(初学篇)全等三角形中常见辅助线的添加方法举例
全等三角形辅助线添加方法
全等三角形辅助线添加方法全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
要证明两个三角形全等，我们通常使用SAS（两边和夹角），ASA（两角和边），SSS（三边）等条件来进行证明。
为了证明这些条件，我们可以添加一些辅助线来简化问题。
以下是几种常见的全等三角形辅助线添加方法：1.中位线法中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点及对边中点来添加中位线。
这样，原来的两个三角形就分解成了两个平行四边形，从而简化了证明过程。
2.高线法高线是从一个顶点垂直于对边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以添加一条高线，从而将一个三角形分解成两个直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
3.角平分线法角平分线是从一个角的顶点分别平分两个相邻边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点和相邻边的角平分线来添加辅助线。
这样，原来的两个三角形就分解成了两个高度相等的直角三角形。
4.旁切线法旁切线是从一个角的顶点切线到对边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以添加一条旁切线，从而将一个三角形分解成两个全等的直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
5.等腰三角形法等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
在证明两个三角形全等时，如果我们发现其中一个三角形是等腰三角形，可以添加一条辅助线，将该等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
通过添加这些辅助线，我们可以改变问题的形式，简化证明过程，并帮助我们找到更多的全等条件。
但是需要注意的是，辅助线的添加要符合几何图形的性质，不能改变原有图形的形状和大小。
总之，在证明两个三角形全等时，辅助线的添加是一个常用的方法，可以帮助我们简化证明过程，找到更多的全等条件，提高证明的效率和准确性。
需要根据具体问题来选择合适的辅助线添加方法，灵活运用几何定理和性质来进行证明。
初中数学三角形中14种辅助线添加方法
初中数学三角形中14种辅助线添加方法在三角形中，常用的辅助线有中线、高线、中垂线、角平分线等。
下面是三角形中14种辅助线添加方法：1. 三角形中线的添加方法：在三角形的每个顶点上作一条连接对边中点的线段，则这些线段交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，即为三角形的重心。
2. 三角形中垂线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂足分别为A、B、C，则三个垂足所在直线相交于一点，为三角形的垂心。
3. 三角形高线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂线所在直线与所对边的交点称为底部端点，连接三个底部端点，则构成一个矩形，其中两个对角线分别为三角形的两个高。
4. 角平分线的添加方法：从角的顶点向其对边作角平分线，将角平分为两个相等的角，且角平分线上的任意一点到两侧边的距离相等。
5. 外接圆的添加方法：三角形三边的中垂线交于一点，则以该点为圆心，三角形三个顶点分别为圆上的三个点的圆称为三角形的外接圆。
6. 内切圆的添加方法：三角形三条边所在直线的交点为内心，以内心为圆心，作内切圆，该圆与三角形的三边相切。
7. 垂直平分线的添加方法：从线段的中点向垂直于该线段的方向作一条线段，则该线段垂直于原线段且平分其长度。
8. 外角平分线的添加方法：从三角形的一顶点作一条射线，使其不在所在直线内，将相邻两个角的外部划分成两个大小相等的角，则这条射线为该顶点所对的角的外角平分线。
9. 旁切圆的添加方法：以三角形的某一边为半径，在其外侧作一条与该边平行的直线，使其与另外两边所在直线相交，其交点则为旁切圆心。
10. 中位线的添加方法：连接三角形任意两个顶点，则连接这两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线，三角形三条中位线交于一点，即为三角形重心。
11. 等腰三角形的中线、高线和垂心重合。
12. 等边三角形的中线、高线、垂心和外心重合。
13. 直角三角形的垂心落在斜边上，且斜边上的高线与斜边垂直。
14. 任意三角形的外心到三个顶点的距离相等。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法要向一个全等三角形添加辅助线，只需在三角形内或外画直线，以切割或连接三角形的一些部分。
这些辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和属性。
接下来，我将介绍几种常见的方法来添加辅助线。
1.三角形中线：连接每个顶点与对边中点的线段。
这条线段将三角形划分为两个全等的三角形。
它们的边长相等，角度相等。
2.三角形的角平分线：从每个顶点作出形成该顶点角的两个邻边的角平分线。
这些角平分线会相交于三角形内部的一点，该点是三角形内角平分线的交点。
3.三角形的高线：从每个顶点作出与对边垂直相交的线段。
这些线段的交点将构成三角形的三条高线，它们的长度相等，且垂直于对边。
4.三角形的中线：从每个顶点作出与对边平行的线段。
这些线段的交点将构成三角形的三条中线，它们的长度相等，且平行于对边。
5.三角形的中心：连接三角形的三个顶点与重心的线段。
重心是三角形内部所有高线的交点。
三角形的重心被定义为三边中点的连线的交点，其坐标为三个顶点的坐标之和的1/3这些辅助线有助于我们更好地理解和分析全等三角形的特性和属性。
它们可以帮助我们推导出一些重要的结论和公式，还可以用于证明和解决三角形的相关问题。
例如，通过添加辅助线可以证明全等三角形的性质：全等三角形的对应边长相等，对应角度相等，对应角内的三角形也全等。
此外，辅助线还可以帮助我们解决一些基于全等三角形的问题。
比如，如果两个三角形的一对对应边长和一对对应角度都相等，我们可以利用辅助线来证明它们是全等三角形。
因此，通过添加辅助线，我们可以更好地理解和分析全等三角形的性质和问题。
在解决相关问题时，辅助线可以作为重要的工具来简化问题和得出正确的答案。
全等三角形中几种常见的辅助线添法
,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
连
线
A
C
D
构
连接AC
造
构造全等三角形
全
等
连线 构造全等
,AB与CD交于O,且AB=CD, AD=BC，OB=5cm,求OD的长.
