人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案

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人教版九年级数学上册 24.1 圆的有关性质(含答案)

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的圆规，点A 是铁尖的端点，点B 是铅笔芯尖的端点，已知点A 与点B 的距离是2 cm ，若铁尖的端点A 固定，将铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．4 cmD ．π cm2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，AB是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°4. 如图，OA是⊙O 的半径，B 为OA 上一点(不与点O ，A 重合)，过点B 作OA的垂线交⊙O 于点C .以OB ，BC 为边作矩形OBCD ，连接BD .若BD ＝10，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．8B ．6C ．4D ．25. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵6. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 37. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．88. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝54°，则∠1等于( )A ．36°B ．54°C ．72°D ．73°9. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 3二、填空题（本大题共8道小题） 11. 2018·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.12. 2018·毕节如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为________．13. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(3，0)，⊙M 的半径为2，过点M 的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为________，此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于________°.14. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.18. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．20.如图，△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠C ＝∠D ＝90°.求证：A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上.21. (2019•包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接MA MC ，． (1)求⊙O 半径的长； (2)求证：AB BC BM +=．22. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】A[解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.6. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.7. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】D[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB＝AB 可知PB ︵＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.12. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.13. 【答案】6 90 [解析] ∵AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝4.当点O 到AB 的距离最大时，△AOB 的面积最大，此时AB ⊥x 轴于点M ， ∴△AOB 的面积的最大值为12×4×3＝6，∠AMO ＝90°. 即此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于90°.14. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.17. 【答案】40[解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.18. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x ＝3，即CD ＝3.20. 【答案】证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD.∵△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴OC ，OD 分别为Rt △ABC 和Rt △ABD 斜边上的中线， ∴OC ＝OA ＝OB ，OD ＝OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．21. 【答案】(1)连接OA OC 、，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1，∵120ABC ∠=︒，∴18060AMC ABC ∠=-∠=︒︒，∴2120AOC AMC ∠=∠=︒， ∴1602AOH AOC ∠=∠=︒， ∵132AH AC ==， ∴2sin60AH OA ==︒，故⊙O 的半径为2．(2)在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，∵120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠，∴60ABM CBM ∠=∠=︒，∵60MBC BE BC ︒∠==，，∴EBC △是等边三角形，∴60CE CB BE BCE ==∠=︒，， ∴60BCD DCE ∠+∠=︒，∵60ACM ∠=︒，∴60ECM DCE ∠+∠=︒，∴ECM BCD ∠=∠，∴6060CAM CBM ACM ABM ∠︒=∠︒=∠=∠=，， ∴ACM △是等边三角形，∴AC CM =，∴ACB MCE △≌△，∴AB ME =，∵ME EB BM +=，∴AB BC BM +=．22. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点．证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO . ∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．。

人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-；外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=；外离⇔21r r d +>；内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长．【中考连接】一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为（）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图第4题图第5题图第6题图第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．第3题图第6题图第7题图第8题图第10题图第11题图第12题图第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=．（1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。

人教版数学九年级上学期课时练习-圆及有关概念(知识讲解)(人教版)

