山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学

绝密★启用并使用完毕前高三理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.复数z 满足1i z z ⋅=+，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）122i -- （D ）122i + 【答案】C由1i z z ⋅=+得(1)1i z -=，所以111111(1)(1)222i i z i i i i ++====----+-，选C.2.已知R 为全集，{|(1)(2)0}A x x x =-+≤,则R C A = （A ）{|21}x x x <->或 （B ）{|21}x x x ≤-≥或 （C ）{|21}x x -<< （D ）{|21}x x -≤≤ 【答案】C因为{|(A x x x =-+≤，所以{|(1)(2)0}{(1)(2)0}{21}R A x x x x x x x x =-+>=-+<=-<<ð，选C.3.已知(1,2),2(3,1)a a b =-=，则a b ⋅=（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】D因为(1,2),2(3,1)a a b =-=，所以2(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)b a =-=-=-，所以(1,2)(1,3)1235a b ⋅=⋅-=-+⨯=，选D.4.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在[)8,10内的频数为（A ）38 （B ）57 （C ）76 （D ）95 【答案】C样本数据在[)8,10之外的频率为(0.020.050.090.15)20.62+++⨯=，所以样本数据在[)8,10内的频率为10.620.38-=，所以样本数据在[)8,10的频数为0.3820076⨯=，选C. 5.{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和， 77521a S ==，，则10S =（A ）40 （B ）35 （C ）30 （D ）28【答案】A设公差为d ，则由77521a S ==，得1777()2a a S +=，即17(5)212a +=，解得11a =，所以716a a d =+，所以23d =。

所以1011091092101040223S a d ⨯⨯=+=+⨯=，选A.6.函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（A ）2-（B ）12- （C ）12 （D ）2【答案】A函数()s i n (2),(||)2f x xπϕϕ=+<向左平移6π个单位后得到函数为()s i n [2()]s i n (2)663f x x x πππϕϕ+=++=++，因为此时函数为奇函数，所以,3k k Z πϕπ+=∈，所以,3k k Z πϕπ=-+∈。

因为||2πϕ<，所以当0k =时，3πϕ=-，所以()sin(2)3f x x π=-。

当02x π≤≤，所以22333x πππ-≤-≤，即当233x ππ-=-时，函数()sin(2)3f x x π=-有最小值为sin()3π-= A. 7.已知三个数2,8m ，构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率为（A ）2 （B （C ）2 （D ）2【答案】C因为三个数2,8m ，构成一个等比数列，所以22816m =⨯=，即4m =±。

若4m =，则圆锥曲线方程为22142x y +=，此时为椭圆，其中2224,2,422a b c ===-=，所以2,a c =，离心率为c e a ==。

若4m =-，则圆锥曲线方程为22124y x -=，此时为双曲线，其中2222,4,426a b c ===+=，所以,a c =，离心率为c e a === C.8.若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 的值分别为 （A ）1,42k b ==-（B ）1,42k b =-=（C ）1,42k b ==（D ）1,42k b =-=-【答案】A因为直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则y kx =与直线20x y b ++=垂直，且20x y b ++=过圆心，所以解得1,42k b ==-，选A.9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不可能是（A ）1 （B ）1.5 （C ）2 （D ）3 【答案】D由三视图可知，该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥，，其中底面三角形BAC 为直径三角形，PA ABC ⊥,2AB =,4PC =,设,04AC x x =<<,则PA ,所以三棱锥的体积为22111)16823233263x x x +⨯⨯=≤⨯==，当且仅当x =28,x x ===82233=，所以该三棱锥的体积不可能是3，选D.10.已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且(1)f x +为偶函数，则实数a 的值可以是（A ）23（B ）2 （C ）4 （D ）6 【答案】B因为函数(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)f x f x -+=+，即函数()f x 关于1x =对称，所以区间(32,1)a a -+关于1x =对称，所以32112a a -++=，即2a =，所以选B.11.从0,1,2,3,4,5,六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有多少种取法（A ）72 （B ）84 （C ）144 （D ）180【答案】B若不选0，则有21332336C C A =，若选0，则有121122322248C C C C A =，所以共有483684+=种，所以选B.12.对于函数()f x ，如果存在锐角θ使得()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数()f x 具备角θ的旋转性，下列函数具有角4π的旋转性的是（A ）y = （B ）ln y x = （C ）1()2x y = （D ）2y x =【答案】C设直线y x b =+，要使()f x 的图像绕坐标原点逆时针旋转角4π，所得曲线仍是一函数，则函数y x b =+与()f x 不能有两个交点。

