湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(理)试题Word版含解析

常德市2017-2018学年度上学期高三检测考试数学（理科试题卷）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1.已知集合—，集合>=- ■■■ S '，则占宀三-（）A. -口B.C. '\■:D. 、「二【答案】C【解析】忙 7* 1 •点；；人：■- ..<.-1 /. 、、■-.、：■-,选C.1 + ai2.已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，.三I ）则的虚部为（）3-iA. B. I C. D.【答案】B1 i ai （1 + ai）（3 丨i）3 a 3a ■ i ]. 3 a 3a i 1【解析】因为，所以-- ,的虚部3）10 10 10 10 10为1,选B3.如果随机变量m；,且工-w则律（）A. B. C. D. .1【答案】C【解析】m：-<y< - i.；.-<.-,所以. 0.5-飞m—0.5-0.3=0.2选C.4.元朝著名数学家朱世杰《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，那么在. ________ ■这个空白框中可以填入（）【答案】B【解析】因为将酒添加一倍，后饮酒一斗，所以la 1,选B .........................5.已知等差数列的公差和首项都不为 ，且 •成等比数列，则—-（）A. B. : C.D.【答案】C【解析】由' ' 成等比数列得:齐=：|：1|二：1 C「/ ... C I •' Ja t 十已］4十密］十13d L5a t------ ------------- :一 一.，选 C屯aj 十2d3引6•将 个人从左至右排成一行， 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A. •种B. -种C. 种D. 种【答案】A【解析】最左端排甲时，有•种排法最左端排乙时，有汀种排法 所以共有种排法，选A .兀兀7.将函数 的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像，则下列说法不正确36的是（）A.C.A. J■■■的周期为B.C.-.=是」■■■的一条对称轴D. J■■■为奇函数【答案】C【解析】由题意得.I I ..||、..，所以周期为，，不是二■■的对称6 3 6 26轴，；门■:为奇函数，选C8.函数的部分图像大致为（）【答案】C【解析］I' >'；：' ■，:'：-r?. Y：:'；>■ ■，所以舍去D,B；-1 1 - ■：■ ■■- 舍A,选C点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复. （2）由实际情景探究函数图象•关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题.9.已知数列的前..项和为，且贝U （）A. B. C. I 丿D. I 广：【答案］D【解析］因为，所以* + -■S n-j - + n-l（n> 2） a n= + 1 几a,-I = 2（%厂1血>2）因此■ I ■■' " ：I ■" ■- ■ I '："，选D点睛：⑴ 形如厂 3的递推关系式可以化为… f H 的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键，可由待定系数法确定.C. D.（2）形如（A, B, C为常数）的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数Ba（1- C列求解•10.已知函数=lcg fl x,g（x）= a x_p（x）= x n（其中n > 0…a > 1），则下列选项正确的是（）A. ，都有yB.，当时，都有八：：「产C. ，都有：」*D. 小;1，当U-门时，都有【答案】B【解析】因为当『十心时，，所以舍去C,D因为 '，所以A错，选B.11.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的S 16 32的A. --- :'B.C. —D.3 3 3 27【答案】Dr L T 2【解析】几何体为如图，所以外接球的半径R满足!<' 1 1 \ '■ 1 :' - 、,体积为点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径 体已知量的关系，列方程（组）求解•12.已知.分别为双曲线 的左右顶点，两个不同动点..在双曲线上且a 2b 2关于 轴对称，设直线啲斜率分别为 w ，则当 li in -取最小值时，双曲线的离a b心率为（）A. B.2【答案】A选A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等第n 卷（共90分）二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13•设向量的夹角为，且：=「；厂；=一「则【解析】2rx -by > 214.设' 满足条件 ，则目标函数"斥亍的最小值为I x<25【答案】3 15【解析】可行域如图，直线匕--■-过点A时取最小值（直径）与该几何【解析】【答案】x- ab'a"4b 2a所以... =a bb21 nt =y t (t = - > 0)a10点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想•需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得•15.已知抛物线•，直线. ■'；，直线与抛物线相交于.两点，且.的延长线交抛物线E的准线于「点，$企。

