，n ∈N )的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件)，整理得下表：为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400,550]内的概率．解 (1)当日需求量n ≥10时，利润为y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200；当日需求量n ＜10时，利润为y ＝50×n －(10－n )×10＝60n －100. 所以y 关于日需求量n 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200 n ≥10，n ∈N 60n －100 n ＜10，n ∈N . (2)50天内有9天获得的利润为380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得的利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元．若利润在区间[400,550]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为11、15、10.则利润在区间[400,550]内的概率为：P ＝11＋15＋1050＝3650＝1825. 3．[2015·唐山一模]如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1＝∠CC 1B 1＝60°，AC ＝2.(1)求证：AB 1⊥CC 1；(2)若AB 1＝6，求四棱锥A －BB 1C 1C 的体积．解(1)证明：连接AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1的中点O ，连接OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1.(2)由(1)知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1.又OA ⊥CC 1，OB 1∩CC 1＝O ，所以OA ⊥平面BB 1C 1C .S ▱BB 1C 1C ＝BC ×BB 1sin60°＝23，故VA －BB 1C 1C ＝13S ▱BB 1C 1C ×OA ＝2.中档题专练(三)建议用时：30分钟1．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ＝3cb c 2＋b 2－a 2. (1)求角A 的大小；(2)当a ＝3时，求c 2＋b 2的最大值，并判断此时△ABC 的形状．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°.(2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos2B 2＋1－cos 240°－2B 2 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12cos2B －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos2B －32sin2B ＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎪⎨⎪⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°， 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3.而bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，则3≥b 2＋c 22，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时取等号)．故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．2．[2015·河北名校联盟质监(二)]随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．(1)若已知甲班同学身高平均数为170 cm ，求污损处的数据；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm 的同学，求身高176 cm 的同学被抽中的概率．解 (1)甲班同学身高的平均数x －＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋a ＋18210＝170. 解得a ＝179，所以污损处是9.(2)设“身高176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173 cm 的同学有： {181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，所以P (A )＝410＝25. 3.[2015·贵州七校联考(一)]如图，几何体EF －ABCD 中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.(1)求证：AC ⊥FB ；(2)求几何体EF －ABCD 的体积．解 (1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且DC ∩DF ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD ⊥FC .∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC ，∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC .又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22，则有AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB .(2)连接EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，易知BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2.∵V EF －ABCD ＝V E －ABCD ＋V B －ECF ＝13S 梯形ABCD ·DE ＋13S △EFC ·BN ＝163，∴几何体EF －ABCD 的体积为163.中档题专练(四)建议用时：30分钟1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1 2n ＋1 2n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n 3 2n ＋3. 2．[2015·洛阳统考]有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费(消费金额不超过1000元)，其中有女士1100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如下表．(消费金额单位：元)女士消费情况：位：元)的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的2名网购者都是男士的概率；(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为…网购达人‟与性别有关？”附：K2＝a＋b c＋d a＋c b＋d ，n＝a＋b＋c＋d 解(1)依题意，女士应抽取110名，男士应抽取90名，故x＝10，y＝15.消费金额在[800,1000](单位：元)的网购者共有15名，从中选出2名共有105种选法，若2名网购者都是男士，共有10种选法，所以选出的2名网购者都是男士的概率为10105＝221.(2)列联表如下：K 2＝110×90×60×140≈4.714. 又因为4.714＞3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为…网购达人‟与性别有关”．3．[2015·河北名校联盟质监(一)]如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝1，E 、F 分别为PD 、AC 上的动点，且DE DP ＝AF AC ＝λ(0＜λ＜1)．(1)若λ＝12，求证：EF ∥平面P AB ；(2)求三棱锥E －FCD 体积的最大值．