三元一次方程组、列方程解应用题、线段与角
三元一次方程组及解法【范本模板】
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1。
三元一次方程的定义：含有三个相同的未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1）三元一次方程的条件：①是整式方程,②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．（2）三元一次方程的一般形式:ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组。
要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释:（1)解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入"或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：(2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤:1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y,z）表示题目中的两个(或三个）未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值;5．写出答案（包括单位名称)．要点诠释：(1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．（2)“设"、“答”两步,都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1。
三元一次方程组专项练习30题(有答案过程)ok
三元一次方程组专项练习30题（有答案）1、x －z=－4 x+y=1z －2y=－1 2、 y+z=6x+ y －z =－1 z+x=33、5、⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 42252126、⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x7、20,19,21.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③8、⎩⎨⎧=+-=②①21327:2:1::z y x z y x9、⎪⎩⎪⎨⎧===++③②①4:5:2:3:111z y x y z y x 10、34,6,2312.x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③ 11、2439,32511,56713.x y zx y z x y z ⎧++=∨⎪⎪-+=∨∆⎨⎪-+=∆⎪⎩①②③12、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.5462,822,9311z y x z y x z x13、14 x ＋y －z ＝6x －3y ＋2z ＝1 3x ＋2y －z ＝4 x ＋y ＝3 y ＋z ＝5 x ＋z ＝616、 15、17、 18、19、20、21、22、23、24、 25、26、 27、x+y=32x-y+z=4 x-y+2ｚ=32x+4ｙ+3z=9 3x-2y+5z=11 5x-6y+7z=13 2x+3y+z=383x+4y+2z=564x+5y+z=66x-y-z=4 2x+3y+z=1 4x+2y-3z=5 4x-9z=173x+y+15z=18x+2y+3z=22x+4y+3z=9 3x-2y+5z=11 5x-6y+7z=13 3x+4z=72x+3y+z=9 2x+y-z=2 x+2y-z=5 x ＋3y －z ＝1 2x －y ＋z ＝3 3x ＋y －2z ＝5 x ＋2y ＋3z ＝262x ＋3y ＋z ＝343x ＋2y ＋z ＝39 y ＋2z ＝1 2x －3y －4z ＝－3 3x －2z ＝5x ＋y ＝8y ＋z ＝6x ＋z ＝4x ＋y －z ＝11y ＋z －x ＝5 z ＋x －y ＝128、29、30、答案x=11、原方程组的解为y=3z=52、原方程组的解为x=－1y=2z=4x=169３、原方程组的解为y=-37Z=-28x=354、原方程组的解为y=21z=155、8,2,2.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.6、3,4,5.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.7、9,11,10.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.8、1,2,7.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.9、30,45,36.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.10、2,3,1.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.11、1,1,23.xyz=-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解.X=-532412、原方程组的解为 y=106225Z=53247 X=-8 13、原方程组的解为 Y=-37 z=-51 X=2 14、原方程组的解为 y=1 Z=4X=172615、原方程组的解为 y= -175Z=-176X=43716、原方程组的解为 y=417Z=411X=517817、原方程组的解为 Y=-513Z=5X=-718、原方程组的解为y=-5Z= -11X=619、原方程组的解为y=8Z=3X=5120、原方程组的解为y=3Z=2X=31 21、原方程组的解为y=5 m=3Z=1X=222、原方程组的解为y=1Z=1X=-123、原方程组的解为y=0.5Z=3X=824、原方程组的解为y=6Z=4X=325、原方程组的解为y=-2Z=1X=526、原方程组的解为y=-21Z=3X=21 27、原方程组的解为y=2Z=1X=5 28、原方程组的解为y=-21Z=3X=-1 29、原方程组的解为y=2Z=-2X=2 30、原方程组的解为y=-1Z=2。
初一数学上册三元一次方程组(提高)知识讲解及练习
