2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案(上海卷)
2015年上海高考数学试卷(理)与答案
2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð . 【答案】{}1,4；2.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = . 【答案】1142i +； 3.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= . 【答案】16；4. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = . 【答案】4；5.抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 【答案】2；6.若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 【答案】3π； 7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 .【答案】2；8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示） 【答案】120；9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 .【答案】y x =； 10.设()1f x -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 . 【答案】4；11. 在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】45；12.赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-= .（元） 【答案】0.2； 13.已知函数()s i n fx x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f xf x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为 . 【答案】8；14.在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅【答案】1615-；二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.15.设12,z z C ∈，则“12,z z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】B ；16.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐标为（ ） B.C.112D.132【答案】D ；17.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根D【答案】B ；18.设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A. 1-B.12-C.1D.2【答案】A ；三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小.【答案】； 【解析】（1）由于E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，所以//EF AC ，又11//AC AC ，所以11//EF AC ，由公理三的推论，可知1A 、1C 、F 、E 四点共面.（2）连接1A F 、1A B 由于11//CD A B ，所以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小与1A B 与平面11A C FE 所成角的大小相等.设1A B 与平面11A C FE 所成角为θ，点B 到平面1A EF 的距离为d ，则1sin dA Bθ=，在三棱锥1A EFB -中，体积1A EFB B A EF V V --=，所以 111133EFB A EF S AA S d ∆∆⋅=⋅，即11EFBA EF S AA d S ∆∆⋅=，结合题中的数据，可以计算出12EFB S ∆=，1AF A B ==1A F EF =1A F =1A EF S ∆=，所以d =，所以1sin d A B θ==，即θ=，所以直线1CD 与平面11A C FE所成角的大小为.本题亦可采用空间向量解决，不再赘述. 19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分ABCDEF1A 1B 1C 1D ABCD F1A 1B 1C 1D如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）138t =，()1f t =（2）()13788755,18t f t tt ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩；最大值不超过3. 【解析】（1）由题中条件可知138t =小时，此时甲与A 点距离为158千米，由余弦定理可知()2211515336992388564f t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()1f t =； （2）易知，当78t =时乙到达B 位置，所以 ①当3788t ≤≤时，()()()()()2222147855278552542185f t t t t t t t =-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦； ②当718t ≤≤时，()55f t t =-；综合①②，()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩当321825t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为35⎡⎢⎣⎦；当217258t ≤≤时，()f t 单调递增，此时函数的值域为35,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当718t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由此，函数()f t 在[]1,1t 上的值域为0,8⎡⎢⎣⎦，而29<⎝⎭3<， 所以()f t 在[]1,1t 上的最大值没有超过3.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.BC已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设()11,A x y ，()22,C x y .用A C 、坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）C 到直线1l（2）S =【解析】（1）由题易知A C 、两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况①当A C 、两点的横坐标有一个为零时，不妨设10x =，20x ≠不失一般性，此时1l 与y 轴重合，C 到直线1l 的距离为2x ，平行四边形ACBD 的面积为212S x y =；②当A C 、两点的横坐标均不为0时，即1l 和2l 的斜率均存在时，设1l 的方程为y kx =，其中11y k x =，由2221y kxx y =⎧⎨+=⎩可得()222110k x +-=，所以弦长AB ===点C 到直线1l的距离d ==所以四边形ACBD 的面积为12212S AB d x y x y =⋅=- 综合①②点C 到直线1lACBD 的面积为12212x y x y -.（2）易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为12-可得： 12122x x y y =-，又221112x y =-，222212x y =-，所以()()2222222121212122124x x y y y y y y =-=-++，即221212y y +=， ()()()()222222222222122112211221211212242412124S x y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎡⎤=-=+-=-+-+⎣⎦化简得()2221242S y y =+=22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知数列{}n a 与{}n b 满足()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈. （1）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即()0*N n n a a n ≥∈，求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设()*10,N n n a b n λλ=<=∈，求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2Mm∈-. 