初三数学九下相似所有知识点总结和常考题型测验题

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初三数学下册(人教版)第二十七章相似27.2知识点总结含同步练习及答案

分析：以 P 、B 、Q 为顶点的三角形和 △ABC 相似，有 △BP Q ∽ △BAC 和
△BP Q ∽ △BCA
△BP Q ∽ △BCA 两种情况．
解：① △BP Q ∽ △BAC，则
BP BQ ，即 2t = 2(6 − t)，解得 t = 3 ； = AB BC BP BQ ② △BP Q ∽ △BCA，则有，6(6 − t) = 12 × 2t，解得 t = 1.2， = BC AB 所以当 t = 3 秒或 t = 1.2 秒时以 P 、B 、Q 为顶点的三角形和 △ABC 相似．
(
)．
A．4 对
答案： C 解析：图中有
B．5 对
C．6 对
D．7 对
6 对三角形相似：△ABD ∽ △ACE，△BP E ∽ △CP D，△CP D ∽ △CAE， △CP D ∽ △BAD，△BP E ∽ △BAD，△BP E ∽ △CAE．
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3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F ，则
(
)
EF : F C 等于 (
)
A．3 : 2
答案： D
B．3 : 1
C．1 : 1
D．1 : 2
4. 如图，△ABC 中，AB 、 AC 边上的高 CE 、 BD 相交于 P 点，图中所有的相似三角形共有
例题：如果两个相似三角形对应高的比是 3 : 2，那么它们的面积比是________；它们的周长比是 ______；对应角平分线的比是_______．解：9 : 4；3 : 2；3 : 2．下列条件，不能判定 △ABC 与 △DEF 相似的是（） ∘ ∘ ∘ A. ∠C = ∠F = 90 ，∠A = 55 ，∠D = 35 B. ∠C = ∠F = 90∘ ，AB = 10，BC = 6，DE = 15 ，EF = 9

九下相似三角形4种判定方法知识点+模型+例题+练习 (非常好分类全面)

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。

（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。

2分之3倍根号3 随练：一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）CADCBEF G F E DCBA。

初三数学下册(人教版)第二十七章相似27.3知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：初三数学下册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案
第二十七章相似 27.3 位似
一、学习任务
1. 了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置．
二、知识清单
位似
三、知识讲解
1.位似
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫
做位似图形（homothetic figures ），这个点叫做位似中心．
如图，各顶点坐标分别是：，，．以为位似中心，在轴下方将放大为原来的倍．
分析：根据位似变化的性质，即可求得，，的坐标，则可画出．
解：
△ABC A (−4,4)B (−1,2)C (−5,1)O x
△ABC 2A 1B 1C 1△
A 1
B 1
C 1
()
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答案：解析：A ．B ．C ．D ．D 由题意知两矩形位似比为，矩形如图所示：
4
(−2,3)
(2,−3)(3,−2)或(−2,3)
(−2,3)或(2,−3)1:2OA 'B 'C '答案：4. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位中心，将扩大到原来的倍，得到．
若点的坐标是，则点的坐标是
A ．
B ．
C ．
D ．C O △ABO 2△A 'B 'O A (1,2)A '(
)(2,4)
(−1,−2)(−2,−4)(−2,−1)。

