统计学课件第七章 相关与回归
1、正相关：当一个变量的数值增加或减少时，另一个变量的 数值也相应增加或减少。（二者变动方向一致，即同增同减）
2、负相关：当一个变量的数值增加或减少时，另一个变量的 数值则减少或增加。（二者变动方向相反，即一增一减）
6
第七章 相关与回归分析
STAT
（三）按相关的形式可分为 1、**线性相关（直线相关）：一个变量对另一个变量的影响 表现为直线的形式。进一步可区分为正相关与负相关。 2、非线性相关（曲线相关）：一个变量对另一个变量的影响 表现为曲线的形式。非线性相关一般不区分方向。 （四）按影响因素的多少可区分为 1、**单（简单）相关：两个变量之间的相关关系； 2、复（多元）相关：三个或三个以上的变量之间的相关关系。 [例]：体重与身高、食欲、睡眠时间之间的关系 3、偏相关：在三个或三个以上的变量中，假定其他变量不变 只测定其中两个变量的相关关系。
7
第七章 相关与回归分析
STAT
三、相关分析的特点
1、相关分析的两个变量是对等的，不必区分自变量和因 变量；
2、只能算出一个相关系数； 3、相关分析的两个变量都是随机变量。
8
第二节 相关关系的测定 一、相关图表 （一）相关表
相关表是把具有相关关系的两种变量的数值，相对应地有 顺序地排列在一张表上。
1、 简单相关表：原始资料未经分组 某月企业销售收入与销售利润相关表
企业编号 销售收入(万元) 销售利润(万元)
1
10
1.8
2
20
2.0
3
24
2.4
4
30
3.5
5
40
5.0
2、单变量分组相关表：只对一个变量分组
线 性 正 Leabharlann 关9第七章 相关与回归分析
STAT
3、双变量分组相关表：同时对两个变量都进行分组而制成的 相关表。
相关关系的绝对值 r 在：
0.3以下，为微弱线性相关； 0.3—0.5，为低度线性相关； 0.5—0.8，为显著(中度)线性相关， 0.8以上为高度线性相关。
13
例：某企业某商品在过去八年的价格与相应的销售资料见下表， 试分析该商品销售量与价格的相关关系。
销售 (吨 )x
90 94 75 58 47 70 60 45 539
xy n
xy f f
12
相关系数的取值范围： 1r1
当r=0时，表明两个变量之间完全不相关，即不存在线性相 关关系；
当r= 1时，相关关系转为函数关系，称为完全相关；
当[-1<r<1]时,表明两个变量之间不完全相关; 当[-1<r<0]时,表明两个变量之间是负相关; 当[0<r<1]时,表明两个变量之间是正相关. r 越接近于1(+1或-1)，表明相关关系越强， r 越接近于0，表 明相关关系越弱。
n
x2
(
2
x)
n y2 ( y)2
8 3733 539 60
0.9864 (高度负相关 )
8 38659 539 2 8 492 60 2
即商品的价格与销售量 在一般情况下存在着一 定的负相关 .
价格上升 , 其销量下降 .
（三）相关系数r的计算公式中，协方差与变量标准差的作用
1、协方差（积差平均数）的意义（略）
30 家同类企业的有关资料
单位成本 y
产量 x（件）
合计
(元/件)
20 30 40 50 80
18
4 ————4
16
4 3 1 1 —9
15
1 2 3 3 1 10
14
—— 1 2 4 7
合计
9 5 5 6 5 30
（二）相关图：以横轴代表X，纵轴代表Y，绘制散点图。
不足之处：难以量化，反映相关程度不精确。
r
n
( x x )( y y ) (公式 2 )
(x x)2 (y y)2
(x x)2 (y y)2
n
n
11
L L L 设 : ( x x )( y y ), ( x x ) 2 , ( y y ) 2
xy
xx
yy
则 : r ( x x )( y y ) L xy (公式 3)
5
第七章 相关与回归分析
STAT
二、相关关系的种类
（一）按相关的程度分
1、完全相关：一个变量的数量变化由另一个变量的数量变化 所唯一确定（函数关系）；
2、不相关：两个变量彼此的数量变化互相独立（没有关系）； 3、不完全相关：两个变量之间的关系介于完全相关和不相关 之间（相关关系有关系，但不确定）。 （二）按相关的方向分
(x x)2 (y y)2
L xx L yy
L 或 : r
xy (公式 4 )
n x y
r
xy
n xy x y
x y
n
x2
(
2
x)
n y2 ( y)2
(公式 5 )
