高中数学1.4.3正切函数的性质与图象课时跟踪检测新人教A版必修4

【优化指导】高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时跟踪检测
新人教A 版必修4
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基础 中档 稍难 正切函数的性质 1、4 11 正切函数性质的应用 2、5 7、9、10、12
13 正切函数的图象及应用
3、6
8
1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数在整个定义域内是增函数 B ．正切函数在整个定义域内是减函数 C ．函数y ＝3tan x 2
的图象关于y 轴对称 D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数
解析：由增减函数的概念知A 、B 均错误；对D,390°和60°均为第一象限角，且390°＞60°，但tan 390°＜tan 60°，故D 错误，综上可知C 正确．
答案：C
2．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π
2
的奇函数
D ．周期为π
2
的偶函数
解析：f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π
2.
答案：D
3．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，0，则φ可以是( ) A.π
6
B ．－π
6
C ．－π
12
D.π12
解析：将⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0代入原函数可得tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋φ＝0，再将A ，B ，C ，D 代入检验即可． 答案：B
4．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
22，22 C ．[－tan 1，tan 1]
D ．以上均不对
解析：∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan
x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.
答案：C
5．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________.
解析：由题意知，T ＝π|ω|＝π
2，∴ω＝±2.
答案：±2
6．在(0,2π)内，使tan x ＞1成立的x 的取值范围为________．
解析：利用图象y ＝tan x 位于y ＝1上方的部分对应的x 的取值范围可知． 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54
π，32π
7．求函数y ＝－tan 2
x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4的值域．
解：∵－π4≤x ≤π
4，∴－1≤tan x ≤1.
令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2
＋4t ＋1＝－(t －2)2
＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π
4时，y min ＝－4，
当t ＝1，即x ＝π
4时，y max ＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
8．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点之间的距离是( )
A.πω
B.
2πω
C ．π
D ．与a 的值有关
解析：由正切曲线知相邻两交点之间的距离为一个周期，又T ＝π
ω
，∴选A.
答案：A
9．若函数y ＝12tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋φ为奇函数，则φ＝________.
解析：∵函数为奇函数，∴φ＝k π(k ∈Z )． 答案：k π(k ∈Z )
10．－tan 6π5与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
13π5的大小关系是________．
解析：－tan 6π5＝－tan π
5
，
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
13π5＝－tan 13π5＝－tan 3π5.
∵0＜π5＜π2＜3π
5
＜π，
∴tan π5＞0＞tan 3π5，则－tan 6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
13π5. 答案：－tan 6π5＜tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－13π5
11．y ＝tan x
2
满足下列哪些条件？________.(填序号)
①在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π4＋
k π
2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π
2
＋k π，k ∈Z 得，
{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确．
答案：①②
12．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻
交点的距离等于2π，求f (x )的单调递增区间．
解：由题意知，函数f (x )的周期为2π， 则
π|ω|＝2π，由于ω＞0，故ω＝1
2
. 所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π4.
再由k π－π2＜12x ＋π4＜k π＋π
2
，k ∈Z ，
得2k π－3π2＜x ＜2k π＋π
2，k ∈Z ，
即函数f (x )的单调递增区间为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2，k ∈Z .
13．若函数f (x )＝tan 2
x －a tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最小值为－6.求实数a 的值．
解：设t ＝tan x ，∵|x |≤
π
4
，∴t ∈[－1,1]． 则原函数化为：y ＝t 2
－at ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22－a
2
4
，
对称轴t ＝a
2
.
①若－1≤a 2≤1，则当t ＝a 2时，y min ＝－a 2
4＝－6，
∴a 2
＝24(舍去)；
②若a
2
<－1，即a <－2时，二次函数在[－1,1]上递增， y min ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1－a 22－a 2
4＝1＋a ＝－6，∴a ＝－7； ③若a
2
>1，即a >2时，二次函数在[－1,1]上递减．
y min ＝1－a ＝－6，∴a ＝7.综上所述，a ＝－7或a ＝7.
本节内容是根据正切函数的诱导公式、正切线、正切函数定义等知识来推导、研究的，注意与正、余弦函数的图象与性质进行类比．
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π
2
，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋π
2，k ∈Z
，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为
T ＝
π|ω|
. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间．。