03第三章：命题符号化及联结词

第一节：命题符号化及联结词※引言命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分，是谓词逻辑的基础，而数理逻辑是一门用数学方法研究推理过程的科学。

逻辑学主要研究各种论证，建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则就可以确定任何特定论证是否有效，这些规则通常称为推理规则。

在逻辑学中与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式，这样可以依据各项规则并使用机械方法，不难确定论证的有效性，但是，使用这种方法推理时，所遵循的规则一定不能具有二义性。

为表示任何成套规则或者理论，都需要为其配置一种语言。

所以，应制定一种形式语言，在这种形式语言中必须明确地和严格地定义好它的语义和语法，为了避免出现二义性，在形式语言种将使用一些符号，并给这些符号做出明确的定义，同时使用符号还有另外的含义：符号容易书写和处理。

※命题符号化及联结词数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，所以，表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。

【定义1】命题：能判断真假的陈述叫做命题注意：(1)命题的判断只有两种可能：正确的判断与错误的判断，前者称为命题的真值为真；后者称为命题的真值为假，(2)命题的真值通常使用大写英文字母T和F表示，或使用1和0表示(3)命题必须是具有唯一真值的陈述句【例题1】判断下列语句中哪些是命题(1)2是素数(2)雪是黑色的(3)532=+(4)明年十月一日是晴天(5)3 能被2整除(6)这朵花真好看呀！(7)明天下午有会吗？(8)请关上门！(9)5>+y x(10)地球外的星球上也有人其中：(1)(2)(3)(4)(5)(10)为命题【方法】(1)命题必须是陈述句，所以：非陈述句不是命题(2)命题必须有确定的真值，凡无确定真值的陈述句不是命题，特别注意：真值是否确定与我们是否知道它的真值是两码事(3)注意悖论：如：我正在说谎。

【定义2】原子命题：不能分解为更简单的陈述句叫做原子命题或简单命题【定义3】命题常项：对于简单命题如果它的真值是确定的，则：称其为命题常项或命题常元命题变项：真值可以变化的陈述句成为命题变项或命题变元，用小写的英文字母表示注意：命题变项不是命题【定义4】复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题叫做复合命题【定义5】联结词类型(1)否定：设P为一个命题，P的否定是一个新的命题，记做：P如果P为T，则：P⌝为F；如果P为F，则：P⌝为T〖注意〗自然语言常用“非”、“不是”等(2)合取：两个命题P和Q的合取是一个复P∧合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为T时，QP∧的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”等【例题2】将下列命题符号化(1)李平既聪明又用功(2)李平虽然聪明，但不用功(3)李平不但聪明，而且用功(4)李平不是不聪明，而是不用功〖解答〗用p：表示李平聪明，q：表示李平用功则：(1)(2)(3)(4)分别符号化为：∧⌝⌝⌝∧(∧)q∧qppqqpp⌝【练习】将下列命题符号化(1)苹果是红的与香蕉是黄的(2)他打开箱子，并拿出一件衣服(3)张小明和张小华是堂兄弟(4)4是偶数且是素数注意：(3)是简单命题(3)析取：两个命题P和Q的析取是一个复P∨合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为F时，QP∧的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“或”表示，注意或具有双义性，可以是兼容或，也可以是排斥或【例题3】将下列命题符号化(1)我选修英文课或数学课(2)灯泡有故障或开关有故障(3)通过电视看杂技或到剧场看这场杂技（异或）(4)小李或小张可以解答这个问题(4)条件：两个命题P和Q，其条件命题是P→一个复合命题，记做：Q当且仅当P的真值为T，且Q的真值为F时，QP→的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“只要……就……”、“……仅当……”、“只有……才……”、“如果……则……”等【例题4】将下列命题符号化(1)只要不下雨，我就骑车上班(2)只有不下雨，我才骑车上班(3)如果422=+，则：太阳从东方升起(4) 