2003年郴州市中考数学试题及答案
湖南省郴州市中考数学试卷及答案解析
2018年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.352．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×1063．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+44．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠35．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3.00分）计算：=．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2=．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：。
湖南省郴州市中考数学真题试题(含解析)
湖南省郴州市2017年中考数学真题试题第Ⅰ卷（共60分)一、选择题:本大题共8个小题,每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2017的相反数是( ）A．2017- B．2017 C．12017D．12017-【答案】A.【解析】试题分析:一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．由此可得2017的相反数是﹣2017,故选A．考点：相反数。
2。
下列图形既是对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】B．【解析】考点：轴对称图形和中心对称图形。
3。
某市今年约有140000名报名参加初中学业水平考试，用科学的计数方法表示140000为( ）A ．41410⨯B ．31410⨯C ．41.410⨯D ．51.410⨯ 【答案】D 。
【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式,其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把考点：科学记数法。
4. 下列运算正确的是（ ）A ．235()a a =B ．235a a a ⋅=C ．1a a -=-D ．22()()a b a b a b +-=+ 【答案】B. 【解析】试题分析：选项A,原式=a 6；选项B ，原式=a 5；选项C,原式=1a；选项D,原式=a 2﹣b 2，故选B. 考点：整式的运算。
5. 在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员取植树，其中七位同学植树的棵数分别为：3,1,1,3,2,3,2，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．3,2 B ．2,3 C ．2,2 D ．3,3 【答案】B ． 【解析】试题分析:在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3;处于这组数据中间位置的那个数是2,那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2．故选B ． 考点：中位数、众数.6. 已知反比例函数kyx=的图象过点(1,2)A-,则k的值为（）A．1 B．2 C．2- D．1-【答案】C。
2023年湖南省郴州市中考数学真题及答案
∴-2 的倒数是 1 2
故选 B．
【点睛】此题考查倒数的意义和求法：乘积是 1 的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数，先把小数化为
分数再求解．
2. 下列图形中，能由图形 a 通过平移得到的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移
本试卷共 8 页，有三道大题，共 26 小题，满分 130 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1. 2 的倒数是（
A. 2 【答案】B
）
B. 1 2
C. 2
D.
1 2
【解析】
【分析】乘积是 1 的两个数互为倒数，求一个数（0 除外）的倒数，只要用 1 除以这个数即可．
D 项关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查．解题的关键在于熟练掌握全面调查的适用条件．
3 x 0
6.
一元一次不等式组
x
1
0
的解集在数轴上表示正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可．
【详解】A、直三棱柱的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形均不同，A 错误；
B、圆锥的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形均不同，B 错误；
C、圆柱的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形均不同，C 错误；
D、球的三视图完全相同，都是圆，D 正确；
2009年湖南省郴州市初中毕业考试试卷数学试题(含参考答案和评分标准)
第 1 页 共 8 页2009年郴州市初中毕业考试试卷数 学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．2．考生作答时，选择题和非选择题均需作在答题卡上，在本试题卷上作答无效． 考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．4．本试卷包括试题卷和答题卡． 满分100分，考试时间120分钟．试题卷共4页．如缺页，考生需声明，否则后果自负．一、选择题（本题满分20分，共10小题，每小题2分） 1． －5的绝对值是（ ） A ．5 B ．5- C ．15 D ． 15-2． 函数12y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．0x ¹ B ． 2x ¹ C ． 2x > D ． 2x <3． 下列各式计算不正确．．．的是（ ） A ．(3)3--= B2 C ．()3339x x = D ．1122-=4．我市免费义务教育已覆盖全市城乡，2008年初中招生人数达到47600人，将数据47600用科学记数法表示为（ ） A ． 44.7610´B ． 54.7610´C ． 50.47610´D ． 347.610´5．点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ． (3,5)-- B ． (5,3) C ．(3,5)- D ． (3,5)6．为了支援地震灾区学生，学校开展捐书活动，以下是某学习小组5名学生捐书的册数：3，9，3，7，8，则这组数据的中位数是（ ）A ．3B ． 7C ．8D ． 9 7． 不等式26x ≤的解集为（ ）A ．3x ≥B ． 3x ≤C ． 13x ≥D ． 13x ≤ 8．两圆的半径分别为3cm 和8cm ，圆心距为7cm ，则该两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ． 外切C ．相交D ．内含9． 如图1已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）第 2 页 共 8 页A ． 24πcmB ． 26πcmC ． 29πcmD ． 212πcm10．如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD =（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 二、填空题（本题满分16分，共8小题，每小题2分） 11．7的倒数是___________．12．因式分解：2m m -=_______________．13．方程320x +=的解是______________．14．如图3，在四边形ABCD 中，已知AB CD =，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形ABCD 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)15． 如图4，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，1Ð与2Ð的和总是保持不变，那么1Ð与2Ð的和是_______度．16．抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为__________．17．不透明的袋中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其它区别，搅匀后小红从中随机摸出一球，则摸出红球的概率是__________． 18．如图5，在O 中，40AB AC A°=?，，则B Ð=________度．三、解答题（本题满分30分，共5小题，每小题6分） 19．计算：202(π2009)2sin 45+-+-21图4图1 120B OA6cm F E D B AC 图2D C B A 图3第 3 页 共 8 页20．化简：1a b a b b a ++--21．如图6，在下面的方格图中，将△ABC 先向右平移四个单位得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90°得到D A 1B 2C 2，请依次作出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2。