由图象可知选C.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 8(2x 的展开式中，常数项为___________. 【答案】7展开式的通项公式为488831881()((1)()22k k k k k k kk x T C C x ---+==-，由4803k -=，解得6k =，所以常数项为226781(1)()72T C =-=。

14.10(2)x e x dx -=⎰____________________.【答案】2e -12100(2)()2x x e x dx e x e -=-=-⎰。

15.已知0x >，则24xx +的最大值为_________________.【答案】14因为2144x x x x=++，又0x >时，44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =取等号，所以11044x x <≤+，即24x x +的最大值为14。

16.已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.【答案】5由22()3()10y f x f x =-+=解得()1f x =或1()2f x =。

若()1f x =，当0x >时，由lg 1x =，得lg 1x =±，解得10x =或110x =。

当0x ≤时，由21x=得0x =。

若1()2f x =，当0x >时，由1lg 2x =，得1lg 2x =±，解得xx =0x ≤时，由122x=得1x =-，此时无解。

综上共有5个零点。

三、解答题（本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为c b a ,,，,A B 为锐角且B A <，sin A =， 3sin 25B =.（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若1b c +=，求c b a ,,的值. 18．（本小题满分12分）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）求出上表中的,,,,x y z s p 的值；（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a ，15a =-，22a =-，记()A n =12n a a a +++，23()B n a a =+1n a +++，()C n=342+n a a a +++（*N n ∈）,若对于任意*N n ∈，()A n ，()B n ，()C n 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列{}||n a 的前n 项和. 20.（本小题满分12分）三棱锥P ABC -,底面ABC 为边长为的正三角形，平面PBC ⊥平面ABC ，2PB PC ==,D 为AP 上一点，2AD DP =，O（Ⅰ）求证DO ∥面PBC ； （Ⅱ）求证：BD AC ⊥；（Ⅲ）设M 为PC 中点，求二面角M BD O --的余弦值.21.（本小题满分13分）已知函数32()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的切线方程为122270x y +-=，且对任意的[)0,x ∈+∞，()ln(1)f x k x '≤+恒成立.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求实数k 的最小值；CB（Ⅲ）求证：1111ln(1)223n n++++<++（*N n ∈）. 22.（本小题满分13分）已知圆的方程为224x y +=，过点(2,4)M 作圆的两条切线，切点分别为1A 、2A ,直线12A A 恰好经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设AB 是椭圆12222=+b y a x （)0>>b a 垂直于x 轴的一条弦，AB 所在直线的方程为(||x m m a =<且0),m P ≠是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交定直线ma x l 2:=于两点Q 、R ，求证4OQ OR ⋅>.高三理科数学参考答案一、选择题C CD C A ,A C A D B , B C二、填空题13. 7 14. 2e - 15. 1416. 5三、解答题17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵A为锐角，sinA =∴cos A == --------------2分∵B A <，sin 52A =<，∴45B < --------------3分 ∵3sin 25B =，∴4cos 25B ==∴cos B ==,sin B =--------------4分cos cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B =-+=-+==- ∴135C = --------------6分（Ⅱ）由正弦定理sin sin sin a b ck A B C=== --------------8分∴b c k +=，解得k = --------------10分∴1,a b c === --------------12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，0.18,19,6,0.12,50x y z s p ===== --------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， --------------4分①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ，则5114544466+7()10A A A A P A A == 所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为710. --------------6分 ②随机变量X 的可能取值为0,1,2 --------------7分2434661(0)5A A P X A ===，11142334663(1)5C A A A P X A ===, 2434661(2)5A A P X A ===， --------------10分随机变量X 的分布列为：--------------11分因为 131012=1555EX =⨯+⨯+⨯， 所以随机变量X 的数学期望为1. --------------12分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）根据题意()A n ，()B n ，()C n 成等差数列∴()+()2()A n C n B n = --------------2分 整理得2121253n n a a a a ++-=-=-+=∴数列{}n a 是首项为5-，公差为3的等差数列 --------------4分 ∴53(1)38n a n n =-+-=- --------------6分 （Ⅱ）38,2||38,3n n n a n n -+≤⎧=⎨-≥⎩--------------8分记数列{}||n a 的前n 项和为n S .