(完整版)初三圆的知识点总结

1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例：
∵ CD 过圆心
∵CD ⊥AB
2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例：
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 几何表达式举例：
(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD
(2) ∵ AB = CD
∴∠AOB=∠COD
4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) （1）（2）（3）（4）
几何表达式举例：
（1）∵∠ACB=21
∠AOB
∴……………
（2）∵ AB 是直径
∴∠ACB=90°
（3）∵∠ACB=90°
∴ AB 是直径
（4）∵ CD=AD=BD
∴ΔABC 是Rt Δ
5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：
∵ ABCD 是圆内接四边形∴∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180°
6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例：
（1）∵OC 是半径
∵OC ⊥AB
∴AB 是切线
（2）∵OC 是半径
∵AB 是切线
∴OC ⊥AB
（3）……………
A B
C D O A B C D E
O 平分优弧
过圆心垂直于弦平分弦
平分劣弧∴AC BC
AD BD
==AE=BE
A B C D
E F O A B
C O A B C
D
E A B C O A B
C D ∵∴∥=AB CD
AC BD
A B C O 是半径垂直
是切线
2．关于圆的常见辅助线：
7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例：
∵ PA 、PB 是切线
∴ PA=PB
∵PO 过圆心
∴∠APO =∠BPO
8．弦切角定理及其推论: （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）
几何表达式举例：
（1）∵BD 是切线，BC 是弦
∴∠CBD =∠CAB
（2）∵ ED ，BC 是切线
∴∠CBA =∠DEF
9．相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例：
（1）∵PA ·PB=PC ·PD
∴………
（2）∵AB 是直径
∵PC ⊥AB
∴PC 2=PA ·PB
10．切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：
（1）∵PC 是切线，PB 是割线
∴PC 2=PA ·PB （2）∵PB 、PD 是割线
∴PA ·PB=PC ·PD
11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. （1）（2）
几何表达式举例：
（1）∵O 1，O 2是圆心
∴O 1O 2垂直平分AB
（2）∵⊙1 、⊙2相切
∴O 1 、A 、O 2三点一
线
12．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径R N ，边心距r n ，
边长a n ，内角n ，边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. 公式举例：
(1) n =
n 360
；
(2) n
180
2n A B C D
A B C
D E F P A B O A
B C P A
B C
D
P A B O1O2A O1O2n n
A B C D
E O
a r
n n n R A B C D P A B C
P
O ∵EF AB
=
O C A B 已知弦构造弦心距. O A B
C 已知弦构造Rt Δ.
O A B C 已知直径构造直角. O
A
B
已知切线连半径，
出垂直.
O B C A D P 圆外角转化为圆周角. O A
C D B
P
圆内角转化为圆周角. O D C P
A B
构造垂径定理. O A
C D
P
B
构造相似形.
M 01A N O2两圆内切，构造外公切线与垂直. 01
C N O2
D E A
B
M 两圆内切，构造外公切线与平行. N A M 02O1两圆外切，构造内公切线与垂直. C
B
M
N
A
D E
O102两圆外切，构造内公切线与平行.
C E A
D B O 两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB. A C B O102两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. B
A C
O P PA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等.
O
A
B
C
D
E
相交弦出相似.
O P A B C 一切一割出相似, 并且构造弦切角. O
B C E A
D
P 两割出相似,并且构造圆周角. O A B C
P 双垂出相似,并且构造直角. B A C D
E
F 规则图形折叠出一对全等，一对相似.
F E D B A C O
G H
圆的外切四边形对边和相等. A B O
C D 若AD ∥BC 都是切线，连结OA 、OB 可证∠AOB=180°，即A 、O 、B 三点一线. E
A C
B O D 等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相
似形.
E F
C D B
A
O
Rt ΔABC 的内切圆
半径：r=2
c
b a .
O 补全半圆.
A
B C
o1o2
AB=2221)r R (O O . C
A
B
o1o2
AB=22
21)r R (O O .
A C D P O
B P
C 过圆心，PA 是切线，构造双垂、Rt Δ. B C
D O A P O 是圆心，等弧出平行和相似. D
E M A
B C
F
N G
作AN ⊥BC ，可证出:
AN AM
BC GF .。