三元一次方程组（提高）知识讲解【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义:含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）．A ．12236x y y z y +=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩ B ．24013x y x xy z ⎧-=⎪+=⎨⎪-=-⎩C ．2231x y x z =⎧⎪=-⎨⎪-=⎩D ．1321y x x z y z -=-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一验证．【答案】B 【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A 、满足三元一次方程组的定义，故A 选项错误；B 、x 2-4=0，未知量x 的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B 选项正确； C 、满足三元一次方程组的定义，故C 选项错误； D 、满足三元一次方程组的定义，故D 选项错误； 故选B ． 【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断． 类型二、三元一次方程组的解法2.解三元一次方程组1234234253x y x y z y z --⎧=⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎩①②③【思路点拨】特点：①，③是比例形式，策略：引入参数k ．【答案与解析】 解法一：由①，设1234x y k --==，则x ＝3k+1，y ＝4k+2，代入②，③得 103384253k z k z +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解之，得26k z =⎧⎨=⎩． 从而x ＝7，y ＝10．故原方程组的解为7106x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解法二：由③得53y z k ==，则y ＝5k ，z ＝3k ．代入①、②得：1523425942x k x k k --⎧=⎪⎨⎪++=⎩， 解得27k x =⎧⎨=⎩，故原方程组的解为7106x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元． 举一反三：【变式】解方程组:2:3,:4:5,2329x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③【答案】解：由①，得3x ＝2y ，即23x y =， ④ 由②，得5y ＝4z ，即54z y =，⑤把④、⑤代入③，得21522934y y y -+=．解得y ＝12．⑥把⑥代入④，得x ＝8，把⑥代入⑤，得z ＝15．所以原方程组的解为8,12,15.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【高清课堂：三元一次方程组 409145 例3】3.已知方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③的解使得代数式x -2y+3z 的值等于-10，求a 的值．【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a 是已知数，x 、y 、z 是未知数，先解方程组，求出x ，y ，z (含有a 的代数式)，然后把求得的x 、y 、z 代入等式x -2y+3z ＝-10，可得关于a 的一元一次方程，解这个方程，即可求得a 的值． 【答案与解析】解法一： ②-①，得z-x ＝2a ④③+④，得2z ＝6a ，z ＝3a把z ＝3a 分别代入②和③，得y ＝2a ，x ＝a ．∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩．把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x -2y+3z ＝10得 a -2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 解法二：①+②+③，得2(x+y+z )＝12a ．即x+y+z=6a ④④-①，得z ＝3a ，④-②，得x ＝a ，④-③，得y ＝2a ．∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x -2y+3z ＝10得 a -2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组．【高清课堂：三元一次方程组409145 例4】 举一反三：【变式】若 303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩①② ，则x ：y ：z ＝ .【答案】15:7:6类型三、三元一次方程组的应用4. (凉山)甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地133公顷可供12头牛吃4周；乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周?【思路点拨】本题草地上原有一些草，其数量不知，草地上的草还在不停地生长，但生长的速度不知道，因此解题时应把原有的草量、草的生长速度及每头牛每周的食草量用字母表示，设成辅助未知数，再根据题意便可列出方程组． 【答案与解析】解：设每公顷草地原有牧草akg ，每周每公顷草地生长草bkg ，每头牛每周吃草ckg ，丙地24公顷地可供x 头牛吃18周．根据题意得10104412331091092124182418a b c a b c a b xc⎧+⨯=⨯⎪⎪⎨+⨯=⨯⎪⎪⎩+⨯=⨯①②③由①②得545910a cbc ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入③，得x ＝36．答：丙地24公顷可供36头牛吃18周．【总结升华】用三元一次方程组解答实际问题的方法与用二元一次方程组解答实际问题的方法类似，根据题目给出的条件寻找相等关系是利用方程解应用题的重要一环．举一反三： 【变式】某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套? 【答案】解：设三种零件分别用x 天、y 天、z 天．