解(1)证明：分别取P A 和AB 的中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF 、DF ，则NF 綊12AD ，ME 綊12AD ，所以NF 綊ME ，所以四边形MEFN为平行四边形，所以EF ∥MN ，又EF ⊄平面P AB ，MN ⊂平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)在平面P AD 内作EH ⊥AD 于H ，因为侧棱P A ⊥底面ABCD ，所以平面P AD ⊥底面ABCD ，且平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ， 所以EH ⊥平面ADC ，所以EH ∥P A .(或平面P AD 中，P A ⊥AD ，EH ⊥AD ，所以EH ∥P A 亦可)因为DE DP ＝λ(0＜λ＜1)，所以EH P A ＝λ，EH ＝λ·P A ＝λ.S △FCD S △ADC ＝CF CA＝1－λ，S △FCD ＝(1－λ)S △ADC ＝1－λ2， V E －FCD ＝13·λ·1－λ2＝λ－λ26(0＜λ＜1)，所以V E －FCD 的最大值为124. 中档题专练(五)建议用时：30分钟1．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若满足3tan A ·tan B －tan A －tan B ＝3，(1)求∠C 大小；(2)若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a ＋b 取值范围． 解 (1)3tan A ·tan B －tan A －tan B ＝3，则tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝－3，∴tan C ＝3，∴C ＝π3.(2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝43， ∴a ＋b ＝43(sin A ＋sin B )＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6， ∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π20<B <π2∴π6<A <π2∴π3<A ＋π6<2π3， ∴23<4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤4， ∴a ＋b 的取值范围是(23，4]．2．[2015·课标全国卷Ⅰ]如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E －ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解 (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2.因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得，三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥E －ACD 的侧面积为3＋2 5.3．[2015·洛阳统考]如图所示茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各四名同学在某次考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用m (m ∈N )表示.(1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；(2)当m ＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率．解 (1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，14(87＋89＋91＋93)＝14[85＋90＋91＋(90＋m )]，解得m ＝4， 设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，m 的取值有：0,1,2，…，9共10种可能．当m ＝4时，甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，∴当a ＝5,6,7,8,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有5种可能．∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P (A )＝510＝12.(2)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件B ， 当m ＝3时，分别从甲、乙两组同学的成绩中各随机选取一名同学的成绩，所有可能结果有16种，分别是：(87,85)，(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,90)，(89,91)，(89,93)，(91,85)，(91,90)，(91,91)，(91,93)，(93,85)，(93,90)，(93,91)，(93,93)．事件B 的结果有8种，它们是：(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,93)，(91,85)，(93,85)，(93,90)．∴两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率P (B )＝816＝12.中档题专练(六)建议用时：30分钟1．[2015·天津高考]已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)．又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1·q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12； 当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2.所以，{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12－－n 2n ＝1－12n 1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1. 所以数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *. 2．[2015·唐山一模]为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：(1)求y (2)利用(1)中的回归方程，预测t ＝8时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1 t i －t － y i －y － ∑n i ＝1t i －t － 2，a ^＝y －－b ^t －. 解 (1)由表中数据计算得，t －＝5，y －＝4，∑n i ＝1(t i －t －)(y i －y －)＝8.5，∑n i ＝1 (t i －t －)2＝10， b ^＝∑ni ＝1 t i －t － y i －y － ∑n i ＝1t i －t － 2＝0.85，a ^＝y －－b ^t －＝－0.25. 所以回归方程为y ^＝0.85t －0.25.(2)将t ＝8代入(1)的回归方程中得y ^＝0.85×8－0.25＝6.55.故预测t ＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．3．如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2a ，点P 在AB 上，PE ∥BC 交AC 于点E ，PF ∥AC 交BC 于点F .沿PE 将△APE 翻折成△A ′PE ，使平面A ′PE ⊥平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△B ′PF ，使平面B′PF⊥平面ABC，如图2.(1)求证：B′C∥平面A′PE；(2)若AP＝PB，求三棱锥A′－B′CP的体积．解(1)证明：因为FC∥PE，FC⊄平面A′PE，PE⊂平面A′PE，所以FC∥平面A′PE.因为平面A′PE⊥平面ABC，且A′E⊥PE，平面A′PE∩平面ABC ＝PE，所以A′E⊥平面ABC.同理B′F⊥平面ABC，所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE.又FC∩B′F＝F，所以平面B′CF∥平面A′PE，又B′C⊂平面B′CF，从而B′C∥平面A′PE.(2)因为AP＝PB，则E，F分别为AC，BC的中点，又∠C＝90°，AC＝BC＝2a，所以四边形CFPE是边长为a的正方形．连接EF交CP于O，连接A′O，B′O，则CP⊥EF，且OC＝OP＝22a .由(1)知A ′E ⊥平面ABC ，又CP ⊂平面ABC ，则CP ⊥A ′E ，又A ′E ∩EF ＝E ，所以CP ⊥平面A ′OB ′，于是V三棱锥A ′－B ′CP ＝V 三棱锥P －A ′OB ′＋V 三棱锥C －A ′OB ′＝13S △A ′OB ′×(OC ＋OP )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×A ′B ′×A ′E ×CP ＝16×2a ×a ×2a ＝13a 3，即三棱锥A ′－B ′CP 的体积为13a 3.中档题专练(七)建议用时：30分钟1．如图，平面直角坐标系xOy 中，∠ABC ＝π3，∠ADC ＝π6，AC＝7，△BCD 的面积为 3.(1)求AB 的长；(2)若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的图象经过A ，B ，C 三点，其中A ，B 为f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，求函数f (x )的解析式．解 (1)∵∠ABC ＝π3，∠ADC ＝π6，∴∠BCD ＝π6，∠CBD ＝2π3，BC ＝BD ，又∵△BCD 的面积为3，∴S △BCD ＝12BD ·BC ·sin 2π3＝34BC 2＝3，∴BC ＝2.在△ABC 中，AC ＝7，∠ABC ＝π3，由余弦定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos π3，即7＝AB 2＋4－2×2×12AB ，整理得AB 2－2AB －3＝0， ∴AB ＝3，或AB ＝－1(舍去)，∴AB 的长为3.(2)由(1)知，A (2,0)，B (－1,0)，C (0，3)，∵函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的图象经过A ，B ，C 三点，其中A ，B 为f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，∴函数f (x )的半个周期T 2＝3，对称轴为x ＝12，∴T ＝6＝2π|ω|，∵ω>0，∴ω＝π3，∴12×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3， 又∵f (0)＝M sin π3＝32M ＝3，∴M ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3. 2．[2015·兰州双基过关]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． 解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P (A )＝327＝19，因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89，因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.3．[2015·洛阳统考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面P AB ；(2)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(3)当三棱锥M －BCD 的体积等于34时，求PB 的长．解 (1)证明：∵在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点， ∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM ∥PB ，又OM ⊄平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，∴OM ∥平面P AB .(2)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD . ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC . (3)∵底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点， ∴V M －BCD ＝12V M －ABCD ＝14V P －ABCD ，从而V P －ABCD ＝ 3. 又AB ＝2，∠BAD ＝60°，∴S 四边形ABCD ＝2 3. ∵四棱锥P －ABCD 的高为P A ， ∴13×23×P A ＝3，得P A ＝32，∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB . 在Rt △P AB 中，PB ＝P A 2＋AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.中档题专练(八)建议用时：30分钟1．已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解 (1)由题意知数列{a n }是公差为2的等差数列，又因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1.当n ＝1时，b 1＝S 1＝4；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n ＋1)－[(n －1)2＋2(n －1)＋1]＝2n ＋1，对b 1＝4不成立．所以，数列{b n }的通项公式：b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1 ，2n ＋1， n ≥2 .(2)n ＝1时，T 1＝1b 1b 2＝120，n ≥2时，1b n b n ＋1＝1 2n ＋1 2n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝120＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋17－19＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝120＋n －110n ＋15＝6n －120 2n ＋3 .n ＝1仍然适合上式．综上，T n ＝120＋n －110n ＋15＝6n －120 2n ＋3.2．[2015·北京高考]某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋200 1000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．3．[2015·九江一模]如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D、E分别为AB和BB′上的点，且ADDB＝BEEB′＝λ.(1)求证：当λ＝1时，A′B⊥CE；(2)当λ为何值时，三棱锥A′－CDE的体积最小，并求出最小体积．解(1)证明：∵λ＝1，∴D、E分别为AB和BB′的中点，又AA′＝AB，且三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B，∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE，∵CE⊂平面CDE，∴A′B⊥CE.(2)设BE＝x，则AD＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x.由已知可得C 到平面A′DE的距离即为△ABC的边AB所对应的高h＝AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4，∴V A ′－CDE ＝V C －A ′DE ＝13(S 四边形ABB ′A ′－S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )·h ＝13[36－3x －12(6－x )x －3(6－x )]·h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0＜x ＜6)，∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′－CDE 有最小值18.。