金版教程高三数学文科一轮复习课件8.8圆锥曲线的综合问题
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高考数学一轮总复习 第八章 平面解析几何 第十节 圆锥曲线的综合问题课件 理
ห้องสมุดไป่ตู้第十四页，共三十二页。
2021/12/13
由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂线方程为x＝－m2 .
x＝－m2 ， 联立
y－12＝x2x－x22， 又x22＋mx2－2＝0，可得xy＝＝－－12m2. ，
第十五页，共三十二页。
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为
－m2 ，－12，
半径r＝
[典例体验]
(2019·佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上
的椭圆M的离心率为
1 2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与
左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为 3. (1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2 并延长，与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交
第三页，共三十二页。
2021/12/13
(1)解：抛物线C的准线方程为x＝－p2， 所以|MF|＝m＋p2＝2， 又点M在抛物线上，所以4＝2pm，所以4＝ 2p2－p2， 所以p2－4p＋4＝0，所以p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：设点E(0，t)(t≠0)，由已知得切线不会为y 轴，设直线EA：y＝kx＋t，由题意知k≠0，
第八页，共三十二页。
[变式训练]
(2019·呼和浩特一调)已知椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的
离心率e＝ 36，直线l：y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆
相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为
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由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂线方程为x＝－m2 .
x＝－m2 ， 联立
y－12＝x2x－x22， 又x22＋mx2－2＝0，可得xy＝＝－－12m2. ，
第十五页，共三十二页。
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为
－m2 ，－12，
半径r＝
[典例体验]
(2019·佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上
的椭圆M的离心率为
1 2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与
左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为 3. (1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2 并延长，与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交
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(1)解：抛物线C的准线方程为x＝－p2， 所以|MF|＝m＋p2＝2， 又点M在抛物线上，所以4＝2pm，所以4＝ 2p2－p2， 所以p2－4p＋4＝0，所以p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：设点E(0，t)(t≠0)，由已知得切线不会为y 轴，设直线EA：y＝kx＋t，由题意知k≠0，
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[变式训练]
(2019·呼和浩特一调)已知椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的
离心率e＝ 36，直线l：y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆
相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为
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2020高中数学一轮复习课件 第8章 椭圆双曲线圆锥曲线的综合应用
高中数学一轮复习课件
(2)定值、定点问题的处理方式一般有两种:一是从特殊点入手,求出 定点(值),再证明这个点(值)与变量无关;二是直接推理计算,并在计 算过程中消去变量,从而得到定点(值). 2.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化 解题过程的目的. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把 直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,会减 少解题运算量.
②几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征,则利用 图形性质来解决最值与取值范围问题.
2.对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题
高中数学一轮复习课件
它涉及线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点 、定值问题的判断方法.
3.实际应用题
涉及与圆锥曲线有关的应用问题,解决的关键是建立坐标系,合理选 择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判 断,解题的一般思想是:
高中数学一轮复习课件
(2)巧用函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相 互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数 思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练.
(4)对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,可使分散的条件相对集中,减少 一些变量和未知量,简化计算,提高解题速度,使问题更快解决.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学一轮复习课件
锥曲线中有关的几何元素的最值问题.曲线遵循某种条件时,参数有 相应的允许取值范围,即我们指的参变数取值范围问题.求解时有以 下两种方法:
①代数法:引入参变量,通过圆锥曲线的性质,及曲线与曲线的交点理 论、韦达定理、方程思想等,用变量表示(计算)最值、范围问题,再 用函数思想、不等式方法得到最值、范围;
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题
索引
(2)过点 S－13，0的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试问：在 x 轴上是否存 在一个定点 T，使得无论直线 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存 在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 当直线 l 不与 x 轴重合时，设直线 l 的方程为 x＝my－31， A(x1，y1)，B(x2，y2)，T(t，0)， 由xy22＝＋mxy2＝－113，消去 x 并整理，得 (18m2＋9)y2－12my－16＝0，
索引
所以 y1＋y2＝－m22m＋n9，y1y2＝mn22－＋99. 代入③式，得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0. 解得 n＝－3(舍去)或 n＝23. 故直线 CD 的方程为 x＝my＋32， 即直线 CD 过定点32，0. 若 t＝0，则直线 CD 的方程为 y＝0，过点32，0. 综上，直线 CD 过定点32，0.
