数理逻辑中的命题符号化

数理逻辑中的命题符号化的几个值得注意的问题

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数理逻辑是离散数学的重要组成部分，也是计算机科学的基础之一。数理逻辑要解决的一个主要问题就是如何用数学的方法来研究判断和推理的问题，而要想将逻辑推理的方法准确地应用到实际问题中去，并在相应的数理逻辑运算体系下进行正确的推理从而获得准确的结论，其首要前提就是对普通语言文字所描述的命题进行正确的符号化，也就是将现实的问题准确地翻译成数理逻辑体系下的数学语言，即是要解决好命题符号化的问题。

1深刻理解逻辑联结词的含义

正确使用逻辑联结词，尤其是条件联结词在命题逻辑学中，对命题进行符号化时常用下列五个联结词：否定、合取、析取、条件、双条件等五个联结词。只有在准确地理解逻辑联结词的含义的基础上，才能做到正确地使用逻辑联结词并将命题符号化。所以将命题符号化的前提是要深刻地理解逻辑联结词的含义，上述五个逻辑联结词的含义具体如下：

1．1否定：设P为一命题，则P的否定是一个新命题，记作P。若P为真（T）时，﹃P为假（F）；若P为假（F）时，﹃P为真（T）。﹃称作否定联结词。它是日常语言中的“非”、“不是”、“并非”等词汇的逻辑抽象。

1．2合取：设P、Q是两个命题，P与Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。当且仅当P、Q同时为真（T）时，P∧Q为真（T），在其他情况下，P∧Q的真值都为假（F）。∧称作合取联结词，它是日常语言中的“并且”、“也”、“不但…而且”、“既…又…”等词汇的逻辑抽象。

1．3析取：设P、Q是两个命题，P与Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。当且仅当P、Q同时为假（F）时，P∨Q的真值为假（F），在其他情况下，P∨Q的真值都为真（T）。∨称作析取联结词，它是日常语言中的“或者”、“要么”等词汇的逻辑抽象。

1．4条件：设P、Q是两个命题，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q。当且仅当P的真值为真（T），Q的真值为假（F）时，P →Q的真值为假（F），在其他情况下，P→Q的真值都为真（T）。P →Q又被称为蕴含式，其中称P为前件，Q为后件，→称为条件联结词。它是日常语言中的“如果…就…”、“如果…那么…”、“…则…”等词汇的逻辑抽象。

1．5双条件：设P、Q是两个命题，其复合命题PQ称作双条件命题，当P和Q的真值相同时，P圮Q得真值为真（T），否则P圮Q的真值为假（F）。圮称作双条件联结词，它是日常语言中的“当且仅当”、“充分必要条件”、“相当于”、“…和…一样”、“等价”等词汇

的逻辑抽象。

在深刻地理解了逻辑联结词的含义后，在进行命题的翻译时仍然要注意逻辑联结词的综合使用尤其是条件联结词的正确使用。而对于由条件联结词构成的蕴含式P→Q的正确理解又是使用好条件联结词的关键。在使用时无论自然语言中的蕴含关系是如何描述的，都要区分好蕴含式的前件P和后件Q，弄清命题的必要条件和充分条件，否则的话就会造成把假命题变成真命题或把真命题变成假命题，进一步导致出错误的推理。

例1试分析下列推理是否正确：

只有甲曾到过受害者的房间，并且11点以前没有离开，甲才能犯谋杀罪。甲曾到过受害者的房间。如果甲在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以甲犯了谋杀罪。

先设命题常量为：

P：甲曾到过受害者的房间。

Q：甲11点以前离开。

R：甲犯谋杀罪。

S：看门人看见他。

再将上述问题的前提符号化为：

（R→（P∧﹃Q））∧P∧（Q→S）∧﹃S

于是此问题的结论应为：R还是R

即甲犯了谋杀罪或甲没有犯谋杀罪。我们先来证明如下：

证明：

（1）﹃S P

（2）Q→S P

（3）﹃Q T（1），（2）

（4）P P

（5）P∧﹃Q T（3），（4）

（6）R→（P∧﹃Q）P

由证明可知：R可真也可假，故推不出甲犯了谋杀罪。

在这里要特别注意的是应将前提“只有甲曾到过受害者的房间，并且11点以前没有离开，甲才能犯谋杀罪。”准确地翻译为R→（P∧﹃Q）而不是（P∧﹃Q）→R。

在蕴含式P→Q中的逻辑关系是后件Q是前件P的必要条件而

非充分条件，而这种逻辑关系在普通的语言中又会表现为不同的形式，如“只要P就Q”、“因为P，所以Q”、“P仅当Q”、“只有Q 才P”、“除非Q才P”、“除非Q，否则非P”、“非Q，则非P”等等。上述推理中的第一个前提就是“只有Q才P”的形式，所以要将其翻译为R→（P∧﹃Q）而不是（P∧﹃Q）→R。而这正是本题得出正确

结论的关键所在。

2注意翻译中的语境问题

命题是能判断真假的一个陈述句。把一个语句从普通语言翻译成数理逻辑体系下的数学语言，就需要判断它是一个不需要分解的简单命题还是一个需要分解的复合命题。而命题是否需要分解与它所处的语境又是密切相关的。

如，“有人认识所有名人”这一命题在下列两种不同的语境中就有不同的翻译。

语境（1）：如果有人认识所有名人，那么小李将打赢这场官司。但小李并未打赢这场官司，所以并非有人认识所有名人。

语境（2）；有人认识所有名人，所以所有名人都有人认识。

“有人认识所有名人”这一命题在语境（1）中可以作为不需要分解的简单命题，因为“如果”、“那么”、“并非”才是在这个语境中进行有效推理的核心因素。故设P：有人认识所有名人，Q：小李打赢这场官司，于是，（1）符号化为：P→Q∧Q＝＞﹃P。而“有人认识所有名人”这一命题在语境（2）中则需要分解成由个体词、量词、谓词等来构成的一个复合命题，其理由是“人”、“认识”、“名人”、“所有”等因素都是在这一语境中进行有效推理的关键因素。若令P （x）：x是人，Q（y）：y是明人，R（x，y）：x认识y，于是，（2符号化为：

()()),(

R

y

Q

x

x

y

x

y

p

p

y

→

⋂

∀

⇒

∀

x→

⋂

∃

∃

y

)(

(

)

)(

(

))

x

)

,

(

x

R

Q

(

(y

(

(

))

)

可见，语境问题是“翻译”中绝对不可忽视的一环。

3注意翻译中的个体域问题

同一个命题在不同的个体域上可以有不同的符的真值。如，“凡人都要死的”。如果个体域为：人类集合，则可令F（x）：x会死的，于是原命题符号化为：（x∀）F（x）；而如果个体域为全总个体域，则要先引进一个特性谓词来限定客体变元的变化范围：令M（x）：x 是人，于是原命题符号化为：（x∀）（M（x）→F（x））。

由此可见，个体域不同，同一个命题的符号化形式就不一样。而在有些命题中，个体域的不同又会导致命题有不同的真值。如对于命题：（x∃）（x＋11＝8）来说，当个体域为整数集时，该命题为真，而当该命题为自然数集时则该命题为假。所以在将命题进行符号化时一定要注意所讨论的命题是处于怎样的个体域中的。

4注意谓词的选择问题

谓词是翻译中的又一个重要工具，如在翻译命题“有一个儿子则有一个父亲”这一命题时，若将个体域视为人类集合，而在翻译时如不深思则很容易将其翻译为“（x∃）F（x）→（x∃）G（x）”，这里，F（x）：x是儿子，G（x）：x是父亲。这种翻译从表面上看好像是对