专题24.1 圆及有关概念（知识讲解）【学习目标】1．理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2．了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；【要点梳理】要点一、圆的定义第一定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．特别说明：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.第二定义：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 特别说明：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.特别说明：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.特别说明：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.特别说明：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.类型一、圆的定义1．如图，已知O 的圆心原点()0,0O ，半径长为(10,8),A a 是O 上的在第一象限的点，求a 的值．【答案】6【分析】根据圆的基本性质，可得OA =10，再由(),8A a ，可得AB =8，然后由勾股定理，求出OB =6，即可求解．解：如图，过点B 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，⊥O 的半径长为10，⊥OA =10，⊥(),8A a ，⊥AB =8，在Rt AOB 中，由勾股定理得：6OB = ，⊥(),8A a 在第一象限内，⊥0a > ，⊥6a =．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，点的坐标，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式1】 ABC 中，90C ∠=︒．求证：A B C ，，三点在同一个圆上．【分析】取AB 的中点O ，根据直角三角形的性质得到CO ＝AO ＝BO ，故可求解．解：如图所示，取AB 的中点O ，连接CO在Rt ⊥ABC 中，⊥AO = BO ，⊥ACB = 90°，⊥CO ＝12AB ，即CO ＝AO ＝BO ．⊥A ，B ，C 三点在同一个圆上，圆心为点O ．【点拨】此题主要考查证明三点共圆，解题的关键是熟知圆的基本性质及直角三角形的特点．【变式2】如图，已知MN 为O 的直径，四边形ABCD ，EFGD 都是正方形，小正方形EFGD 的面积为16，求圆的半径．【答案】r =【分析】连接OC ，OF ，设O 的半径为r ，2AD x =，则12DO AD x ==，在Rt ⊥COD 和Rt ⊥FOG 中，分别根据勾股定理可得222(2)832x x x x +=++，解方程即可求解．解：如图，连接OC ，OF ，设O 的半径为r ，2AD x =，则12DO AD x ==， ⊥222DO CD CO +=，⊥222(2)x x r +=，⊥正方形EFGD 的面积为16，⊥4DG FG ==，⊥4OG x =+，又⊥222OF OG FG =+，⊥2222(4)4832r x x x =++=++，⊥222(2)832x x x x +=++，解得14x =，22x =-（不合题意，舍去），⊥2224880r =+=，r =【点拨】本题考查勾股定理的应用圆的认识和性质，解题的关键是熟练掌握在一个直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．类型二、与圆有关的概念3．如图，在O 中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．【答案】OA，OB，OC，OD AB AB，BC AC，BC，BD，CD，AD ADC，BAC，BAD，ACD，DAC【分析】根据圆的基本概念，即可求解．解：在O中，半径有OA，OB，OC，OD；直径有AB；弦有AB，BC；劣弧有AC，BC，BD，CD，AD；优弧有ADC，BAC，BAD，ACD，DAC；故答案为：OA，OB，OC，OD；AB；AB，BC；AC，BC，BD，CD，AD；ADC，BAC，BAD，ACD，DAC．【点拨】本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键．举一反三：【变式1】小于半圆的弧（如图中的________）叫做______；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______ ．【注意】1）弧分为是优弧、劣弧、半圆．2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论．【答案】AC劣弧ABC优弧【变式2】如图，以点A为端点的优弧是____________，以点A为端点的劣弧是_____________．【答案】AEC，ADE AE，AC【分析】根据劣弧和优弧的定义求解．解：在⊥O中，以A为端点的优弧有AEC，ADE；以A为端点的劣弧有AE，AC；故答案为：AEC，ADE；AE，AC．【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，注意：大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧．类型三、点和圆的位置关系3．已知⊥O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3cm，在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊥O位置关系各是怎样的【答案】PD＝4cm，点P在⊥O上．QD＞4cm，点Q在⊥O外．RD＜4cm，点R在⊥O 内．【分析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．解：连接PO，QO，RO．⊥PD＝4cm，OD＝3cm，⊥PO5r==．⊥ 点P 在⊥O 上．5QO r ===，⊥ 点Q 在⊥O 外．5RO r ==，⊥ 点R 在⊥O 内．【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．举一反三：【变式1】已知：如图，△ABC 中，90,2cm,4cm AC C C B ∠==︒=，CM 是中线，以C长为半径画圆，则点A 、B 、M 与⊥C 的关系如何？【答案】点A 在⊥O 内；点B 在⊥C 外；M 点在⊥C 上【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d ，则当d =r 时，点在圆上；当d ＞r 时，点在圆外；当d ＜r 时，点在圆内．解：根据勾股定理，有AB =cm ）；⊥CA =2cm ，⊥点A 在⊥O 内，⊥BC =4cm ，⊥点B 在⊥C 外；由直角三角形的性质得：CM⊥M 点在⊥C 上．【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．【变式2】画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形.【答案】以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆.【分析】如图所示，当线段两个端点在O，F时，此时的的中点为B点，同理可知也可在A,G,H点，这些点在已知直线的交点为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆上；当线段两个端点在C，D时，其中点为E，根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半知CE=DE=OE，则E点在以O为圆心2.5 cm长为半径的一个圆上；综上即可画出图形.解：如图所示，以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆.【点拨】此题主要考查点与圆的关系，解题的关键是正确理解题意，再画出图形.类型四、圆中弦的问题4、已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）.【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求.解：如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【点拨】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.举一反三：【变式1】如图所示，AB 为O 的一条弦，点C 为O 上一动点，且30BCA ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与O 交于G ，H 两点，若O 的半径为7，求GE FH +的最大值.【答案】GE FH +的最大值为212. 【分析】由GE FH +和EF 组成O 的弦GH ，在O 中，弦GH 最长为直径14，而EF 可求，所以GE FH +的最大值可求.解：连结AO ，BO ，⊥30BCA ∠=︒ ⊥60BOA ∠=︒⊥AOB 为等边三角形，7AB =⊥点E ，F 分别是AC ，BC 的中点 ⊥1722EF AB ==，⊥ GH 为O 的一条弦 ⊥GH 最大值为直径14 ⊥GE FH +的最大值为7211422-=. 【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.【变式2】如图，已知等边⊥ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A 、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把⊥ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B '．当 PB ＝6 时，在直线 l 变化过程中，求⊥ACB'面积的最大值．【答案】【分析】如图，过点P 作PH AC ⊥，当B '，P ，H 共线时，ACB '△的面积最大，求出PH 的长即可解决问题．解：如图，过点P 作PH ⊥AC ，由题可得，B '在以P 为圆心，半径长为6的圆上运动，当HP 的延长线交圆P 于点B '时面积最大，在Rt APH 中，8AB =，6PB =，2PA ∴=， ABC 是等边三角形，60PAH ∴∠=︒，1AH ∴=，PH =6BH ∴=ACB S '∴的最大值为18(6242⨯⨯=．【点拨】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键．类型五、与圆周长和面积有关的问题5、如图所示，求如图正方形中阴影部分的周长．（结果可保留π）【答案】正方形中阴影部分的周长为()2060cm π+【分析】阴影部分的周长=半圆弧长+14圆弧长+正方形边长的3倍，依此计算即可求解．解：根据题意得：1110(cm)2l d ππ==， 2210(cm 41)r l ππ=⋅=， ()1010602060cm C πππ=++=+．故正方形中阴影部分的周长为()2060cm π+．【点拨】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握圆的周长公式．举一反三：【变式1】如图，长方形的长为a ，宽为b ，在它的内部分别挖去以b 为半径的四分之一圆和以b 为直径的半圆．（1）用含a 、b 的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a ＝8，b ＝4时，求阴影部分的面积（π取3）．【答案】（1）阴影部分的面积＝ab ﹣38πb 2；（2）14．【分析】（1）根据阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积，结合图形14圆的半径、半圆的半径和矩形的宽的关系，并利用它们的面积公式即可求解．（2）将a ，b 的值代入（1）中所求的代数式进行计算．解：（1）14圆的半径即为矩形的宽=b ，半圆的半径为矩形宽的12=12b ，阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积即：阴影部分面积=2221113()4228ab b b ab b πππ--=- （2）因为π取3，将84a b ==，代入（1）所得的代数式得：原式=238434=148⨯-⨯⨯．【点拨】本题考查求圆的面积的公式及根据题意列代数式，明确阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积是解题的关键．【变式2】如图，长方形的长为a ，宽为2a ，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当2a =时阴影部分的面积（π取3.14）．【答案】2(2)4a π-，1.14 【分析】根据对称性用a 表示出阴影的面积，再将a=2代入求解即可．解：由题意可知：S 阴=211442222a a a π⎡⎤⎛⎫-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2(2)4a π-= 当2a =时，S 阴=(3.142)4 1.144-⨯=．【点拨】本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式，解答的关键是找出面积之间的关系，利用基本图形的面积公式解决问题．类型六、坐标系中圆的问题6、如图，点P 是反比例函数(0)k y x x=<图象上一点，PA x ⊥轴于点A ，点M 在y 轴上，M 过点A ，与y 轴交于B 、D ，已知A 、B 两点的坐标分别为()()6,00,2A B -，，PB 的延长线交M 于另一点C ．(1)求M 的半径的长；(2)当45APB ∠=︒时，试求出k 的值；(3)在（2）的条件下，请求出线段PC 的长．【答案】(1) 10 (2) 48- (3) 【分析】（1）设()0,M m ，由题意知，22AM BM =，即()()()2226002m m --+-=-，求出满足要求的m ，求出MB 的长，进而可得半径；（2）由题意，设()6,P n -，设过P B ，的直线的解析式为y ax b =+，交x 轴于E ，将P B ，代入得62a b n b -+=⎧⎨=⎩，可得过P B ，的直线的解析式为226n y x -=+，将0y =代入，求得12,02E n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，由45APB ∠=︒ ，90PAB ∠=︒，可知AP PE =，则()1262n n -=---，求出满足要求的n 值，得到P 点坐标，然后代入反比例函数解析式求k 即可；（3）由（2）可知，过P B ，的直线的解析式为28226y x x -=+=-+，设(),2C a a -+，由题意知，10MC =，则()2222810a a +-++=，求出符合要求的a 值，进而可得C 的坐标，然后利用勾股定理求PC 的值即可．(1)解：设()0,M m ，由题意知，22AM BM =，即()()()2226002m m --+-=-，解得：8m =-，⊥()0,8M -，⊥()2810--=，⊥M 的半径的长为10．(2)解：由题意，设()6,P n -，设过P B ，的直线的解析式为y ax b =+，交x 轴于E ，如图，将P B ，代入得62a b n b -+=⎧⎨=⎩，解得262n a b -⎧=⎪⎨⎪=⎩， ⊥过P B ，的直线的解析式为226n y x -=+，将0y =代入得122x n-=-， ⊥12,02E n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭， ⊥45APB ∠=︒ ，90PAE ∠=︒，⊥45PEA ∠=︒，⊥AP AE =， ⊥()1262n n-=---，整理得280n n -=，解得8n =，0n =（不合题意，舍去），⊥()6,8P -，将()6,8P -代入k y x =得，86k =-，解得48k =-，⊥k 的值为48-．(3)解：由（2）可知，过P B ，的直线的解析式为28226y x x -=+=-+，设(),2C a a -+，由题意知，10MC =，⊥()2222810a a +-++=，解得10a =， 0a =（不合题意，舍去），⊥()10,8C -，⊥PC =⊥PC 的长为【点拨】本题考查了圆的概念，反比例函数与一次函数的综合，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆，其中0a >，0b >．(1)请写出方程22(3)(4)25x y ++-=表示的圆的半径和圆心的坐标；(2)判断原点()0,0和第（1）问中圆的位置关系．【答案】(1)半径为5，圆心()3,4- (2)在圆上【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆”即可直接得出答案；（2）将原点()0,0的坐标代入22(3)(4)25x y ++-=，即可判断出点与圆的位置关系．(1)解：在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆，∴将22(3)(4)25x y ++-=化成()2223(4)5x y --+-=⎡⎤⎣⎦， ∴22(3)(4)25x y ++-=表示的圆的半径为5，圆心的坐标为()3,4-；(2)解：将原点()0,0代入22(3)(4)25x y ++-=，左边2222(03)(04)3491625=++-=+=+==右边，∴原点()0,0在22(3)(4)25x y ++-=表示的圆上．【点拨】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键．【变式2】阅读下列材料：平面上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）之间的距离表示为12PP =，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P （x ，y ）是圆心坐标为C （a ，b ）、半径为r 的圆上任意一点，则点P r =，变形可得：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，我们称其为圆心为C （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C （3，4），半径为2的圆的标准方程为：；（2）若已知⊥C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22，圆心为C ，请判断点A （3，﹣1）与⊥C 的位置关系．【答案】（1）()()223425x y -+-=；（2）点A 在⊥C 的内部．【分析】（1）先设圆上任意一点的坐标（x ，y ），根据圆的标准方程公式求解即可；（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A 到圆心的距离d ，然后与半径r 相比较，d ＞r ，点在圆外，d =r ，点在圆上，d ＜r ，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系．解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x ，y ），⊥()()223425x y -+-=，故答案为()()223425x y -+-=；（2）⊥⊥C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22，⊥圆心坐标为C （2，0），⊥点A （3，﹣1），AC 2 ⊥点A 在⊥C 的内部．【点拨】本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．。

人教版九年级上册数学同步练习《圆》(习题+答案)