【答案】（1）()*65N n a n n =-∈；（2）证明见解析；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】（1）由35n b n =+可得：()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈，又11a =，所以数列{}n a 为以1为首项，6为公差的等差数列，即有()*65N n a n n =-∈； （2）由()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈可得：()21212a a b b -=- ()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥将上述式子累加可得()()1122n n a a b b n -=-≥，当1n =时，也成立，所以()()*112N n n a a b b n -=-∈，由此可得 111122n n b a b a =+-，由于1112b a -为常数，所以当{}n a 的第0n 项是最大项时，111122n a b a +-最大，即{}n b 的第0n 项是最大项；（3）有（2）可知()()*112N n n a a b b n -=-∈，即1122n n a b a b =+-，结合1,n n a b λλ==可得2n n a λλ=⋅-，分三种情况进行讨论：①当1λ=-时，则n 为偶数时3n a =，n 为奇数时1n a =-，即有3M =，1m =-，此时()32,2Mm=-∉-，由此，此情况不符合条件； ②当()1,0λ∈-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于()1,0λ∈-，所以()0,1λ-∈，从而n λ随着n 增大值减小，此时0n λ>，()2maxnλλ=，无最小值（无限靠近0）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于()1,0λ∈-，所以()0,1λ-∈，从而()nλ-随着n 增大值减小，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值增大，此时()minn λλ=，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列{}n a 的最大值22M λλ=-，最小值2m λλλ=-=，2221M m λλλλ-==-，又()2,2M m ∈-，所以21221210λλλ-<⎧⎪->-⎨⎪-<<⎩，解之102λ-<<； ③当1λ<-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于1λ<-，所以()1,λ-∈+∞，从而n λ随着n增大值增大，此时0n λ>，()2minnλλ=，无最大值（无限靠近+∞）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于1λ<-，所以1λ->，从而()nλ-随着n 增大值增大，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值减小，此时()maxn λλ=，无最小值（无限靠近-∞）；由此可知，在1λ<-条件下，数列{}n a 无最值，显然不符合条件； 综上，符合条件的实数λ的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，()00f =，()4f T π=； （1）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）设a b <，证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；【解析】（1）证明：()cosh cos sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()6cosh 6cos 6sin cos 6sin cos sin cosh 333x x x x x x x x ππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）当()c f a =或者()c f b =时，由于()f x 单调递增，所以存在0x a =或0x b =使得()0f x c =成立；当()()(),c f a f b ∈，构造函数()()p x f x c =-，则()0p a <，()0p b >，从而()()0p a p b ⋅<，所以存在()0,x a b ∈，使得()00p x =，即存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =成立，证毕.（3）先证必要性0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解，即0cos ()1f u =，由[]00,u T ∈可得[]0,2u T T T +∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00()cos cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解； 再证充分性0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，即0c 1s ()o f u T +=，由[]0,2u T T T +∈可得[]00,u T ∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00cos cos ()()1f u f u T =+=，即0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解；下证：对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以cos ()cos ()f x f x T =+，即有 cos ()cos ()0f x f x T -+=，所以()()()()2sinsin022f x f x T f x f x T ++-+-=，即()()2f x f x T k π++=或()()()Z 2f x f x T k k π-+=∈所以()()2f x T f x k π++=或()()()2Z f x T k f x k π+=+∈ ①若()()2f x T f x k π++=，由()00f =，()4f T π=，可得2k =. 所以()()4f x T f x π++=，这与函数()f x 为增函数矛盾，舍去；②若()()()2Z f x T k f x k π+=+∈，由()00f =，()4f T π=，可得2k =， 所以()()4f x T f x π+=+，即()()()f x T f x f T +=+.由此，对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.。
2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
2015年上海市高考数学试卷理科解析
2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分.1. ________________ （4 分）（2015?上海）设全集U=R .若集合A={1 , 2, 3, 4}, B={x|2 <x<3}，贝U Af?U B= ______ .2. ____________________________________________________________________________ （4分）（2015?上海）若复数z满足3z+H=1+i，其中i是虚数单位，则z= _______________________3. （4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为随机变量3和?分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）•13. (4分)(2015?上海)已知函数 f ( x ) =si nx .若存在x i , x 2,…，x m 满足0 §i v x 2v … v X m 詣 n,且 |f (x i ) - f ( x 2) |+|f (x 2) - f (x 3)+ (x m -1) - f (x m ) | = 12 ( m 》2, m €N ),则m 的最小值为 14. （2015?上海）在锐角三角形 ABC 中，ta nA=* , D 为边 BC 上的点，△ ABD 与厶ACD的面积分别为2和4.过D 作D E 丄A B 于E , DF 丄AC 于F ,则〒?.吩 _______________________________ .二、选择题（本大题共有 4题，满分15分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分._ 2 ... 2 (2)17. （2015?上海）记方程 ①：x +a 1x+ 仁0 ,方程②：x +a 2x+2=0，方程③：x +a 3x+4=0 , 其中a 1, a 2, a 3是正实数.当a 1, a 2, a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程 ③ 无实 根的是（ ）A .方程①有实根，B .方程①有实根，且②有实根 且②无实根C .方程①无实根，D .方程①无实根，且②有实根 且②无实根・ | * 2 218. (5 分)(2015?