屈=仏口眈（其中；!为坐标原点）,贝氏= _________________________ .【答案】..【解析】由公:.一_：：：二*..得B为AC中点，所以CV ； ' \ '■由\. :得11 ' !二“'•-：■■：：. I 、：|：二〔：\ 一*'■Yi = -屈k = p-=常--I216.设函数ji ：」3.'',若函数_ . I : ■■■. Ill ••有四个零点，则实数门的取值范围为【答案】：【解析】由题意得方程|〕1: :■:： ; 1有两个不等正根f A m'-4（m - 3）>0 tin >6或m <-2所以. —mA。

n rn<0 =>-3<m<-2m + 3>0 I m >-3点睛：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围•从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.I '的内角..I / :.的对边分别为:[■.. ■.，已知• • -iin'..（1）求；（2）若，求—二.面积的最大值.兀 2 +【答案】（1）.（2）.6 4【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角和以及两角和正弦公式化简得.•，解得；（2）根据余弦定理可得（+J占社=1，再利用基本不等式求最值，代入三角形面积公式可得么-：三二•面积的最大值.试题解析：（1 ）由已知.' ■. ■■■ -1 ril '■及正弦定理得-m \ :- -I-.1? '-ini '■.①又.••二I". ■，故'-ill. ■■: - '■: - - .■宀…r .②&由①②和飞：'、得'，3又佳「：，所以..=.61 1（2）的面积:;= ..2 4兀由已知及余弦定理得■' ■ ■■'厂6又:+•「：：：,：：.-;，故亠"“ 一-''J，当且仅当n：时，等号成立.2 +J5因此—二面积的最大值为斗18.年月某城市国际马拉松赛正式举行，组委会对名裁判人员进行业务培训，现按年龄（单位：岁）进行分组统计：第组•，第组，第：组' ' ，第•组〔匸“，第组卜::•八1，得到的频率分布直方图如下：（1）培训前组委会用分层抽样调查方式在第•组共抽取了名裁判人员进行座谈，若将其中抽取的第：组的人员记作…二」丸；：：,第组的人员记作I'- I' '■ / - ，，第组的人员记作1,：^ l：,-k匚?，若组委会决定从上述名裁判人员中再随机选■■人参加新闻发布会，要求这：组各选人，试求裁判人员-‘I不同时被选择的概率；（2）培训最后环节，组委会决定从这名裁判中年龄在I -■■•■•- •■■I的裁判人员里面随机选取■■名参加业务考试，设年龄在中选取的人数为，求随机变量的分布列及数学期望•【答案】(1) ; (2)见解析.24【解析】试题分析：(1)先根据分层抽样确定来自第•组的人数，即得从这三组抽一人的总事件数，再确定裁判人员•同时被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，根据对立事件概率关系求结果(2)先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望试题解析：(1)各组频率分别为:m z匚，这•人中，来自各组的分别有G 心人，分层抽样后，来自第、、•组的分别有人，当分别从这三组抽一人有丨…！种情况，记事件上:-"裁判人员■- 1 '|不同时被选中”贝y "裁判人员-1 '|同时被选中”，故2 23为所求•48 24(2)随机变量的可能取值为-,且有:匚：14陀=0)= = p(纤1)=^12^-1228 55C8 " C4 12 C4P(^=2) = —- = -,?(?= 3)=—^12 ^12-«—3 0£胃222故分布列为:的数学期望为: 28 12 1* 2 址I- 3 | 55 55 55 '19.如图，四棱锥―二中，平面比、「「,.讥.(1)求证：平面兀二平面；(2)若-■■■■：' r 1•- T：“ ，且:F.:二，求二面角三-仁-二的平面角的大小【答案】（1）见解析；（2）•.【解析】试题分析：（1）根据几何条件得.仁I EC?,再根据平面.尤匚二得：丄，由线面垂直判定定理得W 平面7.占二:，最后根据面面垂直判定定理得结论（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角大小试题解析：（1）证明:•m.wt…点.在线段三C的中垂线上，即有:I王二又PA 丄平面.ABCD?PA 1BD，而PA n AC = A,BD 丄平面PM2，又''-平面■-平面J ： / .1 平面（2）设.匚二门三二一二，由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系二「对不妨设「「；= '“：，又”「丨「•，I：'，易知，dh l .t.:：而二〔丄、『二:- '\ 在-CM -\1< 中，］=I则：3好..:二3学&二£/£厂「：：二「居;卩/狄-1.-9?. ~* n ■ PQ = fl , —B―*设平面PBC的法向量为门=凶卅可），则一- ，而PC = （04 一二〔一屈,玄0）ri - BC = 0「屁护宀不妨设勺命先•.街一匚-，同理可得平面［二二:的法向量为:--一m - n 1设二面角丨［-丨厂-丨】的平面角为■、：.，：： .... .... i, __M|n| 2--■ - 1.<?则二面角三•—二的平面角为（1）求圆即椭圆 的方程;（2）若直线.是椭圆 的一条切线，、是切线上两个点，其横坐标分别为：、..