24.1圆内容提要1.平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.它包含两方面的意义：（1）圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在圆上.2.确定一个圆需要两个要素，即圆心与半径，其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.3.圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线.（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.5.圆周角的性质：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；（2）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；（3）半圆或直径所对的圆周角是直角；（4）90 的圆周角所对的弦是直径；（5）圆内接四边形的对角互补.6.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.24.1.1圆基础训练1．以定点O为圆心，能作个圆，这些圆是圆；以定长R为半径作圆，能作个圆，这些圆是圆；以定点O为圆心，定长R为半径作圆，能且只能作个圆.2.如图，图中所画的有条直径，有条非直径的弦，以点A为一个端点的优弧有条，劣弧有条.3.如图，点A，B在O∠=︒，那么ABO∆是三角形.⊙上，60AOB4.下列命题为真命题的有（）①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧.A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA AB BO--的路径运动一周.设OP的长为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（）6．如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，试判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上.如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由.7.如图，A，B，C为O∠=︒，求OAC∠的度数.OBC⊙上的三点，50OBA∠=︒，608.如图，AB，AC为O∠=∠.⊙的弦，连接CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，B C 求证CE BF=.24.1.2垂直于弦的直径基础训练1.下列图形中能够得到AE BE=的图形有（）个.2.如图，AB是O⊥，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）⊙的直径，弦CD ABA．CM DM=B．AC AD=C．2=AD BDD．BCD BDC∠=∠3．如图，AB是OCD=，那么AE的长AB=，8⊥，垂足为E，如果10⊙的直径，弦CD AB为（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，AB是OAOB∠=︒，则弦AB的长是（）OA=，120⊙的弦，半径2A．22B．23C．5D．355．如图，O⊙的直径为10，弦8AB=，P是弦AB上一个动点，那么OP长的取值范围是.6.下列命题正确的有（）①弦的垂直平分线必过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③圆中两条非直径的相交弦不能互相平分.A．0个B．1个C．2个D．3个7．如图，AB是O=.⊙的弦，C，D为直线AB上两点，OC OD=，求证AC BD8.如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是多少的管道？24.1.3弧、弦、圆心角基础训练1．下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等，其中是真命题的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③2．如图，在O∠=︒，则BOC∠等于（）A⊙中，点C是AB的中点，若40A．40︒B．50︒C．70︒D．80︒3．如图，在O∠=∠，则AB与CD的大小关系是（）AOB COD⊙中，圆心角2A ．2AB CD = B ．2AB CD >C ．2AB CD < D ．不能确定4．如图，在O ⊙中，AB AC =，70B ∠=︒，则A ∠的度数为 . 5.在O ⊙中，弦4AB =，弦心距为23，则圆心角AOB ∠为度.6.如图，AB 是O ⊙的直径，BC CD DE ==，35COD ∠=︒，则AOE ∠的度数为.7.已知A ，B 是O ⊙上的点，120AOB ∠=︒，C 是AB 的中点，求证：四边形OACB 是菱形.8.AC ，BD 为O ⊙的弦，且AC BD =，问AB 与CD 是否相等，为什么？9.如图，已知AB是O⊥，求⊥，DN AB⊙的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM AB证AC BD=.24.1.4圆周角基础训练1．如图，在O∠的度数是.∠=︒，则圆周角ACB⊙中，圆心角48AOB2.如图，O⊙的内接四边形ABCD，115∠=︒，则BOD∠=.A3.如图，A，B是O⊙上不与点A，B重合的任一点，则ACB∠AOB⊙上两点，且70∠=︒，C是O的度数是.4.如图，O⊥，垂足为N，则ON=（）⊙的半径为13，弦AB的长度是24，ON ABA．5 B．7 C．9 D．115．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）6.如图，O∠等于（）∠=︒，则DCFDOE⊙的直径CD过弦EF的中点G，40A．80︒B．50︒C．40︒D．20︒7．如图，AB是O=，请问BD与CD的⊙的直径，BD是O⊙的弦，延长BD到C，使AC AB大小有什么关系？试给予证明.8.如图，ABC⊙，交BC于点D，交CA的延长线于点E，∆中，AB AC=，以AB为直径作O连接AD ，DE .（1）求证：D 是BC 的中点；（2）若3DE =，2BD AD -=，求O ⊙的半径.能力提高1.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上，点A ，B 的读数分别为86︒，30︒，则ACB ∠的大小为（） A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒2．如图，O ⊙的弦AB 垂直平分半径OC ，若6AB =，则O ⊙的半径为（） A ．2B ．22C ．22D ．623．如图，AB 是O ⊙的直径，15ACD ∠=︒，则BAD ∠的度数为（） A ．75︒B ．72︒C ．70︒D ．65︒4．若O ⊙所在平面内有一点P ，这点P 到O ⊙上的点的最大距离为a ，最小距离为()b a b >，则此圆的半径为（） A ．2a b+ B ．2a b- C ．2a b +或2a b- D ．a b +或a b -5．如图，水平放置的一个油管的截面上有油部分油面高CD为8cm，其中有油部分油面宽AB 为24cm，则截面半径为cm.6.如图O⊙的半径为1cm，弦AB，CD的长度分别为2cm，1cm，则弦AD，BC所夹的锐角APB∠=度.7.如图，CD是O⊙∠=︒，AE交OEOD⊙的直径，点E在圆上，点A在线段DC的延长线上，72于B，且AB OC=，求A∠的度数.8.如图，已知AB AC ADBAC∠的度数是多少？∠=︒，求CAD==，2CBD BDC∠=∠，449.已知，在OCD=，求AB与CD间的距离.AB=，8∥，半径为5，6⊙中，弦AB CD拓展探究1．如图，ABC⊙的内接三角形，点C是优弧BA上一点（点C与A，B不重合），设∆是O∠=，CβOABα∠=.（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的数量关系，并证明.2.如图，已知AB是O⊥，E是AC上一点，AE，DC的延长线相交于点⊙的直径，弦CD AB∠=∠.F，求证AED CEF3.如图，AD为ABC∠的平分线交AD于点E，∆外接圆的直径，AD BC⊥，垂足为点F，ABC连接BD，CD.（1）求证BD CD =；（2）请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 的长为半径的圆上？并说明理由.24.1 参考答案：24.1.1 圆基础训练1．无数同心无数等 1 2．1 2 4 4 3．等边 4．A 5．C6．提示：OA OB OC OD ===，点A ，B ，C ，D 到点O 的距离相等． 7．20︒ 8．略24.1.2 垂直于弦的直径基础训练1．B 2．C 3．A 4．B 5．35OP ≤≤ 6．C 7．略 8．100cm 24.1.3 弧、弦、圆心角基础训练1．A 2．B 3．A 4．40︒ 5．60 7．略 8．AB CD = 9．证明略 24.1.4 圆周角基础训练1．24︒ 2．130︒ 3．35︒或145︒ 4．A 5．D 6．D 7．BD CD =，证明略8．（1）证明略（2）10r =能力提高1．B 2．A 3．A 4．C 5．13 6．75 7．24A ∠=︒ 8．88︒ 9．1或7 拓展探究1．（1）55︒；（2）90αβ+=︒，证明略．2．提示：连接BE，证明略．3．（1）证明略；（2）B，E，C三点在以点D为圆心，以DB为半径的圆上（提示：证DB DE DC==）．。

新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识【362179 课程名称：《圆》单元复习：经典例题3】1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】B；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果为-2≤OP≤0．故答案为：-2≤OP≤2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【362179 课程名称：《圆》单元复习：经典例题1-2】【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O1E⊥O2O3()3333332844AB cm +∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【点评】四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ， ∴OD=CD=2，∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S 阴影=S △OCD ﹣S 扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD ， ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【点评】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【点评】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为. 故选C.。