索引
(2)过点 P13，0的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试探究以线段 AB 为直径的圆是 否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 当 AB⊥x 轴时，以线段 AB 为直径的圆的方程为x－132＋y2＝196. 当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1. 可得两圆交点为Q(－1，0). 由此可知，若以线段AB为直径的圆过定点，则该定点为Q(－1，0). 下证Q(－1，0)符合题意. 设直线l的斜率存在，且不为0， 其方程设为 y＝kx－13，代入y22＋x2＝1，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级 基础巩固
1.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程； 解 若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得 a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x. 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1，2)， 可得 m＝21，所以抛物线方程为 x2＝21y. 综上所述，抛物线 C 的方程是 y2＝4x 或 x2＝12y.
(2)过点 S－13，0的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试问：在 x 轴上是否存 在一个定点 T，使得无论直线 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存 在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 当直线 l 不与 x 轴重合时，设直线 l 的方程为 x＝my－31， A(x1，y1)，B(x2，y2)，T(t，0)， 由xy22＝＋mxy2＝－113，消去 x 并整理，得 (18m2＋9)y2－12my－16＝0，
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所以 y1＋y2＝－m22m＋n9，y1y2＝mn22－＋99. 代入③式，得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0. 解得 n＝－3(舍去)或 n＝23. 故直线 CD 的方程为 x＝my＋32， 即直线 CD 过定点32，0. 若 t＝0，则直线 CD 的方程为 y＝0，过点32，0. 综上，直线 CD 过定点32，0.
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(2)过点 P13，0的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试探究以线段 AB 为直径的圆是 否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 当 AB⊥x 轴时，以线段 AB 为直径的圆的方程为x－132＋y2＝196. 当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1. 可得两圆交点为Q(－1，0). 由此可知，若以线段AB为直径的圆过定点，则该定点为Q(－1，0). 下证Q(－1，0)符合题意. 设直线l的斜率存在，且不为0， 其方程设为 y＝kx－13，代入y22＋x2＝1，
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A级 基础巩固
1.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程； 解 若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得 a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x. 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1，2)， 可得 m＝21，所以抛物线方程为 x2＝21y. 综上所述，抛物线 C 的方程是 y2＝4x 或 x2＝12y.
高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课件 文
(1)求 k 的取值范围； (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B， 是否存在常数 k，使得向量O→P＋O→Q与A→B垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
【思路启迪】 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二 次方程，由判别式大于零可得 k 的范围；(2)利用根与系数的关系 结合已知条件确定 k 的值即可判断．
答案：A
2．已知(4,2)是直线 l 被椭圆3x62 ＋y92＝1 所截得的线段的中点，
则 l 的方程为( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y＋4＝0 D．x＋2y－8＝0
析：设 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有33xx662122 ＋＋yy992122＝＝11，，
虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核
心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范 围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范 围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
在建立函数关系时，注意函数的定义域．
(2014·北京卷)已知椭圆 C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上， 且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的最小值．
解析：设直线 PA 的斜率为 kPA，PB 的斜率为 kPB， 由 y21＝2px1，y20＝2px0，得 kPA＝yx11－ －yx00＝y12＋py0， 同理 kPB＝y22＋py0， 由于 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补， 因此y12＋py0＝－y22＋py0，即 y1＋y2＝－2y0(y0>0)， 那么y1＋y0 y2＝－2. 答案：－2
【思路启迪】 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二 次方程，由判别式大于零可得 k 的范围；(2)利用根与系数的关系 结合已知条件确定 k 的值即可判断．
答案：A
2．已知(4,2)是直线 l 被椭圆3x62 ＋y92＝1 所截得的线段的中点，
则 l 的方程为( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y＋4＝0 D．x＋2y－8＝0
析：设 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有33xx662122 ＋＋yy992122＝＝11，，
虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核
心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范 围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范 围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
在建立函数关系时，注意函数的定义域．
(2014·北京卷)已知椭圆 C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上， 且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的最小值．
解析：设直线 PA 的斜率为 kPA，PB 的斜率为 kPB， 由 y21＝2px1，y20＝2px0，得 kPA＝yx11－ －yx00＝y12＋py0， 同理 kPB＝y22＋py0， 由于 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补， 因此y12＋py0＝－y22＋py0，即 y1＋y2＝－2y0(y0>0)， 那么y1＋y0 y2＝－2. 答案：－2
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 圆锥曲线的综合问题课件
p
已知抛物线y2=2px(p>0)的弦AB的中点M(x0,y0)(y0≠0) ,则kAB=⑧ yc0 . 若涉及直线过圆锥曲线焦点的问题,则一般利用圆锥曲线的定义去解决.
