(浙江专用)2019版高中数学 章末检测卷(一)空间几何体 新人教A版必修2.doc
人教A版2019浙江专用高中数学必修2模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)22＝9的位置关系是(＋y) ．直线ax－y＋2a＝0与圆x1A．相离B．相切D．不确定C．相交解析：选C将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－222222y＋＝0与圆x－＝9的内部，所以直线ax2)2,0)．又(－y＋0＋<9，故该定点在圆x2＋ya＝9必相交．故选C.2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，E的投影点为PA的中点，EC为实线，故B正确．3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是()A．若l⊥α，m?α，则l⊥m B．若l⊥m，m?α，则l⊥αD．若l∥α，m，C．若l∥mm?α，则l∥α?α，则l∥m解析：选A对于A，若l⊥α，m?α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m?α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m?α，则l∥α或l?α，故C不正确；对于D，若l∥α，m?α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确．故选A.22＝25的切线l，直线m：ax－31)x(－2)＋(y－y＝0与切线l平：作圆－P4.过点(2,4)C行，则切线l与直线m间的距离为()A．4 2．B128 C. D.55．1－14，∴切线＝上，∴切线l的斜率k＝－＝解析：选A根据题意，知点P在圆C k34－1CP2＋24xl平行，∴直线m的方程为4yx－3＋20＝0.又直线m与切线l的方程为y－4＝(x＋2)，即4320|－|04.＝＝y＝0.故切线l与直线m间的距离d3－22?－34＋?为空间两个不同的平面，则下列命题中正确的βb为空间两条不同的直线，α，5．设a，)是(，使得b平行于ab A．若a不平行于α，则在α内不存在，使得b垂直于a．若a不垂直于α，则在α内不存在b B ，使得a平行于αα不平行于β，则在β内不存在a C．若a垂直于α不垂直于β，则在β内不存在a，使得D．若α错误；若，故A，使得α内存在bb∥a解析：选D若a不平行于α，则当a?α时，在，不平行于βa，故B错误；若α内存在直线α，则当a?α时，在αb，使得b⊥不垂直于a正确，故选D∥α，故C错误；由平面与平面垂直的判定定理知a 则在β内存在直线，使得a D.)6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(21 B.＋πA.＋π3321 D. ＋2π2πC.＋33由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据选A解析：111112π.π，∴V＝π＝，半圆柱的体积V ＝××1＋×2＝×2＝可得三棱锥的体积V×××112133223AB，＝AB＝3，AC4个顶点都在球CA7．已知直三棱柱ABC-B的6O的球面上，若111)的半径为(＝⊥AC，AA，则球12O11732．10 A. B21310C. 3 ．D2．的垂线，则垂足为解析：选C如图所示，由球心作平面ABC115的半径为，所以球O＝AA＝6BC的中点M.又AM＝BC＝，OM1222513??22.R＝OA＋＝6＝??22PB0(k>0)PA，上一动点，(x，y)是直线kx＋y＋4＝P8．已知点22的，则kPACB的最小面积是y2－2y＝0的两条切线，A，B是圆C：x是切点，若四边形＋) 值为(21 B.3 A．22．DC．2222S，半径r＝1y＋，由圆的性质知－2y＝0的圆心为(0,1)解析：选D圆C：x PACB四边形1dd是切线长)，∴＝PACB的最小面积是2，∴S的最小值为1rd(＝2S，∵四边形PBCPBC最小△△222 |的最小值，5.∵圆心到直线的距离就是＝2|＋1PC＝PC＝2，||最小值值5＝5，∵k>0，∴|＝k＝2，故选D. ∴|PC最小值2k1＋二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半22＝1. y－C的标准方程为x1)＋(径为1，于是圆22＝1y－答案：x1)＋(10．已知l，l是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l，l间的距离最2112大时，直线l的方程是________．1解析：当直线AB与l，l均垂直时，l，l间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，∴k AB2211－1－11＝2＝，∴kl＝－.121－01∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，12即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝011．已知在直三棱柱ABC-ABC中，∠ACB＝90°，AA＝2，AC＝BC＝1，则异面直线1111AB与AC所成角的余弦值是________．1解析：由于AC∥AC，所以∠BAC或其补角就是异面直线AAC与B11111．22＋ABC，BC＝＝5，所以AC所成的角．连接BC，在△BA中，AB1＝6，AC＝111111111162. ＝90°，即∠BC，所以cos∠BACABC＝1111166 答案：6220－6x－＋y2＝yaP12．已知点(a，b)关于直线l 的对称点为P′(b＋1，－1)，则圆C：x．C′的公共弦的长度为________C′的方程为________；圆C与圆关于直线l对称的圆22(3,1)10，由已知结论可得圆心C(y－1)解析：将圆C的方程化为标准形式为(x－3)＝＋22将两圆方程相减消＝(y－2)2)关于直线l的对称点C′为(2,2)，故所求圆的方程为(x－10.＋1??238. ＝101去平方项可得公共弦所在直线的方程为x－y－＝0，故弦长为－2??22238＝10x(－2)－＋(y2)答案：π＝a，则0，若直线l的倾斜角为，直线ax＋y－1＝0l：x－y－3＝：13．已知直线l1214 ．l，则两平行直线间的距离为________l________；若l⊥l，则a＝________；若∥2211ππ＝1，的倾斜角为解析：由直线l，得－a＝tan1441.∴a＝－1.a＝由l⊥l，得－a×1＝－1，∴21＝y的方程为x－＋1＝0，故两平行直线间的距离d＝－由l∥l，得a1，∴直线l112|3|1－??－2. 2＝222答案：－11轴正半轴交于yx轴相切于点T(1，0)，与C14.如图，已知圆与2.)，且|AB|＝B两点A，B(在A的上方圆C的标准方程为________；(1) ．轴上的截距为________x(2)圆C在点B处的切线在的半径中，易得圆BDCAB(1)记的中点为D，在C Rt△解析：C的坐标为r＝BC＝2.因此圆心222.－2)＝－2)，所以圆C的标准方程为(x1)(＋，(1，所以1的斜率为－BC，所以直线2)，(1的坐标为C，1)＋2，(0的坐标为B因为点(2)．－，故切线在x2y＝x轴上的截距为－＋2＋1所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为1.22－2－y(2)－2)1＝－答案：(1)(x1)2＋(15．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为(填写编号)________，此四面体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体的正视图是一个正方形，其顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(0,2,2)且一条对角线(左下右上)可见，另一条对角线(左上右下)不可见，故正11视图为③，同理，侧视图和俯视图都为②.此四面体体积为V＝2×2×2－4××2××2×2328＝. 38答案：③②②3三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O的直径，1AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF?平面ABC，BC?平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.又BC是圆O的直径，所以|OB|＝|OC|.，6＝|AC|＝|AB|又．2. 6BC|＝所以OA⊥BC，|2.3OF|＝|OA＝|OB|＝|OC|＝|所以|轴，建x轴，y轴，z如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为立空间直角坐标系，，(0,0,8)，E32，8)32，0,0)，D(0则A(0，－，－32，0)，B，(320,0)，C(－(0,32，0)F．17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧棱垂直于111底面，AB⊥BC，E，F分别是AC，BC的中点．11(1)求证：平面ABE⊥平面BBCC；11(2)求证：CF∥平面ABE. 1证明：(1)由题设知，BB⊥AB，1又AB⊥BC，BB∩BC＝B，所以AB⊥平面BBCC. 111因为AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面BBCC.11(2)取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是AC，BC的中点，111所以FG∥AC，且FG＝AC.2因为AC∥AC，且AC＝AC，1111所以FG∥EC，且FG＝EC，11所以四边形FGEC为平行四边形，1所以CF∥EG.1又因为EG?平面ABE，所以CF∥平面ABE.118．(本小题满分15分)光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．y3＋2＋x?00?，1＝0＋＋22?解得)，则x的对称点为A解：设点(2,3)关于直线lA′(，y003y－0??，＝12－x0．