材料力学-弯曲变形
合集下载
材料力学—弯曲变形
判断方法：(两种方法)
左上右下为正
使研究对象顺时针转动为正
具体计算时：(黑色表示外力，蓝色表示内力)
S
F
S
F
S
F
S
F
F
判断方法：(两种方法)
左顺右逆为正 上凹下凸为正
具体计算时：（黑色表示外力，红色表示内力）
正： 负：
M
直接求解剪力和弯矩的法则：
1、 任意截面上的剪力=[∑一侧横向力代数值] 横向力：包含载荷、约束力、分布力、集中力 代数值：左上右下为正，反之为负
2、 任意截面上的弯矩=[∑一侧外力对截面形心之矩的代数值] 外力：包含载荷、约束力、分布力、集中力、集中力偶 代数值：左顺右逆为正，反之为负 截面形心：所求截面的截面形心
绘制剪力弯矩图的方法(从左往右绘制)：
q F F S s +=12所围成的面积 S F M M +=12所围成的面积。
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学-弯曲变形
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁
段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用，试 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和 最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。
P125 例6-1
边界条件
x = 0 时： w0
w 0
M (x) F (l x) EIw M (x) F (l x)
C1x
D1
DB段（ a ≤x ≤l ）：
M 2 (x)
Fb l
x
F(x
a)
EIw2
Fb l
x
F
(x
a)
EIw2
EIq 2
Fb l
x2 2
F
(x a)2 2
C2
EIw2
Fb l
x3 6
F
(x
a)3 6
C2 x
D2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
等直梁： E I w ＝－ M(x)
E I 为常量 EIq M (x) dx C 积 分
EIw [ M (x) dx] dx Cx D 法
积分常数由边界条件、连续条件确定。
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0
qA ＝ 0
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
wB (q ) ＋ wB (FB ) ＝ 0
wB ＝
ql 4
8EI
－
FBl 3
3EI
＝
0
材料力学弯曲变形
13
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学知识点
第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。
平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。
1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。
2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。
挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正方向的挠度为正。
转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。
对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。
因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M和曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性材料2》曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
弯曲变形
EIf
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIf
1
6
P(a
x)3
C1
x
C2
D1 x D2
应用位移边界条件求积分常数
EIf
(0)
1 6
Pa3
C2Байду номын сангаас
0
EI
(0)
1 2
Pa2
EIf (x) M(x)dx C1
EIf (x) ( M(x)dx)dx C1x C2
如何确定积分常数 C1 C2 ?
2.确定积分常数的方法
P
A
C
B
D
P
边界条件：
f A 0 fB 0
fD 0 D 0
光滑连续条件：
f C fC 或写成fC 左 fC 右
第六章 弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 梁的刚度校核 §6-5 提高弯曲刚度的一些措施
§6－１ 工程中的弯曲变形问题
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
最大挠度及最大转角
max
(L)
PL2 2EI
PL3 fmax f ( L) 3EI
例2 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
材料力学教程-7.弯曲变形
数据处理
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
Pa 2EIl
(l
x)2
C2
w2