r
x y xy x y 2 (x)2 2 (y)2
xy x y (公式
x
y
6
)
xy
xy
（1）显示x与y是正相关还是负相关
(x x)(y y)
r
xy
n
x
y
(x x)2 (y y)2
(x x)(y y) (x x)2 (y y)2
n
n
15
第七章 相关与回归分析
STAT
直线相关条件下：x与y分布在第一、三象限时，协方差为
10
二、（线性）相关系数
（一）定义：反映变量x和变量y之间线性相关方向与密切程度 的统计指标。注：线性相关 相关系数r；曲线相关 相关 指数R。
（二）积差法计算公式：
r
xy x
y
(公式
1),
xy
x, y
x数列与 y数列的协方差 x数列 , y数列的标准差
( x x )( y y )
2011
第七章 相关与回归分析
STAT
（四）相关分析与回归分析的区别与联系
区别：相关分析是研究变量之间相关程度大小的统计方法， 回归分析是通过函数关系来表达变量之间数量关系的统计方法。
联系：相关分析与回归分析是互相补充、密切联系的。相 关分析需要依靠回归分析来表明现象数量变化的一般关系，而 回归分析则建立在相关分析的基础上，只有在现象之间存在高 度相关时，进行回归分析求其现象数量变化的一般关系才有意 义。
量价
格
(万 元 /吨 )y
5
4
6
9
10
7
8
11
60
xy
450 376 450 522 470 490 480 495 3733
x2
8100 8836 5625 3364 2209 4900 3600 2025 38659
y2
25 16 36 81 100 49 64 121 492
14
r
n xy x y
2、负相关：当一个变量的数值增加或减少时，另一个变量的 数值则减少或增加。（二者变动方向相反，即一增一减）
6
第七章 相关与回归分析
STAT
（三）按相关的形式可分为 1、**线性相关（直线相关）：一个变量对另一个变量的影响 表现为直线的形式。进一步可区分为正相关与负相关。 2、非线性相关（曲线相关）：一个变量对另一个变量的影响 表现为曲线的形式。非线性相关一般不区分方向。 （四）按影响因素的多少可区分为 1、**单（简单）相关：两个变量之间的相关关系； 2、复（多元）相关：三个或三个以上的变量之间的相关关系。 [例]：体重与身高、食欲、睡眠时间之间的关系 3、偏相关：在三个或三个以上的变量中，假定其他变量不变 只测定其中两个变量的相关关系。
7
第七章 相关与回归分析
STAT
三、相关分析的特点
1、相关分析的两个变量是对等的，不必区分自变量和因 变量；
2、只能算出一个相关系数； 3、相关分析的两个变量都是随机变量。
8
第二节 相关关系的测定 一、相关图表 （一）相关表
相关表是把具有相关关系的两种变量的数值，相对应地有 顺序地排列在一张表上。
1、 简单相关表：原始资料未经分组 某月企业销售收入与销售利润相关表
企业编号 销售收入(万元) 销售利润(万元)
1
10
1.8
2
20
2.0
3
24
2.4
4
30
3.5
5
40
5.0
2、单变量分组相关表：只对一个变量分组
线 性 正 Leabharlann 关9第七章 相关与回归分析
STAT
3、双变量分组相关表：同时对两个变量都进行分组而制成的 相关表。
相关关系的绝对值 r 在：
0.3以下，为微弱线性相关； 0.3—0.5，为低度线性相关； 0.5—0.8，为显著(中度)线性相关， 0.8以上为高度线性相关。
13
例：某企业某商品在过去八年的价格与相应的销售资料见下表， 试分析该商品销售量与价格的相关关系。
销售 (吨 )x
90 94 75 58 47 70 60 45 539
xy n
xy f f
12
相关系数的取值范围： 1r1
当r=0时，表明两个变量之间完全不相关，即不存在线性相 关关系；
当r= 1时，相关关系转为函数关系，称为完全相关；
当[-1<r<1]时,表明两个变量之间不完全相关; 当[-1<r<0]时,表明两个变量之间是负相关; 当[0<r<1]时,表明两个变量之间是正相关. r 越接近于1(+1或-1)，表明相关关系越强， r 越接近于0，表 明相关关系越弱。
n
x2
(
2
x)
n y2 ( y)2
8 3733 539 60
0.9864 (高度负相关 )
8 38659 539 2 8 492 60 2
即商品的价格与销售量 在一般情况下存在着一 定的负相关 .