上海)设 P n (x n , y n )是直线 2x - y= ( n €N )与圆 x +y =2 在第n+1三、解答题(本大题共有 5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤•z 2中至少有一个数是虚数"是Z 1 - z 2是虚数的（) A . 充分非必要条B .必要非充分条 件件 C . 充要条件 D .既非充分又非16. （ 5分）（2015?上海）已知点至OB ，则点B 的纵坐标为（3A 的坐标为（4極,1）,将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转 D . 215. (5 分)(2015?上海)设 z 1, z 2€C ，则 z 1必要条件19. (12 分)(2015?上海)如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AA 仁1 , AB=AD=2 , E 、 F 分别是AB 、BC 的中点，证明 A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线 CD 1与平面A 1C 1FE 所 成的角的大小.20. (14分)(2015?上海)如图，A , B , C 三地有直道相通， AB=5千米，AC=3千米，BC=4 千米•现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过t 小时，他们之间的距离为 f(t )(单位：千米)•甲的路线是 AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是 ACB ，速度为8千 米/小时.乙到达B 地后原地等待.设t=t 1时乙到达C 地.(1 )求t 1与f (t 1)的值；(2 )已知警员的对讲机的有效通话距离是 3千米•当t 1W <1时，求f (t )的表达式，并判断f (t )在［t 1, 1］上的最大值是否超过 3?说明理由.21. ( 14分)(2015?上海)已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线11和12分别于椭圆交于 A 、 B 和C 、D ,记得到的平行四边形 ABCD 的面积为S.(1 )设A (X 1,y 1),C ( x 2, y 2),用A 、C 的坐标表示点 C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2 —x2y 1|; (2 )设11与l 2的斜率之积为-丄;，求面积S 的值.22. (16 分)(2015?上 海)已知数列｛a n ｝与｛b n ｝满足 a n+1 - a n =2 ( b n+1 - b n ), n €N * .(1 )若b n =3n+5，且a 1=1，求数列｛a n ｝的通项公式；(2 )设｛a n ｝的第n 0项是最大项，即a 却(n €N *),求证：数列｛b n ｝的第n 0项是最大项；(3)设a 1=入v 0, b n = f (n€N *),求入的取值范围，使得｛a n ｝有最大值M 与最小值m ，且7 €JT(-2, 2). 23.(18分)(2015?上海)对于定义域为 R 的函数g (x ),若存在正常数 T ,使得cosg ( x ) 是以T 为周期的函数，则称 g (x )为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期.已知f (x )是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R .设f (x )单调递增，f ( 0) =0, f (T ) =4 n.(1)验证g (x ) =x+sin 二是以6 n 为周期的余弦周期函数；(2 )设 a v b ，证明对任意 c€［f (a ), f (b )］，存在 xo€［a , b ］，使得 f (x 0) =c ;(3)证明：u o 为方程cosf (x ) =1在［0，T ］上得解，”的充分条件是 U o +T 为方程cosf ( x ) =1在区间［T , 2T ］上的解”，并证明对任意 x €［0, T ］，都有f (x+T ) =f (x ) +f (T ).2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分.1. （4分）{1 ,4}（2015?上海）设全集U=R .若集合A={1 , 2, 3, 4}, B={x|2 ，贝U Af?U B=考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可.解答：解：：•全集U=R，集合A={1 , 2, 3,4}, B={x|2 $^3}, ••• （?U B）={x|x > 3 或x v 2}, • A n（?U B）={1 , 4}, 故答案为：{1 , 4}.点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键.本题考查了推理判断的能力.2. （4 分）— 11 1 （2015?上海）若复数z满足3z+八=1+i，其中i 是虚数单位，则z==考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和分析: 解答: 复数.设z=a+bi，贝U =a- bi (a,b€R)，利用复数的运算法则、复数相等即可得出.解：设z=a+bi, 贝则尸a - bi ( a, b€R),_又3z+「=1+i ,••• 3 (a+bi) + ( a -bi) =1+i , 化为4a+2bi=1+i ,•4a=1 , 2b=1,解得a二,b—.4 2 •士丄一故答案为：1,1・21点评: 本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题.3. （4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为考点：二阶行列式与逆矩阵.专题：矩阵和变换.分析：根据增广矩阵的定义得到J S=3,是方程1尸5组*的解，解方程组即可.解：由题意知h~3,是方程 1尸5r 2x+33F G 组 1的解， 即、卢6H5吨1 上二区?贝 y C 1 - c 2=21 -5=16, 故答案为：16.本题主要考查 增广矩阵的求 解，根据条件建 立方程组关系 是解决本题的 关键. 4. （ 4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为16 ::,贝U a= 4 考点：棱锥的结构特 征.专题： 空间位置关系 与距离.分析： 由题意可得（丄?a?a?si n60°）?a=16 . ：:，由 此求得a 的值.解答：解：由题意可 得，正棱柱的底 面是变长等于a 的等边三角形， 面积为—?a?a?s in 60°,正棱柱的高为a .解答: 点评:（丄?a?a?si n60°2）?a=16、J :,••• a=4,故答案为：4.点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题.25. （4分）（2015?上海）抛物线y =2px （p> 0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则考点：抛物线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论.解答：解：因为抛物线2y =2px （p>0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1, 所以丄=1 ,2 所以p=2 .故答案为：2.点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.6. （4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2n,则其母线与轴的夹角TT的大小为-—3 —旋转体（圆柱、圆锥、圆台）. 空间位置关系考点：专题：分析: 解答: 点评: 与距离.设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为I，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2n,可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案. 解：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为I,则圆锥的侧面积为：n,过轴的截面面积为：rh,•••圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 n,•••l=2h ,设母线与轴的夹角为0,贝U COS0J!=—,1 2故匸丄,故答案为：丄.本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键.7. （4 分）考点：(2015?上海)方程Iog2 (9x 1- 5) =log2 (3x 1- 2) +2 的解为2 对数的运算性质.专题：函数的性质及应用.分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可.解答：解：•/ log2 (9x- 5) =log2(3x 「1-2) +2,log 2 (9x 1-5) =log2[4 x( 3x -1-2)],9x-1- 5=4( 3x -1-2), 化为(3x) 2- 12?3x+27=0, 因式分解为：(3x- 3) (3x-9) =0,x x••• 3 =3 , 3 =9, 解得x=1或2. 