3)，－4－(′A．，所以反射光线所在直线的方程为，－－43)和B(1,1)由于反射光线所在直线经过点A′(31＋0. －5y＋1＝y－1＝(x－1)·，即4x41＋，0＋1＝4x－5y?12???，－－P. 解方程组得反射点???33，1＝0yx＋＋??所以入射光线所在直线的方程为1＋330.＝y＋2(x－2)·，即5x－43y－＝2＋23，CDAB∥本小题满分15分)已知四棱锥P-ABCD如图所示，19．(PAB为等边三角形．CD＝2，＝PD＝1，△BC⊥CD，AB＝BC PAB；(1)证明：PD⊥平面A 的余弦值．(2)求二面角P-CB-.证明：如图，连接BD解：(1) 2，，而PD＝1，AP中，易知在梯形ABCDAD＝＝5222＋AP，＝ADPD所以PA，则PD⊥，同理PD⊥PB.PABPB＝P，故PD⊥平面又PA∩，垂足为DM，DM，作PN⊥(2)如图，取AB的中点M，连接PM.BC，垂足为H，连接PH，再作NNH⊥，得AB⊥平面DPM，则由(1)，，所以PN⊥BC平面ABCD⊥平面DPM，所以PN⊥平面ABCD.PN⊥NH，⊥平面NPH，PN∩NH＝N，所以BC又NH⊥BC A的平面角．即∠NHP是二面角P-CB-3 ＝＝1，，NH中，∴在Rt△HNPPN2NH727 ，＝，cos∠NHP则PH＝PH7272的余弦值为-A即二面角P-CB. 722y＋C：x是圆上的动点，＋x3＋4y8＝0PA，PB是直线已知分本小题满分．20(15)P－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．面积的最小值；PACB求四边形(1)．点的坐标；若不存在，请说PAPB＝60°？若存在，求出(2)直线上是否存在点P，使得∠明理由．P上，可设＋8＝0，由P点在直线3x＋4yPC解：(1)如图，连接3??x2－x，－点坐标为. ??422＝11)，＋(y－1)(因为圆C的标准方程为x－1|.＝|AP|AP|×|AC|所以S＝2S＝2××PACPACB△四边形22222222)|－＝(1|PC|x最小时，|AP|最小．因为|因为|AP||＝PC|PC－|CA|＝|PC|，所以当－1534????2211＋2＋xx＋＋x＝－时，＋9.所以当＝????44522面积的最小值为2.2，即四边形＝9－1＝PACB||PC|＝9.所以AP|2minmin(2)假设直线上存在点P满足题意．因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.设P(x，y)，则22，＝1?4x－1?＋?y－????，08＝＋3x4y＋??2＋40x＋96＝x整理可得250，2－4×25×96<0. 40Δ所以＝所以这样的点P是不存在的．。
高中数学空间几何体单元测试 新课标 人教版 必修2(A)
高中数学空间几何体单元测试 新课标 人教版 必修2(A)一、选择题1. 正n 棱锥的侧棱始终大于底面边长，则自然数n 为 ( ) A ．不大于3的自然数． B ．大于4的自然数． C ．大于5的自然数． D ．只能是6．2. 如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ） A ．π2B ．π23C ．π332 D ．π213. 用一张钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体水箱．可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各项所示，单位均为m ）．若既要够用，又要所剩够用，则应选择钢板的规则是 （ ）A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5 4. 在∆ABC 中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120︒（如图）．若将∆ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A.π29B.π23 C. π25 D. π23 5. 已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 ( B ) A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 6. 底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P —ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．π4B ．34πC ．π2D ． π37. 设棱锥的底面面积为8cm 2，那么这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是 （ ） A ．4cm 2 B ． C ．2cm 2 D ．8. 在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）9. 棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 ( )A.33a B 43a C.63a D.123a10. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）222cm 22cmA ．3πB ．4πC ．π33D ．6π11. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，下面的几个截面图中，必定错误的是 ( )A. B. C. D.12. 一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是 （ ）A ．正五棱锥B ．斜三棱柱C ．正三棱柱D ．直三棱柱 二、填空题13. 有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的面积之比为__________.14. 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，则它的体积与正方体体积之比为 .15．如图，在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱侧面积的最大值为 ．16．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，BC =CC 1，当底面△A 1B 1C 1满足条件 时，有AB 1⊥BC 1．（注：填上你认为正确的一种条件即可）三、解答题17. 已知命题：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 所成角分别为βα、，则1cos cos 22=+βα．若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式.18. 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积与体积.19.球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积．20.在体积为V的斜三棱柱ABC—A′B′C′中，已知S是侧棱C′C上的一点，过点S、A、B的截面截得的三棱锥的体积为V1，求过点S、A′、B′的截面截得的三棱锥的体积(用V、V1表示)21. 如图，已知正方体AC l的棱长为a，E、F分别为棱AA 1与CC1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．22. 设圆锥的底面半径和高分别为r 、h ，若圆锥的体积等于它的内切球的体积的2倍，求h ∶r 的值，并求圆锥的底面积与内切球的表面积之比．【同步练习33答案】1.C2.C3.C4.D5.B6.D7.C8.B9.C 10.A 11.B 12.A 13. 1∶2∶3 14.3115. πR 2 16. A 1C 1⊥B 1C 117. 长方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与棱11111D A B A A A 、、所成的角分别为γβα、、，则1cos cos cos 222=++γβα，2sin sin sin 222=++γβα．或是：长方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面D A C A B A 1111、、所成的角分别为γβα、、，则2cos cos cos 222=++γβα，1sin sin sin 222=++γβα．或是：长方体C A 1中，对角面11ACC A 与平面1111ADD A ABB A 、所成的二面角分别为βα、，则1cos cos 22=+βα． 18.19.20.131V V -.22.。
2019-2020人教A版数学必修2章末综合测评1 空间几何体
