中考数学圆知识点归纳
初三圆知识点汇总
初三圆知识点汇总圆是初中数学中的一个重要内容，也是中考的必考知识点之一。
下面就为大家详细汇总初三圆的相关知识点。
一、圆的定义1、动态定义：在平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。
固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。
2、静态定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2、直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧分为优弧、劣弧和半圆。
4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
6、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：（1）点在圆外⇔ d ＞ r；（2）点在圆上⇔ d ＝ r；（3）点在圆内⇔ d ＜ r。
2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：（1）直线与圆相离⇔ d ＞ r；（2）直线与圆相切⇔ d ＝ r；（3）直线与圆相交⇔ d ＜ r。
中考数学-圆讲义及练习
第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．2. 圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．3. 圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．典例剖析例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．跟踪训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．（第9题图）（第10题图）10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．知识点2 垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．典例剖析例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．跟踪训练1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1（第1题图）（第2题图）2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．83．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．知识点3 切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线性质的运用见切点，连半径，见垂直．例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．跟踪训练1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）A．70°B．60°C．55°D．35°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5过关精练1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）A．B．C．5D．8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．（第13题图）（第14题图）（第15题图）14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．（第16题图）（第17题图）17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．知识点4 扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．跟踪训练1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A．B．（2﹣）πC．πD．π3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4（第8题图）（第8 题图）（第10题图）9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为第 11 页 共 12 页半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）（第14题图） （第15题图）16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．（第16题图） （第17题图） （第18题图）17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 ．18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为 ．（第19题图） （第20题图）20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为 ．21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB．为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是第12 页共12 页。
中考圆的知识点总结总结
中考圆的知识点总结总结一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是一个平面上和一个确定点的距离都相等的点的集合。
这个确定点就是圆心，而圆心到圆上的任意点的距离就是半径。
2. 圆的性质（1）圆心角圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是圆周上的两条弦。
圆心角的度数等于对应的弧所对的圆周的度数。
如果圆心角的度数为360度，那么这个角就是周角。
（2）弧圆上的一段弧是圆周的一部分。
圆的周长就是圆周的长度，可以用角度和弧度来表示。
（3）切线和切点切线是一个直线，它与圆相切于一个点。
在圆上，切线与半径的夹角为90度。
（4）同位角同位角是两条平行线被一条截线所切割而形成的一对内角和一对外角。
同位角的性质也可以应用到圆上。
（5）相似两个或者更多的圆是相似的，如果它们有着相同的形状但是不同的尺寸。
相似的圆的半径之比等于它们的直径之比。
二、圆的相关定理1. 圆周角定理圆周角等于圆心角的一半。
2. 圆的面积和周长圆的面积等于πr^2，圆的周长等于2πr，其中r是圆的半径，π是一个无理数，约等于3.14159。
3. 弦长定理在同一个圆上，相交弦的两个切点到圆心的距离相等。
4. 弧长定理同样的圆上，相对的圆周弧长相等。
5. 切线定理切线和半径的夹角为90度。
6. 弧上的角定理同样的圆上，一个圆周弧所对的圆心角等于这个弧上的其他角的和。
7. 线段对定理在一个圆上，两条相交的弧所对的线段互为比例。
三、圆的应用1. 圆的周长和面积的应用圆的周长和面积是经常在实际生活中用到的数学概念。
比如在工程测量中，需要计算环形的周长和面积。
2. 圆的图形补充圆的图形补充，包括扇形、环形等概念，也是圆的知识点之一。
3. 圆的运动学应用在运动学中，圆的运动规律和路径也是一个重要的应用。
四、典型例题下面列举一些典型的中考圆的例题，帮助大家更好地复习和巩固知识。
1. 如果一条切线和一条半径分割了一个角为30度的圆心角，那么这条切线和半径的夹角是多少度？A. 60度B. 45度C. 30度D. 15度答案：A. 60度2. 已知圆的半径为8cm，求圆的面积和周长。
2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理
2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理中考数学中圆的基础性质公式定理有以下几个：
