初三数学下5
苏科版 九年级数学 下第5章二次函数 5.2二次函数的图像和性质课件(15张PPT)-经典教学教辅文
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
初三数学下册知识点总结
初三数学下册知识点总结一、平面图形的认识1. 点、线、面的基本概念2. 角的概念及角的分类3. 直线的分类及直线的性质4. 平行线的判定方法及平行线的性质5. 三角形的分类及三角形的性质6. 等腰三角形、等边三角形的性质7. 直角三角形、等腰直角三角形的性质8. 平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质二、数据处理1. 平均数的概念及计算2. 中位数的概念及计算3. 众数的概念及计算4. 极差的概念及计算5. 百分数及其应用6. 棒形图、折线图、饼图的绘制及解读7. 统计调查设计三、方程式与不等式1. 一元一次方程的解法及应用2. 一元一次方程的解集及解集图的绘制3. 度量图形的方程式4. 解一元一次方程的应用题5. 一元一次不等式的认识及解法6. 一元一次不等式的应用题7. 二元一次方程组的解法及应用四、几何变换与成分比例1. 平移的性质及计算2. 旋转的性质及计算3. 对称的性质及计算4. 两个全等图形之间的性质及计算5. 两个相似三角形之间的性质及计算6. 成分比例的概念及计算7. 成分比例在几何形体中的应用五、平面向量1. 向量的概念及表示法2. 平面向量的加减法及性质3. 向量的数量积与性质4. 平面向量的数量积的性质及应用5. 平面向量的夹角和垂直的判定与计算6. 向量、点及直线的共线关系及应用7. 用平面向量解决平面几何问题六、三角函数1. 角度制与弧度制的相互转换2. 弧度的概念及性质3. 任意角与标准角的关系4. 正弦定理及应用5. 余弦定理及应用6. 正切定理及应用7. 三角函数基本关系式及应用8. 三角函数在直角三角形中的定值七、概率与统计1. 随机事件、样本空间及基本事件的认识2. 频率、概率的概念及计算3. 事件的复合及事件的计算4. 独立事件及概率的计算5. 试验次数的期望及概率模型6. 渐近性及概率的计算7. 初步了解贝叶斯公式及应用以上是初三数学下册的知识点总结，每个知识点都应掌握其概念、性质、计算方法及应用。
初三数学一元二次方程公式法和因式分解法
第6次课：一元二次方程公式法和因式分解法一、考点、热点回顾学习要求：1、学会一元二次方程求根公式的推导2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。
4、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
5、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
6、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。
知识要点：1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(a ac b a b x -=+， （1）当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；（2）当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解。
2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。
3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：（1）必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； （2）再计算ac b 42-的值：①当042≥-ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，方程无实数解。
4、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
5、分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b6、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
二、典型例题例1、推导求根公式：02=++c bx ax （0≠a ） 例2、利用公式解方程：（1） 0222=--x x （2） 4722=+x x（3）0142=+--x x （4）010342=+-x x例3、已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程02=++c bx ax例4、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？例5、一元二次方程(m －1)x 2＋3m 2x ＋(m 2＋3m －4)＝0有一根为零，求m 的值及另一根． 1、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是 （ ）、2=24312122⨯-± 、2=24312122⨯-±-、2=24312122⨯+± 、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯--±--2、方程x 2+3x =14的解是 （ ）=2653± =2653±- =2233± =2233±- 3、下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ( )①1+5 ②1－5 ③1 ④－5 个个 个 个5、若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或16、关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( )A ．2B ．－21C ．－2D ．21 7、当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等 9、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）05322=--x x（5）012=--x x （6）01532=+-x x（7）4)3)(12(=--x x （8）02)82(42=++-y y（9）02322=--x x （10）()()()0112=-++-y y y y（11） 1852-=-x x （12）02332222=+---+n mn m nx mx x 例1、（1）方程)2(2)2)(1(+=+-x x x 的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(=-+-x x x 的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程（1）0632=-x x （2）)5(2)5(32x x -=-（3） 0122=+-x x （4）4842-=+x x （5） 0)3()23(22=+-+x x （6）22)6(16)3(49+=-x x （7）0625412=-+x x （8）(x －1)2－4(x －1)－21＝0． 