九年级下册《相似三角形》全章复习测试卷（教师版）知识点+测试题详细答案

九年级下册《相似三角形》全章复习测试卷（教师版）知识点+测试题详细答案《相似》全章复习巩固【知识网络】【要点梳理】一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.注：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法：（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. （二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值.【答案】∵a:b:c=3:5:7设a=3k, b=5k, c=7k∵2a+3b-c=28∴6k+15k-7k=28，∴k=2∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12举一反三如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF ＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】B.类型二、相似三角形2. 如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.【答案】(1)135°，(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).因为，，所以.又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.3. 在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．【答案】∵BP=3PC，Q是CD的中点，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP.4. 如图所示，在△ABC和△DBE中，若.(1)△ABC与△DBE的周长差为10 cm，求△ABC的周长；(2)△ABC与△DBE的面积之和为170 cm2，求△DBE的面积．【答案】(1)∵，∴△ABC∽△DBE.∴，设△ABC的周长为5k cm，△DBE的周长为3k cm，∴，，，∴△ABC的周长为.(2)∵△ABC∽△DBE，∴.设，.∴，解得k=5，∴.【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．5. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F 分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，所以∠ABE=∠DEF.所以△ABE∽△DEF，所以.因为，，所以，所以y与x的函数解析式是.(2)，所以当时，y有最大值，最大值为.举一反三：1、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A． B． C． D．【答案】B.2、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25【答案】D.3、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.【答案】（1）证明： A与C关于直线MN对称，∴AC MN，∴∠COM=90°，在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B ，又∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA ，（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10 ，∴OC=5，△COM∽△CBA，∴OC OM=BC AB，∴OM=15 4.4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝MABN的面积是（）A． B．． D．【答案】C；NMDACB【解析】由MC＝6，NC＝∠C＝90°得S△CMN=，再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.5、如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA 运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x 秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以.又因为AB=8，AC=6，，，所以，即，自变量x的取值范围为.(2).所以当时，S有最大值，且最大值为6.巩固练习（一）一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( )A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( )A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：34题图 5题图A．9 B．10 C．12 D．136.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题7. 在□ABCD中，在上，若，则___________.8. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE?与△ABC?的面积之比为_______，?△CFG与△BFD的面积之比为________.9. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.10. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.11. 若, 则的值为 .12．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.13.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

新人教版九年级下册数学[相似多边形及位似--知识点整理及重点题型梳理]

新人教版九年级下册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习相似多边形及位似-- 知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1. 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2. 位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4. 作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点 .要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法 .要点诠释：1. 黄金分割值：设 AB=1， AP=x ，则 BP=1 x∵PB AP∵AP AB ∴ 1 x x x1∴ x 2 1 x∴ x 5 1 0.618 （舍负）22. 