人教版九年级数学上册第24章24.1圆的有关性质考点与题型归纳

人教版九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质一：考点归纳考点一、圆在一个平面内，一条线段O A绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆. 圆心：固定的端点叫作圆心.半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径.（1）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ⊙O ”，读作“圆O”. 同圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.考点二、垂直于弦的直径（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.考点三、弧、弦、圆心角（1）顶点在圆心的角叫做圆心角 .（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.考点四、圆周角（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.（4）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.二：【题型归纳】【题型一】圆1．下列说法正确的是（）①弦是圆上两点间的部分；②直径是弦；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④圆的对称轴是直径；⑤外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型二】垂直于弦的直径3．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（）A．OF=CF B．AF=BF C．AD BDD．∠DBC=90°4．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5º，AB＝2，则半径OB等（）A ．1B ．22C ．2D ．2【题型三】弧、弦、圆心角5．给出下列命题：①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，AB 为O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长DE 交O 于点F ，若12AC =，3AE =，则O 的直径长为（）A ．10B ．13C ．15D ．16．7．O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分BAD ∠，则正确结论是（）A ．AB AD = B ．BC CD = C ．AB BD = D ．ACB ACD ∠=∠【题型四】圆周角8．如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是O 的直径，35B ∠=︒，则ACD ∠的度数是（）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒9．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD=40°，则∠BAD 的大小为（）A ．60ºB ．30ºC ．45ºD ．50º三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，∠ACD 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°2．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条弧所在圆的半径是（）A ．2B ．5C ．22D ．33．如图是我市环北路改造后一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为4m ，水面最深地方的高度为1m ，则该输水管的半径为（）A ．2mB ．2.5mC ．4mD ．5m4．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直弦AB 于D ，点E 在⊙O 上，∠E ＝22.5º，AB ＝2，则半径OB 等（）A ．1B ．22C ．2D ．25．下列说法中，正确的是（）A ．直径所对的弧是半圆B ．相等的圆周角所对的弦相等C ．两个半圆是等弧D ．一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半6．如图，已知抛物线()()31916y x x =---与x 轴交于,A B 两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，C 的半径为2，G 为C 上一动点，P 为AG 的中点，则DP 的最大值为（）A ．412B ．23C ．72D ．57．如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，4AP =，8BP =，45APC ∠=︒，则CD 的长为（）A ．34B ．62C ．234D ．128．已知，AB 为圆O 的一条弦，∠AOB=80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A ．40︒B ．140︒C ．70︒D ．40︒或140︒9．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④圆的对称轴是直径；⑤外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知100BOC ∠=︒，则A ∠的度数为（）A ．50︒B ．80︒C ．100︒D ．130︒二、填空题 11．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图，已知AB =16m ，半径OA =10m ，OC ⊥AB ，则中柱CD 的高度为_________m ．12．若圆的半径为6cm ，圆中一条弦长为3cm ，则此弦中点到此弦所对弧的中点的距离为_______cm.13．如图，在⊙O中，CA DB，∠1=30°，则∠2=_________°．14．如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则CD=______．15．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠OAB=______．三、解答题16．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，联结AO并延长交⊙O于点E，联结EC．已知AB＝8，CD＝2．（1）求OA的长度；（2）求CE的长度．17．如图，已知，AB是O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ACD=30°，AE=3cm，求BD的长度．18．如图，D 是O 弦BC 的中点，A 是BC 上一点，OA 与BC 交于点E ，已知8AO =，12BC =．（1）求线段OD 的长．（2）当2EO BE =时，求ED ，EO 的长．19．已知P 是O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A B 、 (不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP 若=APQ BPQ ∠∠．（1）如图1，当=45APQ ∠︒，=1AP ，=22BP O 的半径；（2）如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P M 、重合)，连接ON OP 、，若+2=90NOP OPN ∠∠︒，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明．20．如图，90BCD ∠=︒，BC DC =，直线PQ 经过点D ．设PDC α∠=（45135α︒<<︒），BA PQ ⊥于点A ，将射线CA 绕点C 按逆时针方向旋转90︒，与直线PQ 交于点E ．（1）判断：ABC ∠________PDC ∠（填“>”或“=”或“<”）；（2）猜想ACE △的形状，并说明理由；（3）若ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出的取值范围．参考答案题型归纳【解析】：1【详解】①弦是连接圆上两点间线段，故不正确；②直径是最长的弦，故正确；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故正确；故选C．2．【详解】解：①直径是弦，是真命题；②在同圆与等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原命题是假命题；③半圆是弧，但弧不一定是半圆，是真命题；④圆的对称轴是直径所在的直线，原命题是假命题；⑤外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，是真命题；故选：C．【解析】3．【详解】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，∴AF=BF，AD BD，∠DBC=90°，∴B、C、D正确；∵点F不一定是OC的中点，∴A错误．故选：A．4．【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴=AC BC，∴∠E=12∠BOC=22.5°，∴∠BOD=45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB=2，10∴DB=OD=1，则半径OB．故选：D．【解析】：5【详解】解：①弦不一定是直径，原命题是假命题；②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，是真命题；⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；⑥直径是弦，是真命题．故选：B．6【详解】解：连接OD交AC于点G，∵AB⊥DF，∴AD AF=，DE=EF．又点D是弧AC的中点，∴AD CD AF==，OD⊥AC，∴AC DF=，∴AC=DF=12，∴DE=6．设O的半径为r，∴OE=AO-AE=r-3，在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2，∴(r-3)2+62=r2，解得r=152．∴O的直径为15．故选：C．7．【详解】解：ACB ∠与ACD ∠的大小关系不确定，AB ∴与AD 不一定相等，故选项A 错误； AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，BC CD ∴=，故选项B 正确；ACB ∠与ACD ∠的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，选项C 错误；∵BCA ∠与DCA ∠的大小关系不确定，选项D 错误；故选B ．8．【详解】解：连接AD ，∵CD 是圆的直径，∴∠DAC=90°，∵∠B=∠D=35°，∴∠ACD=90°-∠D=90°-35°=55°，故选C ．9．【详解】连结BD ，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠B=∠C=40º，∵AB 为直径，∴∠ADB=90º，∴∠DAB+∠B=90º，∴∠DAB=90º-40º=50º．故选择：Ｄ．二：基础巩固和培优1．C【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°，∴∠ACD=70°-50°=20°；故选：C．2．B【详解】解：如图线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线的交点M，即点M为圆心，22+125故选：B．3．B【详解】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，设OA=x，则OD=x-1，在Rt△AOD中， x2=（x-1）2+22，解得x=2.5m．故选B．4．D【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴=AC BC，∴∠E=12∠BOC=22.5°，∴∠BOD=45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB=2，∴DB=OD=1，则半径OB2211=2．故选：D．5．A【详解】解：A、直径所对的弧是半圆，正确，符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，故原命题错误，不符合题意；C、半径相等的两个半圆是等弧，故原命题错误，不符合题意；D、同圆或等圆中，一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半，故原命题错误，不符合题意，故选：A．6．C【详解】如图，连接BG，由题意可得：A(1,0)，B(9,0)，D是AB的中点，∴AB=8，∴BD=4， 3y=(1)(9)16x x ---=23(5)316x --+， ∴C(5,3)，∴CD=3，由D 、P 分别是AB 、AG 的中点可得：DP 是ABG 的中位线， ∴DP=12BG ，要求DP 的最大值，即要求BG 的最大值，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大，BC=22345+=，BG=5+2=7，DP=12BG=72．故选：C ．7．C【详解】解：∵4AP =，8BP =，∴AB=12，AO=6，∴PO=2，作OM ⊥CD ，连接OC ，∵45DPB APC ∠=∠=︒，∴∠AOM=45°，△MOP 为等腰直角三角形，∴222MO OP ，在Rt △OCM 中根据勾股定理22226(2)34CMCO OM ， ∴2234CD CM ．故选：C ．8．D【详解】解：如图，弦AB 所对的圆周角为C D ∠∠，，80AOB ∠=︒，40D ∴∠=︒，四边形ADBC 为O 的内接四边形，180C D ∴∠+∠=︒，=140C ∴∠︒．故选D ．9．C【详解】解：①直径是弦，是真命题；②在同圆与等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原命题是假命题； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，是真命题；④圆的对称轴是直径所在的直线，原命题是假命题；⑤外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，是真命题；故选：C ．10．A【详解】解：∵100BOC ∠=︒，∴A ∠=1250BOC ∠=︒，故选A ．11．4【详解】解：∵CD 垂直平分AB ，∴AD ＝8．∴OD ＝22108-＝6m ，∴CD ＝OC−OD ＝10−6＝4（m ）．故答案是：412．3或9【详解】在⊙O 中，弦AB=63cm ，半径6R =；过圆心O 作直径MN ，且MN ⊥AB 于点C ，连接OB ；则AC=BC=12AB=33，OB=6，由勾股定理得：()22226333OB BC -=-=，∴CM=6+3=9，CN=6-3=3；∵MN ⊥AB ，且MN 为⊙O 的直径，∴点M 、N 分别为AMB 、ANB 的中点， ∴AB 弦中点到弦所对应的弧的中点的距离分别为3或9．故答案为：3或9．13．30【详解】解：CA DB =，BC BC =，∴AB CD =，∴∠1=∠2，∠1=30°，∴∠2=30°；故答案为30．14．2【详解】∵OD ⊥AB ，OD 过圆心O ， ∴162AD BD AB ===，由勾股定理可得：8OD ===， ∴1082CD CO OD =-=-=；故答案是2．15．50°【详解】解：根据圆周角定理得：∠AOB=2∠ACB ，∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2×40°=80°，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ，∴∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°， ∴∠OAB=50°．故答案为： 50°．16．（1）5；（2）【详解】解：（1）∵在⊙O 中，OD ⊥弦AB ， ∴AC ＝BC ＝12AB ＝4，设OA 为x ，则OD ＝OA ＝x ，∵CD ＝2，∴OC＝x﹣2在Rt△ACO中，AC2+OC2＝AO2∴42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴OA＝5；（2）连接BE，∵OA＝OE，AC＝BC，∴OC∥BE且OC＝12 BE，∴∠EBA＝∠OCA＝90°，∵OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3，∴BE＝6，在Rt△ECB中，BC2+EB2＝EC2∴42+62＝EC2，∴CE＝213．17．63BD cm=【详解】连接OC、OD，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，AC AD=，∴30ACD ∠=︒，∴260COA DOA ACD ∠=∠=∠=︒， OC =OA ，∴AOC △是等边三角形，∴AE =EO =3cm ，∴AO =DO =OB =6cm ，∴BE =9cm ，DE =22226333OD OE -=-=cm ， ∴BD =22229(33)63BE DE +=+=cm ． ∴DB 的长为63cm ．18．（1）线段OD 的长为27；（2）ED 2=，EO=42【详解】解：（1）连接OB ．∵OD 过圆心，且D 是弦BC 中点， ∴OD ⊥BC ，BD=12BC ，在Rt △BOD 中，OD 2+BD 2=BO 2． ∵BO=AO=8，BD=6．∴22228627BO BD --= （2）在Rt △EOD 中，OD 2+ED 2=EO 2．设BE=x ，则2x ，DE=6x -， (())222762x x +-＝，整理得：212640x x +-=，解得：12416x x ==-，(舍去)．∴BE=4，ED=642-=，EO=42．19．（1） ☉O 的半径是32；（2）A B ∥ON ，证明见解析【详解】解：（1）连接AB ，在☉o 中，o APQ BPQ 45∠=∠=，o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径．Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32（2）AB//ON证明：连接OA ， OB ， OQ ，在☉0中， AQ AQ =， BQ BQ =，Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠．又APQ BPQ ∠=∠，AOQ BOQ ∴∠=∠．在AOB ∆中，OA OB =， AOQ BOQ ∠=∠，OC AB ∴⊥，即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=，又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= ．AB//ON ∴20．（1）=；（2）ACE △是等腰直角三角形；理由见解析；（3）4590α︒<<︒．【详解】解：（1） 90AB AD DCB ⊥∠=︒，，3609090180CDA ABC ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，180CDA CDE ∠+∠=︒，.EDC ABC ∴∠=∠故答案为：=．（2）ACE △是等腰直角三角形．理由如下：由旋转可得：90ACE BCD ∠=∠=︒，90ECD DCA DCA BCA ∴∠+∠=︒=∠+∠，ECD BCA ∴∠=∠，在ECD 与ACB △中，ECD BCA CD CBEDC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECD ACB ASA ∴≌EC AC ∴=，又90ACE ∠=︒ACE ∴是等腰直角三角形．（3）当∠ABC=α=90°时， ABC 的外心在其斜边上，∠ABC=α＞90°时，ABC 的外心在其外部，由PDC ∠＞45EAC ∠=︒，PDC DCA EAC ∠=∠+∠＜135︒， ∴ 45°＜α＜135°，故：4590α︒<<︒．。