2003年郴州市中考数学试题及答案
郴州市2003年中考数学试题（考试时间：120分钟，满分：120分）姓名_________ 考号 _________ 分数_________一、填空题：（每题3分，共30分） 1.－3的相反数是_______________.2.分解因式：241x -=______________________.3.如图1，已知B 是AC 的中点，C 是BD 的中点，若BC ＝2，则AD＝__________.4.函数中，自变量x 的取值范围是_____________.5.已知105ABC A B C ,AB A B ,'''''∆∆=若＝，则ABC A B C '''∆∆与的周长的比为__________. 6.用科学计算器求528.7.如图2，为了绿化环境，在矩形空地的四角划出四个半径为1的 扇形空地进行绿化，绿化的总面积是________(结果保留π).8.有关资料表明，一个人在刷牙过程中如果一直打开水龙头，将浪费大约7杯水 (每杯水约250毫升)，某城市约有100万人口，如果所有的人在刷牙的过程中都不关水龙头，则浪费的水为：250×7×1000000＝1750000000(毫升).将1750000000保留两个有效数字后用科学记数法表示为_____________. 9.不等式23x x >+的解集是__________________.10.已知矩形ABCD 的边AB ＝5cm ，另一边AD ＝2cm ，以直线AB 为轴旋转一周，所得的圆柱的侧面积为________________(结果保留π). 二、选择题：（每题3分，共30分）11.一元二次方程22x x x -=的根是 （ ） A . 1202x x == B . 1201x x == C . 1203x x == D . 1204x x == 12.图3是郴州市春季某一天的气温随时间变化的图像， 根据图像可知，在这一天中最高气温与达到最高 气温的时间是 ( ) A .250C 16时 B .100C 6时 C .200C 14时 D .150C 18时13.在图4所列的图形中，是中心对称的图形有( )A . 1个 图 3B . 2个C . 3个D . 4个 图414．下列各式中运算正确的是 （ ） A 3=± B . ()222a b a b -=- C . 224235x x x += D . 33ππ-=-A CBD图111111111图211y x =-15．计算5sin302cos45tan60+-的值是 （ ）A B . 12 C . 12- D . 116．如果分式211x x -+的值为零，那么x 应为 （ ）A . 1B . -1C .±1D . 0 17．下列命题中，为真命题的是 （ ） A . 长度相等的弧所对的圆心角相等 B . 垂直于圆的半径的直线是该圆的切线C . 过弦的中点的直线必过圆心D . 三角形的外心到三个顶点的距离相等 18．如果两圆的半径分别为8和5，圆心距为5，那么两圆的公切线的条数是 （ ） A . 1 B . 2 C .3 D . 419．解方程226252x x x x +-=+时，令22y x x =+，原方程可化为 （ ）A .2560y y --=B .2650y y --=C .2560y y +-=D .2650y y +-= 20.观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，通过观察，用你所发现的规律确定272的个位数字是 （ ） A . 2 B . 4 C .6 D . 8 三、解答题（每题6分，共18分） 21．计算：()4324220.2810--+-⨯--÷22．为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平做了一次测验，两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲： 9 6 7 6 2 7 7 9 8 9 乙： 2 4 6 8 7 7 8 9 9 10为了比较两人的成绩，制作了如下的统计图表：我们可以制定不同的规则来评判甲、乙两人的成绩.如：①平均数与方差相结合.平均数大的胜，平均数相同 时，方差小的胜.②从射击命中的趋势来看.即看射击成绩 发展趋势，有发展潜力的胜.在规则①下：甲胜，因为甲、乙两人平均数相等，甲 的方差小.在规则②下：乙胜，因为从图中可以看出，乙的 成绩处于上升趋势，有发展潜力.现在，请你制定两种不同的评判规则，并根据你的规 则对甲、乙两人的成绩作出评判.图523．如图，为丰富A 、B 、C 三个小区的文化生活，现准备新建一个影剧院M ，使它到三个小区的距离相等.试确定M 的位置.(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)A ·B ··C四、证明题（7分）24．已知：如图6，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AE ＝FB . 求证：AC ＝BD .五、应用题（7分）25．某市宽带上网的收费有流量方式（按在网上所接收和发送的信息量收费）、时长方式（按在网上的时间收费）等几种不同的方式.其中流量方式的收费标准是：基本月租费75元，赠送900M 流量（即每月流量在900M 以内的不再收费）.超过900M 的，超过部分按流量分段收费，具体规定为：流量不超过400M 时，每M 收费a 元；超过400M 时，不超过部分每M 收费a 元，超过部分每M 收费c 元.（M 是信息量的计量单位）某单位今年4、5（1）求a 、c 的值； （2）设该单位某月上网的流量为x （M ），费用为y （元）， 写出流量超过1300M 时，y 与x 的函数关系.六、综合题（8分）26．如图7，抛物线22241y x mx m =-+-经过原点，且对称轴在y 轴的右侧与直线2y x m =-++相交于M 、N 两点. （1）求m 的值；（2）求抛物线和直线的解析式；（3）如果（2）中抛物线的对称轴与直线交于C 点，与x 轴交于B 点，直线与x 轴交于A 点，P 为抛物线对称轴上一动点，过点P 作 PD ⊥AC ，垂足为D .请问：点P 分别在x 轴上方或下方时，是否存在这样的位置，使14PAD ABC S S ∆∆=？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.图6图7参考答案二、选择题21．－2222．只要学生给出的规则符合要求，并根据所说规则作出正确判断即可.例如： 规则3：平均数与中位数相结合，如果平均数相等，则中位数大的胜.规则4：中位数与命中10环的次数相结合，如中位数相等，则命中10环的次数多的胜.规则5：命中7环以上的次数与命中10环的次数相结合，如果命中7环以上的次数相等，则命中10环的次数多的胜.在规则3下，甲、乙两人的平均数相等，但乙的中位数大，乙胜.在规则4下，乙的中位数必甲的中位数大，且命中10环的次数多，乙胜.在规则5下，甲、乙两人命中7环以上的次数相等，但乙命中10环的次数多，乙胜. 23．略四、24．证明：因为AC ∥BD ，所以∠A ＝∠B 因为CE ⊥AB ，所以∠ABC ＝90o 因为DF ⊥AB ，所以∠BFD ＝90o 所以∠AEC ＝∠BFD又因为AE ＝BF ，∠A ＝∠B ， 所以ΔAEC ≌ΔBFD 所以AC ＝BD 五、25．（1）依题意有()()7512009001357540014001300165a a c +-=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解方程组得a ＝0.2，c ＝0.1（2）()0.11300754000.2y x =-++⨯ 即 ()0.1251300y x x =+>六、26．（1）因为抛物线经过原点，所以m 2－1＝0，m ＝±1 而对称轴在y 轴右边，所以4024b mx m a =-==>，所以 m ＝1 （2）抛物线的解析式为 224y x x =- 直线的解析式为 3y x =-+（3）存在.由（2）知抛物线的对称轴为x ＝1，A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，0）、（1，0）、（1，2），设P 点的坐标为（1，y ）.则22AB BC ==， Rt ΔABC 为等腰Rt Δ，∠ACB ＝45o1122222ABC S AB BC ∆⨯=⨯⨯=＝. 当P 点在x 轴上方时，y >0 112222PAD ABC PCD ABP S S S S PD CD y ∆∆∆∆=--=-⨯-⨯⨯＝()21224y y ---所以()21122244y y ---=⨯， 即 y 2－2＝0，解得12y ,y ==（负值舍去）同理可得当P 点在x 轴下方时，y <0，解方程y 2－2＝0，12y ,y = 所以当P 点在x 轴上方时，坐标为（1） 所以当P 点在x 轴下方时，坐标为（1）。
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类(含答案)