黄金三角形：顶角为 36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的 2 倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长 20m ，宽 16m,沿草坪四周有 2m 宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？要点三、黄金分割【课程名称：位似和黄金分割：黄金分割及总结】定义：如图，将一条线段394501AB 分割成大小两条线段PB AP （此时线段 AP AB就是线段 AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．段的长度与全长之比，即AP 、 PB ，若小段与大段的长度之比等于大AP 叫作线段 PB 、AB 的比例中项），则 P 点【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等AB16 16 4EF 16 2 2 20 5 ，AD 20 20 5EH 20 2 2 24 64 5 AB AD而，∴5 6 EF EH∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等” 这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】（2015?梧州一模）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A. 2 ：1B. ：1C. 3 ：D. 3 ：2【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF= AB= a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴ = ，即= ，∴ = ，即= ，∴（）2=2，∴ = ．故选 B ．设留下的矩形的宽为∵留下的矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∴ x=2 ，2∴留下的矩形的面积为： 2×4=8（ cm 2）故答案为：8．故选 C ．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．类型二、位似＝ OC ′ :OC ＝ OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4 ．连结 A ′ B ′、 B ′ C ′、 C ′D ′、 D ′E ′、 E ′ A ′.A ′B ′ B ′C ′ C ′D ′ D ′E ′ A ′E ′＝ 1.5.这样：＝＝＝＝CD DE AE 2. （2014?甘肃模拟）如图，在长 8cm ，宽 4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）．C. 8cm 2D. 16cm答案】解析】 3. 利用位似图形的方法把五边形 ABCDE 放大 1.5 倍.答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形 ABCDE 相似且相似比为 1.5.画法是：1 ．在平面上任取一点 O.2 ．以 O 为端点作射线 OA 、3．在射线 OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点 A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使 OA ′ :OA ＝OB 、 O C 、 OD 、 OE.x ，ABBCA. 2cmB. 4cmC.E 11A 1D C 1则五边形A′B′ C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.4. 如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）. 画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 1面积的1，并分别写出A′、B′、C′三点的坐标.4答案与解析】因为矩形OA′ B′C′与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB，1）分别取线段OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，连接O A′、A′B′、B′C′、C′ O，矩形OA′B′ C′就是所求的图形.A′，B′，C′三点的坐标分别为A′（3，0），B′（3，2），C′（0，2）.12）分别在线段OA，OB，OC的反向延长线上截取O A″、O B″、O C″，使OA″= OA，2 11 OB″=1OB，O C″=1OC，连接A ″ B″、B″ C″，则矩形O A″B″C″为所求. 22A″、B″、C″三点的坐标分别为A″（-3 ，0），B″（-3 ，-2 ），C″（0，-2）.总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，况都画在坐标系内，并写出两种坐标 . 举一反三【课程名称：位似和黄金分割 394501 ：位似作图及例 4】【变式】在已知三角形内求作内接正方形．答案】作法：1）在 AB 上任取一点 G ′，作 G ′ D ′⊥ BC ；2）以 G ′ D ′为边，在△ ABC 内作一正方形 D ′E ′F ′G ′； 3）连接 BF ′，延长交 AC 于 F ；4）作 FG ∥CB ，交 AB 于 G ，从 F 、 G 分别作 BC 的垂线 FE ， GD ； ∴四边形 DEFG 即为所求．类型三、黄金分割5. 求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明 .【答案与解析】宽与长的比是 5 1 的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给 2我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形 ABCD ；第二步：分别取 AD ， BC 的中点 M ， N ，连接 MN ；第三步：以 N 为圆心， ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于 E ；定要把两种情精品文档用心整理第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．即矩形DCEF为黄金矩形．证明：在正方形ABCD中，取AB 2a，∵ N 为BC的中点，1∴ NC BC a．2在Rt△ DNC 中，ND NC 2 CD2a2 (2a)25a．又∵ NE ND ，∴ CE NE NC ( 5 1)a．CE （ 5 1）a 5 1CD 2a 2故矩形DCEF为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618 ，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60 ，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.∵该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60 ，∴此女士下半身长是165× 0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得：0.618 ，99+x=165+x =解得：x≈8．故选D．。

