精品2019学年高中数学第二讲参数方程2.3直线的参数方程练习新人教A版选修(1)

三直线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1.已知以t为参数的直线方程为点M0(-1,2)与M(x,y)分别是曲线上的定点和动点,则t的几何意义是()
A.t=·a(a=(1,0))
B.t=·a(a=(1,0))
C.|t|=||
D.|t|=2
,所以t的几何意义是|t|=||.
2.直线(t为参数)与坐标轴的交点坐标是()
A. B.
C.(0,-4),(8,0)
D.,(8,0)
x=0得t=,于是y=,即直线与y轴的交点坐标为;令y=0得t=,于是x=,即直线与x轴的交点坐标为
.
3.若直线的参数方程为(t为参数),则该直线的倾斜角为()
A.60°
B.120°
C.300°
D.150°
0=-(x-x0),斜率k=-,倾斜角为120°.
4.过点(1,1),倾斜角为135°的直线截圆x2+y2=4所得的弦长为()
A. B. C.2 D.
(t为参数),将其代入圆的方程得t2+2=4,解得t1=-,t2=.
所以所求弦长为|t1-t2|=|-|=2.
5.导学号73574050若(λ为参数)与(t为参数)表示同一条直线,则λ与t 的关系是()
A.λ=5t
B.λ=-5t
C.t=5λ
D.t=-5λ
得-3λ=t cos α.
由得4λ=t sin α,消去α的三角函数,
得25λ2=t2,得t=±5λ,借助于直线的斜率,可排除t=-5λ,所以t=5λ.
6.直线(t为参数)过定点.
得-(y+1)a+(4x-12)=0,该式对于任意的a都成立,则x=3,y=-1,即直线过定点(3,-1).
-1)
7.直线l:(t为参数)上的点P(-4,1-)到l与x轴的交点Q的距离是.
l:中令y=0,得t=-1.故l与x轴的交点为Q(-1-,0).
所以|PQ|=
==2-2.
-2
8.若直线(t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=.
的斜率为-,因此直线4x+ky=1的斜率等于,于是k=-6.
6
9.设直线的参数方程为(t为参数).
(1)求直线的普通方程;
(2)化参数方程为标准形式.
由y=10-4t,得t=,将其代入x=5+3t,得x=5+3×.
化简得普通方程为4x+3y-50=0.
(2)把方程变形为
令t'=-5t,
则参数方程的标准形式为(t'为参数).
10.导学号73574051已知直线l经过点P(-1,2),且方向向量为n=(-1,),圆的方程为
ρ=2cos.
(1)求直线l的参数方程;
(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|·|PN|的值.
∵n=(-1,),∴直线l的倾斜角为.
∴直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).
(2)∵ρ=2=cos θ-sin θ,
∴ρ2=ρcos θ-ρsin θ.∴x2+y2-x+y=0.
将直线的参数方程代入得t2+(3+2)t+6+2=0.
∴|t1t2|=6+2,即|PM|·|PN|=6+2.
11.导学号73574052求经过点(1,1),倾斜角为120°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长.
(1,1),倾斜角为120°,可得直线的参数方程为(t为参数), 将其代入椭圆的方程,得=1,整理,得13t2+4(4-1)t+4=0.设方程的两实根分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=.
|t1-t2|=.
所以直线被椭圆所截得的弦长为.
B组
1.直线(t为参数)上与点A(2,-3)的距离等于1的点的坐标是()
A.(1,-2)或(3,-4)
B.(2-,-3+)或(2+,-3-)
C.
D.(0,-1)或(4,-5)
P(2-t,-3+t),则|PA|=2t2=1,解得t=±.
当t=时,点P的坐标为;
当t=-时,点P的坐标为.故所求的点的坐标为,-3-.
2.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长是()
A.16
B.3
C.
D.
y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),又倾斜角为,所以弦AB所在直线的参数方程为(t为参数).
将其代入抛物线方程y2=4x,得=4,整理得3t2-8t-16=0.设方程的两个实根分别为t1,t2,则有
所以|t1-t2|=.故弦AB的长为.
3.对于参数方程(t为参数)和(t为参数),下列结论正确的是()
A.它们表示的是倾斜角为30°的两条平行直线
B.它们表示的是倾斜角为150°的两条重合直线
C.它们表示的是两条垂直且相交于点(1,2)的直线
D.它们表示的是两条不垂直但相交于点(1,2)的直线
可化为标准形式所以其倾斜角为150°.
同理,参数方程可化为标准形式所以其倾斜角也为150°.又因为两条直线都过点(1,2),故两条直线重合.
4.已知直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为,若将该直线的参数
方程改写成(t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为.
|PM0|=知t=±,代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1),再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.
1
5.已知一条直线的参数方程是(t为参数),另一条直线的方程是x-y-4=0,则两条直线的交点到点(7,-5)的距离是.
(t为参数)代入另一条直线方程x-y-4=0,得7+t--4=0,解得
t=8.
故交点到点(7,-5)的距离为|t|=8.
6.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=3.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
由曲线C:ρ2cos 2θ=ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,
得ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=3,化成直角坐标方程为x2-y2=3.①
(2)(方法一)把直线的参数方程化为标准参数方程(t'为参数,t'=6t),②
把②代入①得=3,
整理,得t'2-4t'-2=0.
设其两根为t1',t2',则t1'+t2'=4,t1'·t2'=-2.
从而弦长为|t1'-t2'|=
==2.
(方法二)把直线l的参数方程化为普通方程为y=(x-2),代入x2-y2=3,得2x2-12x+15=0.
设l与C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,x1·x2=.
所以|AB|=
=2=2.
7.导学号73574053过点P作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N,求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.
(t为参数),
将其代入x2+2y2=1,
得(1+sin2α)t2+t cos α+=0.
设点M,N对应的参数分别为t1,t2,
则|PM|·|PN|=|t1t2|=.
因为直线与曲线相交,
所以Δ=10cos2α-4×·(1+sin2α)≥0.
得sin2α≤.而当sin α=(0≤α<π),
即α=或α=时,|PM|·|PN|有最小值.
8.导学号73574054已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,求
|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的参数方程.
l的倾斜角为α,
则l的参数方程为(t为参数),
由题意知,A(x A,0),B(0,y B).由0=2+t sin α,
得|PA|=|t|=.由0=3+t cos α,得|PB|=|t|=-.
故|PA|·|PB|==-.
∵<α<π,
∴当2α=,即α=时,|PA|·|PB|有最小值,此时直线l的参数方程为(t为参数).。