经过验证：x=1 不满足条件，舍去..x=2 .故答案为：2.点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题.& （4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）.考点：排列、组合的实际应用.专题：计算题；排列组合.分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案.解答：解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有5C9 =126 种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126 -6=120 种；故答案为：120.点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算.9. （2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线C i和C2.若C1的渐近线方程为y土■:x,则C2的渐近线方程为—尸土宁—考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设C1的方程为y2- 3X2=入利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程.解答：解：设C1的方程为y2-小23x =入，设Q (x, y), 则P (x, 2y), 代入y2- 3x2=入，可得4y2 -3X2=入••• C2的渐近线方程为4y2-23x =0，即「丄'.'.¥2故答案为：「丄-..'2点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.10. (4 分)(2015?上海)设f「1(x )为f (x) =2x「2—, x €[0, 2]的反函数，贝U y=f (x) +f 1(x)的最大值为4 .考点：反函数.专题：函数的性质及应用.分析：由f(x)=2x-2+±2在x€［0, 2］上为增函数可得其值域，得到y=f\x)在［二’：］4上为增函数，由函数的单调性求得y=f (x) +f1(x)的最大值.解答：解：由f (x) =2x2+ 在x €[0 ,「22] 上为增函数，得其值域为[— 1 ,4可得y=f「1(x)在[ ]上为4增函数，因此y=f (x) +f「(x )在[二.:]4上为增函数，—1/• y=f (x) +f(x )的最大值为f(2) +f—(2)=1+1+2=4 .故答案为：4.点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题.11. （4 分）(2015? 上海)在(1+X+ | ) 的展开式中，x项的系数为45 (结果用数值表示)考点：二项式系数的性质.专题：二项式定理.分析：先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数（i+x ） （ L ） °+L10 VirK }、20157 十xr 1 （m ）九… L 10 v 1 * 7 ' 2015J?•••仅在第一部分中出现x 2项 的系数. 再由 咯1二J ， 令r=2，可得, x 2项的系数为二n故答案为：45.本题考查了二 项式系数的性 质，关键是对二 项展开式通项 的记忆与运用， 是基础题.12. （4分）（2015?上海）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1 , 2, 3,4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量8和?分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E 日-E ? = 0.2（元）.考点：离散型随机变 量的期望与方 差.专题： 概率与统计. 分析：分别求出赌金 的分布列和奖 金的分布列，计算出对应的均 值，即可得到结解答:为2求得r 值, 则答案可求.点评:116象.解答:论.解：赌金的分布 列为P所以E g=i5（1+2+3+4+5 ）=3，奖金的分布列 为点评:cP所以 E 2=1.4X （二 xi+上 >2+15 10 1>3+ 一 2） =2.8 ,10则E & — E 題=3 -2.8=0.2 元. 故答案为：0.2 本题主要考查离散型随机变 量的分布列和 期望的计算，根 据概率的公式 分别进行计算 是解决本题的 关键.1 1013. (4分)(2015?上海)已知函数f ( x ) =si nx .若存在x i ,x 2,…，x m 满足0 §i v x 2v …v x m 詣 n,且 |f (x i ) - f ( x 2) |+|f (x 2) — f (x 3) |+・・ + |f (x m -1) — f (x m ) |=12 ( m 》2, m €N ), 则m 的最小值为 8 .考点： 正弦函数的图3 10116A BC 中，tanA=* , D 为边 BC 上的点，△ A BD 与厶ACD的面积分别为2和4.过D 作D E 丄A B 于E ，DF 丄AC 于F ，则•？ =_「14. （2015?上海）在锐角三角形考点：平面向量数量积的运算. 专题：平面向量及应用.分析：由题意画出图形，结合面积求出cosA=' 」5|五卜而| =,然后代入数量积公式得答案.15解答：解：如图，△ ACD的面积分别为2和4,|||AB|dDEl^||A£|dDFl^可得I AB RI AC I又tanA=—,2.sinA _]cosA 2\立2 2sin A+cos A=1 , 得—r '， cosA=^i!.5由£|甬卜疋|赵nAN，得|AB|-|A C|=12V5iDEl-lDPI DE I- |DF I COS <DE , DF >故答案为：_ 1&本题考查平面 向量的数量积 运算，考查了数 形结合的解题 思想方法，考查 了三角函数的 化简与求值，是 中档题.二、选择题（本大题共有 4题，满分15分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. （5分）（2015?上海）设z i , Z 2€C ，则Z l 、Z 2中至少有一个数是虚数 "是Z 1 - Z 2是虚数” 的（ ） A .充分非必要条件C .充要条件邑瓦（_空）15515点评:B .必要非充分条 件 D .既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：简易逻辑；数系的扩充和复数.分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可.解答：解：设z i=i+i，z2=i，满足z i、Z2中至少有一个数是虚数，则z i- z2=1 是实数，则z i - Z2是虚数不成立，若Z i、Z2都是实数，则z i - z2 一定不是虚数，因此当Z i - Z2是虚数时，则Z i、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故Z i、z2中至少有一个数是虚数"是z i - Z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B.点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键.16. （5 分）（20i5?上海）已知点A的坐标为（血,i）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）3|OB|=|OA|=&十（任）'二届二耳则点B 的纵坐 标为 y=|OP|sinA •:，；考点：专题：分析：C • 11~2解答:任意角的三角 函数的定义.三角函数的求 值. 根据三角函数 的定义，求出 / xOA 的三角 函数值，利用两 角和差的正弦 公式进行求解 即可.解：I 点A 的 坐标为（4 :", 1）,•••设 / xOA= 0, 则sin 0=1 = 1旦cos 0=将OA 绕坐标原 点O 逆时针旋则OB 的倾斜角(9+—) =73s —+co 3(丄a +7 2；)27=丄+6二2 2 故选：D .本题主要考查 三角函数值的 计算，根据三角 函数的定义以 及两角和差的 正弦公式是解 决本题的关键._ 2 2 217. （2015?上海）记方程 ①：x 2+a i x+ 仁0 ,方程②：x 2+a 2x+2=0 ,方程③：x 2+a 3x+4=0 , 其中a i , a 2, a 3是正实数.当a i , a 2, a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程 ③ 无实 根的是（ ）A .方程①有实根，B .方程①有实根，且②有实根且②无实根C .方程①无实根，D .方程①无实根，且②有实根且②无实根考点：根的存在性及 根的个数判断. 专题：函数的性质及 应用.分析：根据方程根与 判别式△之间 的关系求出 a i 2 羽，a 22<8, 结合 a i , a 2, a 3 成等比数列求 出方程③的判 别式△的取值 即可得到结论.解答：解：当方程①有 实根，且②无实(sin 9co13点评:s9si=7根时，△ i=a i2-4 为，△ 2=a2-8 v 0,即a i2绍，a22v8,•••ai, a2, a3 成等比数列，. 2…a2=a1a3,2即a3=「,a L贝廿a32=(—)2_4 a22 a l<耳二164即方程③的判别式△ 3=a32- 16v 0,此时方程③无实根，故选：B点评：本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键.18. (5 分) (2015?上海)设P n (x n, y n)是直线2x - y=n+1(n €N*)与圆x2+y2=2 在第象限的交点, 则极限D. 2考点：极限及其运算.专题：导数的综合应lira作点P n（x n,y n）与（1 , 1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2 在点（1, 1）处的切线的斜率，其斜率为-1.y - 1二_=-1. 故选：A.本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤•19. （12 分）（2015?上海）如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AA 仁1 , AB=AD=2 , E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.分析: 解答: 用.当n i+8时，直线2x - y=_£Ln+1 趋近于2x -y=1，与圆x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（1,1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出.解：当n^+8 时，直线2x -y=—趋近于n+12x- y=1，与圆x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（1,1）, 点评:考点：直线与平面所成的角.专题：空间角.分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系.用法向量求出面角.解答：解：连接AC ,因为E, F分别是AB , BC的中点，所以EF是△ ABC的中位线，所以EF // AC .由长方体的性质知AC // A1C1,所以EF // A1C1,所以A1、C1、F、E四点共面.以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得E4C= （0, 2, -1）Aj C J- ( — 2? 2, Q ) Tjl 二(o, 1, -1) 设平面A 1C 1EF 的法向量为 n= y» S ) 则 n* Aj C 彳 T --- * ， □ • A] E 二0 所以 r (x, y, zi * ( - 2, 2, 0) =0 t (K )¥、i) (0, 1. -15 二Q ，即j" - 2x425,^0 1 y - 2=0 ， z=1，得 x=1, y=1，所以 n= (b 1, 1) 所以 丨一―一 m_ I 二D£l I n * D 1C A I — ~] ・] 1 l“|D]C| Id 二(g z -i )l 护 VWs 所以直线CD i 与平面A 1C 1FE 所成的角的大 利用空间直角 坐标系求出点评:本题主要考查 小 arcsi€［0，：-］， 面角的方法，属 咼考常考题型.20. (14分)(2015?上海)如图，A , B , C 三地有直道相通， AB=5千米，AC=3千米，BC=4 千米.现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过t 小时，他们之间的距离为 f(t )(单位：千米).甲的路线是 AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是 ACB ，速度为8千 米/小时.乙到达B 地后原地等待.设t=t i 时乙到达C 地.(1 )求t l 与f (⑴的值；(2 )已知警员的对讲机的有效通话距离是 3千米.当t i W <1时，求f (t )的表达式，并判断f (t )在［t i , 1］上的最大值是否超过 3?说明理由.余弦定理的应用.解三角形. (1 )由题意可得由余弦定理可得 f (t 1)=PC=2AC*AP*GOS A，代值计算可得;考点： 专题：分析：和余弦定理可=PQ=f (t ) =PB=5 -5t ，综合可得当时，由已知数据可得结论.解：(1)由题意可得t1=厶,吃8设此时甲运动到点P,则AP=v甲ti=5 乙=—千:::米，••• f (t1)=PC=2AC*AP*GOS AP点，• QB=AC+CB-8t=7 - 8t,PB=AB - AP=5-5t,•-f (t)=PQ=7Q B2+PB2-2QB-PB*COS B7 C?-8t) 2+ 2-2 C7-8t) (5-5t) 0.8当冬t o时，乙s在B点不动，设此时甲在点P,• f (t) =PB=AB时，乙在CB上的Q点，设甲在解答:点评:-AP=5 - 5t•-f (t)V25t£-42t+L8 .5_5t j tClI 8•••当』v t勻时，8f (叮o,4'-］，故f (t)的最大值超过了3千米.本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题.21. (14分)(2015?上海)已知椭圆x2+2y2=1 ,过原点的两条直线B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.(1)设A (X1, y i) , c (x2, y2)，用A、C的坐标表示点C到直线—X2y1|；(2)设11与12的斜率之积为-丄，求面积S的值. 11和12分别于椭圆交于A、11的距离，并证明S=2|x1y2考点：专题：分析：直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式. 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.(1 )依题意，直线11的方程点到直线间的距离公式可求得点C到直线11 的距离S=|AB|d=2|x i y 2 —x2y 1|; (2 )方法一： 设直线11的斜 率为k ,则直线 12的斜率为- —，可得直线11 2k 与12的方程，联 立方程组 L x 5+2y £=l 可求得X I 、x 2、 y l 、y 2，继而可 求得答案. 方法二：设直线 利用 A( X 1, y 1)、 C (x 2, y 2)在 椭圆 x 2+2y 2=1 上,可求得面积 S 的值. 解：(1)依题意， 直线11的方程 d= |AB|=2|AO|=2 证得— :, 解答:11、12的斜率分 到直线间的距离公式得：点C到直线11的距离d=瓦2 一葢］丫』因为|AB|=2|AO|=2T^W，所以S=|AB|d=2|x i y2-x2y1l;(2 )方法一：设直线11的斜率为k,则直线12的斜率为- n 谢设直线11的方程为y=kx ,联立方程组消去y解得根据对称性，设则同理可得_V2所以 S=2|X i y 2 - x 2y i |=Z 」. 方法二：设直线 11、12的斜率分则」=-丄,"七 2 所以X i x 2=- 2y 1y 2, ■■ =4 • =42 2I =■2x 1x 2y 1y 2,••• A (x i , y i )、 C (x 2, y 2)在 椭圆 x 2+2y 2=1 上， （冲+如J ）（J ）=沁 2+4巧七4+2(- )=1兌^1 ) 1，即- 4x1x2y1y2+2 (「:+,.「)=1'所以(X1y2 -2 |X2y1)=—，即2|x1y2-X2y1|= -2所以S=2|X1y2 -X2y1|= . :■:.点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题.22.( 16 分) (2015?上海)已知数列｛a n｝与｛b n｝满足a n+1 - a n=2 ( b n+1 - b n), n €N* .(1 )若b n=3n+5，且a i=1，求数列｛a n｝的通项公式；(2) 设｛a n｝的第n o项是最大项，即a 為(n€N*),求证：数列｛b n｝的第n o项是最大项；(3) 设a i=入v 0, b n= f (n€N*),求入的取值范围，使得｛a n｝有最大值M与最小值m,审€JT(-2, 2).考点：数列递推式；数列的函数特性.专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用.分析：(1)把b n=3n+5 代入已知递推式可得a n+1 —a n=6，由此得到｛a n｝是等差数列，则a n可求；(2 )由a n= ( a n —a n_1) + ( a n_ 1 —a n-2) + ••+ ( a2 —a i) +a i,结合递推式累加得至卩a n=2b n+a i —2b i,求得解答: 咯冷一引)第(务+2切-aj) 得答案；(3 )由(2 )可得屯二2 X n _人，然后分-1<入v 0, }=—1,入<—1三种情况求得a n的最大值M和最小值m,再由更€ (—2, 2)列式求得入的范围.(1)解：••• a n+1—a n=2 ( b n+1 —b n), b n=3n+5,a n+1 —a n=2(b n+1 —b n) =2(3n+8 —3n —5) =6,.{a n}是等差数列，首项为a1=1,公差为6, 贝U a n=1+ (n —1) >6=6 n —5;(2)•/ a n= (a n—a n-1) + ( a n- 1—a n-2) + ••+ ( a2—a1) +a1=2 ( b n —b n-1)+2 (b n-1—b n-2)，进一步得到+ --+2 （b2- b i）+a i=2b n+a i - 2b i,b n4（a n+2b l - 岂）b%冷（%切>1 ~ aj）>| &+2耳-閔）• ••数列｛b n｝的第n0项是最大项；(3 )由(2 )可得①当-1v疋0 时，单调递减，有最大值%- 1单调递增，有最小值m=a i=入（-2, 2）,•-入€②当？