Pa 2EIl
(l
x)2
C2
dx
Pa 6EIl
(l
x)3
C2
x
D2
由边界条件
y
例题3
x A
P
C
B
FAx
l
x
w1 0, x 0
FAy
6EIl
24EI
q (x) qI (x) qII (x)
M 0 (2l 2 6lx 3x2 ) q l3 6lx2 4x3
6EIl
24EI
从而，A端的转角qA和梁中点的挠度w1/2分别为
qA
q
(0)
M 0l 3EI
ql 3 24EI
w1/ 2
w( l ) 2
M 0l 2 16EI
5ql 4 384EI
Pb 6EIl
3x2 (b2 l 2 )
0
得
A
x
P
C
B
l2 b2
x0
3
FAx
l
x
FAy
a
b FBy
例题3
从而，梁的最大挠度为
Pb (l 2 b2 )3 wmax w1(x0 ) 9 3EIl
l2 b2
x0
3
分析：梁的中点挠度为
Pb(3l 2 4b2 ) w(l / 2)
Pb 6 EIl
3x2
(b2
l
Pa 6EIl
3(l
x)2
2 ) (a2
l
2
)
0 xa a xl
B x
FBy
例题3
梁的最大转角：
A q 0
当x =0时，转角为
C
qA
w1(0)
Pab 6EIl
(l
b)
(顺时针）
当x =l时，转角为
qB
w2(l )
Pab 6EIl
(l
a)
(逆时针）
于是，当a > b时，最大转角为
连续性条件
例题1
例 图示的等截面悬臂梁长为l，抗弯刚 度为EI，端部受集中力P的作用，求梁任一截 面的转角和挠度。
解 如图建立坐标系，
P
从而，截面的弯矩为
M (x) P(l x)
利用挠曲线微分方程
w M (x) P (l x) EI EI
可得
w Pl x P x2 C EI 2EI
q
B
子问题，并如图建立建立 坐标系。
A
l
x
y
q
B
M0 y
B
x
x
A
A
l（问题 I）
（l 问题 II）
例题1
记: 原问题的梁的挠度为w,转角
为q；
y
M0
q
B
x
问题I的梁的挠度为wI，转角 A
w
q
为qI；
问题II的梁的挠度为wII，转角 y
为qII。
q
B
x
则根据叠加原理，有
A
wI
qI
w(x) wI (x) wII (x)
a
b FBy
w2 0, x l
和连续性条件
得
w1 w2 , w1 w2 , x a
D1 0
C2l D2 0 C1a C2a D1
D2
Pab 6EI
(b
a)
C1
C2
Pab 2EI
求解此代数方程，得
C1
Pb 6EIl
(l
2
b2
)
C2
Pa 6EIl
(l 2
a2)
D1
0
D2
Pa 6EI
)2
2
挠曲轴平坦，(dw/dx)2<<1，从而
1
d 2w dx2
d2w M
dx2
EI
d2w M dx2 EI
M和(d2w/dx2)的符号
w
w
M>0
1 w 0
M<0
1 w 0
可见(d2w/dx2) 与M同号，而E>0，I>0
d2w dx 2
M (x) EI
梁挠曲线的近 似微分方程
积分法求梁的位移
连续条件：
P A
C
a
当梁的弯矩方程需要分
B 段列出时，挠曲线方程 也需要分段建立，分段
积分。除边界条件外，
b
还需利用分段处的连续
条件。
积分法求梁的位移
直梁的变形分析归结为在一定边界条件
下求解挠曲线的近似微分方程，即求解 相应微分方程的边值问题
边值问题
微分方程 边界条件
挠曲线控制 微分方程
边界支撑条件和 某些特殊截面的
wmax
Pl3 48EI
最大转角为
qmax
qA
qB
Pl 2
16EI
例题3
对于简支梁，不论受（F, q）作用，只要挠曲轴 上无拐点（朝一个方向弯曲）,其最大挠度值可 以用梁中点处的挠度值代替，即
wmax w(l / 2)
其精确度能满足工程计算的要求。
例题 4 EI=const，画挠曲轴大致形状
q/2 C
Bx
截面的弯矩为0。因此，它等价 II 于与两端简支承受均布荷载q/2
l
的梁（问题II'）。
对问题II'，梁转角q 'II
y q/2
为
问
C
q A II
(q / 2) 24EI
l
3
2
ql3 384EI
题A II'
l/2
x
例题2
因此，对问题II，梁跨
FAy
a
b FBy
例题3
从而，截面的弯矩为
M
(x)
Pb l Pa l
x (l
x)
0 xa
a xl
y
对于AC段，利用梁的挠
曲线微分方程
x A
P
C
B
w1
M (x) EI
Pb EIl
x
FAx
l
FAy
a
x b FBy
例题3
得
w1
w1dx C1
Pb EIl
xdx
C1
Pb 2EIl
x2
C1
w1
F Me Fa / 2
A
B CD
a aa
1.画弯矩图
d2w dx 2
M (x) EI
2.分段利用积分法
M
Fa / 2
AB : M kx integrate2 w ~ x3
G AB
Fa / 2
GB A
G B
C
D
G点处，M=0。G点为拐点（2阶导数） AG段，M<0，上凸
GB段，M>0，下凹
C D BC:M=+const w ~ x2
wII和转角为qII分别为附录E- y
No.10
wII
M0 6EIl
xl
x2l
x
M0 A
wII
qII
B
x
q II
wII
M0 6EIl
(2l 2
6lx 3x2 )
问题 II
例题1
利用叠加原理，原问题的挠度w，和转角q 分别为
w(x) wI (x) wII (x)
M 0 xl x2l x qx l3 2lx2 x3
48EI
b越小，x0越大。即载荷越靠近右支座，最大挠度点离中点 越远，最大挠度值与中点挠度值相差越大。
极端情况：b—>0
1
1
Pbl2
wmax w(l / 2) 9 wmax
3 1
16 EI Pbl 2
2.65%
9 3 EI
例题3
因此，可用梁的中点挠度代替梁的最大挠度。