章末综合测评(一)空间几何体(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是()A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥组成的组合体D[直角三角形的斜边为旋转轴，所得几何体是两个圆锥．]2．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是()A B C DA[由几何体的直观图的画法及主体图形中虚线的使用，知A正确．]3．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()A B C DA[由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．]4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm，4 cm，则该棱柱的侧面积为()A ．24 cm 2B ．36 cm 2C ．72 cm 2D ．84 cm 2 C [棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)．]5．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1ACD 的体积是( )A ．16B ．13C ．12 D ．1A [三棱锥D 1ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12×1×1×1＝16.]6．棱锥被平行于底面的平面所截， 若截面面积与底面面积之比为1∶2, 则此棱锥的高被分成的两段之比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶(2＋1)D ．1∶(2－1)D [借助轴截面， 利用相似的性质， 若截面面积与底面面积之比为1∶2, 则对应小棱锥与原棱锥高之比为1∶2，被截面分成两段之比为1∶(2－1)．]7．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [设两球的半径分别为R ，r (R >r ), 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎨⎧R ＝2，r ＝1.故R －r ＝1.] 8．如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 的位置有关B ．与点Q 的位置有关C ．与点E ，F ，Q 的位置都有关D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值D [V A ′EFQ ＝V Q A ′EF ＝13×12×EF ×AA ′×A ′D ′，所以其体积为定值，与点E ，F ，Q 的位置均无关．]9．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm , 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中， 则水面高度为( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cmD ．3312cmB [由题设可知两种器皿中的水的体积相同，设圆锥内水面高度为h ，圆锥的轴截面为正三角形，可设边长为a, 由图可得，h 32 a ＝r 12 a， 所以r ＝33 h . 故V 圆柱＝6×π×22＝24π(cm 3)，V 圆锥＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫33 h 2·h ，又V 圆柱＝V 圆锥， 所以h ＝6 cm.] 10．已知三棱锥S -ABC 的三条侧棱两两垂直， 且SA ＝2, SB ＝SC ＝4, 则该三棱锥的外接球的半径为( )A ．3B ．6C ．36D ．9A [因为三棱锥S -ABC 的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S -ABC 的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线，所以外接球的半径为1222＋42＋42＝3.]11．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD＝a, 则三棱锥D-ABC的体积为()A．a36B．a312C．3a312D．2a312D[在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD＝a, 则三棱锥DABC为正四面体，D在底面的射影为正三角形的中心O, h＝OD＝DE2－OE2＝34a2－112a2＝63a, 所以三棱锥D-ABC的体积为V＝13Sh＝13·34a2·63a＝2a312.]12．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256πC[如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V OABC ＝V CAOB＝13×12R2×R＝16R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为________ cm2.16π [圆柱的底面半径为r ＝12×4＝2，故S 侧＝2π×2×4＝16π.]14．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分所示，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则可能的位置编号为________．1，4，5 [第六个正方形在正方体中恰好和编号为2的正方形相对，翻折可知其可能的编号为1，4，5.]15．如图，在多面体ABCDEF 中， 四边形ABCD 是边长为3的正方形， EF ∥AB ，EF ＝32， 且点E 到平面ABCD 的距离为2, 则该多面体的体积为________．152 [连接EB , EC , 将多面体分为两部分. 不妨设EF ⊥FB , EF ⊥FC , 则多面体的体积为V ＝V 1＋V 2＝13S 1h 1＋13S 2h 2＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫9×2＋12×3×2×32＝152.] 16．如图， 在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．1∶24 [因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点， 所以S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4. 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍，即三棱柱A 1B 1C 1ABC的高是三棱锥F -ADE 高的2倍， 所以V 1∶V 2＝13S △ADE ·h S △ABC ·H ＝124＝1∶24.]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm ，求圆锥的母线长 .[解] 如图，设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底面的半径分别为r 、R . 因为l －10l ＝r R ，所以l －10l ＝14，所以l ＝403 cm.即圆锥的母线长为403 cm.18．(本小题满分12分)如图， △A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图， C ′A ′＝2, B ′D ′∥y ′轴且B ′D ′＝1.5.(1)将其恢复成原图形，并画出来； (2)求原平面图形△ABC 的面积．[解] (1)画法：①画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′； ②在x 轴上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′； ③连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′的原图形，如图所示．(2)因为B ′D ′∥y ′轴，所以BD ⊥AC . 又B ′D ′＝1.5且A ′C ′＝2，所以BD ＝3，AC ＝2.所以S △ABC ＝12BD ·AC ＝3.19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm ，底面三角形的边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V .[解] V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1＝3×42×6＝36(cm 3)．设圆柱底面圆的半径为r ，则 r ＝2S △ABCAB ＋BC ＋AC ＝2×12×3×43＋4＋5＝1， V圆柱OO 1＝πr 2h ＝6π(cm 3)．所以V ＝V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1－V 圆柱OO 1＝36－6π(cm 3)． 20．(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H , 在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时， 圆柱的侧面积最大？[解] (1)设圆柱的底面半径为r , 则它的侧面积为S ＝2πrx , r R ＝H －xH ，解得r＝R －RH x ，所以S 圆柱侧＝2πRx －2πRH x 2. (2)由(1)知S 圆柱侧＝2πRx －2πRH x 2， 在此表达式中， S 圆柱侧为x 的二次函数， 因此，当x ＝H2时， 圆柱的侧面积最大．21．(本小题满分12分)正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，连接SE ，则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′. 因为S 侧＝2S 底，所以12×3a ×h ′＝34a 2×2， 所以a ＝3h ′.因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2， 所以32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2， 所以h ′＝23，所以a ＝3h ′＝6， 所以S 底＝34a 2＝34×62＝93， 所以S 侧＝2S 底＝183， 则S 表＝S 侧＋S 底＝27 3.22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD 的长； (2)容器的容积．[解] (1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180·72，2πr ＝60·π180（72－x ），72－x ＝3R .∴R ＝12，r ＝6，x ＝36， ∴AD ＝36 cm. (2)圆台所在圆锥的高 H ＝722－R 2＝1235， 圆台的高h ＝H2＝635， 小圆锥的高h ′＝635，∴V 容＝V 大锥－V 小锥＝13πR 2H －13πr 2h ′＝50435π.。
(人教A版)高一数学必修二第《空间几何体》单元测试卷A(含答案)
17．解：由已知得，该几何体为一个棱台，其侧面的高h′＝ ＝ .