= -1时,a2n=3, a2n-仁—1,/• M=3 , m= - 1,-I - 2,2),不满足条件.③当X- 1时，当n^+8时，a2n f+ 8,无最大值；当n^+8时，a2n--8,无最小值.综上所述，入€(-二，0)时满2足条件.点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对(3)的求解运用了极限思想方法，是中档题.23. (18分)(2015?上海)对于定义域为R的函数g (x),若存在正常数T,使得cosg ( x) 是以T为周期的函数，则称g (x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知f (x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f (x)单调递增，f ( 0) =0, f (T) =4 n.(1)验证g (x) =x+sin上是以6n为周期的余弦周期函数；3|(2)设a v b，证明对任意c€［f (a), f (b)］，存在x o€［a, b］，使得f (x0) =c;(3)证明：U0为方程cosf (x) =1在［0 , T］上得解，”的充分条件是U0+T为方程cosf ( x) =1在区间［T , 2T］上的解”，并证明对任意x €［0, T］，都有f (x+T ) =f (x) +f (T).考点：函数与方程的综合运用.专题：创新题型；函数的性质及应用.分析：(1 )根据余弦周期函数的定义，判断cosg(x+6 n)是否等于cosg( x )即可；( 2 )根据f( x ) 的值域为R,便可得到存在x0，使得f( x0)=c，而根据f( x )在R上单调递增即可说明xo€［a, b］，从而完成证明；( 3 )只需证明u0+T 为方程cosf( x ) =1 在区间［T , 2T］上的解得出u0 为方程cosf( x) =1在［0，T］上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x€［0, T］，都有f( x+T )=f ( x) +f( T )，可讨论x=0 , x=T , x €(0, T)三种情况：x=0 时是显然成立的；x=T 时，可得出cosf(2T) =1，从而得到f( 2T) =2k l n, k l €Z, 根据f (x)单调递增便能得到k i> 2，然后根据f (x)的单调性及方程cosf(x) =1 在［T, 2T］和它在［0，T］上解的个数的情况说明k i=3，和k i为是不存在的，而k i=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x €(0, T )时，通过考查cosf (x) =c的解得到f(X+T) =f (x) +f (T),综合以上的三种情况，最后得出结论即可.解答：解：(1) g (x)=x+s in^;3sosg (瓦+6■兀)=GOS (計6兀4-sin )COS ( XZ+sillW )■J*=cosg (x)••• g (x)是以6 n为周期的余弦周期函数；(2 )T f (x)的值域为R;•存在x0,使f(x o) =c ;又c€[f (a), f(b)];•f (a)詣(x o)< (b),而f (x) 为增函数；•a^xo^b；即存在xo€[a,b]，使f (x o)=c ；(3 )证明：若u o+T为方程cosf (x) =1 在区间［T , 2T］上的解；贝U: cosf (u o+T) =1,T 电o+T 电T; ••• cosf (u o) =1, 且0岂o訂；•u o 为方程cosf ( x) =1 在［o，T］上的解；•u o为方程cos(f x) =1 在［o，T］上得解”的充分条件是“u o+T 为方程cosf( x)=1 在区间［T，2T］上的解”；下面证明对任意x€［o, T］，都有f(x+T) =f(x)+f( T):①当x=o 时，f ( o) =o，• 显然成立；②当x=T 时，cosf( 2T) =cosf (T) =1；• f ( 2T) =2k1 n, (k l€Z)，f(T) =4 n,且2k l n> 4n, • k1 > 2; 1)若k1=3, f(2T) =6n,由(2)知存在x o€ (o, T),使f(x o) =2 ncosf( x o+T)=cosf( x o) =1 ? f (x o+T ) =2k2 n, k2^Z;• f (T )v f(x o+T )v f(2T)；• 4 nV 2k2 nV 6 n;••• 2 v k2< 3，无解；2) 若k i为,f(2T)》0n,贝U 存在T v x1 v x2 v2T,使得f(x i) =6 n,f(x2)=8 n;贝T ，x i ，x2 ，2T 为cosf( x)=1 在［T , 2T］上的4 个解；但方程cosf( x)=1 在［0 , 2T］上只有f( x) =0，2 n 4 n 3个解，矛盾；3) 当k1=4 时，f(2T)=8 n=f(T)+f( T ) ，结论成立；③当x €( 0, T) 时，f (x) €( 0,4 n),考查方程cosf( x) =c 在(0 ,T )上的解；设其解为 (f x1 )，f(x2),…，f(x n), (x i V X2V •••<x n)；贝f(x1+T), f(X2+T),…，f(x n+T )为方程cosf( x) =c 在(T , 2T) 上的解；又f( x+T ) €( 4 n, 8n);而f (x i) +4 n, f ( x2) +4 n,…, f(x n) +4 n(4 n, 8 n)为方程COSf ( x) =c 在( T, 2T)上的解；二f (x i+T) =f(X i) +4 n=f (x i)+f( T)；• ••综上对任意x€[0, T]，都有f( x+T )=f( x) +f( T)．考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf( x) 点评：=1 能得出f( x ) =2kx , k €Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn ;孙佑中；maths; caoqz;刘长柏；翔宇老师;danbo7801 ；sxs123;海燕；雪狼王；lincy ；wfy814 ；wkl197822 （排名不分先后）菁优网2015 年6 月25 日4. （4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为1痢，则a=.25. （4分）（2015?上海）抛物线y =2px （p> 0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则P= __________ .6. （4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2n,则其母线与轴的夹角的大小为_________________ .7. （4 分）（2015?上海）方程log2 （9X「1- 5）=log2 （3X「1- 2）+2 的解为.& （4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_____________________________________ （结果用数值表示）.9. （2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线C1和C2.若C1的渐近线方程为y= 土「；x，则C2的渐近线方程为_______________ .—1 x -2 Y10. （4 分）（2015?上海）设f （x）为f （x）=2 + ，x €[0，2]的反函数，贝U y=f （x）+f 1（x）的最大值为__________________ .11. ________________________________________________________________________（4分）（2015?上海）在（1+x+一「）* 2 * * * & * * * 10的展开式中，x2项的系数为________________________________________________________________________________________________ （结果用数值表示）.12.（4分）（2015?上海）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分）1．设全集U=R ，若集合{}A=12,3,4，，{}23B x x =≤≤，则U AC B = ； 2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ；3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ； 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = ；5．抛物线22(p 0)y px =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ；6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角大小为 ；7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ；8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示）9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为1C 和2C ，若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ；10．