根据题意，得63600300600500x y z x y x z ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩解这个方程组得153018x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：三种零件的生产分别用了15天，30天，18天． 提示：题目中给出“三种零件各一个可以配成一套”，说明三种零件总数是相等的．三元一次方程组（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 下列方程组中是三元一次方程组的是 （ ）.A ．2258232a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩B ．2222225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩ C ．1141171110x y y z z x⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ D ．::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩2. 已知方程370x y --=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则k 的值为（ ）. A. 3 B.4 C.0 D.-13. 下列说法正确的是（ ）.A.方程3220x y z ++=有唯一组解.B.若x 、y 、z 是非负数，则三元一次方程3x+5y-2z ＝0只有一组解.C. 方程4x+y+2z ＝7是三元一次方程.D.三元一次方程组有且只有一组解.4．已知代数式2ax bx c ++，当x ＝-1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为 （ ）.A ．4B ．8C ．62D ．525．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支 二、填空题 7. 若12||(1)5210b a a x y z +--++=是一个三元一次方程，那么a ＝_______，b ＝________．8．已知2234x y y z x z +++===-，则x+2y+z ＝________． 9．当a ＝________时，方程组352,2718x y a x y a -=⎧⎨+=-⎩的解x 、y 互为相反数．10．已知303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，则x :y :z ＝________．11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱． 12. 方程x+2y+3z ＝14 (x ＜y ＜z)的正整数解是 ． 三、解答题 13．解方程组：（1）:3:2:5:466x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪++=⎩（2）3222311410x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩14. 已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对于一切有理数x 都成立，求A ，B 的值． 15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的23，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【答案与解析】 一、选择题1. 【答案】D ；2. 【答案】B ；【解析】联立370x y --=，231x y +=，可得：2,1x y ==-，将其代入9y kx =-，得k 值．3. 【答案】C ；4. 【答案】D ；【解析】由条件知484225a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得521a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．当x ＝3时，2252152ax bx c x x ++=++=．5. 【答案】C ；【解析】解：设夫妇现在的总年龄为M,子女现在总年龄m,设子女共k 名,则有：62210(2)623(6)M m M m k M m k =⎧⎪-⨯=-⎨⎪+⨯=+⨯⎩解三元一次方程组得：2k =. 6. 【答案】D ； 【解析】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x 、y 、z 支，由题意，得4566034548x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②①×4-②×5得x-z ＝0，所以x ＝z ，将z ＝x 代入①，得4x+5y+6x ＝60．即y+2x ＝12．∵ y ＞0，∴ x ＜6，∴ x 为小于6的正整数，∴ 选D. 二、填空题7. 【答案】-1，0；【解析】由题意得101121a b a ⎧-≠⎪+=⎨⎪-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩.8.【答案】-10； 9.【答案】8；【解析】将a 看作常数，解出x,y 的值，再令x+y=0，便得a 的值． 10．【答案】15:7:6； 【解析】原方程组化为3334x y z x y x -=-⎧⎨-=⎩①②②－①得2x ＝5z ，52x z =．故76y z =． ∴ 57::::15:7:626x y z z z z ==． 11.【答案】150；【解析】设甲种商品的单价为x 元，乙种商品的单价为y 元，丙种商品的单价为z 元，根据题意可得： 32315,23285,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②根据三元一次方程组中每一个三元一次方程中系数的特点和所求的结论可将方程①与方程②相加得：4(x+y+z )＝600，∴ x+y+z ＝150．12. 【答案】123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；【解析】解：x ＜y ＜z ，所以2233x y x z<⎧⎨<⎩，62314x x y z <++=，所以123x <，同理可得：123z >，又因为均为正整数，经验证,满足条件的解只有一组，即答案． 三、解答题13.