一、圆周公式
圆的圆周C＝2πr，其中C为圆的圆周长，r为圆的半径。
二、圆的面积公式
圆的面积S＝πr2，其中S为圆的面积，r为圆的半径。
三、圆心角公式
圆心角的大小θ等于弧长除以半径：θ＝l/r，其中θ为圆心角的大小，圆周长l，半径r。
四、圆切线与圆弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则圆心角的三个角相等：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆心角的三个角的大小。
五、圆周弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则两条切线上有等于圆弧的三次夹角：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆弧上三次夹角的大小。
六、圆的外接四边形关系
若四边形是圆的外接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r，其中DA,DB为四边形的两条对角线，r为圆的半径。
七、半径交点概念
若平面上有两条圆，以及它们的公共外接四边形，它们上的所有的交点都是半径交点，即两圆从它们公共外接四边形的对角线交点开始，向外射线，直到相交，所有相交的点都是它们的半径交点。
八、圆内接四边形关系
若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r。
初中数学中考圆的知识点总结归纳(中考必备)
中考数学圆的知识点总结归纳一、圆的定义（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
二、圆心（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
三、周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径四、面积计算公式1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方五、点、直线、圆和圆的位置关系1、点和圆的位置关系①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质
基础知识知识点一、圆的有关概念1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．3.确定圆的条件确定一个圆有两个基本条件①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．经过不在同一直线上的三点确定一个圆．知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念1. 弦与直径：①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.2. 弧与半圆①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做AB，②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系1. 圆的旋转不变性把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.知识点四、垂径定理1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，用符号语言叙述为：∵ CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点E∴ AE＝EB，AC BC，AD DB3. 垂径定理基本图形的性质：（1）有4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△CAM与Rt△CBM；Rt△OAM与Rt△OBM；Rt△MAD与Rt△MBD；特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．（2）有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线．（3）有3对弧相等：AC BC，AD BD，CAD CBD．（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径，是两种重要的添线方法．知识点五．圆周角定理1. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，3. 圆周角定理的推论①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．②圆内接四边形的对角互补．典型例题解析例1.（菏泽）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD弧的度数为＿＿＿＿＿．例2. （山西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为( )A．30° B．40° C．50° D．80°例3. （绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，⊙O与矩形ABCD边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点）．已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为___________．例4. （黑龙江）直径为10cm的⊙Ｏ中，弦AB＝5cm,则弦AB所对的圆周角是．例5. (济南) 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A. 2. 3 C. 32D.3例6. （安徽）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．例7. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．巩固练习1. （湖州）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A. 35 °B.45°C. 55°D.65°2. 如图所示，在⊙O中，，那么（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．无法比较3. （嘉兴）如图，○O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8则AB的长为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）84. （钦州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．20°5. （南通）如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝_______度．6. （广元）若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对的圆周角的度数为 .7 . (龙岩) 如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC= 。
初三数学知识点总结归纳(4篇)
初三数学知识点总结归纳初三数学复习五大方法初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
初三数学知识点总结归纳（二）1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2.非负数：正实数与零的统称。
（表为：x0）性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a（a1）;B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义（三要素）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂径定理的推论：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