故S＝S上底＋S下底＋S侧面＝22＋42＋4× ×(2＋4)× ＝20＋12 ，
所以该几何体的表面积为20＋12 ，
6．D[解析]易知V＝1－8× × × × × ＝ .
7．C[解析]由图可知，该几何体由圆柱和正四棱锥组合而成，圆柱的体积为π×12×2＝2π，正四棱锥的体积为 ×( )2× ＝ ，故该几何体的体积为2π＋ .
8．A[解析]将三棱锥补成边长分别为1， ， 的长方体，则长方体的体对角线是其外接球的直径，所以2R＝ ，解得R＝ ，故S＝4πR2＝6π.
17．(10分)已知某几何体的三视图如图D18所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．
图D18
18．(12分)如图D19所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm.现有制作这种纸篓的塑料制品50m2，问最多可以做这种纸篓多少个？
13. [解析]因为正方体的体对角线长为其外接球的直径，所以2r＝2 ，故r＝ .
14. [解析]该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球，其体积V＝π×12×1－ π×13× ＝ .
15．2 [解析]该三棱锥的直观图如图所示，并且PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝ ，PA＝ ＝2 ，PC＝ ＝ ，故PA最长．
9．D[解析]由正视图可知，三棱柱是底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以其侧面积为3×2×1＝6.
10．C[解析]该零件可看成由两个圆柱组成的组合体，其体积V＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积V毛坯＝π×32×6＝54π(cm3)，被切削掉部分的体积V切＝V毛坯－V＝54π－34π＝20π(cm3)，所以 ＝ ＝ .
2019_2020学年高中数学第一章空间几何体章末质量检测(含解析)新人教A版必修2
章末质量检测(一) 空间几何体一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )A．20条 B．15条C．12条 D．10条解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，五棱柱共有对角线2×5＝10条．答案：D3．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B4．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( ) A．4S B．4πSC．πS D．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.答案：C5．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为( ) A．18 3 cm2 B．18 cm2C．12 3 cm2 D．12 cm2解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为34a2 cm2，易求得高为63a cm，则体积为13×34a2×63a＝212a3＝9，解得a＝32，所以其表面积为4×34a2＝183(cm2)．答案：A6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A．16πB．32π C．36πD．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案：A7．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.答案：A8．球O 的截面把垂直于截面的直径分成1：3两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )A ．16π B.16π3C.32π3D ．43π 解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的半径R ＝2，故V ＝43π·R 3＝323π.答案：C9．[2019·湖北省黄冈中学检测]已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积是( )A.233＋π B.233＋2π C ．23＋π D．23＋2π解析：由直观图可知该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成，故其体积V ＝12π×12×2＋12×2×3×2＝π＋2 3. 答案：C 10.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V多面体P－BCC1B1＝13S正方形BCC1B1·PB1＝13×42×1＝163.答案：B11．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为( )A．1：2：3 B．1：3：5C．1：2：4 D．1：3：9解析：如图，由题意知O1A1O2A2OA＝1：2：3，以O1A1，O2A2，OA为半径的圆锥的侧面积之比为1：4：9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1：(4－1)：(9－4)＝1：3：5.答案：B12．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122π B．12πC．82π D．10π解析：过直线O1O2的截面为圆柱的轴截面，设底面半径为r，母线长为l，因为轴截面是面积为8的正方形，所以2r＝l＝22，所以r＝2，所以圆柱的表面积为2πrl＋2πr2＝8π＋4π＝12π.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体14．[2019·甘肃省兰州市校级检测]若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________．解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6. 答案：2＋22＋ 6 15.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，高为5，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为________．解析：如图所示，将三棱柱沿AA 1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝13.答案：1316．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆⊙O 1和外切圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，△ABC 的边长为23，于是知圆锥的底面半径为3，高为3.故所求体积为V ＝13×π×3×3＝3π.答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图(单位：cm)．按照给出的数据，求该几何体的体积．解：该几何体的体积V ＝V 长方体－V 三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．18．(12分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．19．(12分)如图所示，在多面体FE ABCD 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积V .解析：如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线AG ，BH ，垂足分别为G ，H .连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12.所以AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24， V ＝V E ADG ＋V F BHC ＋V AGD BHC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×24×2＋24×1＝23. 20．(12分)用一张相邻边长分别为4 cm,8 cm 的矩形硬纸片卷成圆柱的侧面(接缝处忽略不计)，求该圆柱的表面积．解析：有两种不同的卷法，分别如下：(1)如图①所示，以矩形8 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA ＝4，则OA ＝r 1＝2π cm ，∴两底面面积之和为8π cm 2，∴S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋8π cm 2，即该圆柱的表面积为⎝⎛⎭⎪⎫32＋8πcm 2.(2)如图②所示，以矩形4 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OB ＝8，则OB ＝r 2＝4π cm ，∴两底面面积之和为32π cm 2，∴S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32πcm 2，即该圆柱的表面积为⎝⎛⎭⎪⎫32＋32πcm 2.21．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a26a2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.22．(12分)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球的表面积之比．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3r ＝2R∴13π(2R )2·h ＝43πR 3，∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝r 2＋h 2＝5h ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2h ×5h ＝25πh 2，S 球＝4πR 2＝4πh 2，∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52.。
2019-2020学年高中数学人教A版(浙江专版)必修2讲学案：第一章 1.1 空间几何体的结构
第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2～4，思考并完成以下问题1．空间几何体2．空间几何体的分类3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥( )(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( )答案：(1)√(2)×(3)×2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)[典例]下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.[答案] C[活学活用]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④棱柱的侧棱总与底面垂直．其中正确说法的序号是________．解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③.答案：③[典例](1)①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．[解析](1)本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．[答案] (1)A (2)0[活学活用]用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[活学活用]下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )解析：选C将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．层级一学业水平达标1．下面的几何体中是棱柱的有( )A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是( )A．①③B．①③④C．①②④D．①②解析：选C根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．下列图形中，是棱台的是( )解析：选C由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5 6 98．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.答案：129．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.如图所示是一个三棱台ABC-A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC-A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′-ABC，B-A′B′C′，A′-BCC′.(答案不唯一)层级二应试能力达标1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.2．下列说法正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.4．棱台不具有的性质是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都相交于一点解析：选C只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC ＝________.解析：将平面图形翻折，折成空间图形， 可得∠ABC ＝60°. 答案：60°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A -A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A -CB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A -A 1DC ，故填①③④⑤.答案：①③④⑤7.如图在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？ 解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2.8.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.第二课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征预习课本P5～7，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、球[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．2．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[点睛]要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱( )(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台( )(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．圆锥的母线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条答案：D3.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．[典例]给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．[解析](1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．[答案](1)(2)[活学活用]给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④[典例]将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥[解析]图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆柱、两个圆锥．[答案] D1.如图所示的简单组合体的组成是( ) A ．棱柱、棱台 B ．棱柱、棱锥 C ．棱锥、棱台D ．棱柱、棱柱解析：选B 由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．2.如图，AB 为圆弧BC 所在圆的直径，∠BAC ＝45°.将这个平面图形绕直线AB 旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．[典例cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且PA ＝40cm ，B 1Q ＝30cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解] 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)， QS ＝A 1B 1＝10π(cm)． ∴PQ ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.如图，一只蚂蚁沿着长AB＝7，宽BC＝5，高CD＝5的长方体木箱表面的A点爬到D点，则它爬过的最短路程为________．解：蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，在图1中AD＝AC2＋CD2＝122＋52＝13，在图2中AD＝AB2＋BD2＝72＋102＝149，∵149<13，∴蚂蚁爬过的最短路程为149.层级一学业水平达标1．如图所示的图形中有( )A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2．下列命题中正确的是( )A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：选C将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台解析：选C由球的定义知选C.4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )A．4πB．8πC．2πD．π解析：选C边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，根据三角形相似的性质，得33＋x＝r4r，解得x＝9.答案：98．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B 错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C 错误．故选D.2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( ) A ．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D 该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故D 说法不正确．3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A ．2 B ．2π C.2π或4π D.π2或π4解析：选C 如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2π.所以选C.4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①⑤解析：选D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球． 解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥． 答案：①②③⑤6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝43 cm.答案：437．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r .将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO ＝30°. 在Rt △BO ′A ′中，rBA′＝sin 30°，∴BA ′＝2r . 在Rt △BOA 中，2rBA ＝sin 30°，∴BA ＝4r . 又BA －BA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S ＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.8．圆锥底面半径为1 cm ，高为2 cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．解：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC 1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝2 cm ，OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ，∴AA1SO＝EA1EO，即x2＝1－22x1.∴x＝22，即该内接正方体的棱长为22cm.。
高中数学人教A版必修2一课三测：综合测评(一) 空间几何体