【解析】解：（1）:3:2:5:466x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪++=⎩①②③由①得：32x y =， ④由②得：45z y =， ⑤将④⑤代入③得：346625y y y ++=，解得：20y =， ⑥将⑥代入④⑤得：30,16x z ==，所以原方程组的解为30,20,16.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩（2）3222311410x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩①②③①+③得：428x z -=- ，x z 即2-=-4, ④ ②+③得：31x z -= ， ⑤ ④⑤联立得：x z x z ⎧⎨⎩2-=-4,3-=1.④⑤解得，514x z ==，代入③得41y =-，所以原方程组的解为5,41,14.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩14.【解析】解：由题意可得：2783810A B A B -=⎧⎨-=⎩ 解得：6545A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩15.【解析】解：（1）设甲队单独做x 天完成，乙队单独做y 天完成，丙队单独做z 天完成，则111611*********x y y z x z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⨯⎪⎩，解得111011151130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴ 101530x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．（2）设甲队做一天应付给a 元，乙队做一天应付给b 元，丙队做一天应付给c 元，则6()870010()80005()5500a b b c a c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得875575225a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．∵ 10a ＝8750（元），15b ＝8625（元）．答：由乙队单独完成此工程花钱最少．。
三元一次方程组的解法
实例三：应用题中的方程组解决
总结词
在解决实际应用问题时，通常需要建立 相应的数学模型，并通过解方程组得到 问题的解。
VS
详细描述
以追及问题为例，可以通过建立两个方程 组来表示两个人行走的距离和时间的关系 ，然后通过解方程组得到两个人的相遇地 点和时间；再比如解决利润问题时，可以 通过建立方程组来表示商品的进价、售价 和利润之间的关系，进而求得商品的进货 量。
电磁学
在电磁学中，三元一次方程组被用来描述电流、电场和磁场之间的 关系。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，三元一次方程组可以用来描述商品的供应、需求和价格之间的关系。例如，在垄断市场分析中，三元一次方程组可以用来描述企业的利润、市场 的供应和需求以及商品价格之间的关系。
投资组合优化
在投资组合理论中，三元一次方程组可以用来确定最优的投资组合，即在给定风险水平下获得最大收益或在给定收益水平下风险最小。
重要性
三元一次方程组是数学中一个重要的概念，它在实际生活中 有着广泛的应用，如求解空间几何中的点坐标、解决物理问 题中等。掌握三元一次方程组的解法对于理解和应用数学知 识具有重要意义。
三元一次方程组的特点
三个未知数
三元一次方程组包含三个未知数，通常用x、y、z表示。
三个方程式
每个未知数都由一个方程式来描述，因此总共有三个方程式。每个方程式都是 一次方程，形式为Ax+By+Cz=D，其中A、B、C和D是常数。
02
解三元一次方程组的步骤
整理方程组
整理三元一次方程组，将其转化为标准形式，即每个方程都包含未知数的最高次 数为一次。
将三元一次方程组的系数矩阵用数学公式表示，并确定方程组的未知数个数。
三元一次方程组+知识点+例题
三元一次方程组（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B ．111216y x z y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．【答案与解析】 解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④；③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得， 把代入①，得c=﹣5．因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大.举一反三： 【变式】解方程组： 【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤ 2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯= 所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣2D ．4【答案】B ． 解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. 购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a 的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．。
三元一次方程组的解法PPT课件
9
2020年10月2日
1
有甲、乙、丙三种货物，若购
甲2件、乙1件、丙1件共需15元； 若购甲1件、乙2件、丙1件共需16 元；若购甲1件、乙1件、丙2件共 需17元，问甲、乙、丙每件各几元？
2020年10月2日
2
不解方程组，指出下列方程组中先 消去哪个未知数，使得求解方程组较为 简便?
3 x 5 y 1,
x y z 66 .
2x 4 y 3z 9,
(2) 3x 2 y 5z 11,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5x 6 y 8z 0;
2020年10月2日
8
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1
.
4
x
6
y
7
z
2,
3 x 5 y 2 z 4 ;
x y 20 ,
2
.
y
z
19
,
x z 21 .
2020年10月2日
3
例1 解方程组：
3x 2 y z 13,
x
y
2z
7,
2 x 3 y z 12 .
2020年10月2日
4
例2 解方程组
x y z 111 ,
y
:
x
3
列方程解应用题、线段与角
列方程解应用题、线段与角教学课题列方程解应用题、线段与角教学目标1、 能够列方程解应用题.2、理解线段、直线和射线的区别与联系，会比较线段的大小并进行计算；理解角的相关概念并会计算角的度数；了解互余、互补的概念，理解它们的性质. 教学重、难点灵活设未知数列方程解应用题，掌握线段和角的概念及其相关的性质◆诊查检测：1、选择题(1) 如果，且，，则( )（A ）18.（B ）2.（C ）0.（D ）-2.（2）若方程组的解和的值互为相反数,则的值等于( )(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.（3）某瓶中装有1分，2分，5分三种硬币，15枚硬币共3角5分，则有多少种装法( ) （A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4. （4）如图，,,点B 、O 、D 在同一直线上，则的 度数为（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）(5) 如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段CB 上任意一点，则下列表示线段关系的式子中错误的个数为（ ）① CD=21（AD-BD ）. ② CD=2BDAB .③ BD=21（AB-2CD ）. ④ BD=AD-2CD . (A)1个. （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.2、填空题(1)已知若用含的一次式表示，则_______.(2)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙这三个数分别是_______.(3)如右图所示，M 是线段A B的中点，则1______2A M =，2_____2_____A B ==． （4）α=（x+10）º，∠β=（x-30）º，且∠α和∠β互余，则∠α=___________度. (5) 把一张正方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB /＝700， 则∠B /OG ＝______． 3、解下列方程(组)(1) ； (2)．4、列方程解应用题(1) 把99拆成4个数，使第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到结果都相等，应该怎样拆？(2) 在一次考试中共出了10道题，每题完全做对得10分，做错的扣6分，做对一部分得3分，李聪同学做了全部题目，得77分，问李聪同学做题情况.A BM(3)在第29届奥运会上,中国健儿共获得100枚奖牌，金牌比银牌的2倍还多9块，银牌比铜牌少7块，问金牌、银牌、铜牌各多少块？(4)有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若够甲4件，乙10件，丙1件共需4.2元。
2024年湘教版七年级数学上册 3.8 三元一次方程组(课件)
z=c3.
感悟新知
知1－讲
特别警示 易误认为三元一次方程组中每个方程都必须
是三元一次方程，三元一次方程组中的方程，可 以是一元一次方程，或二元一次方程，或三元一 次方程.实际上只需方程组中共有三个未知数即可.
感悟新知
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
x2－y=1， A. ቐ y+z=0， B.
感悟新知
2x+4y－3z=2， ①
(2) ൞ 4x+7y+z=3， ②
知2－练
解8题x+秘3y方－：2z观=－察5未. ③知数 x， y， z 的系数，先消去
z，再联立方程组求解 . 解：② × 3+ ①，得 14x+25y ＝ 11. ④
② × 2 ＋ ③，得 16x+17y ＝ 1. ⑤
④和⑤组成二元一次方程组ቊ1146xx++2157yy==111., 解得ቊx=y=－1.1,
知2－练
③×4，得 28x＋20z－19＝0，⑥ ⑤×7，得 28x＋42z－63＝0，⑦ ⑦－⑥，得 22z－44＝0，解得 z＝2，
把 z＝2 代入②，得 3y－4－1＝0，解得 y＝35，
把 y＝35代入①，得 4x＋15－12＝0，解得 x＝－43.
x＝－34， 所以原方程组的解为y＝53，
第三章 一次方程（组）
*3.8 三元一次方程组
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
三元一次方程组 解三元一次方程组 列三元一次方程组解决问题
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 三元一次方程组
知1－讲