【单元练】人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（）A ．25B ．4C ．213D ．245C 解析：C【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长．【详解】解：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD ⊥AC ， ∴CD=AD=12AC=4，在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．2．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104πB解析：B【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，∵OB=OC，∴OB2=OC2，∴22+(16-x) 2=62+x2，解得x=7，∴r2=OB2=22+92=85，∴圆的面积S=πr2=85π，故选：B．【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．3．如图，分别以AB,AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是弧AEC中点，D是半圆ADC中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC长为（）A．2B．2C．2D．2D解析：D【分析】连接OE，交AC于点F，由勾股定理结合垂径定理求出AF的长，即可得到结论．【详解】解：连接OE ，交AC 于点F ，∵E 为AEC 的中点，∴OE AC ⊥，F 为AC 的中点，∵12AB =∴6OE AO ==设EF x =，则6OF x =-∵F 为AC 的中点，D 为半圆ADC 的中点，∴DF AC ⊥，DF AF =∵2DE =，∴2DF x AF =+=在Rt △AOF 中，222OA OF AF =+即2226(6)(2)x x =-++， ∴122x =+，222x =-∴2(2)822AC x =+=+或822-∵6AC >∴822AC =+故选：D【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出AF 是解题的关键． 4．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（）2m ．（结果保留π）A ．40πB ．20πC ．16πD ．80πB解析：B【分析】先根据底面周长可求得底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解．【详解】解：∵2πr=8π，∴r=4，又∵母线l=5，∴圆锥的侧面积＝πrl ＝π×4×5＝20π．故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算方法，牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键．5．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．πA解析：A【分析】过A 作AD ⊥BC ，连接AF ，求出∠FAE ，再利用弧长计算公式计算EF 的长即可．【详解】解：过A 作AD 垂直BC ，连接AF ，如图，∵2,30,45AB B C =∠=︒∠=︒，可得2∴AC=2，∵AC=AF∴∠AFC=∠C=45°，∴∠FAE=∠AFC-∠B=45°-30°=15°∴EF 的长为：152180π⨯=6π 故选：A【点睛】此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长计算公式．6．已知⊙O ，如图，（1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个D解析：D【分析】 ①根据作图过程可得AC AD =，根据垂径定理可判断；②连接OC ，根据作图过程可证得△AOC 为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断； ③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点，∴AC AD =，根据垂径定理可知，AB ⊥CE ，CE=DE ，∴①正确；②连接OC ，∵AC=OA=OC ，∴△AOC 为直角三角形，∵AB ⊥CE ，∴AE=OE ，∴BE=BO+OE=3AE ，∴②正确；③∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE ，∴③正确，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．7．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（）A ．5B ．10C ．52D ．102解析：C【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B ，得出△ABC 是等腰直角三角形，进而解答即可．【详解】∵AC=AC ，∴∠D=∠B ，∵∠BAC=∠D ，∴∠B=∠BAC ，∴△ABC 是等腰三角形，∵AB 是直径，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=52故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B ．8．如图，AB 为O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，3OD =，则AB 的长为（）A．8 B．6 C．4 D．2A解析：A【分析】连接OB，根据⊙O的半径为5，CD＝2得出OD的长，再由垂径定理的推论得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OB，如图所示：∵⊙O的半径为5，OD＝3，∵AD＝DB，∴OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴2222=-=-=，BD OB OD.534∴AB＝2BD＝8．故选：A．【点睛】本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠=︒，则B的度数是（）A50A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒D解析：D【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点，∴∠BAC=12∠BAD=25°， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（）A ．112.5°B ．120°C ．135°D ．150°C解析：C【分析】延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，证明△△AOD BOD ≅，OD 是AOB ∠的角平分线，求得290345∠=︒-∠=︒，进行求解即可；【详解】延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，45C ∠=︒，∴345∠=︒，∵DA DB =，OA OB =，∴△△AOD BOD ≅，∴OD 是AOB ∠的角平分线，又∵AO BO =，∴DH AB ⊥，∴290345∠=︒-∠=︒，又∵221∠=∠，∴18045135AOD ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可．二、填空题11．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解解析：13,12⎛+ ⎝⎭332⎛ ⎝⎭【分析】先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点M 的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用30含角的直角三角形的性质求得12FH =、12CJ =，再根据勾股定理求得632JM =，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得32JF =，即可得解．【详解】解：经历六次旋转后点M 落在点6M 处，过M 作MH x ⊥于点H ，过6M 作6M J x ⊥于点J ，连接6IM ，如图：∵在Rt AFH 中，1AF =，60AFH ∠=︒，30FAH ∠=︒∴1122FH AF == ∵已知点M 的纵坐标是312+，即312MH =+ ∴点M 的坐标是：13,12⎛ ⎝⎭； ∵在6Rt CJM 中，61CM =，660JCM ∠=︒，630CM J ∠=︒∴61122CJ CM ==，226632JM CM CJ =-= ∵点I 是正六边形的中心∴1IC IF ==∴32JF IF IC CJ =+-=∴点6M 的坐标是：33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案是：13,122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标，体现了数形结合的数学思想．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为_______________________．【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（解析：()3,310【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．【详解】解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC 的垂直平分线为直线x=3，∵OA=OB ，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，∴M 点的坐标为（3，3），∵22(32)310MB =-+=∴⊙M 10．故答案为（3，3），10．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．13．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l经过点A，作CE⊥l 于点E，连接BE.则当直线l绕着点A转动时，线段BE长度的最大值是________．【分析】以AC为直径作圆O连接BO并延长交圆O于点可得BO+O＞B从而可得BO+OE＞B即BE为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE⊥l于点E∴以AC为直径作圆O∵CE解析：225+【分析】以AC为直径作圆O，连接BO，并延长交圆O于点E'，可得BO+O E'＞B E'，从而可得BO+OE＞B E'，即BE为最大值，再由勾股定理求出BO的长即可解决问题．【详解】解：由题意知，CE⊥l于点E，∴以AC为直径作圆O，∵CE⊥AE,∴点E在圆O上运动，连接BO，并延长交圆O于点E'，如图，∴BO+O E'＞B E'，∵OE=O E'，∴BO+OE＞B E'，∴BE的长为最大值，∵AO=OC=OE，且AB=AC=4，∴122OE AC==又∵∠BAC=90°∴22222BO AO AB=+=+=4220∴25BO=∴BE=252+=+BO OE+故答案为：225【点睛】此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE的外接贺是解答本题的关键．14．如图，点A，B，C在O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行∠=________︒．四边形，则AOC120【分析】连接OB先证明四边形ABCD是菱形然后再说明△AOB△OBC为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB∵点在上∴OA=OC=OB∵四边形为平行四边形∴四边形解析：120【分析】连接OB，先证明四边形ABCD是菱形，然后再说明△AOB、△OBC为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：如图：连接OB∵点A，B，C在O上∴OA=OC=OB∵四边形ABCO为平行四边形∴四边形ABCO是菱形∴OA=OC=OB=AB=BC∴△AOB、△OBC为等边三角形∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOC=120°．故答案为120．【点睛】本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()3,0B ，以A 为圆心，2为半径作A ，点P 为A 上一动点，M 为OP 的中点，连接BM ，设BM 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为_________．2【分析】方法一：在轴上取一点连接可求由可得由点在上运动可知共线时可以取得最大值或最小值最大值最小值由最大值与最小值求出即可；方法二：连接取中点连接利用三角形三边关系有可得作差计算即可【详解】解：方解析：2【分析】方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，可求3OB BE ==，22345AE +=，由OM PM =，OB BE =，可得12BM PE =，由点P 在A 上运动，可知P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，由最大值与最小值求出72m =，32n =即可；方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，利用三角形三边关系有BN MN BM BN MN -≤≤+，可得m BN MN =+，n BN MN =-，作差计算22m n MN PA -===即可．【详解】解：方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，∵()3,0B ，()3,4A ，∴3OB BE ==，22345AE =+=，∵OM PM =，OB BE =，∴12BM PE =， ∵点P 在A 上运动， ∴P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，∴72m =，32n =， ∴2m n -=，故答案为2．方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，BN MN BM BN MN -≤≤+，m BN MN =+，n BN MN =-，22m n MN PA -===．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，掌握三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，引辅助线构造准确图形是解题关键． 16．如图，已知点C 是半圆О上一点，将弧BC 沿弦BC 折叠后恰好经过点,O 若半圆O 的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________．【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E 交半圆O 于D 点连接CD如图根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE ＝CE 再根据折叠的性质得到ED ＝EO 则OE ＝OB 则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC ＝30°即∠AB 解析：23π 【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E ，交半圆O 于D 点，连接CD ，如图，根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE ＝CE ，再根据折叠的性质得到ED ＝EO ，则OE ＝12OB ，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°则∠AOC=60°，由于OC ＝OB ，则弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，然后根据扇形的面积公式及S 阴影部分＝S 扇形OAC 即可得到阴影部分的面积．【详解】如图：过点O 作OD ⊥BC 于E ，交半圆O 于D 点，连接CD ，∵OD ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∵半圆O 沿BC 所在的直线折叠，圆弧BC 恰好过圆心O ，∴ED ＝EO ，∴OE ＝12OB ， ∴∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°，∴∠AOC=60°；∵OC ＝OB ，∴弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝260223603ππ⋅= ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了垂定定理、圆周角定理和扇形的面积公式．