3.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
4.圆周角定理：5.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
6.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质：I：圆内接四边形的对角互补。
II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
7.三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
8.切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。
9. 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
2022年最新中考数学知识点梳理 考点17 圆(教师版)
2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点17 圆考点总结一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．八、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．九、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=12ππ2l r rl⋅=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021秋•临河区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（）A．70°B．120°C．140°D．110°【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵BC＝CD，∴BĈ=CD̂，∵∠DAB＝40°，∴∠BAC=12∠DAB＝20°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，故选：D．2．（2021•河北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC 和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组{y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y ﹣x ＝18°，在△ANM 中，∠NAM +∠ANM ＝180°﹣108°，∴x +2y ＝72°，{y −x =18°2y +x =72°， 解得{x =12°y =30°， ∴∠BAC ＝4x ＝48°．故选：B ．3．（2021•桥东区二模）如图，点O 为△ABC 的内心，∠B ＝58°，BC ＜AB ，点M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且∠MON ＝122°．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：OM ＝ON ；乙：四边形OMBN 的面积是定值；丙：当MN ⊥BC 时，△MON 的周长取得最小值．则下列说法正确的是（ ）A ．只有甲正确B ．只有丙错误C ．乙、丙都正确D ．甲、乙、丙都正确【分析】过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，根据三角形内心可得OD ＝OE ，然后证明△DON ≌△EOM ，可得ON ＝OM ；连接OB ，根据△DON ≌△EOM ，可得四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，根据点D 的位置固定，可得四边形OMBN 的面积是定值；过点O 作OF ⊥MN 于点F ，根据ON ＝OM ，∠MON ＝122°，可得∠ONM ＝29°，MN ＝2NF ＝2ON cos29°，所以△MON 的周长＝2ON （cos29°+1），可得当ON 最小时，即当ON ⊥BC 时，△MON 的周长最小值，进而可得结论．【解答】解：如图，过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，∵点O 为△ABC 的内心，∴OB 是∠ABC 的平分线，∴OD ＝OE ，∵∠B ＝58°，∴∠DOE ＝122°，∵∠MON ＝122°，∴∠DON ＝∠EOM ，在△DON 和△EOM 中，{∠DON =∠EOMOD =OE ∠NDO =∠MEO，∴△DON ≌△EOM （ASA ），∴ON ＝OM ，所以甲的判断正确；连接OB ，∵△DON ≌△EOM ，∴四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，∵点D 的位置固定，∴四边形OMBN 的面积是定值，所以乙的判断正确；如图，过点O 作OF ⊥MN 于点F ，∵ON ＝OM ，∠MON ＝122°，∴∠ONM ＝29°，∴MN＝2NF＝2ON cos∠ONM＝2ON cos29°，∴△MON的周长＝MN+2ON＝2ON cos29°+2ON＝2ON（cos29°+1），∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，此时，MN不垂直于BC，所以丙的判断错误．综上所述：说法正确的是甲、乙．故选：B．4．（2021•开平区一模）如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．【解答】解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，则△ABC的外接圆圆心是点G，故选：C．5．（2021•河北模拟）已知：直线AB及AB外一点P．如图求作：经过点P，且垂直AB的直线，作法：①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，交直线AB于点C，D．②分别以点C、D为圆心，适当的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧交于点Q．③过点P、Q作直线．直线PQ即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（）A．这两个适当的长相等B．①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离C．②中“适当的长”指大于线段CD的长D．②中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离【分析】利用基本作图进行判断．【解答】解：①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；②中“适当的长”指大于线段CD的长的一半．故选：B．6．（2021•河北模拟）有一题目：已知△ABC外接圆的半径为2，BC＝2√3，求∠A的度数．嘉嘉这样求解：如图，作直径CD，点A在BDĈ上，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，在Rt△BCD中，∵sin D=BCCD=2√34=√32，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°．琪琪说：“嘉嘉的答案不全，∠A还有一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．嘉嘉的答案没有遗漏B．嘉嘉的结果错误，∠A＝30°C．琪琪的说法错误D．琪琪的说法正确，还有一个答案为120°【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（2021•桥东区二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆的有关定义进行解答．【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．