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．分式的化简求值（共1小题）1．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．二．分式方程的应用（共1小题）2．（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？三．二次函数的应用（共1小题）3．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：x… 4.0 5.0 5.5 6.57.5…y…8.0 6.0 5.0 3.0 1.0…（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A （﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．五．三角形综合题（共2小题）7．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）00.51 1.52 2.53 3.54变量h（cm）00.51 1.52 1.510.50在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．根据探究的结果，解答下列问题：①当a＝1.5时，h＝ ；当h＝1时，a＝ ．②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．③下列说法正确的是 ．（填“A”或“B”）A．变量h是以a为自变量的函数B．变量a是以h为自变量的函数（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；②当s＝时，求a的值．8．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？六．四边形综合题（共1小题）9．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．七．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．八．作图—基本作图（共1小题）11．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．九．相似形综合题（共1小题）12．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）13．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）14．（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）一十二．条形统计图（共1小题）15．（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．一十三．列表法与树状图法（共1小题）16．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角α＝ 度；（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．分式的化简求值（共1小题）1．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．【答案】，．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝，当a＝时，原式＝＝．二．分式方程的应用（共1小题）2．（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？【答案】（1）A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；（2）有三种方案：①购买A种奖品23件，B种奖品77件；②购买A种奖品24件，B 种奖品76件；③购买A种奖品25件，B种奖品75件．【解答】解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，由题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，则x﹣25＝15，答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，由题意得：，解得：22.5≤m≤25，∵m为正整数，∴m的值为23，24，25，∴有三种方案：①购买A种奖品23件，B种奖品77件；②购买A种奖品24件，B种奖品76件；③购买A种奖品25件，B种奖品75件．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：x… 4.0 5.0 5.5 6.57.5…y…8.0 6.0 5.0 3.0 1.0…（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？【答案】（1）见解答；（2）y＝﹣2x+16（x≤8）；（3）此时销售单价为3元．【解答】解：（1）（2）根据图象设y＝kx+b，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式，得，解得，∴y＝﹣2x+16，∵y≥0，∴﹣2x+16≥0，解得x≤8，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+16（x≤8）；（3）①P＝（x﹣2）y＝（x﹣2）（﹣2x+16）＝﹣2x2+20x﹣32，即P与x的函数表达式为：P＝﹣2x2+20x﹣32（x≤8）；②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，∴x≤2×200%，即x≤4，由题意得P＝10，∴﹣2x2+20x﹣32＝10，解得x1＝3，x2＝7，∵x≤4，∴此时销售单价为3元．四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；（2）；（3）或（，2）或Q（3，﹣2）或．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线，∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，∵A，B关于抛物线的对称轴对称，∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，设直线BC的解析式为：y＝mx+n，则：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，当时，，∴，∵A（1，0），C（0，4），∴PA＝＝，PC＝＝，∴；（2）存在，∵D为OC的中点，∴D（0，2），∴OD＝2，∵B（4，0），∴OB＝4，在Rt△BOD中，，，∴∠QDB＝∠OBD；①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2，设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：，∴Q（，2）或（，2）；②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，则：DE＝BE，设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，∴p2+4＝（4﹣p）2，解得：，∴，设DE的解析式为：y＝kx+q，则：，解得：，∴，联立，解得：或，∴Q（3，﹣2）或；综上所述，或（，2）或Q（3，﹣2）或．5．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+m，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线MN的解析式为y＝x，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，把x＝1代入y＝x，得y＝1，∴D（1，1），方法一：设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，将C（0，﹣3），D（1，1）代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，4x﹣3＝0，∴x＝，∴E（，0），∴OE＝．方法二：由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，∵BC∥MN，∴△DEO∽△CEB，∴，设OE＝x，则BE＝3﹣x，∴，解得x＝，∴OE＝．②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知，FD在直线MN上，∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），由点D在直线MN上，设D（t，t），如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），∵BC∥MN，∴∠OBC＝∠DOB，∵GD∥x轴，∴∠GDF＝∠DOB，∴∠OBC＝∠GDF，又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，∴△DGF≌△BOC（AAS），∴GD＝OB，GF＝OC，∵GD＝t﹣1，OB＝3，∴t﹣1＝3，∴t＝4，∴D（4，4），如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，同理可证△DKF≌△COB（AAS），∴KD＝OC，∵KD＝1﹣t，OC＝3，∴1﹣t＝3，∴t＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）；（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，如图，四边形BFCD为平行四边形，设D（t，t），F（1，n），同理可证△DHC≌△BPF（AAS），∴DH＝BP，HC＝PF，∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，∴，∴，∴D（2，2），F（1，﹣5），综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．