4.定点、定值问题 (1)求定值问题常见的方法 (i)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (ii)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)定点问题的常见解法 (i)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该 方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解 为坐标的点即所求定点; (ii)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.
6.求定值、最值问题等圆锥曲线综合问题要四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 7.存在性问题 一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决存在性问题.
1.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分,则m与n的关系 是( ) A.m+n=4 B.mn=4 C.m+n=mn D.m+n=2mn 答案 C 解法一:焦点为F(1,0),设焦点弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),当直 线AB的斜率存在时,依题意设AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 由焦半径公式得AF=x1+1=m,BF=x2+1c =n,又 y2 4x,
1 k2
c
|y1-y2|(k≠0)
.
3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的一条弦,AB中点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),
高三数学一轮复习 第8篇 第6节 圆锥曲线的综合问题课件 理
故双曲线的实轴长为 2a=4.故选 C.
(2)椭圆 x2 + y 2 =1 的焦点坐标为 F1(- 7 ,0),F2( 7 ,0),离心率为 e= 7 .
16 9
4
由于双曲线 x2 - y 2 =1 与椭圆 x2 + y 2 =1 有相同的焦点,
a2 b2
16 9
因此 a2+b2=7.
又双曲线的离心率 e= a2 b2 = 7 ,所以 7 = 2 7 ,
夯基固本
考点突破
规范答题
线和圆锥曲线的位置关系 已知直线 l:ax+by+c=0,圆锥曲线 M:f(x,y)=0.
联立方程组
ax
f
(
x,
by y)
c 0,
0,
消去
y,整理得
Ax2+Bx+C=0.
(1)若 A=0 且 B≠0,则直线 l 和圆锥曲线 M 只有一个公共点.
(2)已知双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)和椭圆 x2 + y 2 =1 有相同的焦点,且双
a2 b2
16 9
曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为
.
解析:(1)设双曲线方程为 x2-y2=a2(a>0),
由抛物线的准线方程为 x=-4, 代入上式得 y2=16-a2. ∴16-a2=12,∴a2=4,a=2,
又∵c=1,∴a2=5,∴椭圆的方程为 x2 + y 2 =1.
答案: x2 + y 2 =1
54
54
考点突破
剖典例 找规律
考点一 圆锥曲线间的综合问题
【例 1】 (1)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 881 圆锥曲线的综合问题课件 文
y＝kx＋2， y＝kx＋2，由x92＋y2＝1，
2021/12/8
第十九页，共四十九页。
消去 y 得，(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0， 由 Δ＝(36k)2－108(1＋9k2)>0，得 k2>13。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得 x1＋x2＝－1＋369kk2，x1x2＝1＋279k2， |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· －1＋369kk22－4·1＋279k2 ＝6 3 11＋＋k92k23k2－1， 令 1＋9k2＝t，则 t>4，
答案 (1＋ 2，＋∞)
2021/12/8
第十五页，共四十九页。
第1课时
最值、范围(fànwéi)、证明问题
2021/12/8
第十六页，共四十九页。微考点来自大课堂考点例析 对点微练
2021/12/8
第十七页，共四十九页。