设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ； 11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ；（结果用数值表示） 12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元；13．已知函数()sin f x x =，若存在12,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231++=122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+--≥∈，则m 的最小值为 ；14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD 与ACD 的面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF = ；一. 选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15．设12z z C ∈、，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16．已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）C. 112D.13217．记方程①：2110x a x ++=；方程②：2210x a x ++=；③：2310x a x ++=；其中123a a a 、、是正实数，当123a a a 、、成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（ ）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n x n y x →∞-=-（ ）A. 1-B. 12-C. 1D. 2二. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是棱AB BC 、的中点.证明A C F E 、、、四点共面，并求直线CD 与平面AC FE 所成的角的大小.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，A B C 、、三地有直道相通，5AB =千米，3AC =，4BC =千米，现甲乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()t f (单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设1=t t 时，乙到达C 地.(1)求1t 与()1f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当11≤≤t t 时，求()t f 的表达式，并判断()t f 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由.21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、记得到的平行四边形ABCD 的面积为S .(1)设()()1122,,C ,y A x y x . 用A C 、的坐标表示C 到直线1l 的距离，并证明12212y x y x S -=；(2)设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n N ++-=-∈.(1)若35,b n =+且1a =,求{}a 的通项公式;(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}n b 的第0n 项是最大项;(3)设10a λ=<,(*)n n b n N λ=∈,求λ的取值范围,使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2).M m∈-23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0,()4.f f T π==（1）验证()sin 3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.这样看来，一般来说，生活中，若如果我们听到坏消息怎么样出现了，我们就不得不考虑它出现了的事实。
2015年高考理科数学上海卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U AB =ð .2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 . 10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）1sin602a a ︒，1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征123270x+=011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【提示】对任意的i x ，j x ，|()()|2i j f x f x -=，让i x 取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=，【解析】解：如图，ABD △与ACD △的面积分别为2和4||||22AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-．85||||15DE DF =数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）为坐标原点，、DC 、DD 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得(0,2,D C =，11(2,2,0)A C =-，(0,1,A E =设平面11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,,)(2,2,0)0,)(0,1,1)x y z y z -=-=2-⎧所以(1,1,1)n =，111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =上的Q 点，设甲在cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代值计算可得；由已知数据和余弦定理可得3数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2(a a +-+2112()b b a +++-112)b a +-2(a a +-+1(22n a b +)n x <<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程c o s ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,；而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解； ∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可； （Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查c o s ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。
2015年高考全国新课标1卷理科数学试题(含答案)
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（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ，则
（ A）
=
+
(B)
=
（C）
=
+
(D)
=
【解析】本题考查平面向量，画出图形，
1 1 1 4 AD AC CD AC BC AC ( AC AB) AB AC 3 3 3 3
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=
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（A）1（B）2（C）4（D）8 【解析】本题考查三视图， 由正视图和俯视图知， 该几何体是半球与半个圆柱的组合体， 圆柱的半径与球的半径都为 r， 圆柱的高为 2r， 其表面积为
cos （AE， CF） AE CF 3 = 3 |AE||CF |
所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值是
3 . 3
（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年 销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1（i=1,2， · · · ，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
所以 0 x 4 ，而 AB
因此可得 AB 的范围是 ( 6 2, 6 2) .