例3、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________. 例4、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 （ ） 例5、解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2+4abx ＝a 2－b 2． 例6、x 为何值时，等式0232222=--+--x x x x 一、填空题1、用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得 ；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x 1 = ， x 2= 。
九年级下学期数学教学总结5篇
九年级下学期数学教学总结5篇九年级下学期数学教学总结1本学期是我的一个特殊时期，由新妈妈转型重回职场，对我真是一个不小的挑战。
由于想尽千方百计后，我的小美妞仍坚持拒喝奶粉，最终我只能选择做一名“背奶族”，马不停蹄地奔波于学校与家之间。
用一句口号为我代言:“奶妈，奔跑吧!”奶妈不仅要为小宝宝奔跑，更要为初三45名大孩子奔跑。
任重而道远，这其中的酸甜苦辣，亲身经历后，才有真切体会。
尽管很累，但是我很快乐。
真的，在学校我享受着学生对我的信任与依赖，在家里体会着初为人母的幸福。
我渐渐适应了这种生活，一学期悄然接近尾声。
现将本学期工作总结如下：本学期我担任初三年级的数学课教学，周课时8节，圆满完成了既定的教学计划。
认真批改学生的作业，统计每次作业批改情况;坚持听课，积极参加小组教研活动，与同事交流教学心得，取长补短。
一、日常教学：初三甲：这是我第一次接触初三甲班学生，由于各种原因，我是他们入校以来第四任数学老师，起初我还担心他们会因为中途换老师而排斥我，但孩子们的适应能力，对我的接受与依赖让我倍感欣慰。
我利用上班第一周的听课时间熟记每个学生的名字和课堂表现，并通过和上任数学老师刘娥老师和班主任李秀梅老师多次交谈，尽快了解学生的特点，待我正式上课时，我每节课都能熟练地点名不同层次的学生回答问题，这让许多学生惊讶不已，也让他们对数学课兴趣大增。
甲班的孩子相对比较活跃，虽然这两个月，我常点名批评调皮捣蛋分子，没少给他们黑脸，但每次经过我的“政治课洗礼”后，他们的表现会好很多，也许是特别希望他们更出色，自己也就更严格。
初三乙：这是我第二次担任初三乙班的数学教师，时隔半年，我对这20个漂亮可爱的孩子有了更深的认识。
他们上课时听课依然非常认真，作业依旧那样工整，一丝不苟，学生一言一行中流露出积极学习的主动性和强烈的求知欲，带给我无限动力，让我倍感自豪。
二、初高中衔接：由于初高中衔接问题是初三学生升入高中后即将面对的重要问题，为了更好地实现初高中数学衔接，我完成教学任务后，复习了一次函数、正比例函数和反比例函数等重点知识模块，并精心选用几套中考模拟试题对他们的初中知识进行检测，以便学生查漏补缺，然后我通过在课堂上对每一道中考模拟题细致讲解并进行举一反三练习，帮助学生及时复习巩固遗忘的知识。
2023年3月山东省济南市历下区五校联考2022-2023学年九年级下学期数学试题(含答案)
九年级数学模拟试题（2023.3）本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置。
考试结束后，将答题卡和试卷一并交回。
注意事项：1．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。
2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求笔迹清晰、字体工整，务必在答题卡题号所指示的答题区域内作答。
第I卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共10个小题，每小题4题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．64的算术平方根是（）A．8B．±4C．±8D．42．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．B．C．D．3．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到1500000次，数据1500000用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．1.5×106C．0.15×105D．1.5×1074．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2＝（）A．25°B．35°C．45°D．55°5．民族图案是数学文化中的一块瑰宝，下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A ．ab ＜0B ．a +b ＞0C ．|a |＞|b |D ．a +1＜b +17．将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．128．如果a +b ＝2，那么代数式(a −b 2a )⋅aa−b 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣19.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①四边形AECF 是菱形；②∠AFB ＝2∠ACB ；③AC •EF ＝CF •CD ；④若AF 平分∠BAC ，则CF ＝√3AB ．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110.若二次函数y ＝ax 2﹣2x +5的图象在直线x ＝2的右侧与x 轴有且只有一个交点，则a 的取值范围是（ ）A. a <−14 B. a =15 C. a <−14 或a =15 D. −14<a <0或a =15第II卷（非选择题共102分）二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．因式分解：x2﹣6x+9＝．12．