综合测评(一)空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．观察图中的四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱解析：图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D都不正确，故选C.答案：C3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：通过对比选项可知，对于选项A ，D ，俯视图应有一条中线，和题中给出的俯视图不一致，故排除A ，D ；从俯视图可以观察得到该几何体的一条侧棱在正视图中看不见，应该为虚线，故排除B.答案：C4．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中O ′A ′＝2，∠B ′A ′O ′＝45°，B ′C ′∥O ′A ′.则原平面图形的面积为( )A ．3 2B ．6 2 C.32 2 D.34解析：因为O ′A ′＝2，∠B ′O ′A ′＝∠B ′A ′O ′＝45°， 所以O ′B ′＝2，又B ′C ′∥O ′A ′， 所以∠C ′B ′O ′＝45°，∠O ′C ′B ′＝90°， 所以B ′C ′＝1，所以原图形为梯形，其上底为1，下底为2，高为22，所以S ＝(1＋2)×222＝3 2.答案：A5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D ．1 解析：本题主要考查三视图以及棱锥体积的求法．根据三视图，该三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积V ＝13×(12×1×1)×2＝13，故选B.答案：B6．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3解析：本题考查三视图与几何体的体积计算．由题意可知此几何体为一个长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去一个三棱锥A －DEF 后剩下的部分，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6 cm,3 cm,6 cm ，故其体积为6×3×6＝108(cm 3)．三棱锥的三条棱AE ，AF ，AD 的长分别为4 cm,4 cm,3 cm ，故其体积为13×⎝⎛⎭⎫12×4×3×4＝8(cm 3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm 3)，故选B.答案：B7．己知圆锥的高为16 cm ，底面积为512 cm 2，平行于圆锥底面的截面面积为50 cm 2，则截面与底面的距离为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．11 cmD ．25 cm解析：本题考查圆锥中平行于底面的截面的性质．设截面与底面的距离为h cm ，则⎝⎛⎭⎫16－h 162＝50512，得h ＝11，故选C. 答案：C8．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9π D.27π4解析：本题主要考查球的表面积、棱锥的性质．如图所示，设球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥的底面中心为O ′. ∵正四棱锥P －ABCD 中AB ＝2， ∴AO ′＝ 2.∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4，故选A. 答案：A 9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是( )A ．22πR 2 B.94πR 2C.83πR 2D.52πR 2解析：如图所示为组合体的轴截面，记BO 1的长度为x ，由相似三角形的比例关系，得PO 13R ＝xR，则PO 1＝3x ，圆柱的高为3R －3x ，所以圆柱的表面积为S ＝2πx 2＋2πx ·(3R －3x )＝－4πx 2＋6πRx ，则当x ＝34R 时，S 取最大值，S max ＝94πR 2.故选B.答案：B 10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设圆锥底面半径为r ， 因为米堆底部弧长为8尺，所以π2r ＝8，r ＝16π≈163(尺)，所以米堆的体积为V ＝14×13×π×⎝⎛⎭⎫1632×5≈3209(立方尺)， 又1斛米的体积约为1.62立方尺，所以该米堆有3209÷1.62≈22(斛)，选B.答案：B11．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°(如图所示)，若将△ABC 绕BC 边所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A.9π2B.7π2C.5π2D.3π2解析：本题考查旋转体的体积计算．如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD 与圆锥BD 的体积之差，由已知求得BD ＝1，AD＝3，CD ＝52.所以V ＝V 圆锥CD －V 圆锥BD ＝13×π×(3)2×52－13×π×(3)2×1＝3π2，故选D.答案：D12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 和△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为( )A.43π27B.6π2C.6π8D.6π24解析：因为ABCD 为等腰梯形，AB ＝2DC ，E 为AB 的中点，所以AD ＝DE ＝CE ＝BC ， 又∠DAB ＝60°，所以△ADE ，△DCE ，△CEB 均为边长为1的正三角形， 故翻折后的三棱锥P －DCE 为正四面体，其高PO 1＝1－⎝⎛⎭⎫32×232＝63， 设球的半径为R ，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫63－R 2＋⎝⎛⎭⎫332，得R ＝64，所以V ＝68π，故选C.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如果用半径为R ＝23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．解析：设圆锥筒的底面半径为r ，则2πr ＝πR ＝23π，则r ＝3，所以圆锥筒的高h ＝R 2－r 2＝(23)2－(3)2＝3. 答案：314．已知三棱锥P －ABC ，若P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝2，PB ＝PC ＝1，则三棱锥P －ABC 的内切球的表面积为________．解析：由题意，设三棱锥P －ABC 的内切球的半径为r ，球心为O ，则由等体积得V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥O －P AB ＋V 三棱锥O －P AC ＋V 三棱锥O －PBC ＋V 三棱锥O －ABC ， 即13×12×2×1×1＝13×12×2×1×r ×2＋13×12×1×1×r ＋13×12×2× 5－12×r ， 解得r ＝14.故内切球的表面积为4πr 2＝π4.答案：π415．如图，啤酒瓶的高为h ，瓶内酒面高度为a ，若将瓶盖盖好后将啤酒瓶倒置，酒面高度变为a ′(a ′＋b ＝h )，则啤酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为________．(用a 和b 表示)解析：本题考查创新思维的应用及圆柱体积的计算．设啤酒瓶的底面积为S ，啤酒瓶的容积为V ，瓶内酒的体积为V 1，则V 1＝Sa ，V －V 1＝Sb ，即得V ＝V 1＋Sb ＝Sa ＋Sb ＝S (a ＋b )⇒VV 1＝S (a ＋b )Sa ＝a ＋b a.答案：(a ＋b )a 16．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝b (b <a )．若Q 是CD 上的动点，则三棱锥Q －D 1EF 的体积为________．解析：VQ －D 1EF ＝VD 1－QEF ＝13S △QEF ·DD 1＝13×12b ×a ×a ＝16a 2b . 答案：16a 2b三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个正方形．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)．(2)求这个几何体的体积． 解析：(1)直观图如图．(2)这个几何体是一个四棱锥，它的底面正方形边长为2，高为3，所以体积V ＝13×22×3＝433.18．(本小题满分12分)如图所示，设圆台的高为3，在轴截面中母线AA 1与底面圆的直径AB 的夹角为60°，轴截面中对角线A 1B 垂直于AA 1，求圆台的体积．解析：设上、下底面半径、母线长分别为r ，R ，l .作A 1D ⊥AB 于D ，则A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°.又由题意得∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°.∴AD ＝A 1D ·1tan60°，BD ＝A 1D ·tan60°，∴R －r ＝3×33＝3，R ＋r ＝3×3＝3 3.∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3，∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.∴圆台的体积为21π.19．(本小题满分12分)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)．(1)求此几何体的表面积． (2)求此几何体的体积．解析：(1)如图，依题意可知四棱锥P －ABCD 是此几何体的直观图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AB 与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是正方形，△P AD ≌△PBC ，△P AB 是等腰三角形，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，连接PM ，PN ，MN ，由题知PM ＝AB ＝4，MN＝4，PN ＝42，故此几何体的表面积为S ＝S 正方形ABCD ＋S △P AB ＋2S △PBC ＋S △PCD ＝4×4＋12×4×4＋2×12×4×25＋12×4×42＝(24＋85＋82)cm 2.(2)几何体的体积为V ＝13×4×4×4＝643(cm 3)．20．(本小题满分12分)如图所示，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解析：由题意得如图，设圆台上、下底面半径分别是r 1，r 2，过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD ，CD ＝22得∠EDC ＝45°，r 1＝CE ＝2.则CF ＝4，BF ＝3，由CF ⊥AB ，得BC ＝5，r 2＝AB ＝5，所以S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 ＝π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(60＋42)π. V ＝V 台－V 锥 ＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)AE －13πr 21DE ＝13π(22＋2×5＋52)×4－13π×22×2＝1483π. 21．(本小题满分12分)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，求几何体EFC 1－DBC 的体积．解析：连接DF ，DC 1，BC 1，则几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1， 所以几何体EFC 1－DBC 的体积 V ＝VD －EFC 1＋VD －CBFC 1 ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6 ＝12＋54＝66，故几何体EFC 1－DBC 的体积为66.22．(本小题满分12分)如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等．铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.(单位：mm ，加工中不计损失)．(1)若钉身高度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积．(2)若每块钢板的厚度为12 mm ，求钉身的长度(结果精确到1 mm)．解析：(1)设钉身的高为h ，钉身的底面半径为r ，钉帽的底面半径为R ，由题意可知：圆柱的高h ＝2R ＝38 mm ，圆柱的侧面积S 1＝2πrh ＝760π，半球的表面积S 2＝12×4πR 2＋πR 2＝1 083π(mm 2)，所以铆钉的表面积S ＝S 1＋S 2＝760π＋1 083π ＝1 843π(mm 2)． (2)V 1＝πr 2·h 1＝100×24×π ＝2 400π(mm 3)，V 2＝12×43×π×R 3＝23×193×π＝13 718π3(mm 3)，设钉身长度为l ，则V 3＝πr 2·l ＝100πl ，由于V 3＝V 1＋V 2，所以2 400π＋13 718π3＝100πl ，解得l ≈70 mm.由Ruize收集整理。