九年级数学下册第二十七章相似易错知识点总结(带答案)

九年级数学下册第二十七章相似易错知识点总结单选题1、如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法正确的有（）个①S△ABC:S△A′B′C′=1:2②AB:A′B′=1:2③点A，O，A′三点在同一条直线上④BC∥B′C′A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；故选C．小提示：本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（）A．∠AED=∠B B．ADAC =AEABC．AD·BC= DE·AC D．DE//BC答案：C分析：根据相似三角形的判定定理去判断分析即可．∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故A不符合题意；∵ADAC =AEAB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意；∵AD·BC= DE·AC，无夹角相等，∴不能判定△ADE∽△ACB，故C符合题意；∵DE//BC，∴△ADE∽△ACB，故D不符合题意；故选C．小提示：本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键．3、如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③答案：B分析：分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：√2，2，√10，②号三角形的三边长分别为：√2，√5，3，③号三角形的三边长分别为：2，2√2，2√5，④号三角形的三边长分别为：√2，3，√17，∵√22=2√2=√102√5√22，∴①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确故选：B．小提示：本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．4、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE 和建筑物CD 均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE ∽△ACD∴AB BE =AC CD ,即1.21.5=14CD ,解得CD=17.5m ．故答案为A ．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．5、线段AB 的长为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 的长可能是（）A ．√5+1B ．2﹣√5C ．3﹣√5D ．√5﹣2答案：C分析：根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．解：分两种情况讨论（1）如图，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2，∴AC ＝√5−12AB ＝√5−12×2＝√5﹣1，或如图，AC ＝2﹣（√5﹣1）＝3﹣√5，故选：C ．小提示：本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．6、如图，将ΔABC 沿BC 边上的中线AD 平移到ΔA ′B ′C ′的位置．已知ΔABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′=1，则A ′D 等于（）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8、如图，直线AB ∥CD ∥EF ，若AC =3，CE =4，则BD BF 的值是（）A ．34B ．43C ．37D ．47 答案：C分析：由平行线分线段成比例直接得到答案．解：∵AB ∥CD ∥EF∴BD BF =AC AE ∵AC =3，CE =4∴BD BF =37，故选C ．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．9、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称部分与较大部分的比值，其比值为√5−12为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．10、生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）A．1．24米B．1．38米C．1．42米D．1．62米答案：A分析：根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．所以答案是：A小提示：本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．填空题11、如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝_____．答案：4:3##43分析：根据位似图形具有相似三角形的性质即可得出结果．解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴AO：OD=4：3，所以答案是：4：3．小提示：本题考查了位似变换，正确掌握位似变换的性质是解题的关键．12、如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件_________，使△ADE∽△ABC．答案：∠ADE=∠B（答案不唯一）．分析：已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．解∶∵∠A=∠A，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证△ADE∽△ABC相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件ADAB =AEAC证△ADE∽△ABC相似．故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．小提示：此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．13、△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0)，O(0,0)，B(3,6)，以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________．答案：（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．分析：根据位似变换的性质解答即可．解：∵△AOB 顶点B 的坐标为（3，6），以原点O 为位似中心，相似比为23，将△AOB 缩小， ∴点B 的对应点B ′的坐标为（3×23，6×23）或（3×（-23），6×（-23）），即（2，4）或（-2，-4），所以答案是：（2，4）或（-2，-4）．小提示：本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．14、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，则EF 的长为_______．答案：34 分析：易证△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质可得EF AB =DF DB ，EF CD =BF BD ，从而可得EF AB +EF CD =BF BD+DF BD =1，然后把AB =1，CD =3代入即可求出EF 的值．解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF AB =DF DB ，EF CD =BF BD ， ∴EF AB +EF CD =BF BD +DF BD =1，∵AB =1，CD =3，∴EF 1+EF 3=1， ∴EF =34，所以答案是：34．小提示：本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．15、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．解答题16、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC 和格点0.(1)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；(2)将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；答案：(1)作图见解析(2)作图见解析分析：（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；（2）解：如图，△A2B2C2即为所求．小提示：本题考查作图﹣旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型．17、已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代数式3a−b+c2a+3b−c的值；（2）如果3a−b+c=24，求a,b,c的值.答案：（1）1；（2）a=6,b=9,c=15分析：（1）设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代数式3a−b+c2a+3b−c，即可求出答案；（2）把a、b、c的值代入，求出即可．∵a:b:c=2:3:5∴设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，（1）3a−b+c2a+3b−c =6k−3k+5k4k+9k−5k=8k8k=1；（2）∵3a−b+c=24∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.小提示：本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．18、若xa−b =yb−c=zc−a，求x+y+z的值．答案：0分析：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x=k(a−b)，y=k(b−c)，z=k(c−a)，然后计算即可得到答案．解：∵xa−b =yb−c=zc−a，设xa−b =yb−c=zc−a=k，∴x=k(a−b)，y=k(b−c)，z=k(c−a)，∴x+y+z=k(a−b)+k(b−c)+k(c−a)=ka−kb+kb−kc+kc−ka=0；小提示：本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．。

九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结

九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27.2相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

27.3位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（2）位似多边形的对应边平行或共线。

（3）位似可以将一个图形放大或缩小。

（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

九年级数学下册第二十七章相似知识点归纳总结(精华版)(带答案)