价格上升 , 其销量下降 .
（三）相关系数r的计算公式中，协方差与变量标准差的作用
1、协方差（积差平均数）的意义（略）
30 家同类企业的有关资料
单位成本 y
产量 x（件）
合计
(元/件)
20 30 40 50 80
18
4 ————4
16
4 3 1 1 —9
15
1 2 3 3 1 10
14
—— 1 2 4 7
合计
9 5 5 6 5 30
（二）相关图：以横轴代表X，纵轴代表Y，绘制散点图。
不足之处：难以量化，反映相关程度不精确。
r
n
( x x )( y y ) (公式 2 )
(x x)2 (y y)2
(x x)2 (y y)2
n
n
11
L L L 设 : ( x x )( y y ), ( x x ) 2 , ( y y ) 2
xy
xx
yy
则 : r ( x x )( y y ) L xy (公式 3)
5
第七章 相关与回归分析
STAT
二、相关关系的种类
（一）按相关的程度分
1、完全相关：一个变量的数量变化由另一个变量的数量变化 所唯一确定（函数关系）；
2、不相关：两个变量彼此的数量变化互相独立（没有关系）； 3、不完全相关：两个变量之间的关系介于完全相关和不相关 之间（相关关系有关系，但不确定）。 （二）按相关的方向分
(x x)2 (y y)2
L xx L yy
L 或 : r
xy (公式 4 )
n x y
r
xy
n xy x y
x y
n
x2
(
2
x)
n y2 ( y)2
(公式 5 )
r
x y xy x y 2 (x)2 2 (y)2
xy x y (公式
x
y
6
)
xy
xy
（1）显示x与y是正相关还是负相关
(x x)(y y)
r
xy
n
x
y
(x x)2 (y y)2
(x x)(y y) (x x)2 (y y)2
n
n
15
第七章 相关与回归分析
STAT
直线相关条件下：x与y分布在第一、三象限时，协方差为
10
二、（线性）相关系数
（一）定义：反映变量x和变量y之间线性相关方向与密切程度 的统计指标。注：线性相关 相关系数r；曲线相关 相关 指数R。
（二）积差法计算公式：
r
xy x
y
(公式
1),
xy
x, y
x数列与 y数列的协方差 x数列 , y数列的标准差
( x x )( y y )
2011
第七章 相关与回归分析
STAT
（四）相关分析与回归分析的区别与联系
区别：相关分析是研究变量之间相关程度大小的统计方法， 回归分析是通过函数关系来表达变量之间数量关系的统计方法。
联系：相关分析与回归分析是互相补充、密切联系的。相 关分析需要依靠回归分析来表明现象数量变化的一般关系，而 回归分析则建立在相关分析的基础上，只有在现象之间存在高 度相关时，进行回归分析求其现象数量变化的一般关系才有意 义。
量价
格
(万 元 /吨 )y
5
4
6
9
10
7
8
11
60
xy
450 376 450 522 470 490 480 495 3733
x2
8100 8836 5625 3364 2209 4900 3600 2025 38659
y2
25 16 36 81 100 49 64 121 492
14
r
n xy x y
合集下载
统计学课件第七章 相关与回归
2
Lxy Lxx Lyy
(公式3)
r
xy x
n x y
y
L
xy
n xy x y n x ( x) n y ( y ) 2
2 2 2
(公式5)
r
xy xy xy x y xy x y n (公式6) xy f 2 2 2 2 x y xy x ( x) y ( y ) f
2
( y y )
2
(公式2)
10
设 : L xy ( x x )( y y ), L xx ( x x ) 2 , L yy ( y y ) 2 则: r 或:r ( x x )( y y ) ( x x )
2
( y y ) (公式4)
18
( x x)( y y) 偏大
( p p)(q q ) 偏小
第七章
[不相关]
相关与回归分析
Y
STAT
Y
xx
A图
B图
yy
X
X
A图: x x 0 ( x x )( y y) 0 xy 0
9
二、（线性）相关系数 （一）定义：反映变量x和变量y之间线性相关方向与密切程度 的统计指标。注：线性相关 相关系数r；曲线相关 相关 指数R。 （二）积差法计算公式：
xy x数列与y数列的协方差 xy r (公式1), x y , x数列, y数列的标准差 x y r ( x x )( y y ) n 2 2 ( x x ) ( y y ) n n ( x x )( y y ) ( x x )
大学统计学原理经典课件第七章 相关与回归分析
y=f(x布在直线周围
x
相关关系与函数关系的联系
（1）都可用函数式加以描述，但表达式不
同； （2）函数有时也可能表现为相关关系； （3）相关分析有时需要利用函数关系数学 表达式来研究； （4）相关关系是相关分析的研究对象，函 数关系是相关分析的工具。
变量之间的关系
学历和收入之间的关系 广告投入与销售额之间的关系
第一节
相关分析的意义和任务
一. 相关关系的概念
二. 相关关系的种类 三. 相关分析的主要内容
一、相关关系的概念
函数关系 （确定性关系） ⒈ 出租汽车费用与行驶里程： 总费用=行驶里程 每公里单价
G KP
相关关系
（非确定性关系）
2 2 2 2 2
13 9145651.19 12827.5 7448 13 16073323.77 12827.5 13 5213898 7448
2
0.9978
人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为 0.9978，说明两者之间是高度线性相关的。
第三节 直线回归分析
2
2
或化简为
r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
