2014年重庆高考数学真题(理)

2014年重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.1525.执行如题（5）图所示的程序框图，学科 网若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ） A.12s>B.35s >C.710s >D.45s >6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.728.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、学科 网2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.310.已知ABC ∆的内角21)s i n ()s i n (2s i n ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.216b)+ab(a >C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤ 二、填空题11.设全集=⋂==≤≤∈=B A C B A n N n U U )(},9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{则______. 12.函数)2(log log )(2x x x f ⋅=的最小值为_________.13. 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且 A B C ∆为等边三角形，学 科网则实数=a _________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ， 若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.15. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________. 16. 若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，学 科网则实数a 的取值范围是 ____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.18.（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，学 科 网从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.19.（本小题满分12分）如图（19），四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ， 3,2π=∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=,21. （1）求PO 的长；（2）求二面角C PM A --的正弦值。

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分） 已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（1）确定,a b 的值； （2）若3c =，判断()f x 的单调性；（3）若()f x 有极值，求c 的取值范围.21.如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （1）求该椭圆的标准方程； （2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..22.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分） 设2111,22(*)n n n a a a a b n N +==-++∈（1）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论.数学（理）（重庆卷）参考答案一、 选择题（1）A （2）D （3）A （4）C （5）C （6）D （7）B （8）B （9）B （10）A二、 填空题 （11）{}7,9 （12）14- （13）415± （14）4 （15）5 （16）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、 解答题 （17）解：（I ）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±因22ππϕ-≤<得0k =所以2236πππϕ=-=-. （II ）由（I ）得33sin 22264f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由263ππα<<得0,62ππα<-< 所以22115cos 1sin 1.6644ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1315131542428+⨯+⨯=（18）解：（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为334339584C C P C +== （Ⅱ）X 的所有可能值为1，2，3，且()()213111213454342363339917431,24284C C C C C C C C C P X P X C C +++======,()2127391312C C P X C ===. 故X 的分布列为X 1 2 3P17424384 112从而()174314712342841228E X =⨯+⨯+⨯=（19）解：（Ⅰ）如答（19）图，连结,AC BD ，因ABCD 为菱形，则AC BD O =，且AC BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系o xyz -， 因3BAD π∠=，故cos3,sin1,66OA AB OB AB ππ=⋅==⋅=所以()()()()()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0,0,1,0,3,1,0.O A B C OB BC -==--由1,22BM BC ==知，131,,0444BM BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭从而33,,044OM OB BM ⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭，即33,,0.44M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设()0,0,,0,P a a >，则()333,0,,,,.44AP a MP a ⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭因为MP AP ⊥，故0,MP AP ⋅=即2304a -+=，所以33,22a a ==-（舍去），即32PO =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，333333,0,,,,,3,0,24422AP MP CP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 设平面APM 的法向量为()1111,,n x y z =，平面PMC 的法向量为()2222,,n x y z =由0,0,n AP n MP ⋅=⋅=得111113-3023330442x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩故可取1531,,2,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭由220,0,n MP n CP ⋅=⋅=得2222233304423302x y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩故可取()21,3,2n =--从而法向量12,n n 的夹角的余弦值为12121215cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==-⋅ 故所求二面角A PM C --的正弦值为105. （20）解：（Ⅰ）对()f x 求导得()2222x x f x ae be c -'=+-，由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=，即()()2220x xa b e e--+=，因220x x e e -+>，所以a b = 又()022f a b c '=+-，故1,1a b ==.（Ⅱ）当3c =时，()223x x f x e e x -=--，那么()222222322310x x x x f x e e e e --'=+-≥⋅-=>故()f x 在R 上为增函数.（Ⅲ）由（Ⅰ）知()2222xxf x e e c -'=+-，而222222224x x x x e e e e --+≥⋅=，当0x =时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c <时，对任意()22,220xx x R f x ee c -'∈=+->，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意0,x ≠()222240xx f x ee -'=+->，此时()f x 无极值；当4c >时，令2xe t =，注意到方程220t c t +-=有两根，21,2160,4c c t ±-=>即()0f x '=有两个根111ln 2x t =或221ln 2x t =. 当12x x x <<时，()0f x '<；又当2x x >时，()0f x '>从而()f x 在2x x =处取得极小值. 综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围为()4,+∞.（21）解：（Ⅰ）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得1212222F F DF c ==从而122112122,222DF F S DF F F c ∆=⋅==故1c =. 从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =. 所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=1212||.PP x =，由（Ⅰ）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C . 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C 的半径1121242223CP PP x === （22）解：（Ⅰ）解法一：232,21a a ==+ 再由题设条件知()()221111n n a a +-=-+ 从而(){}21n a -是首项为0公差为1的等差数列，故()21n a -=1n -，即()*11,n a n n N =-+∈解法二：232,21a a ==+可写为123111,211,311,a a a =-+=-+=-+.因此猜想11n a n =-+. 下用数学归纳法证明上式： 当1n =时结论显然成立.假设n k =时结论成立，即11k a k =-+.则()()()21111111111k k a a k k +=-++=-++=+-+这就是说，当1n k =+时结论成立. 所以()*11,n a n n N =-+∈（Ⅱ）解法一：设()()2111f x x =-+-，则()1n n a f a +=.令()c f c =，即()2111c c =-+-，解得14c =. 下用数学归纳法证明加强命：2211n n a c a +<<<当1n =时，()()2310,021a f a f ====-，所以23114a a <<<，结论成立. 假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()2121k c f c f a f a +=>>=即2221k c a a +>>>再由()f x 在(],1-∞上为减函数得()()()22231k c f c f a f a a +=<<=<. 故231k c a +<<，因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<，这就是说，当1n k =+时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =. 解法二：设()()2111f x x =-+-，则()1n n a f a +=先证：01n a ≤≤()*n N ∈…………………………① 当1n =时，结论明显成立.假设n k =时结论成立，即01k a ≤≤易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()010211k f f a f =≤≤=-<即101k a +≤≤这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立.再证：221n n a a +<()*n N ∈………………………………② 当1n =时，()()2310,021a f a f ====-，有23a a <，即当1n =时结论②成立假设n k =时，结论成立，即221k k a a +<由①及()f x 在(],1-∞上为减函数，得 ()()2122122k k k k a f a f a a +++=>=()()()()212221211k k k k a f a f a a +++++=<=这就是说，当1n k =+时②成立，所以②对一切*n N ∈成立. 由②得2222221k k k a a a <-+-即()22222122k k k a a a +<-+ 因此214k a < 又由①、②及()f x 在(],1-∞上为减函数得()()221n n f a f a +> 即2122n n a a ++> 所以2212121221,n n n a a a +++>-+-解得2114n a +>. 综上，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n N ∈成立.。