当2n ≤时，2(583)313222n n n n S n +-==-+ 当3n ≥时，2(2)(138)313714222n n n n S n -+-=+=-+ 综上，2231322231314322n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ --------------12分20.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结AO 交BC 于点E ，连结PE .O 为正三角形ABC 的中心，∴2AO OE =, 且E 为BC 中点.又2AD DP =，∴DO ∥PE , --------------2分DO ⊄平面PBC ，PE ⊂平面PBC∴DO ∥面PBC ． --------------4分（Ⅱ）PB PC =,且E 为BC 中点, ∴PE BC ⊥,又平面PBC ⊥平面ABC ，∴PE ⊥平面ABC , --------------5分 由（Ⅰ）知，DO ∥PE ， ∴DO ⊥平面PBC ,∴DOAC ⊥ --------------6分 连结BO ,则AC BO ⊥,又DO BO O =, ∴AC ⊥平面DOB ,∴AC BD ⊥．--------------8分Cx（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，,,EA EB EP 两两互相垂直，且E 为BC 中点，所以分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则21(3,0,0),(0,0,1)(1,0,),(0,(0,)322A B P D C M -，------------9分∴3312(0,,),(1,)23BM DB =-=-- 设平面BDM 的法向量为(,,)n x y z =，则2033102n DB x z n BM y z ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令1y =，则(3,1n =-． --------------10分由（Ⅱ）知AC ⊥平面D B O,∴(3AC =-为平面D B O 的法向量，∴cos ,31||||3n AC n AC n AC ⋅<>===， 由图可知，二面角M BD O -- ． --------------12分 21. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）将3x =代入直线方程得92y =-，∴92792a b +=-① --------------1分 2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-，∴2766a b +=-② --------------2分①②联立，解得11,32a b =-=∴3211()32f x x x =-+ --------------3分 （Ⅱ）2()=f x x x '-+，∴2ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立；即2ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立； --------------4分 设2()ln(1)g x x x k x =-++，(0)0g =，∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥ --------------5分[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++设2()21h x x x k =++-，1）当=18(1)0k ∆--≤，即98k ≥时，()0h x ≥，∴()0g x '≥ ()g x 在[)0,+∞单调递增，∴()(0)g x g ≥ --------------6分2）当=18(1)0k ∆-->，即98k <时，设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由1212x x +=-，可知10x <， 分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥；∴10,1k k -≥≥，∴918k ≤< --------------7分 综上分析，实数k 的最小值为1. --------------8分 （Ⅲ）令1k =，有2ln(1),x x x -+≤+即2ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立；--------------9分 令1x n=，得221111ln(1)ln(1)ln n n n n n n ≤++=++- --------------11分 ∴22222211111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )2323111=1ln(1)231111ln(1)1223(1)12ln(1)2ln(1)n n n nn nn n nn n n ++++≤+++++-+-+++-++++++<++++++⨯⨯-=-++<++∴原不等式得证. --------------13分22. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） 观察知，2x =是圆的一条切线，切点为1(2,0)A ， --------------1分 设O 为圆心，根据圆的切线性质，12MO A A ⊥， --------------2分 所以12112A A MO k k =-=-， --------------3分 所以直线12A A 的方程为1(2)2y x =--. --------------4分 线12A A 与y 轴相交于(0,1)，依题意2,1a b ==， --------------5分所求椭圆的方程为2214x y += --------------6分 （Ⅱ） 椭圆方程为2214x y +=，设),,(00y x P ),,(n m A ),,(n m B - 则有2200440x y +-=，22440m n +-= --------------7分 在直线AP 的方程)(00m x x m y n n y ---=-中，令4x m =，整理得 2000(4)(4).()Q m y mx n y m m x -+-=- ① 同理，2000(4)(4).()R m y mx n y m m x ---=- ② --------------9分 ①⨯②，并将220011,4y x =-22114n m =-代入得 R Q y y ⋅2222200220(4)(4)()m y mx n m m x ---=- =222220022011(4)(1)(4)(1)44()m x mx m m m x -⋅-+-⋅--=220220(4)()()m m x m m x ---=22(4)m m -. --------------11分 而24416,,Q R Q R OQ OR y y y y m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2221212=1+m m m + --------------12分 ∵||2m <且0m ≠，∴221204,3m m<<> ∴4OQ OR ⋅> --------------13分。