九年级数学下册第二十七章相似知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）A．甲与丙相似，乙与丁相似B．甲与丙相似，乙与丁不相似C．甲与丙不相似，乙与丁相似D．甲与丙不相似，乙与丁不相似答案：A分析：利用已知条件得到即OAOC =OBOD，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到AOOB=OCOD，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即OAOC =OBOD，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵OAOC =OBOD，∴AOOB =OCOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故选：A．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．2、两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（）A．9：4B．9：2C．3：1D．3：2答案：D分析：根据相似图形的性质求解即可．解：因为这两个六边形相似，所以这两个六边形的周长比＝对应边之比＝3：2，故选：D．小提示：本题考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比，即相似多边形的周长比等于对应边的比是解题的关键．3、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．4、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm 的线段实际长为500cm ，故选B ．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．5、线段AB 的长为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 的长可能是（） A ．√5+1B ．2﹣√5C ．3﹣√5D ．√5﹣2 答案：C分析：根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．解：分两种情况讨论（1）如图，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2， ∴AC ＝√5−12AB ＝√5−12×2＝√5﹣1，或如图，AC ＝2﹣（√5﹣1）＝3﹣√5，故选：C ．小提示：本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．6、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论正确的是（）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBAC．BD2=BC⋅BE D．CE⋅AB=BE⋅CA答案：D分析：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，根据SAS证明△ABE≌△ADE，可得EB=ED，∠ADE=∠ABE=90°，根据面积法可得S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，可得ABAC=BEEC即可判断D选项正确，其他选项无法证明．解：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，∴∠EAB=∠EAD，在△ABE与△ADE中，{AE=AE∠EAB=∠EADAB=AD，∴△ABE≌△ADE，∴EB=ED，∵∠ABC=90°，∴∠ADE=∠ABE=90°，∴BE⊥AB,ED⊥C，∵S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，∴ABAC =BEEC，即CE⋅AB=BE⋅CA．A,B,C选项无法证明．故选：D．小提示：本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．7、如图，AG:GD=3:1，BD:DC=2:3，则AE:EC的值是（）A．8:7B．6:5C．3:2D．8:5答案：B分析：过点作DF∥BE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出CFFE =CDDB=32，AEFE=AGGD=3，进而得到答案．解：如图，过点作DF∥BE交AC于点F，由平行线分线段成比例定理得，则CFEF =CDDB=32，AEEF=AGGD=3，∴CF＝32EF，AE＝3EF∴EC＝CF＋EF＝52EF∴AE∶EC＝3EF∶52EF＝6：5，故选：B小提示：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8、如图，l1∥l2∥l3，若ABBC =23，DF=15，则EF=（）A．5B．6C．7D．9答案：D分析：根据平行线分线段成比例定理可得ABBC =DEEF，根据题意，DE=DF−EF，进而求解．∵l1∥l2∥l3，∴ABBC =DEEF．∵ABBC =23，∴DEEF =23，∵DE=DF−EF，DF=15，∴15−EFEF =23，∴EF=9．故选：D．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．9、如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（）A．2√5＋2B．2√5﹣2C．√5＋1D．√5﹣3答案：C分析：黄金分割比定理：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为√5−12，叫黄金分割比，由此进行求解即可．解：C为线段AB的黄金分割点，BC＝2 ，AC＜BC∴ACBC =BCAB=√5−12∴AC=2×√5−12=√5−1∴AB=AC+BC=√5−1+2=√5+1故选：C小提示：本题考查黄金分割定理，理解黄金分割定理的概念，熟悉比值是解题的关键．10、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A．ADDB =BECEB．BDAD=BEECC．ADAB=CEBED．BDBA=DEAC答案：B分析：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．A．由ADDB =BECE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；B．由BDAD =BEEC，能得到DE∥BC，故本选项符合题意；C．由ADAB =CEBE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；D．由BDBA =DEAC，不能得到DE∥BC，故本选项不符合题意；故选B．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．填空题11、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为______．答案：43分析：过E点作EH∥AC交BD于点H，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到EHCD =34,由于AD=CD，则EH AD =34，然后利用平行线分线段成比例定理得到AFEF的值.过E点作EH∥AC交BD于点H，如图：∵EH∥AC，∴EHCD =BEBC，∵BE＝3EC，∴EHCD =3CE4CE=34，∵D为AC的中点，∴AD=CD，∴EHCD =EHAD=34，∵EH∥AD，∴AFEF =ADEH=43.故答案为43.小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.12、如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．答案：100分析：由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC =BDCD，即AB=BD×ECCD，解得：AB=120×5060=100（米）．故答案为100．小提示：本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．13、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 __．答案：152##7.5分析：根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．