已知关于x的一元二次方程x2+ax+4＝0有一个根为1，则a的值为．13.小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是．第13题图第14题图14.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，正六边形的边长为2√3，则阴影部分的面积为．15. 学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x （秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是．第15题图第16题图16.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝5．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则tan∠DAE= .三．解答题（共8小题）17．（6分）计算：|−√3|+（15）﹣1−√27+4cos30°．18．（6分）解不等式组：{x−3(x−2)≥4x−23＜x+1，并写出该不等式组的非负整数解．19．（6分）如图，E ，F 是▱ABCD 的对角线AC 上两点，且AF ＝CE ，求证：DF ∥BE ．20．（8分）为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现随机选取甲，乙两个班，从中各随机抽取20名同学组织一次测试，并对在本次测试成绩（满分为100分）进行统计学处理，过程如下： 【收集数据】甲班20名同学的成绩统计数据：（单位：分） 87 90 60 77 92 83 56 76 85 71 95 95 90 68 78 80 68 95 85 81乙班20名同学中成绩在70≤x ＜80分之间数据：（满分为100分）（单位：分） 70 72 75 76 76 78 78 78 79 【整理数据】（成绩得分用x 表示） （1）完成下表甲班成绩得分扇形统计图（x 表示分数）【分析数据】请回答下列问题： （2）填空：（3）在甲班成绩得分的扇形统计图中，成绩在70≤x ＜80的扇形所对的圆心角为 度． （4）若成绩不低于80分为优秀，请以甲班、乙班共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数为多少？A甲班21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，过点B 作BH⊥CD于点H.（1）求证：∠BAC＝∠BCD；，求BH的长．（2）若⊙O的半径为5，sin∠BAC=√5522. （8分）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF，测速仪C和E之间的距离CE＝750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，小汽车到测速仪C的水平距离AD=14 m，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：√3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）23.（10分）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．某学校准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？24．（10分）如图1，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y=k2x在第一象限交于M（1，4）、N(4，m)两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN.（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）若△PMN的面积为9，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，若点E为直线PM上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．图1图225．（12分）【特例感知】（1）如图1，已知△AOB 和△COD 是等边三角形，直接写出线段AC 与BD 的数量关系是 ； 【类比迁移】（2）如图2，△AOB 和△COD 是等腰直角三角形，∠BAO ＝∠DCO ＝90°，请写出线段AC 与BD 的数量关系，并说明理由． 【方法运用】如图3，若AB ＝6，点C 是线段AB 外一动点，AC ＝2√3，连接BC ．若将CB 绕点C 逆时针旋转90°得到CD ，连接AD ，求出AD 的最大值.图1图2A图326. （12分）如图，抛物线y=a x2+b x+4与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接AP，交线段BC于点D，若PDDA =15，求m的值.（3）如图2，已知抛物线的对称轴交x轴于点H，与直线AP，BP分别交于E、F两点．试问EH+FH 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．图1图2。
交大附中初三数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3.14D. 0答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，0可以表示为0/1，因此是有理数。
2. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 = b^2，则a = bB. a^2 = b^2，则a = ±bC. a^2 = b^2，则a = ±b，且a ≠ bD. a^2 = b^2，则a = ±b，且a = b答案：B解析：根据平方根的定义，a^2 = b^2可以推出a = ±b。
3. 已知方程x^2 - 4x + 3 = 0，则该方程的解为（）A. x1 = 1，x2 = 3B. x1 = 3，x2 = 1C. x1 = -1，x2 = -3D. x1 = -3，x2 = -1答案：A解析：使用配方法或公式法解方程，得到x1 = 1，x2 = 3。
4. 若等腰三角形底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积为（）A. 32B. 40C. 48D. 56答案：C解析：根据等腰三角形的性质，底边上的高是腰长的一半，即4。
面积公式为S = 1/2 底高，代入数值计算得S = 1/2 8 4 = 16。