6．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A （﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+4；（2）；（3）点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，∴S△PEF＝PF•EF＝PE2，∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．五．三角形综合题（共2小题）7．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）00.51 1.52 2.53 3.54变量h（cm）00.51 1.52 1.510.50在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．根据探究的结果，解答下列问题：①当a＝1.5时，h＝ 1.5 ；当h＝1时，a＝ 1或3 ．②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．③下列说法正确的是 A ．（填“A”或“B”）A．变量h是以a为自变量的函数B．变量a是以h为自变量的函数（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；②当s＝时，求a的值．【答案】（1）①1.5；1或3；②解答详见解答；③A；（2）①S＝；②1或3．【解答】解：（1）①从图1中，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝1.5，从图2，当h＝1时，横坐标a对应1或3，故答案为：1.5；1或3；②如图，③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a 的函数；当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，故答案为A；（2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a，S△ADE＝AD•DE＝；当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，∴S＝＝，∴S＝；②当S＝时，当0≤a≤2时，＝，∴a1＝1，a2＝﹣1（舍去），当2＜≤4时，＝，∴a3＝3，a4＝5（舍去），综上所述：当S＝时，a＝1或3．8．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？【答案】（1）证明见解答；（2）①证明见解答；②当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AFG＝∠AEH＝45°，∴∠HFG＝45°+45°＝90°；②分两种情况：i）如图3，AQ＝QG时，∵AQ＝QG，∴∠QAG＝∠AGQ，∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，∴∠QAH＝∠AHQ，∴AQ＝QH＝QG，∵AH＝AG，∴AQ⊥GH，∵∠AFG＝∠AFH＝45°，∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，∴四边形AHFG是正方形，∵AC＝4，∴AF＝2，∴FG＝EH＝，∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，∴EH＝AE＝2，∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．六．四边形综合题（共1小题）9．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．【答案】（1），理由见解析过程；（2）①成立，理由见解析过程；②．【解答】解：（1），理由如下：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝GF＝CG＝BD；（2）①成立，理由如下：如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝FG＝CG＝BD；②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），∴，∵△ABC为等边三角形，，，∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MEE＝90°，∴△AEH≌△MEH（ASA），∴，，∵△DGF≌ECF，∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，∴∠AEH＝∠MDN，∴tan∠AEH＝tan∠MDN，∴，设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，，∴①，∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴，即：，联立①②可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根，∴，，，∴，∴S△ACE＝CE•AH＝×（4+4）×2＝4+4，∴＝＝，∴S△CEF＝（4）＝4+2，∴四边形BDFC的面积为＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF＝＝．七．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．【答案】（1）见解答．（2）2﹣．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠AOC＝＝tan60°，CD＝2，∴，解得OC＝2，∴阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．八．作图—基本作图（共1小题）11．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．【答案】（1）作图见解析部分；（2）证明见解析部分．【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．九．相似形综合题（共1小题）12．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED+∠DCE＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，∴△AEF∽△DCE；（2）解：①连接AM，如图2，∵BG⊥CF，∴△BGC是直角三角形，∵点M是BC的中点，∴MB＝CM＝GM＝，∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，∴AG+GM的最小值为5．②方法一：如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，∴△CMN∽△CBF，∴，设AF＝x，则BF＝4﹣x，∴MN＝BF＝（4﹣x），∵MN∥AB，∴△AFG∽△MNG，∴，由（2）可知AG+GM的最小值为5，即AM＝5，又∵GM＝3，∴AG＝2，∴，解得x＝1，即AF＝1，由（1）得，设DE＝y，则AE＝6﹣y，∴，解得：y＝3+或y＝3﹣，∵0＜6，0＜3﹣＜6，∴DE＝3+或DE＝3﹣．方法二：如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H，∴△MHG∽△MBA，∴，由（2）可知AG+MG的最小值为5，即AM＝5，又∵GM＝3，∴，∴GH＝，MH＝，由GH∥AB得△CHG∽△CBF，∴，即，解得FB＝3，∴AF＝AB﹣FB＝1．由（1）得，设DE＝y，则AE＝6﹣y，∴，解得：y＝3+或y＝3﹣，∵0＜6，0＜3﹣＜6，∴DE＝3+或DE＝3﹣．一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）13．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．【解答】解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）14．（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）【答案】约为141.1米．