简单相关系数的方向和程度的决定因素 ( x x )( y y ) 根据公式， r ( x x ) ( y y)
2 2
则说明是正相关； ( x x)( y y ) 0 ，则是负相 关； ( x x)( y y ) 0 ，则是零相关。
x
另一类是变量间不存在完全的确定性关系， 不能用精确的数学公式来表示，虽然这些变 量间存在着十分密切的关系，但不能由一个 或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。 这些变量间的关系称为相关关系，把存在相 关关系的变量称为相关变量。
x
相关关系与函数关系的联系
（1）都可用函数式加以描述，但表达式不
同； （2）函数有时也可能表现为相关关系； （3）相关分析有时需要利用函数关系数学 表达式来研究； （4）相关关系是相关分析的研究对象，函 数关系是相关分析的工具。
变量之间的关系
学历和收入之间的关系 广告投入与销售额之间的关系
第一节
相关分析的意义和任务
一. 相关关系的概念
二. 相关关系的种类 三. 相关分析的主要内容
一、相关关系的概念
函数关系 （确定性关系） ⒈ 出租汽车费用与行驶里程： 总费用=行驶里程 每公里单价
G KP
相关关系
（非确定性关系）
2 2 2 2 2
13 9145651.19 12827.5 7448 13 16073323.77 12827.5 13 5213898 7448
2
0.9978
人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为 0.9978，说明两者之间是高度线性相关的。
第三节 直线回归分析
2
2
或化简为
r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
简单相关系数的方向和程度的决定因素 ( x x )( y y ) 根据公式， r ( x x ) ( y y)
2 2
则说明是正相关； ( x x)( y y ) 0 ，则是负相 关； ( x x)( y y ) 0 ，则是零相关。
x
另一类是变量间不存在完全的确定性关系， 不能用精确的数学公式来表示，虽然这些变 量间存在着十分密切的关系，但不能由一个 或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。 这些变量间的关系称为相关关系，把存在相 关关系的变量称为相关变量。
统计学 第七章相关与回归分析
统计学
STATISTICS
第二节相关分析
7 - 18
统计学
STATISTICS
一、相关表和相关图
7 - 19
相关表与相关图 （概念要点）
统计学
STATISTICS
1、相关表和相关图是研究相关关系的直观工具。一般在进 行详细的定量分析之前，可以利用它们对现象之间存在 的相关关系的方向、形式和密切程度做大致的判断。
▪ 父亲身高y与子女身高x之间的关系 ▪ 收入水平y与受教育程度x之间的关系 ▪ 粮食亩产量y与施肥量x1 、降雨量x2 、温度
x3之间的关系 ▪ 商品的消费量y与居民收入x之间的关系 ▪ 商品销售额y与广告费支出x之间的关系
7 -9
统计学
STATISTICS
二、相关关系的种类
7 - 10
相关关系的种类
STATISTICS
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表 示为 y = px (p 为单价)
▪ 圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2
▪ 企业的原材料消耗额y与产量x1 、单位产量消 耗x2 、原材料价格x3之间的关系可表示为 y = x1 x2 x3
7 -7
（二）相关关系
2、相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。它是将 某一变量按其取值的大小排列，然后再将与其相关的另 一变量的对应值平行排列，便可得到简单的相关表。
3、相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表变量 X，纵轴代表Y，将两个变量间相应的变量值用坐标点 的形式描绘出来，用来反应量变量之间相关关系的图形 。
7 - 14
（二）回归分析
(Regression)
统计学
STATISTICS
统计学 第 七 章 相关与回归分析
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量 的取值来预测或控制另一个特定变量的取 值，并给出这种预测或控制的精确程度
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
《统计学原理与应用》课件第07章 相关与回归分析
74.4 172.0 248.0 418.0 575.0 805.2 972.0 1,280.0
104,214
4,544.6
统计学基础
第七章 相关与回归分析
根据计算结果可知：Βιβλιοθήκη x 36.4y 880
n8
x2 207.54
y2 104,214
xy 4,544.6
Fundamentals of Statistics
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
公式7—3
公式7—3是实际工作中使用较多的计算公式
Fundamentals of Statistics
统计学基础
第七章 相关与回归分析
（四）相关系数的运用
（1）相关系数有正负号，分别表示正相关和负相关。
（2）相关系数的取值范围在绝对值的0 之1 间。其值大小 反映两变量之间相关的密切程度。
统计学基础
第七章 相关与回归分析
二、相关关系的种类
3.相关关系按照相关的方向分为正相关和负相 关 正相关：是指一个变量的数量变动和另一个变 量的数量变动方向一致.