5. 下列函数中，单调递增的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = 2xD. y = -2x答案：C解析：单调递增的函数其导数大于0。
对于选项C，导数y' = 2 > 0，因此是单调递增的。
6. 若sinθ = 1/2，则cosθ的值为（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2答案：A解析：sinθ = 1/2对应的角度是π/6，cosθ的值为√3/2。
7. 下列各式中，错误的是（）A. 2a + 3b = 5a - 2bB. 3x^2 - 2x + 1 = 0C. 2x^2 + 5x + 3 = 0D. 4x^2 - 4x + 1 = 0答案：A解析：选项A中的等式两边不是同类项，不能直接合并。
福建省泉州第五中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题
福建省泉州第五中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题一、单选题1．四个实数34-，0，3 ） A ．34- B ．0 C ．3 D 2．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么下图由6个立方体叠成的几何体的主视图是 ( )A ．B ．C ．D ．3．下列计算正确的是（ ）A ．()226a a -=-B ．()222a b a b +=+C ．235325a a a +=D ．633a a a ÷= 4．某校规定学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%，小颖的平时、期中、期末成绩分别为85分、90分、92分，则她本学期的学业成绩为（ ）A ．85B ．90C ．92D ．895．在“脱贫攻坚战”中，某县2018年初统计贫困人口数有720人，经过两年的精准扶贫，2020年初贫困人口有108人，设每年贫困人口平均下降的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）A ．108（1+2x ）＝720B ．108（1﹣x ）2＝720C ．720（1﹣2x ）＝108D ．720（1﹣x ）2＝1086．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB 为边画Rt △ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 共（ ）个A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，ABF △为等边三角形，则DCF ∠的度数为（ ）A ．32︒B ．42︒C ．46︒D ．48︒8．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，且k＜0）的图象与直线y ＝13x 都经过点A （3，1），当kx +b ＜13x 时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＜1D ．x ＞19．如图，PA 、PB 切圆O 于A ，B 两点，CD 切圆O 于E ， 交PA ，PB 于C 、D ，若圆O 的半径为r ，PCD △的周长等于3r ，则tan APB ∠的值是（ ）A B C ．125 D 10．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于()1,0A -，(),0B m ()12m <<两点，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，则下列结论中：①0a >；②20a b +>；③20a c +<；④若图象上两点11,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,4n y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对一切正数n ，总有12y y >，则312m <≤，则正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题11．当x=时，分式1x x-的值为0.12a ，小数部分为b ，则a -b 的值为.13．如图，在ABC V 中，AD 是角平分线，DE AB ⊥于点E ，ABC V 的面积为15，6AB =，3DE =，则AC 的长是 ．14．在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A 类：总时长5≤分钟；B 类：5分钟<总时长10≤分钟；C 类：10分钟<总时长15≤分钟；D 类：总时长>15分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有人．15．如图，点A 是双曲线1(0)y x x =<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，且使3OB OA =，当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 在双曲线k y x=上移动，则k 的值为．16．在矩形ABCD 中，35AB BC ==，，若P 是射线AD 上一个动点，连接BP ，点A 关于直线BP 的对称点为M ，连接MP MC ，，当P ，M ，C 三点共线时，AP 的长为．三、解答题17．计算：11322-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18．解不等式组253(2)13212x x x x +≤+⎧⎪⎨+-<⎪⎩19．如图，AE FD =，CE BF =， 且 DF AE ∥．求证：AB CD ∥．20．为了激发广大学生的爱国主义情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A ．书法，B ．手抄报，C ．唱响经典红歌，D ．爱国主题演讲．各班班长代表班级通过抽签的方式确定本班的活动方式，抽签规则如下：将正面分别写有字母A ，B ，C ，D 的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位班长随机抽取一张卡片，这张卡片的字母表示的是本班的活动方式，然后将卡片放回，洗匀，再由下一位班长抽取．已知小明和小颖分别是两个班的班长．(1)小明抽到的活动方式是“C ．唱响经典红歌”的概率是______；(2)请用列表或画树状图的方法，求小明与小颖抽到同一种活动方式的概率．21．