【解答】解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：则四边形AMBN是矩形，∴AN＝BM，BN＝MA，∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2＝，∴设BM＝x米，则AM＝2x米，∴AB＝＝＝x＝105，∴x＝21，∴AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米），在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，∴△BCN是等腰直角三角形，∴CN＝BN＝42（米），∴AC＝AN+CN＝21+42＝63≈141.1（米），答：观光电梯AC的高度约为141.1米．一十二．条形统计图（共1小题）15．（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机采访了 200 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 198 度；（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．【答案】（1）200、198；（2）见解答；（3）288；（4）．【解答】解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，故答案为：200，198；（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），补全图形如下：（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；（4）列表如下：A B C DA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．一十三．列表法与树状图法（共1小题）16．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了 200 名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），故答案为：200；②C组的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），补全条形统计图如下：③扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，故答案为：54；。
湖南省郴州市2003年中考试卷
------ 华夏教育资源库湖南省郴州市 2003 年中考试卷一、单项选择题（每题只有一个正确答案。
每题 2 分，共 20 分）1．2002 年 12 月 30 日， ________无人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，并成功进入预约轨道，这标记着我国载人航天技术日臻成熟。
（）A ．“神舟”一号B ．“神舟”二号C．“神舟”三号 D ．“神舟”四号2．韩国第 16 届总统选举2002 年 12 月 19 日结束，新千年民主党派候选人________当选韩国第 16 届总统。
（）A ．卢武铉B ．金大中C．金正和D．卢永昌3．2002 年 6 月 30 日在第 17 届世界杯决赛中， ________2∶ 0 战胜德国队，第五次登上国际足坛最顶端。
（）A ．法国队B ．巴西队C．英国队 D ．美国队4．原始社会后期，生产力发展到一个新的水平的标记是（）A ．新石器的出现B ．畜牧农耕的出现C．弓箭的出现 D ．金属工具的出现5．在生产过程中形成的人与人之间的关系叫做（）A ．生产力B ．生产关系C．经济关系 D ．生产劳动6．奴隶主、封建地主和资本家发达致富都是靠（）A ．自己的勤奋节约B．侵略、打劫和战争C．无偿据有工人创建的节余价值D．盘剥别人的劳动7．帝国主义不可以消亡中国的原由在于（）A ．帝国主义不想消亡中国B．帝国主义不肯消亡中国C．中国人民的抗争D．帝国主义没有消亡中国的打算8．社会主义初级阶段的主要矛盾是（）A ．先进与落伍的矛盾B．无产阶级与财产阶级的矛盾C．社会主义道路与资本主义道路的矛盾D．人民日趋增添的物质文化需要同落伍的社会生产之间的矛盾9．我国是一个多民族国家，请你说出我国一共有多少个民族（）A．54B．55C．56D．5710．决定人类社会发展的根来源因是（）A ．人类对美好社会的追求B．生产关系必定要适应生产力的发展C．生产力必定要适应生产关系的发展D．生产关系对生产力的影响二、多项选择题（每个小题都有两个或两个以上的正确答案。
2023年湖南省郴州市中考数学真题+答案解析
2023年湖南省郴州市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2 B．C．﹣2 D．2．（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a4•a3＝a7B．（a2）3＝a5C．3a2﹣a2＝2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列问题适合全面调查的是（）A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C．了解郴江河的水质情况D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A．B．C．D．x+1.5x＝2408．（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/ninC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算＝．10．（3分）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是（任写一个符合条件的数即可）．11．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．12．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．13．（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是分．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝．15．（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm（结果用含π的式子表示）．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．18．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．19．（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．21．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．22．（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．24．（10分）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm30 25 20 15 10容器与水的总质量y1/g10 12 15 20 30加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2023年湖南省郴州市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2 B．C．﹣2 D．【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．【解析】解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．2．（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的定义逐个判断即可．【解析】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到，A，C，D均不能由图形a通过平移得到，故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a4•a3＝a7B．（a2）3＝a5C．3a2﹣a2＝2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】根据完全平方公式及多项式的计算得出结论即可．【解析】解：A选项中，a4•a3＝a7，结论正确；B选项中，（a2）3＝a6，故B选项结论错误；C选项中，3a2﹣a2＝2a2，故C选项结论错误；D选项中，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D选项结论错误；故选：A．4．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．【解析】解：A．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．故选：D．5．（3分）下列问题适合全面调查的是（）A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C．了解郴江河的水质情况D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解析】解：A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；C．