负相关：当一个变量的数量变动与另一个变量 的数量变动方向相反时,称为负相关.
Fundamentals of Statistics
统计学基础
统计学基础
第七章 相关与回归分析
二、相关关系的测定 （一）相关系数的含义：
相关系数是在直线相关的条件下，用来说明两个 变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。
Fundamentals of Statistics
统计学基础
第七章 相关与回归分析
（二）相关系数的作用
1.说明直线相关条件下,两变量的相关关系的密切程 度的高低. (见教材第159页说明)
统计学课件之线性相关与回归
➢ 线性关系是否存在、关系的密切程度 以及方向性
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
0.24
0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
0.25
0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
0.24
0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
0.25
0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
生物统计学课件 7、回归与相关分析
第一节 直线回归
㈡数据整理
由原始数据算出一级数据6个： ΣX＝1182 ΣY＝32650 ΣXY＝3252610 320
ΣX 2＝118112 ΣY 2＝896696700 n＝12
Байду номын сангаас
再由一级数据算出二级数据5个：
SSX＝ ΣX 2 － (ΣX) 2 /n＝1685.00 SSY＝ ΣY 2 － (ΣY ) 2 /n ＝831491.67 SP＝ ΣXY － ΣX ΣY /n ＝36585.00
280
80
X＝ΣX/n ＝98.5 Ӯ ＝ΣY/n ＝2720.8333
㈢计算三级数据
b ＝ SP/ SSX ＝21.7122 ＝36585÷1685
a＝ Ӯ －bX＝582.1816 ＝2720.8333－ 21.7122×98.5 得所求直线回归方程为：
y ＝ 582.1816 + 21.7122 x
第一节 直线回归
二、建立直线回归方程
340
例7.1 在四川白鹅的生产性能研究中， 得到如下一组n = 12（只）关于雏鹅重（g） 与70日龄重（10g）的关系的数据，其结 300 果如下表，试予分析。
解 ㈠描散点图
本例已知雏鹅70日龄重随雏鹅重的变 260 化而变化，且不可逆；又据散点图反映的 趋势来看，在80—120g的重量范围， 70日 龄重随雏鹅重呈上升的线性变化关系。
程 y ＝ 582.1816 + 21.7122 x可用于预测。
而是多元回归。
第二节 直线相关
一、相关的含义
二、相关系数
如果两个变量X和Y，总是X和Y 相互 前已述及，具有线性回归关系的
制约、平行变化，则称X和Y为相关关系。 双变量中，Y变量的总变异量分解为：
第七相关与回归优秀课件
一.相关的分类
（一）按相关的性质分类 1.正相关：两种测量值变动方向相同 2.负相关：两种测量值变动方向相反 3.零相关：两种测量值变动方向无规
律
一.相关的分类
（二）按相关的形式划分 1.直线相关：直线或线性相关 2.曲线相关：曲线或非线性相关
二.散点图
设研究变量为X和Y，以直角坐标 系的横轴表示X变量，以纵轴表示Y变 量。根据对每一个个体的测量，把每 一个个体在这两种测量上的取值用直 角坐标系中的一个点表示，即可以得 到散点图。在散点图中可以粗略的看 出两个变量相关关系的性质。
3.取值范围 [-1，1]
r 值为正 ——正相关 为负 ——负相关 |r|=1 --- 完全相关 |r|=0 --- 零相关
三.相关系数correlation coefficient
4.r的使用条件 （1）要求成对的数据，而这成对的数据应该