如图，矩形ABCD 中，=4AB ，=5BC ，E 是CD 边上的一点，点P 在BC 边上，且满足PEC DAP ∠=∠．(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P （不要求写作法，但保留作图痕迹）；(2)若1CE =，试确定BP 的长．22．小王计划批发“山东大樱桃”和“泰国榴莲”两个品种的水果共120斤， 樱桃和榴莲的批发价分别为32元/斤和40元/斤，设购买了樱桃x 斤（0x ≥）．(1)小王批发这两种水果花费了4400元，那么小王分别购买了多少斤樱桃和榴莲？(2)设小王购买两种水果的总花费为y 元，试写出y 与x 之间的函数表达式．(3)若要求所批发的榴莲的斤数不少于樱桃斤数的2倍，那么购买樱桃的数量为多 少时，可使小王的总花费最少？这个最少花费是多少？23．一次足球训练中，小明从球门正前方8m 的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线，其函数表达式为()2y a x h k =-+．当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门OB 高为2.44m ，现以O 为原点建立如图所示平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)经过教练指导，小明改变了射球的力度和角度，在同一地点再次射门，球射向球门的路线呈抛物线，其表达式为2116y x bx c =-++．结果足球“画出一－条美妙的曲线”在点O 正上方2m 处精彩落入球网内．求两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离．（注：题中的x 表示球到球门的水平距离，y 表示球飞行的高度）24．如图，已知点D 是ABC V 外接圆O e 上的一点，AC BD ⊥于G ，连接AD ，过点B 作直线BF AD P 交AC 于E ，交O e 于F ，若点F 是弧CD 的中点，连接OG OD CD ，，(1)求证：BE CE =(2)当3CD =时，求圆O 的面积(3)若AG =，试探究GOD ∠与ADC ∠之间的数量关系，并证明． 25．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数21y x =--与y 轴交于点A ，若点A 关于x 轴的对称点D 在一次函数12y x b =+的图象上．(1)求b 的值；(2)若一次函数21y x =--与一次函数y x =-交于B ，且点B 关于原点的对称点为点C ．求过A ，B ，C 三点对应的二次函数表达式；(3)P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q ． ①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标； ②若点P 的横坐标为()11t t -<<，当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大？请说明理由．。
初三数学复习 第五章 四边形 第二节 矩形、菱形、正方形(1)
第二节 矩形、菱形、正方形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2019·无锡)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A ．内角和360° B ．对角线互相平分 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直2．(2019·合肥模拟)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线BD ＝24.若过点C 作CE⊥AB，垂足为E ，则CE 的长为( )A.12013 B ．10 C ．12 D.240133．(2019·台州)如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2 cm ，BC ＝FG ＝8 cm ，把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于( )A.14B.12C.817D.8154．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E 的坐标为( )A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(3，3)D ．(3，3)5．(2019·临沂)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD⊥ACD ．∠AMB＝∠CND6．(2019·乐山)把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置，则图中阴影部分的面积为( )A.16B.13C.15D.147．(2019·庐阳区二模)在矩形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE⊥BD，垂足为点F ，则tan∠AED 的值是( )A.63B.263C ．2 3D ．2 2 8．(2019·庐江县模拟)如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点E 在边AD 上，点G 在边BC 上，点F 、H 在对角线BD 上．若四边形EFGH 是正方形，则AE 的长是( )A ．5 B.11924 C.13024 D.169249．(2019·鸡西)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB∶BC＝3∶2，过点B 作BE∥AC，过点C 作CE∥DB，BE ，CE 交于点E ，连接DE ，则tan∠EDC ＝( )A.29B.14C.25D.31010．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，AC 与 BD 交于点 O ，E 为 CD 延长线上的一点，且 CD ＝DE, 连接 BE 分别交 AC ，AD 于点 F ，G ，连接 OG ，AE ，则下列结论： ①OG＝12BD;②与△EGD 全等的三角形共有 5 个； ③S △ABF ∶S △CEF ＝1∶4;④由点 A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形. 其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④11．