如果422≠+，则：太阳从东方升起(5)双条件（等价）：两个命题P和Q，其复P↔叫做等价命题合命题Q当且仅当与Q的真值相同时QP↔的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“当且仅当”等【例题5】将下列命题符号化3是奇数(1) 4+当且仅当22=(2) 422=+当且仅当3不是奇数(3) 422≠+当且仅当3是奇数(4) 422≠+当且仅当3不是奇数(5)两圆的面积相等当且仅当他们的半径相等(6)两角相等当且仅当它们是对顶角上述介绍的五种联结词成为逻辑联结词，在命题逻辑中，可用这些联结词将各种各样的复合命题符号化，其具体步骤是：(1)分析出各简单命题，将其符号化(2)使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化表示【例题6】将下列命题符号化(1)小王是游泳冠军或百米赛冠军(2)小王现在宿舍或在图书馆(3)选小王或小李中的一个人当班长(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累(5)小王是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他是三好学生〖解答〗(1) 用p：表示小王是游泳冠军，q：表示小王是百米冠军，命题可符号化为：qp∨(2) 用p：表示小王在宿舍，q：表示小王在图书馆，命题可以符号化为：qp∨(3) 用p：表示小王当班长，q：表示小李当班长，命题可以符号化为：⌝p∧∧⌝∨(q)q()p(4)用p：表示我上街，q：表示我去书店看看，r：表示我很累则：命题可以符号化为：)⌝(q→r→p (5) 用p：表示小王是计算机系的学生，q：表示小王生于1968年，r：表示小王生于1969年，s ：表示他是三好学生 则：命题可以符号化为：()p q r s ∧∨∧五种联结词符也称为逻辑运算符，它与普通的数的运算符一样，可以规定运算的优先级，规定：优先级的运算顺序是：↔→∨∧⌝，如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的顺序运算；如果有括号，先进行括号中的运算第二节：命题公式及分类 ※命题公式由联结词q p q p q p q p p ↔→∨∧⌝,,,,和多个命题常项可以组成更复杂的复合命题，如果在复合命题中，r q p ,,等不仅可以代表命题常项，也可以代表命题变项，这样组成的复合命题形式叫做命题公式 抽象的讲，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串【定义1】合式公式：(1)单个命题常项或变项1,0,,,,,,,, i i i r q p r q p 是合式公式(2)如果A 是合式公式，则：)(A ⌝也是合式公式(3)如果B A ,是合式公式，则：也是合式公式(4)只有有限次使用(1)、(2)、(3)组成的符号串才是合式公式可以将合式公式称为命题公式，简称公式〖注意〗(1)为方便起见，规定：)(A ⌝，)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧的外层括号可以省略不写(2)根据定义，可知：r q p r q p q p ↔∧→→∨⌝)(),(),(等是命题公式，但r q p r pq →∨⌝→),等不是命题公式一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的，只有对它的每个命题变项用指定的命题常项代替后，命题公式才变成命题，此时其真值唯一确定，由此引出解释或赋值的定义【定义2】解释或赋值设A 为一个命题公式，n p p p ,,,21 为出现在A中的所有的命题变项，给n p p p ,,,21 指定一组真值，称为对A 的一个解释或赋值。