了解郴江河的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故选项符合题意；故选：D．6．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：C．7．（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A．B．C．D．x+1.5x＝240【分析】设原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度为（1+50%）x＝1.5xkm/h，根据走过相同的距离时间缩短了1小时，列方程即可．【解析】解：设原计划平均速度为xkm/h，由题意得，﹣＝1，故选：B．8．（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/ninC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．【解析】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合题意；900÷600＝1.5，∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算＝3．【分析】如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：，由此即可得到答案．【解析】解：＝3．故答案为：3．10．（3分）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是3（答案不唯一）（任写一个符合条件的数即可）．【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k﹣2＞0，解之即可得出k的值，再取其内的任意一值即可得出结论．【解析】解：∵在一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象中，y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得：k＞2．∴k值可以为3．故答案为：3（答案不唯一）．11．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．【分析】从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，再根据概率公式求解即可．【解析】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，∴从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为．故选：．12．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝9．【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故答案为：9．13．（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是93分．【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．【解析】解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：30%×90+20%×95+50%×94＝93（分）．故答案为：93．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5．【分析】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．【解析】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．15．（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3≈4台．【解析】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，∵360°÷110°＝3，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm（结果用含π的式子表示）．【分析】根据旋转的性质得到点C的运动路径是CC′圆弧的长度，根据弧长公式计算即可．【解析】解：以A为圆心作圆弧CC′，如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝2×3＝6（cm），∴AB＝＝＝3（cm），∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴AB＝AB′，∵∠B＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴点C的运动路径长为＝（cm）．故答案为：．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解析】解：原式＝2﹣×+1+2＝2﹣1+1+2＝4．18．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．【分析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【解析】解：原式＝•+＝+＝＝，当x＝1+时，原式＝＝．19．（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．【分析】（1）用B的人数除以20%求得本次调查的学生总数，进而得出最喜欢去A地的人数；（2）用360°乘“C”所占比例可以求得“C”部分所占圆心角的度数；（3）用1200乘样本中D所占比例即可．【解析】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20%＝100（人），最喜欢去A地的人数为：100﹣20﹣40﹣25﹣5＝10（人），补全条形统计图如下：（2）研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°；（3）1200×＝300（名），答：估计最喜欢去D地研学的学生人数约300名．20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【解析】（1）解：如图，直线MN即为所求；（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是平行四边形．21．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．【分析】由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴，∵AB＝80海里，∴CD+CD＝80，解得CD＝40﹣40≈29.2，答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里．22．（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．【解析】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+a≤2.5（1+25%），解得：a≤1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再证∠OCA＝∠A＝∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可证明．（2）由圆周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt △OCD 中，tan ∠AOC ＝＝tan60°，CD ＝2，∴，解得OC ＝2，∴阴影部分的面积＝S △ACD ﹣S 扇形BOC ＝﹣＝2﹣．24．（10分）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A （固定）中放置一个物体，在右边托盘B （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与点C 的距离x （cm ）（0＜x ≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B 与点C 的距离x /cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y 1/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量y 2/g57101525把上表中的x 与y 1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y 1关于x 的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y 2关于x 的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y 1与x 之间的函数关系，并求y 1关于x 的函数表达式； ②求y 2关于x 的函数表达式；③当0＜x ≤60时，y 1随x 的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y 2随x 的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y 2的图象可以由y 1的图象向 下 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量y 2（g ）满足19≤y 2≤45，求托盘B 与点C 的距离x （cm ）的取值范围．