17．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．220【分析】连接CE根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD然后求解即可【详解】解析：220【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．【详解】连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝40°，∴∠B＋∠AED＝180°＋40°＝220°【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．BC=，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得18．在矩形ABCD中，43AB=6∠=︒，则AP的长为__________．或4或8【分析】取CD中点P1连接60APBAP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A点P1点B作圆与ADBC各有一个交点即这样的P点一共3个再运用勾解析：434或8．【分析】取CD中点P1，连接AP1，BP1，由勾股定理可求AP1＝BP1＝3△AP1B是等边三角形，可得∠AP1B＝60°，过点A，点P1，点B作圆与AD，BC各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝43，AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°∵点P 1是CD 中点∴CP ＝DP 1＝23∴AP 1＝221AD DP +＝43， BP 1＝221BC CP +＝43 ∴AP 1＝P 1B ＝AB∴△APB 是等边三角形∴∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，∴这样的P 点一共有3个当点P 2在AD 上时，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒∵260,AP B ∠=︒∴221,2P A P B = 即222,P B P A =在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=∴222222(43),P A P A -=∴24AP =；当点P 3在BC 上时，如图3，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°∵∠360,AP B =︒∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒ ∴331,2BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=222331()(43),2AP AP -= 23348,4AP = ∴8,AP =综上所述，AP 的长为：43或4或8．故答案为：43或4或8．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．10π【分析】连接OC 易得△ODE ≌△ECO 所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积因此求得扇形OBC 的面积即可【详解】解：如下图连接OC ∵∠AOB=90°CD ⊥OACE ⊥OB ∴四边形ODCE 为矩解析：10π【分析】连接OC ，易得△ODE ≌△ECO ，所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积，因此求得扇形OBC 的面积即可．【详解】解：如下图连接OC ，∵∠AOB=90°、CD ⊥OA 、CE ⊥OB∴四边形ODCE 为矩形∴OD=CE ，OE 为公共边∴△ODE ≌△ECO∴△ODE 的面积=△ECO 的面积∴图中阴影部分的面积=2236361010360360O BC SOB πππ-==⨯=．故答案为：10π．【点睛】本题考查扇形面积的计算和矩形的性质．其关键是用矩形性质对阴影部分进行等积变换，发现△ODE 的面积=△ECO 的面积．20．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米． 65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m解析：6.5【分析】根据垂径定理的推论，此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连接OA ．拱桥的跨度AB =12m ，拱高CD =4m ，根据垂径定理，得AD=6 m ，利用勾股定理可得：()22264AO AO =--，解得：AO =6.5m ．即圆弧半径为6.5米，故答案为：6.5．【点睛】本题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算．三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交⊙O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若10AB =，6AD =，求DE 的长．解析：（1）见解析；（2）245 【分析】（1）连接OD ，由BD 为角平分线得到OBD CBD ∠=∠，再由OB=OD ，利用等边对等角得到ODB OBD ∠=∠，从而得出ODB CBD ∠=∠，利用内错角相等两直线平行得到OD 与BE 平行，由DE 垂直于BE 得到OD 垂直于DE ，即可得证；（2）过D 作DH AB ⊥于H ，根据HL 得出△≌△Rt ADH Rt CDE ，得出AH CE =，再根据勾股定理得出22221068BD AB AD -=-=，再利用等积法即可得出DE 的长．【详解】（1）证明：连接OD ．∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠．∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BE ．∴180BED ODE ∠+∠=︒．∵BE DE ⊥，∴90BED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∴DE 与O 相切；（2）过D 作DH AB ⊥于H ．∵BD 平分ABC ∠，DE BE ⊥，∴DH DE =．∵AD CD =，∴AD CD =．∴()Rt ADH Rt CDE HL △≌△，∴AH CE =．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒． ∵10AB =，6AD =， ∴22221068BD AB AD =-=-=． ∵1122AB DH AD BD ⋅=⋅，∴245DH =． ∴245DE =．【点睛】此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．22．如图，AB 是圆的直径，且AD//OC ，求证：CD BC =．解析：证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC 或者OD 都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC =．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化． 23．如图，已知直线PT 与⊙O 相交于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A 、B 两点，已知PTA B ∠=∠．（1）求证：PT 是⊙O 的切线；（2）若3PT BT ==解析：（1）证明见解析；（2）364π- 【分析】（1）先根据圆周角定理得：∠ATB=90°，则∠B+∠OAT=90°，根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠OAT=∠2，从而得∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，所以直线PT 与⊙O 相切；（2）利用TP=TB 得到∠P=∠B ，而∠OAT=2∠P ，所以∠OAT=2∠B ，则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12AB ，△AOT 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S 扇形OAT -S △AOT 进行计算．【详解】（1）证明：连接OT ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ATB=90°，∴∠B+∠OAT=90°，∵OA=OT ，∴∠OAT=∠2，∵∠PTA=∠B ，∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，∴直线PT 与⊙O 相切；（2）∵3PT BT ==∴∠P=∠B=∠PTA ，∵∠TAB=∠P+∠PTA ，∴∠TAB=2∠B ，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，在Rt △ABT 中，设AT=a ，则AB=2AT=2a ，∴a 232＝(2a)2，解得：a=1，∴AT=1，∵OA=OT ，∠TAO=60°，∴△AOT 为等边三角形， 13312AOT S ∴=⨯=． ∴阴影部分的面积2Δ 60133360464AOT AOTS S ππ⨯=-=-=-扇形．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．24．如图，已知AB 是O 的直径，四边形AODE 是平行四边形，请用无刻度直尺按下列要求作图．（1）如图1，当点D 在圆上时，作BAC ∠的平分线；（2）如图2，当点D 不在圆上时，作BAC ∠的平分线．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由四边形AODE 是平行四边形，结合圆的半径相等，可知四边形AODE 是菱形，利用菱形的性质即可做出BAC ∠的平分线；（2）延长OD 交于圆一点，连接该点与点A ，由此即可作出C BA ∠的平分线．【详解】解：（1）如图①：AD 即为所求．∵四边形AODE 是平行四边形点D 在圆上∴四边形AODE 是菱形∴AD 平分BAC ∠；（2）如图②：延长OD 交于圆一点P ，连接AP ，同理可证AP 即为所求．【点睛】此题考查尺规作图，关键是掌握圆的相关知识及角平分线的判定方法．25．如图1是某人荡秋千的情形，简化成图2所示，起始状态下秋千顶端O 与座板A 的距离为2m （此时OA 垂直于地面），现一人荡秋千时，座板到达点B （OA 不弯曲）．（1）当BOA 30∠=时，求AB 弧的长度（保留π）；（2）当从点C 荡至点B ，且BC 与地面平行，3m BC =时，若点A 离地面0.4m ，求点B 到地面的距离（保号根号）．解析：（1）3m π；（2）127()52m -．【分析】（1）利用弧长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出OD ，结合图形计算即可．【详解】解：（1）AB 弧线的长度=302()1803m ππ⨯=；（2）如图，∵OB=OC ，OD ⊥BC ，∴1322BD BC ==，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， ∴2222372()2OD OB BD =-=-=， ∴点B 到地面的距离=712720.4252-+=-，答：点B 到地面的距离为127(5m -．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、弧长的计算、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键．26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠CAE=∠ADC ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）解析：（1）见解析；（2）433π- 【分析】（1）根据AB 是直径得到∠ACB=90°，根据已知条件得到∠BAE =90°，即可得到结果；（2）作OM ⊥AC ，垂足为M ，求得AM=3，根据扇形的面积计算公式计算即可；【详解】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠B=∠ADC=∠CAE ，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠B=90°，∴ BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：作OM ⊥AC ，垂足为M ．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，∴∠AOM=∠COM=60°， ∴OM=12AO=1， ∴3 ∴AC=2AM=23∴S 阴=S 扇形AOC -S △AOC =120414-231336023ππ．【点睛】本题主要考查了切线的证明和扇形的面积计算，准确分析计算是解题的关键． 27．如图，ABC 内接于O ，60BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．BC ，AB 边上的高AE ，CF 相交于点H ．试证明：（1）FAH CAO ∠=∠；（2）四边形AHDO 是菱形．解析：（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）连接AD ，根据题意易得,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，则有∠DAE=∠ODA ，∠DAO=∠ODA ，然后根据角的等量关系可求解；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，由题意易得AC=2AM ，AC=2AF ，进而可证△AFH ≌△AMO ，然后可得四边形AHDO 是平行四边形，最后问题可证．【详解】证明：（1）连接AD ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，∵AE ⊥BC ，∴AE ∥OD ，∴∠DAE=∠ODA ，∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ODA ，∴∠BAD-∠DAE=∠CAD-∠DAO ，∴∠FAH=∠CAO ；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AC=2AM ，∵CF ⊥AB ，∠BAC=60°，∴AC=2AF ，∴AF=AM ，∵∠AFH=∠AMO=90°，∠FAH=∠OAM ，∴△AFH ≌△AMO （ASA ），∴AH=AO ，∵OA=OD ，∴AH //CD ，∴四边形AHDO 是平行四边形，∵OA=OD ，∴四边形AHDO 是菱形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理及菱形的判定，熟练掌握圆周角定理、垂径定理及菱形的判定是解题的关键．28．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点．（1）如图，求ACB ∠的大小；（2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．解析：（1）52︒；（2）19︒【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，可以求出AOB ∠的度数，再根据圆周角定理得到ACB ∠的度数；（2）连接CE ，根据（1）的结论，先求出BCE ∠的度数，再由圆周角定理得到BAE BCE ∠=∠，再等腰三角形ABD 中求出底角ADB ∠的度数，再由外角和定理就可以求出EAC ∠的度数．【详解】解：（1）如图，连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴360909076104AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒，根据圆周角定理，1522ACB AOB ∠=∠=︒；（2）如图，连接CE ， ∵AE 是O 的直径， ∴90ACE ∠=︒， ∵52ACB ∠=︒， ∴905238BCE ∠=︒-︒=︒， ∴38BAE BCE ∠=∠=︒， ∵AB AD =， ∴71ABD ADB ∠=∠=︒， ∴19EAC ADB ACB ∠=∠-∠=︒．【点睛】本题考查圆周角定理和切线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．。