考点一 最值问题 【例 1】 (2019·广东六校联考)已知圆 C：(x＋2 2)2＋y2＝36 与定点 M(2 2，0)，动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切。 (1)求动圆圆心 I 的轨迹 E 的方程； (2)若过定点 N(0,2)的直线 l 交轨迹 E 于不同的两点 A，B，求|AB|的最 大值。
答案 B
2021/12/8
第十四页，共四十九页。
4．已知点 F1，F2 分别是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若△ABF2 是钝角三角形， 则该双曲线离心率的取值范围是________。
解析 由题设条件可知△ABF2 为等腰三角形，只要∠AF2B 为钝角即 可，所以有ba2>2c，即 b2>2ac，所以 c2－a2>2ac，即 e2－2e－1>0，所以 e>1 ＋ 2。
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第十九页，共四十九页。
消去 y 得，(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0， 由 Δ＝(36k)2－108(1＋9k2)>0，得 k2>13。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得 x1＋x2＝－1＋369kk2，x1x2＝1＋279k2， |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· －1＋369kk22－4·1＋279k2 ＝6 3 11＋＋k92k23k2－1， 令 1＋9k2＝t，则 t>4，
答案 (1＋ 2，＋∞)
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第1课时
最值、范围(fànwéi)、证明问题
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第十六页，共四十九页。微考点来自大课堂考点例析 对点微练
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考点一 最值问题 【例 1】 (2019·广东六校联考)已知圆 C：(x＋2 2)2＋y2＝36 与定点 M(2 2，0)，动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切。 (1)求动圆圆心 I 的轨迹 E 的方程； (2)若过定点 N(0,2)的直线 l 交轨迹 E 于不同的两点 A，B，求|AB|的最 大值。
答案 B
2021/12/8
第十四页，共四十九页。
4．已知点 F1，F2 分别是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若△ABF2 是钝角三角形， 则该双曲线离心率的取值范围是________。
解析 由题设条件可知△ABF2 为等腰三角形，只要∠AF2B 为钝角即 可，所以有ba2>2c，即 b2>2ac，所以 c2－a2>2ac，即 e2－2e－1>0，所以 e>1 ＋ 2。
圆锥曲线的综合问题课件
圆锥曲线在生活中的应用和价值
展望未来研究方向
探索圆锥曲线在各个领域的应用前景
关注圆锥曲线研究的最新进展和趋势
深入研究圆锥曲线的性质和几何特征
探讨圆锥曲线与其他数学分支的联系与融合
汇报人：
感谢观看
立体与圆锥曲线的交点求解方法
典型例题的解析与讨论
立体与圆锥曲线的最值问题
定义：最值问题是指求解某个函数在一定范围内的最大值或最小值
解题方法：常用的解题方法有代数法、几何法、三角法等
注意事项：在解题过程中需要注意函数的定义域、取值范围等限制条件
分类：根据不同的分类标准，可以分为不同的类型
06
圆锥曲线在实际问题中的应用
椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线的一般方程
03
圆锥曲线与直线的综合问题
直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的交点求解
直线与圆锥曲线的综合应用
直线与圆锥曲线的交点问题
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的交点求解方法
直线与圆锥曲线交点的应用
直线与圆锥曲线交点问题的注意事项
,a click to unlimited possibilities
圆锥曲线的综合问题课件
目录
01
添加目录标题
02
圆锥曲线的定义和性质
03
圆锥曲线与直线的综合问题
04
圆锥曲线与平面的综合问题
05
圆锥曲线与立体的综合问题06圆锥来自线在实际问题中的应用07
总结与展望
01
添加章节标题
02
圆锥曲线的定义和性质
直线与圆锥曲线的最值问题
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第八章
平面解析几何
第8讲 圆锥曲线的综合问题
1．能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系等问题． 2. 理解数形结合的思想． 3. 了解圆锥曲线的简单应用.