解：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴BD=√AB2+AD2=10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴ΔBOF∽ΔBCD，∴OFCD =BOBC，∴OF6=58，解得，OF=154，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠A=90°，∴∠EDO=∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO=DO，EF⊥BD，在ΔDEO和ΔBFO中，{∠EDO=∠FBOBO=DO∠EOD=∠FOB，∴ΔDEO≅ΔBFO(ASA)，∴OE=OF，∴EF=2OF=15．2．所以答案是：152小提示：本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．14、如图，在▱ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE:BE=4:3，且BF=2，则DF=_________．答案：143分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=14．3故答案为14．3小提示：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．15、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，则EF的长为_______．答案：34分析：易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB =DFDB，EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=BF BD +DFBD=1，然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴EFAB =DFDB，EFCD=BFBD，∴EFAB +EFCD=BFBD+DFBD=1，∵AB=1，CD=3，∴EF1+EF3=1，∴EF=34，所以答案是：34．小提示：本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．解答题16、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC ＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．答案：树高AB是9米分析：先证得△DEF∽△DCB，可得BCEF =DCDE，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF =DCDE，∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5m，CD＝10 m，由勾股定理得DE＝√DF2−EF2＝0.4 m，∴BC0.3=100.4，∴BC＝7.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：树高AB是9m．小提示：本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17、如图，ΔABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切：（2）若EFAC =58，求BEOC的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD=OD，求EC的长．答案：（1）见解析；（2）54；（3）6−√13．分析：（1）要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°，由∠BAC与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBC，结合∠DBC+∠OBC=90°即可得证；（2）求BEOC需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OM⊥AC、连接OA，证△BEF∽△OAM得EFAM =BEOA，由AM=12AC、OA=OC知EF12AC=BEOC，结合EFAC=58即可得；（3）Rt△DBC中求得BC=4√3、∠DCB=30°，在Rt△EFC中设EF=x，知EC=2x、FC=√3x、BF=4√3﹣√3x，继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，从而得出答案．（1）证明：如图，连接OB，∵OB=OD，∴∠BDC=∠DBO，∵∠BAC=∠GBC、∠BDC=∠BAC，∴∠GBC=∠BDC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBO+∠OBC=90°，∴∠GBC+∠OBC=90°，∴∠GBO=90°，∴PG与⊙O相切；（2）解：过点O 作OM ⊥AC 于点M ，连接OA ，∵OC =OA ，OM ⊥AC ，∴∠AOM =∠COM =12∠AOC ，∵ AC ⌢=AC ⌢，∴∠ABC =12∠AOC ，∴∠EBF =∠AOM ，又∵∠EFB =∠OMA =90°，∴ΔBEF ∽ΔOAM ，∴ EF AM =BE OA ，∵AM =12AC ，OA =OC ，∴ EF 12AC =BE OC ，又∵ EF AC =58，∴ BE OC =2×EF AC =2×58=54；（3）解：∵PD =OD ，∠PBO =90°，∴BD =OD =4，在RtΔDBC中，BC=√CD2−BD2=√82−42=4√3，又∵OD=OB，∴ΔDOB是等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，∴∠OCB=12∠DOB=30°，∴EC=2EF，由勾股定理FC=√EC2−EF2=√4EF2−EF2=√3EF ∴设EF=x，则EC=2x、FC=√3x，∴BF=4√3−√3x，∵BEOC =54，且OC=4，∴BE=5，在RtΔBEF中，BE2=EF2+BF2，∴25=x2+(4√3−√3x)2，整理得4x2−24x+23=0△=242-16×23=208＞0解得：x=24±4√132×4=6±√132，∵6+√132>4，舍去，∴x=6−√132，∴EC=6−√13．小提示：本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.18、如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F．(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由;(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．答案：(1)证明见解析(2)△ECF，△BAF与△OBF相似，理由见解析(3)3+√19分析：（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；（3）根据△OBF∽△ECF得出3OA=2BF+9，根据△OBF∽△BAF得出BF2=3(OA+3)，联立方程组求解即可．（1）证明：如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴∠2=∠3=∠4，∵DE=BE，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，又∵BE平分∠DBC，∴∠1=∠6，∴∠3=∠6，又∵∠3与∠5互余，∴∠6与∠5互余，∴BF⊥AC；（2）解：△ECF，△BAF与△OBF相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠2=∠4，∴∠1=∠4，又∵∠OFB=∠BFO，∴△OBF∽△BAF，∵∠1=∠3，∠OFB=∠EFC，∴△OBF∽△ECF；（3）解：∵△OBF∽△ECF，∴EFOF =CFBF，∴23=CFBF，∴3CF=2BF，∵在矩形ABCD中对角线相互平分，图中OA=OC=OF+FC=3+FC，∴3OA=2BF+9①，∵△OBF∽△BAF，∴OFBF =BFAF，∴BF2=OF⋅AF，∵在矩形ABCD中AF=OA+OF=OA+3，∴BF2=3(OA+3)②，由①②，得BF=1±√19（负值舍去），∴DE=BE=2+1+√19=3+√19．小提示：本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．。