人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》知识点(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（）A ．65°B ．115°C ．115°或65°D ．130°或65° 3．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．π4．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（）A ．60°B ．68°C ．70°D ．72°5．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（）A 433B ．327C ．337D ．1676．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（）A ．12B ．16C ．13D ．147．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（） A ．13cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm 8．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136π 9．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（）A ．5B ．10C ．52D ．10210．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（）A ．28︒B ．34︒C ．44︒D ．56︒ 11．如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 a 的距离为2，点 P 是直线a 上的一个动点，PA 切⊙O 于点 A ，则 PA 的最小值是（）A ．1B ．3C ．2D ．5 12．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（）A ．393+B ．2103+C ．353+D ．53 13．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（）A ．2B ．121313C ．4D ．514．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（）A．112.5°B．120°C．135°D．150°15．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=14π，则S3-S4的值是( )A．294πB．234πC．114πD．54π二、填空题16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．17．如图，四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，且AC BD AB==，若70AEB∠=︒，则AOB∠等于______︒．18．已知半径为5的圆O中，弦AB=8，则以AB为底边的等腰三角形腰长为___________．19．如图，PA，PB分别与O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若8AP=，则PDE△的周长为______．20．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．21．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．22．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.23．在矩形ABCD 中，43AB =6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．24．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2，那么这个圆锥的高是________cm ．参考答案25．如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB BC CD ==，若∠BEC=130°，则∠ACD 的度数为_____26．如图，已知空间站A 与星球B 距离为a ，信号飞船C 在星球B 附近沿圆形轨道行驶，B ，C 之间的距离为b ．数据S 表示飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最小值________．三、解答题27．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥，垂足为E ．1CE =，3ED =．（1）求O 的半径．（2）求AB 的长．28．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =8，DE =5，求BC 的长．29．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是CD 的圆心，E 为 CD 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD=300m ，EF=50m ，求这段弯路的半径．30．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧MN 的长度．。

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24.1.1 圆知识点一圆的定义o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。

固定的端点心，线段0A叫作半径。

第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径知识点一圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE，C~|MA BAM=BM垂足为M AC=BCAD=BDD垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点MCDLABAM=BMAC=BCAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4圆周角知识点一圆周角定理（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。

“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

（2）用数量关系表示：若设OO 的半径是r，点P到圆的距离OP=d则有：点P在圆外 d > r ；点p在圆上d=r ；点p在圆内d v r。

知识点二过已知点作圆（1）经过一个点的圆（如点A）以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以0A为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

•OA •O•O（2）经过两点的圆（如点A、B）以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以0A（或0E）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

AB（3）经过三点的圆①经过在同一条直线上的三个点不能作圆②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。

如经过不在同一条直线上的三个点A B、C作圆，作法：连接AB BC（或AB AC或BC AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点0,以点0为圆心，以0A（或OB 0C的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。

③A 0 BC知识点三三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

（2 ）反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2 直线和圆的位置关系知识点一直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设。

0的半径是r，直线I与圆心0的距离为d,则有：直线I和OO相交d v r; 直线I和OO相切d=r; 直线I和OO相离d> r。

知识点二切线的判定和性质(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

(3)切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理(1)切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

(3)注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

⑶注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

24.2.3圆和圆的位置关系知识点一圆与圆的位置关系(i)圆与圆的位置关系有五种：①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；②如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；③如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

(2) 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：若设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是rr,且r v r，则有两圆外离d>叶r 两圆外切dn+r 两圆相交:■■--r v d v叶r 两圆内切d=r-r 两圆内含d v r-r24.3正多边形和圆知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n (n是大于2的自然数)等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质(1)正n边形的半径和边心距把正多边形分成(2)所有的正多边形都是轴对称图形，每个正这个正n边形也是中心对称图形，正2n个全等的直角三角形。

n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心就是对称中心。

n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时,(3) 正n边形的每一个内角等于24.4弧长和扇形面积n?R (n?2)?180? 360?，中心角和外角相等，等于知识点一弧长公式I= 180n n?R 在半径为R的圆中，360。

的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2%R所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式匸360 X2n R= 180知识点二扇形面积公式二.填空题（共11.如图，AB 是OO 的直径，CD 为OO 的一条弦，CDLAB 于点E ,已知CD=4,AE=1,则OO 的半径为（9题图）（10题图）（11题图）（12题图）在半径为R 的圆中，360。

的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 S=nR 2,所以圆心角为 n °的扇形的面积为 S=360比较扇形的弧长公式和面积公式发现:2n?R n?R 1S = 360? 180 ? 2R?知识点三圆锥的侧面积和全面积1「R,所以 2S扇形? 2IR圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。

设圆锥的母线长为1r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2n r ，因此圆锥的侧面积S圆锥侧？一2?2?「？1 ??rl 。

圆锥的全2s圆锥全?s圆锥侧练习:一.选择题（共10小题） 1 .下列说法，正确的是（A.弦是直径 C.半圆是弧2. 如图，在半径为 A. 3cm（2题图）（3题图）B .弧是半圆D.过圆心的线段是直径5cm 的OO 中，弦 AB=6cm OCLAB 于「点 C,贝U OC=（ B. 4cm C. 5cm)D. 6cmn?RI ,底面圆的半径为3. 一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点 O 为圆心, 圆心O 交OO 于点E.若CD=6则隧道的高（ME 的长）为（ A. 4B. 6C. 85为半径的圆的一部分, ）D. 9M 是OO 中弦CD 的中点，EM 经过4. 如图，AB 是OO 的直径，宀=I = -,Z COD=34，则/ AEO 的度数是（5. 6. A. 51° 如图，在OO A. OO A. 25°的半径为点A 在圆上点A 在圆外B. 56°C. 68°D. 78°中，弦 AC//半径OB, / BOC=50，则/ OAB 的度数为（）B.50°C. 60°D. 30°5cm,点A 到圆心O 的距离OA=3cm 则点A 与圆O 的位置关系为（B . 点A 在圆内 D. 无法确定7. 已知OO 的直径是10,圆心O 到直线l 的距离是5,则直线l 和OO 的位置关系是A.相离B.相交C.相切D.外切8. 如图，正六边形 ABCDE 内接于O 0, 半径为4,则这个正六边形的边心距 0M 和「的长分别为（A. 2,C. 一；，A. 2 nB. nC.| 2D -10.如图，直径 AB 为12的半圆，绕呈A 点逆时针旋转60°,此时点B 旋转到点B',则图中阴影部分的面积是（ )A. 12 nB. 24 nC. 6 nD. 36 nABCD 是OO 的内接四边形，OO 如图，四边形的半径为2, 9. 10小题）/ B=135」U 的长（12. 如图，在△ ABC 中，/C =90°,/ A=25,以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交 AB 于点D,交AC 于点E ,则|，|i 的度数为13. 如图，四边形 ABCD 内接于O O, AB 为OO 的直径，点 C 为丸的中点.若/ A=40°，则/ B=（13题图）（14题图）（15题图）（17题图） 14.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为2的OP 的圆心P 的坐标为（-3, 0）,将OP沿x 轴正方向平移,使OP 与y 轴相切，则平移的距离为 _______________ .15. 如图，点 O 是正五边形 ABCDE 勺中心，则/ BAO 的度数为（结果保留已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为5,则圆锥的全面积是 ___________如果圆柱的母线长为 5cm,底面半径为2cm 那么这个圆柱的侧面积是半径为R 的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为 ____________________________________________________________解答题（共5小题）如图，已知圆 O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ,连接CO 并延长交AD 于点F ,且CF 丄AD （1）请证明：E 是OB 的中点；（2）若AB=8,求CD 的长.22. 已知：如图，C, D 是以AB 为直径的OO 上的两点，且 OD/ BC 求证：AD=DC23. 如图，在△ ABC 中，AB=AC 以AB 为直径的OO 分别与BC, AC 交于点D, E ,过点D 作OO 的切线DF ,交AC 于点F . （1）求证：DF 丄AC（2）若OO 的半径为4，/ CDF=22.5，求阴影部分的面积. 24.如图，△ OAB 中，OA=OB=4 / A=30° , AB 与OO 相切于点C,求图中阴影部分的面积.（结果保留n ）25. 一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积.新人教版九年级数学上册第二十四章圆单元试题参考答案• AF=DF 即卩CF 是AD 的中垂线，• AC=CD 是等边三角形，•/ FCD=30 , 在Rt △ COE 中，0E 韦（X ,. 0 詔 OB ,：点E 为OB 的中点；（2）解：在 Rt △ OCE 中，AB=8,.••兀冷AB 二4 , （21题图）（22题图）（23题图）（24题图）22•证明：连结QC 如图，•/ OD/ BC1=/ B,/2 r =/ 3, 又T OB=OC .B=/ 3,./ 1=/ 2,. AD=DC-一选择题（共 10小题）1. C2. B3. D4. A5. A6. B7. C8. D9. B. 填空题（共 10小题）11..上 12. 50° 213. 70 14. 1 或 515. 54° 16. 50°17. 2n18. .24n192.20 n cm 20. 60°10. B三.解答题（共5小题）度.9，弧长为卫n,则这条弧所对的圆心角是2 ----------------------------------------------------17. 如图，在边长为 4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD的长为半径画弧，再以 AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留n ）.18. 19. 20.16.已知一条圆弧所在圆半径为 21 . 21. （1）证明：连接AC 如图 •••直径AB 垂直于弦CD 于点E ,「.•丨，二AC=AD •••过圆心 O 的线CF 丄ADl △又••• BE=OE • OE=2 • CE^VoC- :- .•上 ,.••「_ -一1 - :.23.（1）证明：连接OD, •/ OB=OP ABC/ ODB•/ AB=AC •/ ABC/ ACB •/ ODB/ACB • OD/ AC•/ DF是OO的切线，• DF丄OD • DF丄AC（2）解：连接OE T DF丄AC / CDF=22.5，•/ABC/ ACB=67.5，•/ BAC=45 ,■/ OA=OEAOE=90 , vOO 的半径为 4,「.S 扇形 Ao =4n, S A AOE =§ ••S 阴影=4n — &24 •解：连接 OC v AB 与圆O 相切，• OCLAB•/ OA=OB •••/ AOC H BOC / A=Z B=30°,在 Rt △ AOC 中，/ A=30°, OA=4, • OC=OA=2, / AOC=60 ,2•••/ AOB=120 , AC= 厂 ,上2即 AB=2AC=4 -;,1,2071 X 22 ~360~ 25 •解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为则S 阴影=S A AOB ~ S 扇形N L X4 :; X 2- 所以圆锥的母线长=| ； .■「丄13,.=4诉-等 12,圆锥的底面圆的半径为 5,所以圆锥的表面积=n ?5 2+丄？2n ?5?13=90冗. 2•故阴影部分面积 4 :;。