(2019·达州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(23，2)，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点(不与原点重合)，连接PC ，过点P 作PD⊥PC 交x 轴于点D.下列结论： ①OA ＝BC ＝23；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2＋PD 2＝7； ③在运动过程，∠CDP 是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为(233，0)．其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．(2019·江西)我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪(通‘斜’)七，见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七，已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为2，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是________．13．(2019·广西)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH⊥BC 于点H.已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝________．14．(2019·扬州)如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M ，N 分别是DC ，DF 的中点，连接MN.若AB ＝7，BE ＝5，则MN ＝________．15．(2019·兰州)如图，矩形ABCD ，∠BAC＝60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E.若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于________．16．(2019·怀化)已知：如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，E ，F 分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形AECF 是矩形．17．(2019·长丰县二模)已知，如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任意一点，∠AEF＝90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.18．(2019·宿迁)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝DF ＝32.(1)求证：四边形AECF 是菱形； (2)求线段EF 的长．19．(2019·昆明二模)如图，在▱ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，过点C 作CF∥DB，且CF ＝DE ，连接AE ，BF ，EF. (1)求证：△ADE≌△BCF；(2)若∠ABE＋∠BFC＝180°，则四边形ABFE 是什么特殊四边形？说明理由．20．(2019·甘肃)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG⊥ED 于点F ，交CD 于点G. (1)求证：△ADG≌△DCE； (2)连接BF ，证明：AB ＝FB.1．(2019·深圳)已知菱形ABCD ，E ，F 是动点，边长为4，BE ＝AF ，∠BAD＝120°，则下列结论中正确的个数是( )①△BEC≌△AFC；②△ECF 为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF ＝1，则GFEG＝13.A ．1B ．2C ．3D ．42．(2019·广元)如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使得∠CDE＝15°，连接BE 并延长BE 到F ，使CF ＝CB ，BF 与CD 相交于点H.若AB ＝1，有下列结论：①BE＝DE ；②CE＋DE ＝EF ；③S △DEC ＝14－312；④DHHC ＝23－1，则其中正确的结论有( )A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④3．(2019·孝感)如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G.若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为( )A.135B.125C.195D.1654．(2019·金华)如图，矩形ABCD 的对角线交于点O.已知AB ＝m ，∠BAC＝α，则下列结论错误的是( )A ．∠BDC＝αB ．BC ＝m·tan α C ．AO ＝m 2sin αD ．BD ＝mcos α5．(2019·安顺)如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，且BA ＝3，AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM⊥AB 于点M ，DN⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为________．6．(2019·温州)三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2 cm.若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为________cm.7．(2019·哈尔滨)已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD 于点E ，CF⊥BD 于点F.(1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.8．(2019·合肥模拟)如图1，点E为正方形ABCD内部一点，AF⊥BE于点F，G 为线段AF上一点，且AG＝BF.(1)求证：BG＝CF；(2)如图2，在图1的基础上，延长BG交AE于点M，交AD于点H，连接EH，移动E点的位置使得∠ABH＝∠GAM.①若∠EAH＝40°，求∠EBH的度数；②求证：HE∥AF.参考答案基础训练1．