1 个必背口诀——如何解决圆锥曲线的综合问题 联立方程求交点，根与系数的关必会方法——有关弦长和弦中点问题的求解 (1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，采用设而不求，利 用弦长公式计算弦长．求解时，不要忽略判别式大于零． (2)涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直 线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标，弦中点 坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化．
Ax＋By＋C＝0， 即 Fx，y＝0，
消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
(1)当 a≠0 时， 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ， 则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切 ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C 相离
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆 锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直 线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若 C 为抛物线，则 直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是 平行
01抓住2个必备考点
考点 1
直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方 程 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x， y) ＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一 元方程．
02突破3个热点考向
考向一 例1
圆锥曲线中的最值、范围问题
[2014· 盐城模拟]已知椭圆的一个顶点为 A(0， －1)， 焦
点在 x 轴上．若右焦点 F 到直线 x－y＋2 2＝0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M、N. 当|AM|＝|AN|时，求 m 的取值范围．
[解]
x2 2 (1)依题意，可设椭圆方程为 2＋y ＝1， a
则右焦点为 F( a2－1，0)． | a2－1＋2 2| 由题意，知 ＝3，解得 a2＝3. 2 x2 2 故所求椭圆的方程为 ＋y ＝1. 3 (2)设点 M、N 的坐标分别为 M(xM，yM)、N(xN，yN)，弦 MN 的中点为 P(xP，yP)．
2 2 2
1 1＋ 2 · |y － k 1
2p y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2θ，θ 为弦 AB 所在直 线的倾斜角)．
x2 y2 [填一填] (1)已知 F1、F2 为椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点，过 25 9 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝ 8 . (2)设抛物线 y2＝16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12，则点 P 与焦点 F 的距离|PF|＝ 13 . (3)直线 y＝x＋1 与 2x2－y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB| ＝ 2 6. x2 y2 (4)椭圆 ＋ ＝1 中过点 P(1,1)的弦恰好被点 P 平分，则此 4 2 弦所在直线方程是 x＋2y－3＝0 .
3 个特别提醒——圆锥曲线中的三个注意事项 (1)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点⇔ a≠0Δ＝0 或 l 与渐 近线平行． (2)直线 l 与抛物线有且只有一个公共点⇔ a≠0Δ＝0 或 l 与对 称轴平行或重合． (3)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行 弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具 有不等价性，即要考虑判别式 Δ 是否为正数.
[奇思妙想]
本例条件不变， 若直线 y＝kx＋1 与椭圆相交于
不同的两点 M、N，且|MN|＝2，求直线的斜率 k.
x2 2 解：由例题(1)可知，椭圆方程为 3 ＋y ＝1. y＝kx＋1， 2 2 2 由x 得 (3 k ＋ 1) x ＋6kx＝0. 2 ＋y ＝1， 3 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 6k 则 x1＋x2＝－ 2 ，x x ＝0， 3k ＋1 1 2
[想一想]
直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线
与圆锥曲线相切？ 提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切， 还有其他情况，如抛物线与其对称轴平行或重合的直线，双曲线 与其渐近线平行的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切， 而是相交．
[填一填] (1)已知直线 x－y－1＝0 与抛物线 y＝ax2 相切， 1 则 a 等于 4 . x2 y2 (2)直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的交点的个数为 2 个 .
yP＋1 m＋3k2＋1 ∴kAP＝ ＝－ . xP 3mk 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN， m＋3k2＋1 1 则－ 3mk ＝－k，即 2m＝3k2＋1.② 把②代入①，得 m2<2m，解得 0<m<2. 2m－1 1 由②，得 k ＝ 3 >0，解得 m>2.
2
1 综上，m 的取值范围是(2，2)．
考点 2
圆锥曲线的弦长
1. 圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时， 这条直线上以这两个交 点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦 (就是连接圆锥曲线上任意两 点所得的线段)，线段的长就是弦长．
2. 圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB| ＝ x1－x2 ＋y1－y2 ＝ 1＋k |x1 － x2|＝
y＝kx＋m， 2 2 2 2 由x 得 (3 k ＋ 1) x ＋ 6 mkx ＋ 3( m －1)＝0. 2 ＋y ＝1， 3 ∵直线 y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0⇒m2<3k2＋1.① xM＋xN 3mk ∴xP＝ 2 ＝－ 2 . 3k ＋1 m 从而 yP＝kxP＋m＝ 2 . 3k ＋1
平面解析几何
第8讲 圆锥曲线的综合问题
1．能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系等问题． 2. 理解数形结合的思想． 3. 了解圆锥曲线的简单应用.
