版高中数学第二章数列233等比数列的前n项和二学案苏教版必修5

2．3.3 等比数列的前n 项和(二)学习目标 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征思考 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，那么数列{a n }是不是等比数列？ 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？梳理 当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n－1)． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数．知识点二 等比数列前n 项和的性质思考 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列吗？梳理 等比数列{a n }前n 项和的三个常用性质(1)数列{a n }为公比不为－1的等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列．(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q nS m (n ，m ∈N *)．(3)若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－－q ＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1)．知识点三 错位相减法思考 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的？梳理 如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，一般使用如下方法：S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ， ①qS n ＝a 1b 1q ＋a 2b 2q ＋…＋a n b n q＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b n ＋1，②①－②得(1－q )S n ＝a 1b 1＋(a 2－a 1)b 2＋(a 3－a 2)b 3＋…＋(a n －a n －1)b n －a n b n ＋1 ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1＝a 1b 1＋db 2－q n －11－q－a n b n ＋1，∴S n ＝a 1b 1－a n b n ＋11－q＋db 2－q n －1－q2.上述方法称为“错位相减法”．类型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－b (a 是既不为0也不为1的常数)．若{a n }是等比数列，则b ＝________.反思与感悟 (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n－1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.类型二 等比数列前n 项和的性质命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n＋S 3n )．反思与感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质． 跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.反思与感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁．跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba 1＋ba 2＋ba 3＋…＋ba 6＝________. 类型三 错位相减法求和 例4 求数列{n2n }的前n 项和．反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n(x ≠0)．1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为________． 3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为________．4．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零实数)，且前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k ＝________.1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断． 2．等比数列中用到的数学思想： (1)分类讨论思想：利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论． (2)函数思想：等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n－1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n－1)也与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n，a 11－q当成整体求解．答案精析问题导学 知识点一思考 当S n ＝2n－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *是等比数列；当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n ， n ≥2，n ∈N *不是等比数列．知识点二思考 设{a n }的公比为q ， 则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n＝a 1q n＋a 2q n＋…＋a n q n＝q n S n ，S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n＝q n(S 2n －S n )，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为q n. 知识点三思考 在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可． 题型探究 例1 1解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a n ＝S 1＝a －b .∵{a n }为等比数列，∴a 1，a 2，a 3成等比数列， ∴a 22＝[(a －1)·a ]2＝a 1·a 3＝(a －b )·(a －1)·a 2， ∵a ≠0且a ≠1，∴a －1＝a －b ，∴b ＝1.经验证当b ＝1时，{a n }为等比数列， ∴b ＝1. 跟踪训练1 －13例2 证明 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )． 当q ≠1时，S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)， ∴S 2n ＋S 22n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝⎝⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )．又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )． 跟踪训练2 解 因为S 2n ≠2S n ， 所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1－qn1－q ＝48，a1－q 2n1－q＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64， 所以S 3n ＝a 1－q 3n1－q＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝63. 例3 －3解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8 ＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7)， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3.跟踪训练3 27－2 解析 ∵ba n ＋1ba n ＝b 1·qa n ＋1－1b 1·qa n －1＝qa n ＋1－a n ＝2， ∴{ba n }是首项为b 2，公比为2的等比数列． ∴ba 1＋ba 2＋…＋ba 6＝b 2－261－2＝27－2.例4 解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋12＋12＋…＋12－n 2，即12S n ＝12－12n1－12－n2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1.∴S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n .跟踪训练4 解 分x ＝1和x ≠1两种情况． 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x－x n1－x－nx n ＋1，∴S n ＝x－x n－x2－nx n ＋11－x. 综上可得，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，x ＝1，x－xn－x2－nx n ＋11－x，x ≠1且x ≠0.当堂训练1．192 2.123.634.－1。