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三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0， （Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设
2015年高考理科数学上海卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U A B =ð . 2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 .10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A 的坐标为43,1（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A .33 B .53C .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共42页） 数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin 3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.3 / 141sin602a a ︒，正棱柱的高1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【提示】由题意可得1sin 601632a a a ⎛⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征数学试卷 第10页（共42页）数学试卷 第11页（共42页） 数学试卷 第12页（共42页）123270x +=5 / 14011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第17页（共42页） 数学试卷 第18页（共42页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，6m x <<≤|(m f x -++的最小值．7 / 14【解析】解：如图，||||2AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-． 85||||15DE DF =数学试卷第22页（共42页）数学试卷第23页（共42页）数学试卷第24页（共42页）9 / 14易求得(0,2,D C =，(2,2,0)AC =-，(0,1,A E =11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,)(2,2,0),)(0,1,1)z z -=-=，所以(1,1,1)n =，所以111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =数学试卷 第28页（共42页）数学试卷 第29页（共42页） 数学试卷 第30页（共42页）cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代3数学试卷 第34页（共42页）2(a a +-+2112()b b a +++-2)b a +-2(a +-+1(2a b +（Ⅱ）∵()f x 的值域为R ；∴存在0x ，使0()f x c =；又(),)]([c f a f b ∈；∴0()()()f a f x f b ≤≤，而()f x 为增函数；∴0a x b ≤≤；即存在0,[]x a b ∈，使0()f x c =；（Ⅲ）证明：若0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解；则：0cos ()1f u T +=，02T u T T +≤≤；∴0cos ()1f u =，且00u T ≤≤；∴0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解；∴“0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上得解”的充分条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解”；下面证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+：①当0x =时，(0)0f =，∴显然成立；②当x T =时，cos (2)cos ()1f T f T ==；∴11(2)2,()f T k k Z π=∈，()4πf T =，且12π4πk >，∴12k >；1）若13k =，(2)6πf T =，由（Ⅱ）知存在0(0,)x T ∈，使0()2πf x =；0002cos ()cos ()1()2πf x T f x f x T k +==⇒+=，2k ∈Z ；∴0()()(2)f T f x T f T <+<；∴24π2π6πk <<；∴223k <<4，无解；2）若15k ≥，(2)10πf T ≥，则存在122T x x T <<<，使得1()6πf x =，2()8πf x =；则T ，1x ，2x ，2T 为cos ()1f x =在[],2T T 上的4个解；但方程cos ()1f x =在[0]2T ,上只有()0f x =，2π，4π，3个解，矛盾； 3）当14k =时，(2)8π()()f T f T f T ==+，结论成立；③当(0)x T ∈,时，()(04π)f x ∈,，考查方程cos ()f x c =在(0)T ,上的解； 设其解为1()f x ，2()f x ，…，()n f x ，12()n x x x <<<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,； 而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；数学试卷 第40页（共42页）∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可；（Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查cos ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)
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保持平常心，顺其自然2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =I ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =I 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】3y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ1.42.8 4.25.6 P25425C = 253310C = 25215C = 251110C = 所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅=u u u r u u u r．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin ,cos ,sin 24125255A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=u u u r u u u r 16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112 D ．132【答案】D【解析】133313(cos sin )(43)()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅=+u u u r u u u r ，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nn ny x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数 3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】4 【解析】2331636444a a a a ⋅=⇒=⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合9、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】由题意得：2()22x xf x -=+在[0,2]上单调递增，值域为1[,2]4，所以()1f x -在1[,2]4上单调递增，因此()()1y f x f x -=+在1[,2]4上单调递增，其最大值为1(2)(2)22 4.f f -+=+=【考点定位】反函数性质11、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）． 【答案】0.213、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且 ()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【考点定位】复数概念，充要关系16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112D ．132【答案】D 【解析】133313(cossin )(43)()332222OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质 18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A【考点定位】极限三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19、（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.【答案】1515arcsin【考点定位】空间向量求线面角20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分 如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）138t =，()13418f t =（2），不超过3.因为()f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是334188f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f t 在7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是7588f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f t 在3,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3418，不超过3. 【考点定位】余弦定理21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=187,558783,184225)(2t t t t t tf已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）详见解析（2）2S =22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 【答案】（1）65n a n =-（2）详见解析（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭当1n =时，1a λ=，符合上式. 所以2n n a λλ=-.因为0λ>，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=-<-.①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()32,21∉--；③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222a λλM ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<.综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【考点定位】等差数列，数列单调性23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin 3x h x x =+是以π6为周期的余弦周期函数；（2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =； （3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T . 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（3）若0u 为()cos 1f x =在[]0,T 上的解，则()0cos 1f u =，且[]0,2u +T∈T T ，()()00cos cos 1f u f u +T ==，即0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解.【考点定位】新定义问题。