2019年人教版A数学必修二章末综合测评1 空间几何体
章末综合测评(一)空间几何体(建议用时：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()【导学号：07742078】A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等B[A不正确，棱柱的侧面都是四边形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等；B正确．]2．棱锥的侧面和底面可以都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形A[三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A.]3．如图1所示的组合体，其构成形式是()图1A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体D[根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．]4．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )A B C DA [由几何体的直观图的画法及主体图形中虚线的使用，知A 正确．] 5．如图2，A ′B ′C ′D ′为各边与坐标轴平行的正方形ABCD 的直观图，若A ′B ′＝3，则原正方形ABCD 的面积是( )图2A ．9B ．3 C.94D ．36A [由题意知，ABCD 是边长为3的正方形，其面积S ＝9.]图36．如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1-ACD 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1A [三棱锥D 1-ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12×1×1×1＝16.]7．已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S ，则圆锥的底面面积是( )A ．2S B.S 2 C.2S D.22S B [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l . 则由题意，得S ＝12πl 2，S ＝πrl ，所以12πl 2＝πrl ， 于是l ＝2r ，代入S ＝πrl ，得S ＝2πr 2， 所以圆锥的底面面积πr 2＝S2.]8．圆台的母线长扩大为原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n 倍，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D.1n 倍A [由S 侧＝π(r ′＋r )l ，当r ，r ′缩小1n 倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．] 9．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.23π3 B ．23π C.73π6 D.73π3D[设上、下底面半径为r ′，r ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧πr ′2＝π，πr 2＝4π，π(r ′＋r )·l ＝6π，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ′＝1，r ＝2，l ＝2.圆台的高h ＝l 2－(r －r ′)2＝3，所以V 圆台＝13(π＋π·4π＋4π)·3＝73π3.]10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为( )A ．4π B.92π C ．3πD.72πB [设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.故选B.]11．已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为( )【导学号：07742082】A.2πB.1πC.2πD.πA [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，∵圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝πr 2＋2πr 2＝6， ∴r 2＝2π，即r ＝2π，故选A.] 12．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )【导学号：07742083】A.26B.36C.23D.22A [由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍．在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1， 如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，所以V S -ABC ＝2V O -ABC＝2×13×34×63＝26.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若一个圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r 1，r 2，且满足2l ＝r 1＋r 2，其侧面积为8π，则l ＝________.2 [S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l ＝2πl 2＝8π，所以l ＝2.]14．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．9π2 [设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝13R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13R 2，即R 2＝98.由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2.] 15．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝b (b <a )．若Q 是CD 上的动点，则三棱锥Q -D 1EF 的体积为________.【导学号：07742084】图416a 2b [VQ -D 1EF ＝VD 1-QEF ＝13S △QEF ·DD 1＝13×12b ×a ×a ＝16a 2b .]16．已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．24π [如图，正四棱锥O -ABCD 的体积V ＝13Sh ＝13(3×3)×OH ＝322，所以OH ＝322，在直角三角形OAH 中， OA ＝AH 2＋OH 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6， 所以表面积为4πr 2＝24π.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知正四棱台上底面边长为4 cm ，侧棱和下底面边长都是8 cm ，求它的侧面积．[解] 法一：在Rt △B 1FB 中， B 1F ＝h ′，BF ＝12(8－4)＝2(cm)， B 1B ＝8(cm)， ∴B 1F ＝82－22＝215(cm)，∴h ′＝B 1F ＝215(cm)，∴S 正棱台侧＝12×4×(4＋8)×215＝4815(cm 2)．法二：延长正四棱台的侧棱交于点P ，如图，设PB 1＝x (cm)， 则x x ＋8＝48，得x ＝8(cm)，∴PB 1＝B 1B ＝8(cm)， ∴E 1为PE 的中点， ∴PE 1＝82－22＝215(cm)．PE ＝2PE 1＝415(cm)，∴S 正棱台侧＝S 大正棱锥侧－S 小正棱锥侧 ＝4×12×8×PE －4×12×4×PE 1 ＝4×12×8×415－4×12×4×215 ＝4815(cm 2)．18．(本小题满分12分)如图5，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm ，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm ，5 cm ，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V .图5[解] V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1＝3×42×6＝36(cm 3)． 设圆柱底面圆的半径为r ，则 r ＝2S △ABCAB ＋BC ＋AC ＝2×12×3×43＋4＋5＝1， V 圆柱OO 1＝πr 2h ＝6π(cm 3)．所以V ＝V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1－V 圆柱OO 1＝36－6π(cm 3)．19．(本小题满分12分)如图6，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC ＝30°)图6[解] 过C 作CO 1⊥AB 于O 1，在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . AO 1＝AC ·sin 60°＝32R ，BO 1＝AB －AO 1＝R 2，∴V 球＝43πR 3. V 圆锥AO 1＝13·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·32R ＝38πR 3，V 圆锥BO 1＝13·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·12R ＝18πR 3， V 几何体＝V 球－V 圆锥AO 1－V 圆锥BO 1 ＝43πR 3－38πR 3－18πR 3＝56πR 3.20．(本小题满分12分)正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，连接SE ，则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′.因为S 侧＝2S 底，所以12×3a ×h ′＝34a 2×2， 所以a ＝3h ′.因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2， 所以32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2，所以h ′＝23，所以a ＝3h ′＝6， 所以S 底＝34a 2＝34×62＝93， 所以S 侧＝2S 底＝183， 则S 表＝S 侧＋S 底＝27 3.21．(本小题满分12分)已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切．(1)求球的半径； (2)求棱锥的表面积.【导学号：07742086】[解] (1)设球的半径为R ，球心为O ，正三棱锥A -BCD如图所示，其中F 为CD 的中点，OG ⊥AF 于点G ，AE 为正三棱锥的高，则OG ＝OE ＝R ，AE ＝1，BC ＝CD ＝BD ＝2 6.从而可得EF ＝13×32×26＝2，斜高AF ＝AE 2＋EF 2＝ 3.易知△AOG ∽△AFE ，∴1－R 3＝R2，∴R ＝6－2.(2)棱锥的表面积S ＝3×26×3×12＋26×32×26×12＝92＋6 3. 22．(本小题满分12分)如图7所示，有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．图7试求：(1)AD 的长； (2)容器的容积．[解] (1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180·72，2πr ＝60·π180(72－x ).72－x ＝3R .∴R ＝12，r ＝6，x ＝36， ∴AD ＝36 cm. (2)圆台所在圆锥的高 H ＝722－R 2＝1235，圆台的高h ＝H 2＝635，小圆锥的高h ′＝6 35，∴V 容＝V 大锥－V 小锥＝13πR 2H －13πr 2h ′＝504 35π.。