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三元一次方程组、列方程解应用题、线段与角教学课题三元一次方程组、列方程解应用题、线段与角教学目标1、会解各类三元一次方程组（注意含分式且分母为小数的方程）.2、能够列方程解应用题.3、理解线段、直线和射线的区别与联系，会比较线段的大小并进行计算；理解角的相关概念并会计算角的度数；了解互余、互补的概念，理解它们的性质.教学重、难点灵活设未知数列方程解应用题，掌握线段和角的概念及其相关的性质◆诊查检测：1、选择题(1) 解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取( )（A）先消去x. （B）先消去y. （C）先消去z. （D）以上说法都不对.(2)三元一次方程组，消去未知数后，得到的二元一次方程组是( )（A）.（B）.（C）.（D）.(3) 己知，，满足方程组，则( )（A）．（B）．（C）．（D）．(4)如图，,,点B、O、D在同一直线上，则的度数为（）（A）（B）（C）（D）2、解三元一次方程组时，若先消去，得到关于，的二元一次方程组是______________；若先消去，得到关于，的二元一次方程组是______________；若先消去，得到关于，的二元一次方程组是______________. 因此比较简单的方法是先消去_______.3、若，则______________．4、如右图所示，M是线段A B的中点，则1______2A M=，2_____2_____AB==．5、α=（x+10）º，∠β=（x-30）º，且∠α和∠β互余，则∠α=___________度. A BM6、解下列方程(组)或不等式 (1) 1.005(3678+x )=1.005(x 6735-)+20.1 (2) 2(21)0.0227.5 2.50.010.02x x --+<+(3) ⎩⎨⎧⨯=+=+%922800%64%962800y x y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+42252z z y y x7、 列方程解应用题(1) 把99拆成4个数，使第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到结果都相等，应该怎样拆？(2) 在一次考试中共出了10道题，每题完全做对得10分，做错的扣6分，做对一部分得3分，李聪同学做了全部题目，得77分，问李聪同学做题情况.(3) 吴海琴的裤子数比裙子数的2倍少3条，衬衣数与裙子数的比是2∶3，三种衣服共41件，求她衬衣、裤子、裙子各有多少件？8、有一张地图（如图），有A、B、C三地，但地图被墨迹污损，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A 地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能确定C•地的位置吗？9、已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝2：4：3，M是AD的中点，CD＝6㎝，求线段MC的长.◆知识梳理：一、一次方程（组）1、三元一次方程组如果方程组中有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组.三元一次方程组→（消元转化）→二元一次方程组→（消元转化）→一元一次方程组三元一次方程组的解法：三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法相似，只是要多消一次元，即通过代人法或加减法逐步消元，最后化成一元一次方程进行求解.2、列方程解应用题(1)列方程解应用题的一般步骤是：- 设未知数（元）；- 列方程；- 解方程；- 检验并作答。
例1.某人从甲地到乙地，如果每小时走15千米，就能比预计时间早24分钟，如果每小时走12千米，就会晚到24分钟，甲乙两地相距多少千米？(2) 按比例分配问题此类问题，我们往往设一分量为未知数，即如已知两个量之比为，则设这两个量分别为和，再根据“各部分量之和”或“各部分量之差”等等量关系来列方程求解．例2. 某一服装师做成一件衬衣，一条裤子，一件外套所用的时间之比为1:2:3．他用20个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣，那么他做一件衬衣、一条裤子、一件外套分别需要几个工时？(3)利率问题利息=本金利率期数注意：若利率是年利率，期数以“年”为单位计数。
若是月利率，则期数以“月”为单位计数，解题时要注意统一．例3.某人把若干元按三年期的定期储蓄存人银行，假设年利率为3.69%，到期支取时扣除所得税实得利息2 103.3元，求存人银行的本金(利息税为5%).（4）折扣问题例4.小丽和小明相约去书城买书，请你根据他们的对话内容（如图），求出小明上次所买书籍的原价．(5)行程问题问题的关键是抓住时间关系或路程关系，借助草图分析来解决问题．例5.小军每天早上要在7:40之前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小军以80米／分的速度出发，5分钟后，小军的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即用180米／分的速度去追小军，并且在途中追上了他．爸爸追上小军用了多长时时间？追上小军时，距离学校还有多远？(6) 工程问题解工程问题时，常将工作总量当作整体“1”．基本关系为：例6.一项工程甲做40天完成，乙做50天完成．现在先由甲做，中途甲有事离去，由乙接着做，共用46天完成，问甲、乙各工作了多少天？二、线段直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点.1、线段的表示：可以用表示短点的两个字母A、B表示，记作线段AB.或可以用一个小写的英文字母，如a，表示，记作线段a.2、线段的特点：1）有线长度，可以测量2）有两个端点3、线段的性质：1) 两点之间线段最短.2）连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离,可以记作d.3）★直线没有距离.射线也没有距离.因为，直线没有端点，射线只有一个端点，可以无限延长。
