材料力学：第六章 弯 曲 变 形
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
第6节(弯曲变形)
Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
材料力学第6章弯曲变形
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
弯曲变形——精选推荐
第六章弯曲变形判断弯曲变形1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线”2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比”3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程”4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
”6、“最大挠度处的截面转角一定为0”7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大”8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。
”9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求”10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”选择弯曲变形1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的倍；最大挠度是原来的倍。
若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的倍，最大挠度是原来的倍。
A：2； B：16 C：8 D：4；2、y’’=M(x)/EI在条件下成立。
A：小变形； B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C；3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在处。
A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；4、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。
A：减小集中力P； B：减小梁的跨度；C：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/I Z,②y’’=M(x)/EI Z哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误； C:①错误、②正确； D：①错误、②错误；6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是。
材料力学-第六章
第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。
挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。
材料力学6弯曲变形
=
M 0 L2 9 3EI Z
<[f ]
刚度满足要求。 刚度满足要求。
例二、长度为 的梁 的梁AC， 为常数， 例二、长度为L的梁 ，其EI为常数，在自由端承受集 为常数 中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角 ），试求自由端 的挠度和转角。 中力 （如图），试求自由端 的挠度和转角。 外力分析： 解： 1）外力分析：
解： 1）外力分析： ）外力分析： M0 M0 RA = (↓), R B = (↑ ) L L 2）内力分析：(M方程 方程) ）内力分析： 方程
3）挠曲线方程和转角方程： ）挠曲线方程和转角方程：
M0 M(x) = − x (0 ≤ x ≤ L ) L
M0 2 d2V M0 EIzθ= − x +C x EIz 2 = − 2L dx L M0 3 EI z V = − x + Cx + D 6L
思考题： 思考题：求VB
试用叠加法求C截面的挠度和转角 例5、试用叠加法求C截面的挠度和转角 (I2=2I1)。
EI 2 A a C a EI1
A
C a
m0= Pa A a P
解:(1)BC段变形，AC段刚化 :(1)BC段变形，AC段刚化 段变形 ( VC(1) = 0 θ C1) = 0 B (2)AC段变形 BC段刚化 段变形， (2)AC段变形，BC段刚化 P 3 2 Pa Pa VCP = ( ↑) θ CP = ( ) 3EI 2 2EI 2 B Pa 2 ( ) Pa 3 θ Cm0 = VCm0 = ( ↑) EI 2 2 EI 2 P 5Pa 3 VC( 2 ) = VCP + VCm0 = ( ↑) 6 EI 2 3Pa 2 B ( θ C2 ) = θ CP + θ Cm0 = ( ) 2 EI 2 (3)总变形 (3)总变形
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目录
第六章 弯曲变形
§6-1 概述 §6-2 挠曲线的近似微分方程 §6-3 用积分法求梁的变形 §6-4 用叠加法求梁的变形 §6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 §6-6 用变形比较法解简单超静定梁
目录
目录
§6-1 概 述
6-1
目录
§6-1 概 述
目录
§6-1 概 述
M(x)
F(x
l)
积分一次 EI dy EI 1 F(x l)2 C
dx
2
再积分一次
EIy 1 F (x l)3 Cx D 6
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, yA 0
代入求解
C 1 Fl2, D 1 Fl3
2
6
FAy x1
x2
a
ymax
b
EI 2
Fb 2l
x22
F 2
( x2
a)2
Fb 6l
(l 2
b2 )
B B x
FBy
EIy2
Fb 6l
x23
F 6
( x2
a)3
Fb 6l
(l 2
b2 )x2
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
6）确定最大转角和最大挠度
令 d 0
dx
得，
l a x
l , max
B
Fab 6EIl
D1 D2 0
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B B x
FBy
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
y
F
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
A
A
DC
EIy1
Fb 6l
x3 1
Fb 6l
(l 2
b2 )x1
CB 段： a x2 l
目录
§6-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
y
x
转角 挠度 y
挠曲线方程：
挠曲线
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
x
y 向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
dx
6-2
目录
§6-2 挠曲线的近似微分方程
FAy
x2
F ( x2
a)
Fb l
x2
F ( x2
a),
a x2 l
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2 y1 dx12
M ( x1 )
Fb l
x1
EI
dy1 dx1
EI ( x1 )
Fb 2l
x2 1
C1
EIy1
Fb 6l
x3 1
C1 x1
D1
CB 段：
a x2 l
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
EI
d 2 y2 dx22
M(x2 )
Fb l
x2
F(x2
a)
EI dy2 dx2
EIy2
EI
(x2 )
Fb 2l
x2 2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
F 2
( x2
a)2
C2 x2 D2
C2
B B x
FBy
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, y1(0) 0 x2 l, y2(l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, y1(a) y2 (a) 代入求解，得
C1
C2
1 6
Fbl
Fb3 6l
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
( x) EIz
目录
§6-2 挠曲线的近似微分方程
由数学知识可知：
d2y
1
dx 2
[1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx2
所以
d2y dx 2
M(x) EIz
y M (x) > 0
5）确定转角方程和挠度方程
y
Ax
yB
l
EI 1 F ( x l)2 1 Fl 2
2
2
EIy 1 F ( x l)3 1 Fl 2 x 1 Fl 3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
max B
Fl2 , 2EI
ymax
yB
Fl 3 3EI
目录
F Bx
B
§6-3 用积分法求梁的变形
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
挠曲线的近似微分方程为：
d2y dx 2
M(x) EI z
积分一次得转角方程为：
EIz
d2y dx 2
M(
x)
EI z
dy dx
EI z
M ( x)dx C
再积分一次得挠度方程为：
EIz y M( x)dxdx C x D
6-3
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
~
AA
~~
~
~
A
A
A A AA
A AA A
~
~
yA 0
yA 0
A 0
~ ~~ ~~
A
A AAA
A
A AA
A
A AA A
~ ~~
~ ~ ~
~
~
yA
－弹簧变形
yAL yAR
AL AR
yAL yAR
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx
0, FAy
Fb l
,
FBy
Fa l
2）弯矩方程
AC 段：
M x1 ,0
x1
a
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B B x
FBy
CB 段：
M x2
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl( ) A x
2）写出x截面的弯矩方程
yB
l
Bx
B
M(x) F(l x) F(x l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
EI
d2y dx 2
(
)( )
令 dy 0 dx
得，
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B B x
FBy
x
l2 b2 ,
3
Fb (l 2 b2 )3 ymax 9 3EIl ( )
目录
§6-3 用积分法求梁的变形
讨论 积分法求变形有什么优缺点？
目录
§6-4 用叠加法求梁的变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI d 2 y EIy'' M( x) dx 2
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
y
M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
目录
§6-2 挠曲线的近似微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d2y dx 2
M(x) EIz
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。