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（浙江专用）2019版高中数学章末检测卷（一）空间几何体新人教A版必修2一、选择题1.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的投影距左右两边距离相等，因此选B.答案 B2.下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)解析正方体的三视图都相同都是正方形，球的三视图都相同都为圆面.答案 D3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )解析 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原为空间几何体.由俯视图是圆环可排除A ，B ，C ，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D. 答案 D4.如图所示的正方体中，M 、N 分别是AA 1、CC 1的中点，作四边形D 1MBN ，则四边形D 1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )解析 四边形D 1MBN 在上、下底面的正投影为A ；在前后面上的正投影为B ；在左右面上的正投影为C ；故答案为D. 答案 D5.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3B.4πC.2πD.4π3解析 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1，球的体积V ＝4π3r 3＝4π3.故选D. 答案 D6.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋ 3C.21D.18解析由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示.因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.答案 A7.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A.108 cm 3B.100 cm3C.92 cm3D.84 cm 3解析 此几何体为一个长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被截去了一个三棱锥A －DEF ，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm 3).三棱锥的三条棱AE 、AF 、AD 的长分别为4、4、3，故其体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×3×4＝8(cm 3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm 3).答案 B8.已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22解析 利用三棱锥的体积变换求解.由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍.在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.答案 A9.(2015·全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为V A －A 1B 1D 1V B 1C 1D 1－ABCD ＝V A －A 1B 1D 1V A 1B 1C 1D 1－ABCD －V A －A 1B 1D 1＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.答案 D10.(2015·山东高考)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3D.2π解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.答案 C二、填空题11.底面直径和高都是4 cm 的圆柱的侧面积为________cm 2. 解析 ∵圆柱的底面半径为r ＝12×4＝2(cm).∴S 侧＝2π×2×4＝16π(cm 2). 答案 16π12.一个几何体的三视图如图所示，则它是一个________和________的组合体，其表面积是________.解析 由三视图可知该几何体是由公共底面的正四棱柱和正四棱锥构成，S 表＝32＋4×4×3＋4×12×3×52＝72.答案 正四棱柱 正四棱锥 7213.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm ，4 cm ，3 cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最短的对角线的长度是________，最长的对角线的长度是________.解析 两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为：77 cm ，7 2 cm ，5 5 cm. 答案77 cm 5 5 cm14.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2,由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32.答案 3215.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，则圆锥分成的三部分的侧面积之比为________，三部分的体积之比为________. 解析 如图所示，为该几何体的轴截面，S VO 2侧＝19S VO 侧，S VO 1侧＝49S VO 侧，V VO 2＝127V VO ，V VO 1＝827V VO .可得圆锥分成的三部分的侧面之比为1∶3∶5，三部分的体积之比为1∶7∶19.答案 1∶3∶5 1∶7∶1916.已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.解析 V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π.答案 24π17.一个几何体的正视图与侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，尺寸如图.则该几何体外接球的体积＝________，表面积＝________.解析 由三视图可知，该几何体是两底面半径分别为1和2、高为1的圆台，如图是圆台及其外接球的轴截面图，圆台的两底面圆心在球心O 的同侧，设OO 1＝h ，则h 2＋22＝R 2＝(h ＋1)2＋12，∴R 2＝5，∴S 球＝4πR 2＝20π，V 球＝43πR 3＝2053π.当圆台的两底面圆心在球心O异侧时，应有22＋h 2＝R 2＝12＋(1－h )2无解，综上知，球的表面积为20π，球的体积为2053π.答案2053π 20π 三、解答题18.如图所示，四棱锥V －ABCD 的底面为边长等于2 cm 的正方形，顶点V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.解 如图，连接AC 、BD 相交于点O ，连接VO ，∵AB ＝BC ＝2 cm ， 在正方形ABCD 中，求得CO ＝ 2 cm ， 又在直角三角形VOC 中，求得VO ＝14 cm ，∴V V －ABCD ＝13S ABCD ·VO ＝13×4×14＝4314(cm 3).故这个正四棱锥的体积为4314 cm 3.19.如图是一个边长为5＋2的正方形，剪去阴影部分得到圆锥的底面和侧面展开图，求该圆锥的体积.解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则依题意有14·2πl ＝2πr ，∴l ＝4r .又∵AC ＝OC ＋OA ＝2r ＋r ＋l ＝(2＋5)r ，且AC ＝2×(2＋5)， ∴(2＋5)r ＝(2＋5)×2，∴r ＝ 2.∴l ＝42，∴h ＝l 2－r 2＝30，∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π(2)2×30＝2303π.故该圆锥的体积为2303π.20.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥.求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积.解 (1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴六个面都是正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ， ∴S 三棱锥A ′－BC ′D ＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥A ′－BC ′D S 正方体＝33.(2)显然，三棱锥A ′－ABD 、C ′－BCD 、D －A ′D ′C ′、B －A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a＝13a 3. 21.如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形. (1)求该几何体的全面积； (2)求该几何体的外接球的体积.解 (1)由题意可知，该几何体是长方体， 底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm 2)，即几何体的全面积是64 cm 2. (2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d ，球的半径是r ，d ＝16＋16＋4＝36＝6(cm)，所以球的半径为r ＝3(cm).因此球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π(cm 3)，所以外接球的体积是36π cm 3.22.如图所示，有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).试求：(1)AD 的长； (2)容器的容积.解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180×72，72－x ＝3R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝12，x ＝36.即AD 应取36 cm. (2)∵2πr ＝π3·OD ＝π3·36，∴r ＝6 cm ，圆台的高h ＝x 2－（R －r ）2＝362－（12－6）2＝635.∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3).即容器的容积为50435π cm 3.。