C 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B9．A 10.B 11.C12．1.413.245 14.13215.3 316．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D，AB ＝CD ，AD∥BC. ∵AE⊥BC，CF ⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°. 在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD，AB ＝CD ，∴△ABE≌△CDF(AAS)． (2)证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形AECF 是矩形． 17．证明：如解图，在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME. ∵∠B＝90°，BM ＝BE ， ∴∠BME＝∠BEM＝45°， ∴∠AME＝∠B＋∠BEM＝135°. ∵CF 是∠DCG 的平分线， ∴∠DCF＝12∠DCG＝45°，∴∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°，∴∠AME＝∠ECF. ∵AB＝BC ，BM ＝BE ， ∴AM＝EC.在△AME 和△ECF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE＝∠CEF，AM ＝EC ，∠AME＝∠ECF，∴△AME≌△ECF(ASA)．18．(1)证明：∵四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2， ∴CD＝AB ＝4，AD ＝BD ＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°. ∵BE＝DF ＝32，∴CF＝AE ＝4－32＝52.又∵AF＝CE ＝22＋（32）2＝52，∴AF＝CF ＝CE ＝AE ＝52，∴四边形AECF 是菱形．(2)解：如解图，过点F 作FH⊥AB 于H ，则四边形AHFD 是矩形，∴AH＝DF ＝32，FH ＝AD ＝2，∴EH＝AE －AH ＝52－32＝1，∴EF＝FH 2＋HE 2＝22＋12＝ 5.19．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC ，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC. ∵CF∥DB， ∴∠BCF＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠BCF.在△ADE 与△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CF ，∠ADE＝∠BCF，AD ＝BC ，∴△ADE≌△BCF(SAS)． (2)解：四边形ABFE 是菱形． 理由：∵CF∥DE，且CF ＝DE ， ∴四边形CFED 是平行四边形， ∴CD＝EF ，CD∥EF.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD ，AB∥CD， ∴AB＝EF ，AB∥EF，∴四边形ABFE 是平行四边形． ∵△ADE≌△BCF， ∴∠AED＝∠BFC. ∵∠ABE＋∠BCF＝180°， ∴∠ABE＋∠AED＝180°. ∵∠AED＋∠AEB ＝180°， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE ，∴四边形ABFE是菱形．20．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°.又∵AG⊥DE，∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE.在△ADG和△DCE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG＝∠CDE，AD＝DC，∠ADG＝∠C，∴△ADG≌△DCE(ASA)．(2)如解图，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE.又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点．又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝12AH＝AB.拔高训练 1．D 2.A 3.A4．C 【解析】A.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC ＝BD ，∴AO ＝OB ＝CO ＝DO ，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得∠BAC＝∠BDC＝α，故本选项不符合题意；B.在Rt△ABC 中，tan α＝BCm ，即BC ＝m·tan α，故本选项不符合题意；C.在Rt△ABC 中，AC ＝m cos α，即AO ＝m2cos α，故本选项符合题意；D.∵四边形ABCD 是矩形，∴DC＝AB ＝m ，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB 中，BD ＝mcos α，故本选项不符合题意．故选C.5.1256.12＋8 2 7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB＝CD ，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF.∵AE⊥BD 于点E ，CF⊥BD 于点F ， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，AB ＝CD ，∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴AE＝CF.(2)解：S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .∵AD∥BC，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE ＝60°. ∵AE⊥BD， ∴∠BAE＝30°， ∴BE＝12AB ，AE ＝12AD ，∴S △ABE ＝12BE×AE＝12×12AB×12AD ＝18AB×AD＝18S 矩形ABCD ，∵△ABE≌△CDF， ∴S △CDF ＝18S 矩形ABCD .作EG⊥BC 于G ，如图解所示．