来自于同一总体或同一样本 （2）两组变量都是连续型随机变量 （3）数据的对数n最好不要小于30 （4）两组变量的分布应该近似于正态分布 （5）两组变量之间的关系应该是直线性的
例2 用例1中的数据计算相关系数
学号 语文 数学
学号 语文 数学
1 5 12
9 10 20
2 8 15
10 9 17
3 7 14
11 7 15
4 9 18
12 7 16
5 10 19
13 9 16
6 8 18
14 6 13
7 6 14
15 8 16
8 6 17
例3 表中是10名中学生身高与体重的测量结 果，问身高与体重的关系如何？
例9 根据例1的15对数据，求回归方程
随机抽取15名学生的语文测验分数和算术测验分数， 语文分数为10分制，数学分数为20分制。画出这两个测 验分数的相关散点图。
生物统计学第7章 回归与相关
假设H0： β1=β2 ，HA： β1≠β2
检验统计量为
t
b1 b2 sb1 b2
~ t(n1 n2
4)
s b1b2
s2 y/x
s2 y/x
SSx1 SSx2
s2 y/x
(n1
Q1 Q2 2) (n2
2)
t t 当
α(n1n2 4 ) 时，接受HA，即两样本所属总体的回归系数不相等
样本相关系数：从随机样本的数据计算得来的相关系数，用符号r代表
对某一定的总体来说， ρ是一个常量。
从同一总体中随机抽取的各样本的r值是随机变动的，不是一个常量，且可 以通过实验或测量的样本数据来计算它。
将SP除以n-1，消除了样本容量 的影响，得样本的协方差
(xi x)( yi y)
MP i n 1
i
U
SS y
Q
SP2 SSx
bSP b2SSx
F
MSU MSQ
~
F(dfU，dfQ )
例7.5 用F测验对例7.2所求回归方程作回归显著性测验。
F
MSU MSQ
b2SSx Q (n 2)
b2
s2 y/x
SSx
( b )2 sb
t2
7.2.3.2 两个回归系数相比较的显著性检验
由两个样本的回归系数b1，b2，测验其所属总体的回归系数β1、β2是否相等
7.1.2 回归的概念
两个相关变量之间，有时表现为一个变量依赖于另一个变量的从属关系。 对于这种情况的两个变量可以区分为自变量（记为X）和依变量（记为Y）。
回归关系：一般自变量X是固定的（试验时预先确定的），并且没有试验 误差或试验误差很小，依变量Y则是随自变量X的变化而变化，且受试验误 差的影响较大。这种关系称为回归关系，
检验统计量为
t
b1 b2 sb1 b2
~ t(n1 n2
4)
s b1b2
s2 y/x
s2 y/x
SSx1 SSx2
s2 y/x
(n1
Q1 Q2 2) (n2
2)
t t 当
α(n1n2 4 ) 时，接受HA，即两样本所属总体的回归系数不相等
样本相关系数：从随机样本的数据计算得来的相关系数，用符号r代表
对某一定的总体来说， ρ是一个常量。
从同一总体中随机抽取的各样本的r值是随机变动的，不是一个常量，且可 以通过实验或测量的样本数据来计算它。
将SP除以n-1，消除了样本容量 的影响，得样本的协方差
(xi x)( yi y)
MP i n 1
i
U
SS y
Q
SP2 SSx
bSP b2SSx
F
MSU MSQ
~
F(dfU，dfQ )
例7.5 用F测验对例7.2所求回归方程作回归显著性测验。
F
MSU MSQ
b2SSx Q (n 2)
b2
s2 y/x
SSx
( b )2 sb
t2
7.2.3.2 两个回归系数相比较的显著性检验
由两个样本的回归系数b1，b2，测验其所属总体的回归系数β1、β2是否相等
7.1.2 回归的概念
两个相关变量之间，有时表现为一个变量依赖于另一个变量的从属关系。 对于这种情况的两个变量可以区分为自变量（记为X）和依变量（记为Y）。
回归关系：一般自变量X是固定的（试验时预先确定的），并且没有试验 误差或试验误差很小，依变量Y则是随自变量X的变化而变化，且受试验误 差的影响较大。这种关系称为回归关系，
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。