【分析】（1）描点作出图象即可；（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；②由y2与y1关系，结合①可得答案；③观察图象可得答案；（3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．【解析】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，设y1＝，把（30，10）代入得：10＝，∴k＝300，∴y1关于x的函数表达式是y1＝；②∵y1＝y2+5，∴y2+5＝；∴y2＝﹣5；③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；故答案为：减小，减小，下；（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，∴19≤﹣5≤45，∴24≤≤50，∴6≤x≤12.5．25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．【分析】（1）由“AAS”可证△DGF≌△ECF，得到CF＝GF＝CG＝BD；（2）①由“AAS”可证△DGF≌△ECF，得到CF＝FG＝CG＝BD；②根据已知条件推出tan∠AEH＝tan∠MDN，得到，证明△ABC∽△ADG，得到，可以DG的长，由面积的和差关系可求解．【解析】解：（1），理由如下：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝GF＝CG＝BD；（2）①成立，理由如下：如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝FG＝CG＝BD；②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE 于点N，则：AN⊥BC，由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），∴，∵△ABC为等边三角形，，，∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MEE＝90°，∴△AEH≌△MEH（ASA），∴，，∵△DGF≌ECF，∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，∴∠AEH＝∠MDN，∴tan∠AEH＝tan∠MDN，∴，设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，，∴①，∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴，即：，联立①②可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根，∴，，，∴，∴S△ACE＝CE•AH＝×（4+4）×2＝4+4，∴＝＝，∴S△CEF＝（4）＝4+2，∴四边形BDFC的面积为＝S△ADG ﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF＝＝．26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据△P AC的周长等于P A+PC+AC，以及AC为定长，得到当P A+PC的值最小时，△P AC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：P A+PC＝PB+PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，P A+PC＝BC，进而求出P点坐标，即可得解；（3）求出D点坐标为（0，2），进而得到，得到∠QDB＝∠OBD，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线，∵△P AC的周长等于P A+PC+AC，AC为定长，∴当P A+PC的值最小时，△P AC的周长最小，∵A，B关于抛物线的对称轴对称，∴P A+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，P A+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，设直线BC的解析式为：y＝mx+n，则：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，当时，，∴，∵A（1，0），C（0，4），∴P A＝＝，PC＝＝，∴；（2）存在，∵D为OC的中点，∴D（0，2），∴OD＝2，∵B（4，0），∴OB＝4，在Rt△BOD中，，，∴∠QDB＝∠OBD；①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q 点纵坐标为2，设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：，∴Q（，2）或（，2）；②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，则：DE＝BE，设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，∴p2+4＝（4﹣p）2，解得：，∴，设DE的解析式为：y＝kx+q，则：，解得：，∴，联立，解得：或，∴Q（3，﹣2）或；综上所述，或或Q（3，﹣2）或．。
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写出流量超过 1300M 时，y 与 x 的函数关系.
4 1200
135
5 1400
165
六、综合题（8 分）26．如图 7，抛物线 y 2x2 4mx m2 1
经过原点，且对称轴在 y 轴的右侧与直线 y x m 2 相交于 M、N 两点.
（1）求 m 的值；
（2）求抛物线和直线的解析式；
10.已知矩形 ABCD 的边 AB＝5cm，另一边 AD＝2cm，以直线 AB 为轴旋转一周，所得
的圆柱的侧面积为________________(结果保留 ).
二、选择题：（每题 3 分，共 30 分）
11.一元二次方程 x2 2x x 的根是
（
）
A. x1 0 x2 2
B. x1 0 x2 1
D. 1
（）
16．如果分式 x2 1 的值为零，那么 x 应为 x 1
（）
A. 1
B. -1
C.±1
D. 0
17．下列命题中，为真命题的是
（）
A. 长度相等的弧所对的圆心角相等 B. 垂直于圆的半径的直线是该圆的切线
C. 过弦的中点的直线必过圆心
D. 三角形的外心到三个顶点的距离相等
18．如果两圆的半径分别为 8 和 5，圆心距为 5，那么两圆的公切线的条数是 （ ）
C. 3 个
D. 4 个
图4
14．下列各式中运算正确的是
D. x1 0 x2 4
图3
（）
A. 9 3 B. a b2 a2 b2 C. 2x2 3x2 5x4 D. 3 3
15．计算 5sin 30 2cos45 tan 60 的值是
A. 2
B. 1 2
C. 1 2
3.如图 1，已知 B 是 AC 的中点，C 是 BD 的中点，若 BC ＝2，A B C D
则 AD ＝__________.
图1
4.函数中，y 1 自变量 x 的取值范围是_____________. x 1
5.已知 ABC
ABC , 若AB＝10，AB 5 , 则 ABC与ABC
1 1
1 1
现在，请你制定两种不同的评判规则，并根据你的规 则对甲、乙两人的成绩作出评判.
图5
23．如图，为丰富 A、B、C 三个小区的文化生活，现准备新建一个影剧院 M，使它到 三个小区的距离相等.试确定 M 的位置.(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
A·
B·
·C 四、证明题（7 分）24．已知：如图 6，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E、F，
中 10 环的次数多的胜.
在规则 3 下，甲、乙两人的平均数相等，但乙的中位数大，乙胜.
在规则 4 下，乙的中位数必甲的中位数大，且命中 10 环的次数多，乙胜.
在规则 5 下，甲、乙两人命中 7 环以上的次数相等，但乙命中 10 环的次数多，乙胜.
23．略
四、24．证明：因为 AC∥BD，所以∠A＝∠B 因为 CE⊥AB，所以∠ABC＝90o
平均数
甲
7
乙
7
方差 4
5．4
中位数 7
7．5
命中七环以上的次数 7 7
命中 10 环的次数 0 1
我们可以制定不同的规则来评判甲、乙两人的成绩. 如：①平均数与方差相结合.平均数大的胜，平均数相同 时，方差小的胜.②从射击命中的趋势来看.即看射击成绩 发展趋势，有发展潜力的胜.
在规则①下：甲胜，因为甲、乙两人平均数相等，甲 的方差小.在规则②下：乙胜，因为从图中可以看出，乙的 成绩处于上升趋势，有发展潜力.