∵∠CBD＝30°，∴EG＝12BE ＝12×12AB ＝14AB ，∴S △BCE ＝12BC×EG＝12BC×14AB ＝18BC×AB＝18S 矩形ABCD ，同理S △ADF ＝18S 矩形ABCD .8．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠ABF＋∠CBF＝90°， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，在△ABG 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠BAG＝∠CBF，AG ＝BF ，∴△ABG≌△BCF(SAS)， ∴BG＝CF.(2)①解：∵∠EAH＝40°， ∴∠BAM＝90°－40°＝50°. ∵∠ABH＝∠GAM，∴∠BGF＝∠BAG＋∠ABG＝∠BAG＋∠GAM＝∠BAM＝50°， ∴在Rt△BGF 中，∠EBH＝90°－∠BGF＝40°. ②证明：∵正方形ABCD 中，AF⊥BE， ∴∠ABH＋∠AHB＝90°，∠GAM＋∠AEF＝90°. 又∵∠ABH＝∠GAM， ∴∠AHB＝∠AEF. 又∵∠AMH＝∠BME， ∴△AMH∽△BME. ∴AM∶BM＝HM∶EM， 即AM∶HM＝BM∶EM， 又∠AMB＝∠EMH， ∴△ABM∽△HEM， ∴∠ABH＝∠AEH， 又∵∠ABH＝∠GAM，∴∠AEH＝∠GAM，∴HE∥AF.。
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∵PD＝2OD，∴PF＝2x，FM＝0．5OA＝0．5x，PM＝2．5x，CA＝2PF＝4x．Rt△CAO 中，OC＝ CA OA ∴PN＝OM＝0．5OC＝
15 x ，
15 15 15 PA PN 5 x ，由 x∶ x ＝ ，得 PA∶PC＝ ． 2 2 5 PC PM 2
②点 P 在线段 OB 上，不符合题意． ③如图，点 P 在线段 OB 的反向延长线上，过点 P 分别作 PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，垂足为点 M，N，PM 与直线 AC 的交点为 F． 同理可得，1．5x CA＝2PF＝4x．在 Rt△CAO 中，OC＝ 15 x ，∴PN＝OM＝0．5OC＝
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 l 平行 x 轴，交 y 轴于点 A，第一象限内的点 B 在 l 上，连接 OB，动点 P 满足∠ APQ＝90°，PQ 交 x 轴于点 C． （1）当动点 P 与点 B 重合时，若点 B 的坐标是（2，1） ，求 PA 的长． （2）当动点 P 在线段 OB 的延长线上时，若点 A 的纵坐标与点 B 的横坐标相等，求 PA ∶ PC 的值． （3） 当动点 P 在直线 OB 上时， 点 D 是直线 OB 与直线 CA 的交点， 点 E 是直线 CP 与 y 轴的交点， 若 ACE AEC ， PD＝2OD，求 PA ∶ PC 的值．
PK AP BF AB PK x 8 x 8 x 1 PK 8 x x 2 x 8 8 1 1 1 1 1 SAPK PK gAP ( x 2 x) x x 3 x 2 2 2 8 16 2 1 1 DK x ( x 2 x ) x 2 8 8 1 1 1 1 1 SDKF DK gPB x 2 8 x x 3 x 2 2 2 8 16 2 S APK S DKF
问题拓展 （3）如图 2，以 AB 为边作正方形 ABCD，动点 P、Q 在正方形 ABCD 的边上运动，且 PQ=8，若点 P 从点 A 出发， 沿 A→B→C→D，向点 D 运动，求点 P 从点 A 到点 D 的运动过程中，PQ 的中点 O 所经过的路径长． （4）如图 3，在“问题思考”中，若点 M、N 是线段 AB 上的两点，且 AM=BN=1，点 G、H 分别是边 CD、EF 的中 点．请直接写出点 P 从 M 到 N 的运动过程中，GH 的中点 O 所经过的路径长及 OM+OB 的最小值．
1 (3)当点 P 从点 A 运动到点 B 时，点 O 的运动轨迹是以 A 为圆心 PQ 长为半径的，四分之一圆，∴求点 P 从点 A 到点 2 D 的运动过程中，PQ 的中点 O 所经过的路径长 1 l=3×( ×4×2)=6 4
D Q
C
B' E H F
O
C G D
O
A
P
B
A
M
P
N
B
（4）GH 的中点 O 所经过的路径长为 4； OM+OB= 72 82 113 ．
(3)①如图，点 P 在线段 OB 的延长线上．过点 P 分别作 PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，垂足为点 M，N，PM 与直线 AC 的交点为 F． ∵∠CMP＝∠ANP＝90°，∠APN＝∠CPM，∴Rt△APN∽Rt△CPM． ∴
PA PN ．∵∠AEC＝∠ACE ，AP⊥CP ，∴P 为 CE 的中点．∵PM//y 轴，∴F，M 分别为 CA，OC 的中点．设 OA＝x， PC PM
1.某数学兴趣小组对线段上的动点进行探究，已知 AB=8．问题思考 如图 1．点 P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP、BP 为边在同侧作正方形 APDC，BPEF （1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是求出，若不是，求出这两个面积之和的最小值． （2）分别连接 AD、DF、AF，AF 交 DP 与点 K 当点 P 运动时，在△APK，△ADK，△DFK 中，是否存在两个面积始 终相等的三角形，请说明理由．
解：答案：(1) 当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值； 设 AP=x，则 PB=8-x
8 82 S x 8 x 2 x 2 2 8 82 当x =4时，S的最小值为 32 2 2
2 2
2
(2)存在两个三角形面积相等 S△APK=S△DKF． 易知△APK∽△ABF，设 AP=x，
y P A B l
O
C Q
x
【答案】解： （1）如图，PA＝2．
（2）如图，过点 P 分别作 PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，垂足为点 M，N，∵点 A 的纵坐标与点 B 的横坐标相等，∴∠BOA＝45°． ∴四边形 OMPN 是正方形，PM＝PN．又∵∠APQ＝90°，∴∠APN＝∠CPM．∴Rt△APN≌Rt△CPM．∴ PA : PC 1 ．
15 15 3 x ，∴PA∶PC＝ x∶ x ＝ 2 2 2
15 15 15 ．∴PA∶PC 的值为 或 ． 3 5 3