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相似知识点
一、比例的性质
b
a
n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质二、相似三角形：
1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
6.(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。

(2)
相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2
相似练习
一. 选择题
1．如图，DE
∥
BC ，AD ：DB=2：1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为 ( ) A ．
12 B ．23 C ．1
4
D ．2
c
d a b = d
b c a a c b d ==或合比性质：d
d
c b b a ±=± ⇒=⇔=bc a
d d
c
b a （比例基本定理）
2．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是 ( ) A ．
AB OA CD AD = B ．OA OB OD BC = C ．AB OB CD OC
= D ．BC OB
AD OD =
3．下列叙述中，不正确的是 ( )
A ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=20°，在Rt △A ′
B ′
C ′中，∠C ′=90°，∠A ′=20°，则△ABC
∽△A ′B ′C ′
B ．△AB
C 的两个角分别是35°和100°，△A ′B ′C ′的两个角分别是45°和35°，则这两个三角形
相似
C ．等腰△ABC 和等腰△A ′B ′C ′都有一个角为90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′相似
D ．等腰△ABC 和等腰△A ′B ′C ′都有一个角为105°，则△ABC 与△A ′B ′C ′相似 4．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB=3，CD=6，AP=4，则DP 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8
5．如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似的三角形共有 ( )
A ．4对
B ．3对
C ．2对
D ．1对
6. 如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( )
A ．
13 B ．2
3 C ．3
4 D ．45
7. 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为3
1
，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（） A ．(2，1) B ．(2，0)
C ．(3，3)
D ．(3，1)
8. 如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD ，CD =AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，
则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
6．如图，△ADE ∽△ABC ，则AD ：DB=__________．
7．已知在△ABC 中，∠A=40°，∠B=75°，则在如图所示的三角形中，与△ABC 相似的是_______． 8．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，请你添加一个条件，使△ADE 与△ABC 相似．你添加的条件是_______________．
9．如图，DE ∥BC ，若AD=3，BD=2．AE=6，则AC=__________．
10. 如果k
f e d c b a ===（0≠++f d b ），且)(3f d b e c a ++=++，那么k =_
11. 在□ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ：S △COB = ．三、解答题
11．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，若∠A=38°，∠C=82°，∠1=60°，则
AD AB
AE AC
=成立吗?为什么
?
12．请设计三种不同的分法，将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原三角
形都相似(要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求写出画法，不要求说明理由)．
13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， EF ∥AB ，说明：△ADE ∽△EFC ． 14．已知：
b c c a b a --=。

求证：c
2
b 1a 1=+。

15．如图，已知：AB//CD ，AC 、BD 交于点O ，OE//AB 交BC 于点E 。

求证：
OE
1
DC 1AB 1=
+。

16．如图，已知：D 是△ABC 的边BC 上一点，过D 点的直线交AC 于Q ，交AB 延长线于P ，AE//BC ，交PQ 于E ，PD ：PE=DQ ：QE 。

求证：（1）D 是BC 的中点；（2）QA ·PB=PA ·QC 。

（本题12分）
17. 如图1，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD ＝∠BG C ．
(1)求证：AD ＝BC ；
A
B
C
D E
F
(2)求证：△AGD ∽△EGF ； (3)如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求 AD
EF 的值．
A B
E C D
F G 第23题图1 第23题图2。