而线段不可以延长.直线线段射线4、线段大小的比较：1）度量法2）叠合法3）观察法★“两点之间线段最短”5、画线段的和、差、倍1)画图a b=+2)和：画线段AB a bA a C bB D所以线段AB即为所求=-3)差：画线段MN b aM a N b Y Z所以线段MN即为所求4)倍（线段中点）：画线段b的中点BbB所以点B即为所求OB A DC OBA将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点 线段中点的表示：1）观察法 2）折叠法 3）度量法线段的中点是一个重要的概念，用语言描述并掌握以下两点： (1)如图1∵C 为AB 中点(2)如图1∴C 为AB 中点． 三、角角是具有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边.边顶点 边或可以这样说：角是有一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形. 处于初始位置的那条射线叫做角的始边， 终止位置的那条射线叫做角的终边.角的始边转动到角的终边所经过的平面部分叫做角的内部，简称角内部.终边外部内部始边① 平角： 180° ② 周角： 360° ③ 直角：90°1、角的表示：1）角一般用三个大写英文字母表示，如下图记作∠AOB 或者∠BOA ，当角唯一时也用顶点表示，记作∠O.如果以点O 为顶点的角有多个，那么其中任何一个角必须用三个大写英文字母表示，而不能简单记作∠O. 2）也可以在角的内部标上一个小写的希腊字母，如α（读alpha ）、β（读beta ）、γ（读gamma ）…… 3) 或者标上一个数字，如1、2、3，记作∠1，∠2……2、角的度量单位、角的换算及角的分类 角的度量单位：度、分、秒；角的换算：160',1'60''︒==，111',1'''6060⎛⎫⎛⎫=︒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 角的分类：小于90︒且大于0︒的角叫做锐角；等于90︒的角叫直角；大于90︒小于180︒的角叫做钝角.3、角的大小的比较1）度量法：用量角器量出角的度数来比较.2）叠合法：把一角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使两个角的另一边都放 在这条边的同侧，就可以比较两个角的大小. 4、余角、补角1） 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. 2） 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. 3） 补角、余角的性质：同角或等角的补角相等’;同角或等角的余角相等. 5、方位角1）方位角的正方向与地图中一样， 上北下南，左西右东；2）处在四个直角平分线上的方向， 分别称为：东南、东北、西南、西北方向； 3)其他方向要用到“偏”字：北偏东α︒， 北偏西β︒，南偏东γ︒，南偏西δ︒.4)方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向. 方位角α的取值范围为0900≤≤α.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”,“北偏东45度”为东北方向；“北偏西045度”西北方向； “南偏东045度”为东南方向；“南偏西045度”为西南方向.四、画角的和、差、倍1、画相等的角1)度量法：①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合；②对线：将量角器的零度刻线与角的一边重合； ③读数.2)尺规法：用直尺与圆规做图.2、角的和、差、倍的画法 1)度量法： 2)尺规作图法：3、角平分线的概念及画法概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
画法：①用量角器画图：量→算→画；②用直尺与圆规作图.学角平分线时既要会用文字表述又要掌握以下两点：(1)如图2∵ OC 平分∠AOB ，(2)如图2∴OC 平分∠AOB.1、 如果方程)5(3118103x m x m +=-与13.028.12.0=--xx 的解之差不大于5，求m 的值。
2、 已知5:4:3::=z y x ,且3x-4y+z=-4,求式子x-3y+5z 的值。
3、甲对乙说:"当我是你现在的年龄,你才4岁."乙对甲说:"当我是你现在的年龄时,你将61岁."问甲,乙现在的年龄各是多少?4、有一个三位数，个位数字是百位数字的3倍，十位数字比百位数字大5，若将此数的个位数与百位数互相对调，所得新数比原数的2倍多35，求原数．5、已知线段a 、b ，画出一条线段,使它等于2a-b.6、如图,已知直线AB 和CD 相交于O 点,∠COE 是直角,OF 平分∠AOE, ∠COF=34°,求∠BOD 的度数.C BAE ODF1、如果与是同类项，求，，的值．2、甲乙丙三个村庄合修一条水渠，计划需要176个劳动力，由于各村庄人口多少不等，只要按2：3：6的比例摊派才合理，问甲乙丙三个村庄各派出多少个劳动力？3、根据图示条件，求出未知角的度数x.（1）（2）4、已知C是AB的中点,D是AC的中点,E是BC的中点.(1)若AB=18cm,求DE的长;(2)若CE=5cm,求DB的长.教学效果/课后反思学生自评针对本堂收获和自我表现（对应指数上打√）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩学生/家长签名。