1 个必背口诀——如何解决圆锥曲线的综合问题 联立方程求交点，根与系数的关必会方法——有关弦长和弦中点问题的求解 (1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，采用设而不求，利 用弦长公式计算弦长．求解时，不要忽略判别式大于零． (2)涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直 线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标，弦中点 坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化．
Ax＋By＋C＝0， 即 Fx，y＝0，
消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
(1)当 a≠0 时， 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ， 则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切 ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C 相离
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆 锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直 线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若 C 为抛物线，则 直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是 平行
01抓住2个必备考点
考点 1
直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方 程 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x， y) ＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一 元方程．
02突破3个热点考向
考向一 例1
圆锥曲线中的最值、范围问题
[2014· 盐城模拟]已知椭圆的一个顶点为 A(0， －1)， 焦
点在 x 轴上．若右焦点 F 到直线 x－y＋2 2＝0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M、N. 当|AM|＝|AN|时，求 m 的取值范围．
[解]
x2 2 (1)依题意，可设椭圆方程为 2＋y ＝1， a
则右焦点为 F( a2－1，0)． | a2－1＋2 2| 由题意，知 ＝3，解得 a2＝3. 2 x2 2 故所求椭圆的方程为 ＋y ＝1. 3 (2)设点 M、N 的坐标分别为 M(xM，yM)、N(xN，yN)，弦 MN 的中点为 P(xP，yP)．
2 2 2
1 1＋ 2 · |y － k 1
2p y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2θ，θ 为弦 AB 所在直 线的倾斜角)．
x2 y2 [填一填] (1)已知 F1、F2 为椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点，过 25 9 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝ 8 . (2)设抛物线 y2＝16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12，则点 P 与焦点 F 的距离|PF|＝ 13 . (3)直线 y＝x＋1 与 2x2－y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB| ＝ 2 6. x2 y2 (4)椭圆 ＋ ＝1 中过点 P(1,1)的弦恰好被点 P 平分，则此 4 2 弦所在直线方程是 x＋2y－3＝0 .
3 个特别提醒——圆锥曲线中的三个注意事项 (1)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点⇔ a≠0Δ＝0 或 l 与渐 近线平行． (2)直线 l 与抛物线有且只有一个公共点⇔ a≠0Δ＝0 或 l 与对 称轴平行或重合． (3)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行 弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具 有不等价性，即要考虑判别式 Δ 是否为正数.
[奇思妙想]
本例条件不变， 若直线 y＝kx＋1 与椭圆相交于
不同的两点 M、N，且|MN|＝2，求直线的斜率 k.
x2 2 解：由例题(1)可知，椭圆方程为 3 ＋y ＝1. y＝kx＋1， 2 2 2 由x 得 (3 k ＋ 1) x ＋6kx＝0. 2 ＋y ＝1， 3 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 6k 则 x1＋x2＝－ 2 ，x x ＝0， 3k ＋1 1 2
[想一想]
直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线
与圆锥曲线相切？ 提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切， 还有其他情况，如抛物线与其对称轴平行或重合的直线，双曲线 与其渐近线平行的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切， 而是相交．
[填一填] (1)已知直线 x－y－1＝0 与抛物线 y＝ax2 相切， 1 则 a 等于 4 . x2 y2 (2)直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的交点的个数为 2 个 .
yP＋1 m＋3k2＋1 ∴kAP＝ ＝－ . xP 3mk 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN， m＋3k2＋1 1 则－ 3mk ＝－k，即 2m＝3k2＋1.② 把②代入①，得 m2<2m，解得 0<m<2. 2m－1 1 由②，得 k ＝ 3 >0，解得 m>2.
2
1 综上，m 的取值范围是(2，2)．
考点 2
圆锥曲线的弦长
1. 圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时， 这条直线上以这两个交 点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦 (就是连接圆锥曲线上任意两 点所得的线段)，线段的长就是弦长．
2. 圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB| ＝ x1－x2 ＋y1－y2 ＝ 1＋k |x1 － x2|＝
y＝kx＋m， 2 2 2 2 由x 得 (3 k ＋ 1) x ＋ 6 mkx ＋ 3( m －1)＝0. 2 ＋y ＝1， 3 ∵直线 y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0⇒m2<3k2＋1.① xM＋xN 3mk ∴xP＝ 2 ＝－ 2 . 3k ＋1 m 从而 yP＝kxP＋m＝ 2 . 3k ＋1