故选：B．8．（2021•桥东区二模）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．π【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出AD=12OA=12，求出△AOB的面积=12OB•AD=14，即可得出答案． 【解答】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD ⊥OB 于D ，如图所示： ∴∠AOB =360°12=30°， ∵AD ⊥OB ，∴AD =12OA =12，∴△AOB 的面积=12OB ×AD =12×1×12=14，∴正十二边形的面积＝12×14=3， ∴⊙O 的面积≈正十二边形的面积＝3，故选：A ．9．（2021•顺平县二模）如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D 、E 、F 、G 四点中有一点是△ABC 的外心，该点到线段AB 的距离是（ ）A ．√32B ．√2C ．12D ．1【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到△ABC 为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答．【解答】解：∵每个小三角形都是正三角形，∴AM ＝AN ，MB ＝BN ，∴AB ⊥MN ，∴△ABC 为直角三角形，∵G 是AN 的中点，GE ∥BC ，∴点E 是△ABC 斜边的中点，∴△ABC 的外心是斜边的中点，即点E ，∴E 到AB 的距离1，故选：D ．10．（2021•河北模拟）如图，取正六边形ABCDEF 的各边中点并依次连接，得到正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，再取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边中点并依次连接，得到正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，则正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45 【分析】如图，设AF 1＝FF 1＝a ，求出AF ，F 2E 2（用a 表示），可得结论．【解答】解：如图，设AF 1＝FF 1＝a ，∵∠A ＝120°，AA 1＝AF 1＝a ，∴A 1F 1=√3a ，∴A 1F 2＝F 2F 1=√32a ，∵∠F 2F 1E 2＝120°，∴F 2E 2=√3F 2F 1=32a ，∴A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比=32a ：2a ＝3：4，故选：C ．二．填空题（共5小题）11．（2021•开平区一模）正多边形的外角为120度，边长为m ，则这个正多边形的面积是√34m 2 ． 【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．【解答】解：正多边形的边数是：360÷120＝3．等边三角形的边长为2cm ，所以正六边形的面积=12×m ×m ×√32=√34m 2． 故答案为：√34m 2． 12．（2021•路南区二模）如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，连结GF 、FE ，当∠D ＝60°时，∠GFE ＝ 30 °．【分析】先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠GAD ＝∠D ＝60°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠GAD ＝∠D ＝60°，∴∠GFE =12∠GAE =12×60°＝30°．故答案为30．13．（2021•长安区二模）如图，正方形ABCD 和正六边形AEFCGH 均内接于⊙O ，连接HD ；若线段HD 恰好是⊙O 的一个内接正n 边形的一条边，则n ＝ 12 ．【分析】连接OH 、OD 、OA ，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O 的内接正四边形与内接六三角形的中心角得到∠HOA ＝60°，∠DOA ＝90°，∠DOH ＝∠DOA ﹣∠HOA ＝90°﹣60°＝30°，然后计算n ．【解答】解：连接OH 、OD 、OA ，如图，∵正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，∴∠HOA=360°6=60°，∠DOA=360°4=90°，∠DOH＝∠DOA﹣∠HOA＝90°﹣60°＝30°，∴n=360°30°=12，即HD恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为12．14．（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是√552，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是√552−√5，最大值是√552+√5．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最值．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴BC=12AB=32，由勾股定理得，OC =√OB 2−BC 2=√552，由勾股定理得，OD =√22+12=√5，当点D 在直线OC 上时，点D 到AB 的距离的最小或最大，∴点D 到AB 的距离的最小值为√552−√5，点D 到AB 的距离的最大值为√552+√5， 故答案为：√552；√552−√5；√552+√5．15．（2021•石家庄一模）如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝ 140 °．【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA ＝∠BAE ＝70°，求出∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF ＝∠FCB ＝20°，由三角形内角和定理可得出答案．【解答】解：∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED =12（180°﹣40°）＝70°，∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°，∴∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，∵点F 为△ADE 的外心，∴AF ＝EF ，AF ＝DF ，∴点F 在AE 的垂直平分线上，同理点B 在AE 的垂直平分线上，∴∠ABF ＝∠EBF ，∴∠EBF =12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°．故答案为：140．三．解答题（共3小题）16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB 内有一点P ，PC ⊥OA ，垂足为C ，以P 为圆心PC 为半径画14⊙P ，与OB 交于点E ， （1）过点D 作PD 的垂线与OB 交于点M ，连接PM ，过圆心P 作PN ⊥PM 交OA 于点N ，求证△PMN 是等腰直角三角形．（2）若PC ＝2，∠DPE ＝15°，计算扇形PEC 的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接MN ．证明△DPM ≌△CPN （ASA ），推出PM ＝PN ，可得结论．（2）利用扇形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：连接MN ．