(1)如果指定的一组值使A 的值为真，则称这组值为成真赋值(2)如果指定的一组值使A 的值为假，则称这组值为成假赋值如果命题公式A 中含有命题变项n p p p ,,,21 ，给定一组赋值n a a a ,,,21 ，其中ia 为0或1，是指：n n a p a p a p ===,,,2211 ，如果命题变项为,,,r q p ，则：n a a a ,,,21 指定他们的顺序是按字典顺序【定义3】真值表：如果)1(≥n n 个命题变项的命题公式，共有n2组赋值，将命题公式A 在所有赋值之下取值的情况列成表，称为A 的真值表构造真值表的具体步骤(1)找出命题公式中所含的所有命题变项n p p p ,,,21 ，列出所有可能的赋值(2)按从低到高的顺序写出各层次(3)对应每个赋值计算命题公式每个层次的值，直到最后计算出命题公式的值【例题1】求下列命题公式的真值表 (1))(r q p ⌝∨∧ (2)q q p p →→∧))(( (3)q q p ∧→⌝)( 〖解答〗 (1)根据例题所示的真值表，可以知道：命题公式可以分为三类：各种赋值都是真，各种赋值都是假，各种赋值有真有假【定义4】设A为一个命题公式(1)如果A在它的各种赋值下取值都为真，则称A为永真式（或重言式）(2)如果A在它的各种赋值下取值都为假，则称A为永假式（或矛盾式）(3)如果A至少存在一组赋值是成真赋值，则称A为可满足式注意：永真式一定是可满足式，但反之不真【方法】给定一个命题公式，判断其类型的方法之一如果真值表的最后一列都是1，则为永真式；如果最后一列都是0，则为永假式；如果最后一列既有0也有1，则为可满足式【练习】求下列命题公式的真值表(1)r∧)(p→q⌝(2)r→))∨((qpp∨(3)r q⌝)(→qp∧∧第三节：等值演算※给定)1(≥n n 各命题变项，按合式公式的形成规则可以形成无数个命题公式，但这些无穷尽的命题公式中，有些公式，虽然表面形式各自不同，但其具有相同的真值表，换句话说，真值表的最后一列是完全相同的，由此引出命题公式B A ,等值的概念 【定义1】设B A ,为两个命题公式，如果等价式B A ↔是永真式，则称B A ,是等值的，记做：B A ⇔ 〖注意〗 记号“⇔”不是命题联结词，它只是当B A ,等价时的一种记号【例题1】判断下列命题公式是否等值 (1))(q p ∧⌝与q p ⌝∨⌝ (2) )(q p ∨⌝与q p ⌝∧⌝〖提示〗用真值表加以判断，可知：两组命题公式都是等价的※重要的等值式（24个）在以上公式中，由于C B A ,,代表的是任意的命题公式，因而每个公式都是一个模式，它可以代表无数个同类型的命题公式，每个具体的命题形式称为对应模式的一个实例根据已知的等值式推演出另一些等值式的过程叫做等值演算【定理1】设)(A Φ是含命题公式A 的命题公式，)(B Φ是用公式B 置换了)(A Φ中的A 之后得到的命题公式，如果B A ⇔，则：)()(B A Φ⇔Φ在使用置换规则时，如果)(A Φ中的A 出现了不止一次，用B 去置换A 时，可以根据需要，用B 去置换)(A Φ中的一个A 或几个A ，而不一定把)(A Φ中的A 全部置换掉【例题2】验证下列等值式(1)r q p r q p →∧⇔→→)()((2))()(q p q p p ⌝∧∨∧⇔(3))()()(r q p r p q p ∧→⇔→∧→(4)q r p q r q p →∧⇔→∨→)()()(〖解答〗(1)r q p r q p r q p r q p r q p r q p →∧⇔∨∧⌝⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝→⇔→→)())(()()()()((2)p p q q p q p q p ⇔∧⇔⌝∨∧⇔⌝∧∨∧1)()()((3))()()()()()(r q p r q p r p q p r p q p ∧→⇔∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔→∧→ (4)q r p r q p qr p q r q p q r q p →∧⇔∨∧⌝⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝∨∨⌝⇔→∨→)()()()()()()(【例题3】判别下列公式的类型(1)))((p q p q ∧∨⌝⌝∨(2)))(()(r q q p p ∧⌝∧→⌝∨(3)p q p ⌝∧→)(〖解答〗(1)为永真式11)()()))(0(()))()((())((⇔⌝∨⇔⌝∨⌝∨⇔⌝∨⌝∨⇔∧⌝∨⇔∧∧∨⌝∨⇔∧∧∨∧⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨p p q q q p q q p q p q p q p p q p p q p q p q(2)为永假式001)0(1))(()(⇔→⇔∧→⇔∧⌝∧→⌝∨r r q q p p(3)为可满足式p p q p p q p ⌝⇔⌝∧∨⌝⇔⌝∧→)()(【练习】判断下列公式的内容 (1)))((p q p →∧⌝(2))())()((q p p q q p ↔↔→∧→(3))()(p q q p ⌝→→→⌝【例题4】某勘探队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人判断如下：甲：这不是铁，也不是铜；乙：这不是铁，是锡；丙：这不是锡，是铁，经过实验室鉴定后，发现其中一个人的两个判断都正确，因为他是专家；一个人的判断一对一错，因为他是队员；一个人的两个判断都错，因为他是实习生，根据以上情况判断矿样的种类，并确定甲、乙、丙的身份〖解答〗设p ：表示矿样是铁，q ：表示矿样是铜，r ：表示矿样是锡则：3人的判断符号化为：甲：q p ⌝∧⌝，乙：r p ∧⌝，丙：r p ⌝∧由已知条件可以知道：下面六个公式中有一个为真，即：(1))())()(()(r p r p r p q p ∧⌝∧∧∨⌝∧⌝∧⌝∧⌝(2) ))()(()()(r p r p r p q p ⌝∧⌝∨∧∧⌝∧∧⌝∧⌝(3) ))()(())()((r p r p q p q p ∧⌝∨∧⌝∧⌝∧∨∧⌝(4) ))()(()()(r p r p r p q p ⌝∧⌝∨∧∧⌝∧∧∧(5) )()())()((r p r p q p q p ⌝∧∧⌝∧∧⌝∧∨∧⌝(6) ))())()(()(r p r p r p q p ⌝∧∧∧∨⌝∧⌝∧∧ 这六个公式中的每一个都对应一个判断全正确，一个判断一个正确一个错误，还有一个判断是全错的，现在我们的任务是要确定r q p ,,中的哪一个为真才能使：(1)∨(2) ∨(3) ∨(4) ∨(5) ∨(6)为真 计算：(1)00)()()()()()()()()()())(1())(1()()()))(())(((()()()())()(()(⇔∧∨⌝∧⌝∧⌝⇔∧⌝⌝∧∨⌝∧∧⌝∧⌝∧⌝⇔∨⌝∧∨⌝∧∧⌝∧⌝∧⌝⇔∨⌝∧∧∨⌝∧∧∧⌝∧⌝∧⌝⇔∧∨⌝∧∧∨⌝∧∧⌝∧⌝∧⌝⇔∧⌝∧∧∨⌝∧⌝∧⌝∧⌝r p q p r p r p r p q p p r r p r p q p p r r p r p q p r p r r p p r p q p r p r p r p q p(2) 0)(0)()()()()()()()()())()(()()(⇔∨⌝∧∧⌝∧⌝⇔∨⌝∧⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝∧⌝⇔∨⌝∧∨⌝∧⌝∧∧⌝∧⌝⇔⌝∧⌝∨∧∧⌝∧∧⌝∧⌝p r q p p r r p r p q p p r r p r p q p r p r p r p q p(3)r q p rq p p p rq p p r p q p q p r p q p q q p p r p r p q p q p ∧∧⌝⇔∧∧⌝∨∧⌝⇔∧∨∧⌝⇔∧⌝∧∨∧⌝∨⌝⇔∧⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨⌝⇔∧⌝∨∧⌝∧⌝∧∨∧⌝))()(()()()()()())(())(())()(())()(((4)0)(0)()()()()()()()()())()(()()(⇔∨⌝∧∧∧⇔∨⌝∧⌝∧⌝∧⌝∧∧∧⇔∨⌝∧∨⌝∧⌝∧∧∧⇔⌝∧⌝∨∧∧⌝∧∧∧p r q p p r r p r p q p p r r p r p q p r p r p r p q p(5)r q p rq p rq p p p rp q p r p q p q p r p r p q p q p ⌝∧⌝∧⇔⌝∧⌝∧∨⇔⌝∧⌝∧∨∧⌝⇔⌝∧∧⌝∨⌝⇔⌝∧∧∨∧⌝∨⌝⇔⌝∧∧⌝∧∧⌝∧∨∧⌝))(0())()(()()()()()()())()(((6)))())()(()(r p r p r p q p ⌝∧∧∧∨⌝∧⌝∧∧0⇔在(3)中r q p ∧∧⌝代表的含义是这个矿样既是铜又是锡，这是不可能的所以：只有r q p ⌝∧⌝∧是成立的，即：矿样是铁所以：丙全对，他是专家；甲的判断一对一错，他是队员；乙的判断全错，则：他是实习生【例题5】小李或小张是先进工作者，如果小李是先进工作者你会知道的；如果小张是先进工作者，小赵也是先进工作者，你不知道小李是先进工作者，问：谁是先进工作者？〖解答〗设p ：表示小李是先进工作者；q ：表示小张是先进工作者；r ：你知道小李是先进工作者s ：小赵也是先进工作者将复合命题符号化为：rsqrpqp⌝∧→∧→∧∨)()((该式必为真，现在确定s r q p,,,的真值rsqpr sqqprsqpqprsqpqprsqrqprsqpqprsqrqppqprsqsqqprsqrpqprsqrpqp⌝∧∧∧⌝⇔⌝∧∨⌝∧∧⌝⇔⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⇔∨⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧∧∨∨⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧∨⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧∨⌝∧∨⇔⌝∧→∧→∧∨) () )())((())())((())())((())())((()()))(())(() ()()(() ()()()()()(所以：小张和小赵为先进工作者课本例题P11：例题11第六节：推理理论※推理是从前提推出结论的思维过程，前提是指已知的命题公式，结论指的是从前提出发应用推理规则推出的命题公式，前提可以是多个，定义如下：【定义1】如果B A A A n →∧∧∧ 21为永真式，则称n A A A ,,,21 推出结论B 的推理正确，B 是n A A A ,,,21 的逻辑结论或有效结论，称B A A A n →∧∧∧ 21为由前提n A A A ,,,21 推出结论B 的推理的形式结构用B A ⇒表示B A →的永真式，所以：如果由前提n A A A ,,,21 推出结论B 的推理正确也可以表示为： B A A A n⇒∧∧∧ 21判断推理是否正确的方法就是判断重言蕴涵式的方法，有真值表法、等值演算等方法，还有本节所要介绍的构造证明法【例题1】判断下列推理是否正确(1)如果天气凉快，小王就不去游泳。