，那么以' 为直径的圆是否经过 轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由2【答案】（1）. （ 2）过定点 与 .2【解析】试题分析：（1）先根据垂径定理求半径，再根据点在椭圆上解得 ，（2）设点的坐 标，化简条件再联立切线方程与椭圆方程，根据判别式为零得等 量关系，代入并化简可得飞 =■，即得结论 试题解析：（1 ）当1二；二二时，卜二最小，|二•：：丄一..二！-二 由已知，可知；-：=「，Jl11 又点 在椭圆上上，■'2上2b"综上，圆的方程为 犷=:2椭圆的方程为一 --■..2[X 2—（2）联立方程^，得到.'：'.jm.'.'「二，由与椭圆相切，得到（x = my + n-二 i 「- 4 :::A.:-二 ■- ：i 二 | ,①易知 ，设以'为直径的圆经过工住用，设■■■■<■■' -则有―t ―• ―• —II 、_ :、：,，wit ! ■■s —： I 飞m '：.二⑴-：'，20.已知圆 f 「.•- :•:;的一条直角是椭圆 2 2:.二-r 上•门的长轴，动直线J b 2且与圆 相交于点兑-..E ：时，弦.的最小值为当I 过椭圆上一点, 2 2^2 丄2-7 , n- - 2 m X Q- 2m + nEM ■ E V 2 ■+ 一=------------ ------由①②可知,—— m m（m'-n2+ 2）（x02- 1>2，m nrT要使上式成立，有只有当 1 ;-,故经过定点I -1 与〕::.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的•定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现1 丁21.已知函数.. （其中■ ■）.（1）讨论的单调性；（2）若■/ - .■：.：■：；.有两个极值点•，且，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，根据二次方程判别式讨论导函数符号，根据导数符号确1定单调性（2）先根据极值点化简所证不等式为：匸丨1：;再利用导数研究函数■ ■：1. .. ' i ' ■ ' !的单调性，最后根据单调性确定不等式成立1 3试题解析：（1）' .；■. ' ..-■■■ - ■' ii T- - .、、丫亠t ”_ ci x - 4 H-a--疋义域为■K亠2 x+2当时，；当时，令■■■：：■；-',;,解-* -V-.或厂、:幕，解；•；• 、•■ i当时，令得.；为宀::，得匚所以当在上单调递增；当时，的单调递增区间为丄--仏■八；单调递减区间为■；当时，的单调递减区间为单调递增区间为.厂厂P（2）由（1）可知，：崇‘有两个极值点，且，则时，且-I -- 、；要证，即证即证.】\一、打,八_ 二:;Z-即证<,'Z-又I: \ •二],U,即证二-- ;令】心.「，则：：「-'•-，设J''：i.." '■■ -j：ii .，而i. z i.'_ I :: ： i ,即在单调2 2递增；I■：- U :-二:匸「，即-*成立；所以点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略（1）构造差函数h z - hz- d-.o.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式•（2）根据条件，寻找目标函数•一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数•请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为’（为参数），以原点为极点，[y = 1 - Jsina以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆的普通方程与极坐标方程；7U（2）若直线I的极坐标方程为•，求圆上的点到直线11的最大距离.6【答案】⑴普通方程为、■■ I 极坐标方程为•.（2）5.【解析】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系消参数可得圆的普通方程，再利用门.：“」：if | 、：；―将直角坐标方程化为极坐标方程（2）先根据〔「win：'•将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆的几何条件得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线距离减去半径，最后根据点到直线距离公式求最值试题解析：（1 ）圆的圆心为；，半径则普通方程为池［=7・R J P■■■ pcosO = x,psin9 = y,p = x'十y-其极坐标方程为…p：：.：- : ■■：' - > - - 'J，、丄兀/口凋I(2)由、| ■■II-1■-6 2 1故圆上的点到直线的最大距离为•、；匚-^ •23.已知函数\■■. I .(1)当卩-:'时，解不等式ii ；：；(2)若关于实数的不等式•恒成立，求实数的取值范围.【答案】⑴—；(2)I.【解析】试题分析：(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集(2)先根据绝对值三角不等式求ii—最小值，再解绝对值不等式可得实数的取值范围试题解析：(1 )当3-二时，■■- ■■ 丫 I - ' 、■>■' ■*•・! 5 或f 或［X< - 1解得：•上或■即不等式解集为：「* I「-(2) ■■- •:. . ■. ■. ：i ■. ■. ■- . I■- ::- :;<r:恒成立，即1 I .：'或；】•〕解得：]--■■■■■ .! ■. 2。