连接BD
A
C
构造全等三角形
D
B
拓展题
3.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
已知一边和它的对角
找一角(AAS)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
目的:构造全等三角形或等腰三角形
适用情况:图中已经存在两个点—A和B
语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线
F
E
D
A
B
C
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点A
语言描述:连结AM和AN
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
1.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 A： D 1(AB AC ) 2
A
延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.
B
思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？
D E
倍 长 中 C线
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知） A ∴BD=CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证）
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
构造全等三角形添加辅助线的方法
构造全等三角形添加辅助线的方法构造全等三角形是初中数学中的一个重要内容，理解并掌握构造全等三角形的方法对同学们建立良好的几何直观和提高几何证明能力等方面有很大帮助。
添加辅助线是构造全等三角形的重要方法之一。
本文列举了10条关于构造全等三角形添加辅助线的方法，并详细描述了每一种方法的步骤和原理。
一、通过中位线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC和它的一条中位线AD；2、将角BAD和角ACD作为两个角，作一个新的三角形BAD，使它的对边和AC平行；3、证明三角形BAC和三角形BAD全等。
原理：两个平行线截一组平行于它们的直线形成的线段，具有相等的长度。
二、通过角平分线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE；2、将角EAB和角EAC作为两个角，分别连线得到三角形EAB和三角形EAC；3、证明三角形ABC和三角形EAB全等。
原理：在一个三角形中，一边上的角平分线将这条边分成两个相等的线段，同时将对角的两个角平分为两个相等的角。
三、通过三角形内角和不变构造全等三角形步骤：1、作出两个全等三角形ABC和DEF；2、在三角形ABC内部选取一个点M；3、以点M为中心，作一个半径等于EF的圆，在这个圆上分别找到两个点P、Q；4、连接点P、Q和点M，分别得到三角形AMP和BMQ；5、证明三角形AMP和三角形BMQ全等。
原理：三角形中角的和不变，即两个全等三角形中任意两个内角之和相等。
四、通过角平分线和垂线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE，垂直于BC；2、在AE上选取一点G，将角GAB和角GAC作为两个角，分别连线得到三角形GAB和三角形GAC；3、以点B为中心，作一个半径等于CG的圆，在这个圆上分别找到两个点M、N；4、连接MN和点B，分别得到三角形MBC和NBC；5、证明三角形GAB和三角形MBC全等。
原理：在一个三角形中，角平分线和垂线的交点将底边分成相等的线段，在垂线上的任意一点到底边的两个端点距离相等。
全等三角形中常见的辅助线添加方法
DCB全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例一．有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
例：如图：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。
分析：要证BE ＋CF ＞EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE ，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4， 可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF 移到同一个三角形中。
练习：如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例：如图：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EFEDFCBADCB A练习：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是BC 中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
分析：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
图3练习：1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.AB CD E2、已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。
四、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。
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全等三角形中常见辅助线的添加方法举例
一、连接构造法
1、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例：如图：AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：AB=CD 。
2、连接已知点，构造全等三角形。
例：如图：AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。
二、倍长中线法（线段互平分 得全等X 形） 有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例：如图：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
练习：（“希望杯”试题）已知，如图：
△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.
三、截长补短法
如图：E 在线段CD 上，EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA ，点F 在线段AB 上运动，AD=4cm ，BC=3cm ，且AD ∥BC ．
（1）你认为AE 和BE 有什么位置关系？并验证你的结论；
（2）当点F 运动到离点A 多少cm 时，△ADE 才能和△AFE 全等？为什么？
（3）在（2）的情况下，此时BF=BC 吗？为什么？并求出AB 的长．
练习：如图，AC ∥BD ，AE ，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA ，点E 在CD 上． 求证：AB=AC+BD ．
练习：如图：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。
求证：AB －AC ＞PB －PC 。
A
B
C
D
7
图1
2
3
4
四、角分线截相等垂两边
例：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC．求证：∠A+∠C=180º．
五、中垂线连两端
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC 的延长线于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=6，AC=4，求AE，BE的长．
六、有中点作平行（中点加平行得全等X形）
例：如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．
（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．例：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，
试比较BE+CF与EF的大小.
七、延长构造法(角分垂等腰呈)
有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。
求证：BD＝2CE。