过观察，用你所发现的规律确定 227 的个位数字是
A. 2
B. 4
C.6
D. 8
三、解答题（每题 6 分，共 18 分）
（）
21．计算： 4 24 23 0.28 102
22．为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平做了一次测验， 两人在相同条件下各射靶 10 次，命中的环数如下： 甲： 9 6 7 6 2 7 7 9 8 9 乙： 2 4 6 8 7 7 8 9 9 10 为了比较两人的成绩，制作了如下的统计图表：
的周长的比为__________.
6.用科学计算器求 2.85 的按键顺序是:
1
1
7.如图 2，为了绿化环境，在矩形空地的四角划出四个半径为 1 1 图 2
1
的 扇形空地进行绿化，绿化的总面积是________(结果保留 ).
8.有关资料表明，一个人在刷牙过程中如果一直打开水龙头，将浪费大约 7 杯水
22．只要学生给出的规则符合要求，并根据所说规则作出正确判断即可.例如：
规则 3：平均数与中位数相结合，如果平均数相等，则中位数大的胜.
规则 4：中位数与命中 10 环的次数相结合，如中位数相等，则命中 10 环的次数多的胜.
规则 5：命中 7 环以上的次数与命中 10 环的次数相结合，如果命中 7 环以上的次数相等，则命
4
12， 4
即
y2－2＝0，解得 y1
2,
y2 2 （负值舍去）
同理可得当 P 点在 x 轴下方时，y<0，解方程 y2－2＝0， y1 2 , y2 2 （正值舍去）
所以当 P 点在 x 轴上方时，坐标为（1， 2 ）
所以当 P 点在 x 轴下方时，坐标为（1，－ 2 ）
因为 DF⊥AB，所以∠BFD＝90o 所以∠AEC＝∠BFD
又因为 AE＝BF，∠A＝∠B， 所以ΔAEC ≌ΔBFD 所以 AC＝BD
五、25．（1）依题意有
75 1200 900 a 135 75 400a 1400 1300 c 165
解方程组得 a＝0.2，c＝0.1
（2） y 0.1 x 1300 75 4000.2 即 y 0.1x 25 x 1300
时，每 M 收费 a 元；超过 400M 时，不超过部分每 M 收费 a 元，超过部分每 M 收
费 c 元.（M 是信息量的计量单位）某单位今年 4、5 月份上网的流量和费用如下表：
（1）求 a、c 的值；
月 流量 费用
（2）设该单位某月上网的流量为 x（M），费用为 y（元）， 份 （M） （元）
(每杯水约 250 毫升)，某城市约有 100 万人口，如果所有的人在刷牙的过程中都不关
水龙头，则浪费的水为：250×7×1000000＝1750000000(毫升).将 1750000000 保留
两个有效数字后用科学记数法表示为_____________.
9.不等式 2x x 3的解集是__________________.
图7
一、填空题
参考答案
题号 1
2
34
5
6
7
8
9 10
答案 3 2x 12x 1 6 x ≠ 1 的 2 : 1
一切实数
2·
8
1． 8×109 x>3 20π cm2 xy 2 ＝ x
5
二、选择题
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C
C
C
D
B
A
D
B
A
D
三、解答题
21．－22
（3）如果（2）中抛物线的对称轴与直线交于 C 点，与 x 轴交于 B 点，直线与 x 轴
交于 A 点，P 为抛物线对称轴上一动点，过点 P 作
PD⊥AC，垂足为 D.请问：点 P 分别在 x 轴上方或
下方时，是否存在这样的位置，使
SPAD
1 4
SABC
？
若存在，求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由.
AC∥DB，且 AE＝FB. 求证：AC＝BD.
图6
五、应用题（7 分）25．某市宽带上网的收费有流量方式（按在网上所接收和发送的信
息量收费）、时长方式（按在网上的时间收费）等几种不同的方式.其中流量方式的
收费标准是：基本月租费 75 元，赠送 900M 流量（即每月流量在 900M 以内的不
再收费）.超过 900M 的，超过部分按流量分段收费，具体规定为：流量不超过 400M
郴州市 2003 年中考数学试题
（考试时间：120 分钟，满分：120 分） 姓名_________ 考号 _________ 分数_________ 一、填空题：（每题 3 分，共 30 分） 1.－3 的相反数是_______________.
2.分解因式： 4x2 1 ______________________.
C. x1 0 x2 3
12.图 3 是郴州市春季某一天的气温随时间变化的图像，
根据图像可知，在这一天中最高气温与达到最高
气温的时间是
(
)
A.250C 16 时
B.100C.150C 18 时
13.在图 4 所列的图形中，是中心对称的图形有(
)
A. 1 个
B. 2 个
（1，2），设 P 点的坐标为（1，y）.则 AB 2 BC 2 ， RtΔABC 为等腰 RtΔ，∠ACB＝45o
SABC＝
1 2
AB
BC
122 2. 2
当 P 点在 x 轴上方时，y>0
SPAD
SABC
SPCD
SABP
2 1 2
PD
CD
12 y ＝2 2
y1 4
2 y
2
所以 2 y 1 2 y2
A. 1
B. 2
C.3
D. 4
19．解方程
x2
2x
x2
6
2x
5 时，令
y
x2
2x
，原方程可化为
（）
A. y2 5y 6 0 B. y2 6 y 5 0 C. y2 5y 6 0 D. y2 6 y 5 0