∵PM ⊥PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠CPD ＝90°，∴∠CPD ＝∠MPN ，∴∠DPM ＝∠CPN ，∵DM ⊥PD ，PC ⊥OA ，∴∠PDM ＝∠PCN ＝90°，在△PDM 和△PCN 中，{∠PDM =∠PCNPD =PC ∠DPM =∠CPN，∴△DPM ≌△CPN （ASA ），∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形．（2）解：∵∠DPE ＝15°，∴∠CPE ＝90°﹣15°＝75°，∴S 扇形PEC =75×π×22360=5π6．17．（2021•滦州市一模）如图，AM ∥BN ，AB ⊥BN ，点C 在射线BN 上且∠ACB ＝50°，BQ ⊥AC于点Q ，点P 是线段QA 上任意一点，延长BP 交AM 于点D ，AB ＝6．（1）若点P 为AC 中点，求证：△APD ≌△CPB ；（2）当△PBC 为等腰三角形时，求∠PBC 的度数；（3）直接写出△PBC 的外心运动的路径长．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法：ASA即可得到结论；（2）分三种情况：当PC＝PB时，当BC＝BP时，当BC＝BP时，分别计算即可；（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ＝x，AQ＝y，设△PBC外心运动路径长为h，外心一定在直线l1上，根据三角函数可得答案．【解答】解（1）∵P为AC中点，∴PA＝PC，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BPC＝∠APD，∴△APD≌△CPB（ASA）．（2）当PC＝PB时，∠PBC＝∠ACB＝50°，当CP＝CB时，∠PBC＝∠CPB=180°−50°2=65°，当BC＝BP时，∠PBC＝108﹣2x50＝80°，综上：∠PBC＝50°或65°或80°．（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ ＝x ，AQ ＝y ，∴EF =x+y 2−x 2=y 2，设△PBC 外心运动路径长为h ，外心一定在直线l 1上，∵∠CFT ＝∠CAB ＝40°，∴cos40°＝（y 2）÷h =AB AC =AQ AB =y 6， ∴y 2÷h ＝y ÷6， ∴h ＝3，故△PBC 的外心运动的路径长为3．18．（2021•南皮县一模）如图，射线AM ⊥AB ，O 是AM 上的一点，以O 为圆心，OA 长为半径，在AM 上方作半圆AOC ，BE 与半圆相切于点D ，交AM 于点E ，EF ⊥BO 于点F ．（1）求证：BA ＝BD ；（2）若∠ABE ＝60°，①判断点F 与半圆AOC 所在圆的位置关系，并说明理由；②若AB =√3，直接写出阴影部分的面积．【分析】（1）由切线长定理可得出答案；（2）①证明△OBA≌△OEF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝OA，则可得出答案；②连接OD，则OD⊥BE，由直角三角形的性质求出OD的长，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵AM⊥AB，∴BA是半圆的切线，切点为A，又∵BE与半圆相切于点D，∴BA＝BD；（2）解：①点F在半圆AOC所在的圆上，理由如下：∵∠ABE＝60°，∴∠BEA＝30°，又∵OBA＝∠OBE=12∠ABE＝30°，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE，又∵∠AOB＝∠FOE，∠A＝∠F＝90°，∴△OBA≌△OEF（AAS），∴OF＝OA，∴点F在半圆AOC所在的圆上；②连接OD，则OD⊥BE，∵OB＝OE，∴DE＝BD＝AB=√3，∵∠OBA＝30°，∴OD＝OA＝AB•tan30°=√3×√33=1，2 360=√32−π6．∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COD=12×√3×1−60π×1。
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圆知识点归纳
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：
➢ 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
➢ 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距
离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）
8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；
d = r 点P 在⊙O 上
d < r （r > d 点P 在⊙O 内
d > r （r <d 点P 在⊙O 外
直线与圆没有交点，直线与圆相离。
2
9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。
则AB=221221)()(y y x x -+-
10、圆的切线判定。
（1）d=r 时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
11、圆的切线的性质（补充）。
（1）经过切点的直径一定垂直于切线。
（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
12、切线长定理。
（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的
切线长。
（2）切线长定理。
∵ PA 、PB 切⊙O 于点 A 、B ∴ PA=PB ，∠1=∠2。
13、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）如图，△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、F 。
求：AD 、BE 、CF 的长。
分析：设AD=x ，则AD=AF=x ，BD=BE=5－x ，CE=CF=7－x. 可得方程：5－x ＋7－x=6，解得x=3
（3）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c 。
求内切圆的半径r 。
分析：先证得正方形ODCE ， 得CD=CE=r AD=AF=b －r ，BE=BF=a －r b －r ＋a －r=c 得r=2
c b a -+ （4）S △ABC =)(2
1c b a r ++ 14、（补充）
（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。
（2）相交弦定理。
d = r 直线与圆相切。
d < r （r > d 直线与圆相交。
d > r （r <d 直线与圆相离。
12（2）图
P
13(2)图
6
圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。
（3）切割线定理。
如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB ·PC 。
（4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA ·PB=PC ·PD 。
15、圆与圆的位置关系。
（1）外离：d >r 1＋r 2， 交点有0个；
外切：d=r 1＋r 2， 交点有1个；
相交：r 1－r 2<d <r 1＋r 2，交点有2个； 内切：d=r 1－r 2， 交点有1个；
内含：0≤d <r 1－r 2， 交点有0个。
（2）性质。
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。
L==⨯R n π2360180
R n π （2）扇形的面积用S 表示。
S=36036022R n R n ππ=⨯ S=lR R R n 2
12180=⨯π （3）圆锥的侧面展开图是扇形。
r 为底面圆的半径，a 为母线长。
✧ 扇形的圆心角α=0360⨯a
r ✧ S 侧=πar S 全=πar ＋πr 2
（1）图 （2）图 （3）图 （4）图
相切 相离。