数列复习课

数列
数列的概念与简单表示法
定义：按照一定规则排列的一列数称为数列。

数列中每一个数叫做这个数列的项，每一项都与它的序号有关，排在第一位的叫做第一项（也叫首项）以此类推，
数列的形式是：12,,,,,n a a a
简记为{}
n a 例如数列：13579 ，，，，，中121,3,,21n a a a n ===-
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

递增数列，递减数列，常数列，摆动数列的定义
通项公式：数列n a 与项数n 的关系
例1.数列{}n a 中，已知()
*2,31N n n n a n ∈-+=。

（1）写出110,+n a a ； （2）3
2
79是否是数列中的项？如果是，是第几项？
例2．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8
＝2，则a 1＝________．
等差数列
知识点
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一常数，那么这
一数列叫等差数列，这个常数叫公差。

（公差用d 表示）
1、通项公式：1(1)n a a n d =+-
2、递推公式1n n a a d --= 推广：n a =()m a n m d +-,(n, m ∈*N )
3、等差数列的常用性质：
（1）若{n a }为等差数列，且m+n=p+q ，(n, m, p, q ∈*N )则n m p q a a a a +=+
（2） 若m+n=2p,则2n m p a a a +=
4、等差中项：等差中项：三个数 a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项；且有2A=a +b.
5、等差数列的单调性：由等差数列的定义知a n +1－a n =d ,
当d ＞0时a n +1＞a n 即{a n }为递增数列；
当d =0时，a n +1=a n 即{a n }为常数列；
当d ＜0时，a n +1＜a n 即{a n }为递减数列.
例1. ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
例2 .在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求1a ,d ,20,n a a
例3.已知154533,153a a ==，求61a
例4. （2013·重庆高考文科·Ｔ12）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则
c a -= ．
（利用等差数列的常用性质）
例5.（1）（广东理）在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=______
（2）在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= .
例6.已知等差数列{}n a 的首项2511=
a ，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是（
837525
d <≤ ）
等差数列概念应用
例7．[2014·全国卷] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.
(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；
(2)求{a n }的通项公式．（a n ＝n 2－2n ＋2.）
数列前n 项和
数列前n 项和公式：1n n n S S a --=
1.[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋n 2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
2.[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
－n 2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
3. 若数列}{n a 的前n 项和31
32
+=n n a S ，则{}n a 的通项公式是n
a
等差数列前n 项和
公式1：2)(1n n a a n S +=
公式2：2
)1(1d n n na S n -+
= 公式3：n d a n d S n )2(212-+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 公式4：若n a 为等差数列则，232,,n n n n n S S S S S --也为等差数列
例1. [2014·重庆卷] 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；
例2．[2014·浙江卷] 已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，S 2·S 3＝36.
(1)求d 及S n ；
(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.
例3. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ17）已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足03=S ，55S =-. （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；
例4.已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s
例5．[2014·江西卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
较难题 例1.（安徽文科·Ｔ7）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =（ ）
A.-6
B.-4
C.-2
D.2
例2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ17）已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足03=S ，55S =-.（Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-12121n n a a 的前n 项和.
等比数列
1、通项公式：11,(0)n n a a q q -=≠
2、递推公式1
n n a q a -= 推广：n m n m a a q -=,(n, m ∈*N ) 3、等比数列的常用性质：
（1）若{n a }为等比数列，且q p n m +=+，(n, m, p, q ∈*N )则n m p q a a a a =
（2） 若m+n=2p,则2n m p a a a =
4、等比中项：等比中项：三个数 a ，A ，b 组成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项；且有A 2=a+b.
5、等比数列的单调性：
当q ＞1时a n +1＞a n 即{a n }为递增数列；
当q=1时，a n +1=a n 即{a n }为常数列；
当0<q ＜1时，a n +1＜a n 即{a n }为递减数列.
当q ＜0时等比数列是摆动数列.
例1.[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；
(2)设3log n n b a =，求数列{b n }的前n 项和S n .
例2.[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式．
例3. 在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a 。

例4. 已知数列{}n a 满足12430,3
n n a a a ++==-，求{}n a
等比数列前n 项的和
一般公式推导：设n n n a a a a a S +++++=-1321 ①
乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ②
①-②：()n n qa a S q -=-11，1≠q 时：()
q q a q aq a q qa a S n
n n n --=--=--=1111111 1=q 时：1na S n = 注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个，
（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆，
（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

公式：若n a 为等差数列则，232,,n n n n n S S S S S --也为等差数列
例1.[2014·全国卷] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝
( ) A ．31 B ．32
C ．63
D ．64
例2. （2013·辽宁高考文科·Ｔ14）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ14）相同 已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x +4=0的两个根,则S 6= .
例3. 设首项为1，公比为23
的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（ ） A.12-=n n a S B. 23-=n n a S
C. n n a S 34-=
D. n n a S 23-=
例4.（2013·北京高考文科·Ｔ11）与（2013·北京高考理科·Ｔ10）相同 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .。