浙江省杭州市西湖高级中学2017-2018学年高二5月考数学试题 Word版含解析

杭西高2018年5月考高二数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1.1.“”是“复数为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：为纯虚数且，则 a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要但不充分条件．考点：1．复数的概念；2．充分条件与必要条件．2.2.复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据，化简得复平面内坐标，即可判断所在象限。

【详解】化简得所以z在复平面内的坐标为所以点在第二象限所以选B【点睛】本题考查了复平面内对应点的象限，属于基础题。

3.3.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a7＋b7＝( )A. 18B. 29C. 47D. 76【答案】B【解析】【分析】根据所给例题，归纳出数据特征得到正确的解。

【详解】根据所给示例，得出后面的值等于前面两项的和所以，所以选B【点睛】本题考查了归纳推理的简单应用，属于基础题。

4.4.证明：，当时，中间式子等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：时中间式子的最后一项为，中间式子为考点：数学归纳法5.5.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A. a1a2a3…a9＝29B. a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C. a1a2a3…a9＝2×9D. a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【答案】D【解析】试题分析：因为等比数列中，而等差数列中有，所以在等差数列中的结论应为：，故选D.考点：类比推理.6.6.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】试题分析：由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B点评：本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．7.7.复数在复平面内所对应的点位于第四象限,则m的取值范围是( )A. (-1，6)B. (－∞，1)C. (4,6)D. (1，＋∞)【答案】C【解析】【分析】根据复平面内点所对应的象限，列出不等式组，解不等式组得m的取值范围。

【详解】因为复平面内复数z对应的坐标为点在第四象限，所以解方程组，得所以选C【点睛】本题考查了复平面内对应点的坐标，一元二次方程的解法，属于基础题。

8.8.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间(-3,-1)内单调递增；②当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；③函数y＝f(x)在区间内单调递增；④当时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ③【答案】D【解析】根据导函数在图像中的正负，判断函数的单调性，并判断是否存在极值。

【详解】根据导数图像，可知f(x)在区间(-3,2)内导函数小于0，所以函数f（x）单调递减，f(x)在区间(2, )内大于0，所以函数f（x）单调递增，所以①错误。

在时，函数单调递增；在时，函数单调递减，所以在x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，所以②错误。

在时，函数单调递增，所以③正确。

在时，函数单调递增；在时，函数单调递增，所以在x＝时，函数y＝f(x)没有极值，所以④错误。

综上，只有③正确，所以选D【点睛】本题考查了导数图像的简单应，根据导函数图像判断单调性和极值，属于基础题。

9.9.设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则= ( )A. B. 6 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可。

【详解】根据导数定义，所以选A【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题。

10.10.设函数f(x)＝xe x，则( )A. x＝1为f(x)的极大值点B. x＝1为f(x)的极小值点C. x＝－1为f(x)的极大值点D. x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D试题分析：因为，所以.令，得；又，得，函数是增函数；，得，函数是减函数；所以为的极小值点.故选D.考点：导数的运算；用导数求函数的极值点，判断单调性.视频二、填空题（每小题4分，共20分）11.11.设，，则的大小关系为．【答案】【解析】试题分析：考点：不等式性质12.12.复数(其中i为虚数单位)的虚部是________．【答案】【解析】【分析】根据复数除法计算原理，化简即可得到虚部。

【详解】根据导数除法运算，化简所以虚部为【点睛】本题考查了复数的除法运算和简单的概念，属于简单题。

13.13.若函数在x＝1处取极值，则a＝________.【答案】【解析】【分析】对函数求导，得到导函数，根据极值存在定理即可求得a的值。

【详解】根据导数极值存在定理，，代入化简得【点睛】本题考查了导数的基本运算，根据极值求参数的简单应用，属于基础题。

14.14.已知f(x)＝sin x＋cos x，则f′()＝________．【答案】【解析】【分析】对函数求导，代入即可求得值。

【详解】对函数求导得所以【点睛】本题考查了三角函数的简单求导和求值，属于基础题。

15.15.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】对函数求导，根据函数单调得到，进而求得m的取值范围。

【详解】对函数求导得，因为函数在R上单调所以解得【点睛】本题考查了导数与单调性的关系，利用导数判断函数的单调性，属于基础题。

三、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.16.已知函数（1）求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;（2）求经过点A（1,3）的曲线的切线方程.【答案】(1)2x-y+1=0(2)x-y+2=0或2x-y+1=0【解析】试题分析：（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）设切点坐标为，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点的切线方程，将代入切线方程可求得的值，从而可得结果.试题解析：（1）函数f（x）=x3﹣x2+x+2的导数为f′（x）=3x2﹣2x+1，可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3﹣2+1=2，切点为（1，3），即有曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即为2x﹣y+1=0；（2）设切点为（m，n），可得n=m3﹣m2+m+2，由f（x）的导数f′（x）=3x2﹣2x+1，可得切线的斜率为3m2﹣2m+1，切线的方程为y﹣（m3﹣m2+m+2）=（3m2﹣2m+1）（x﹣m），由切线经过点（1，3），可得3﹣（m3﹣m2+m+2）=（3m2﹣2m+1）（1﹣m），化为m（m﹣1）2=0，解得m=0或1．则切线的方程为y﹣2=x或y﹣3=2（x﹣1），即为y=x+2或y=2x+1．【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.17.17.用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋n n<(n＋1)n.【答案】见解析【解析】【分析】根据数学归纳法证明步骤，逐步证明即可。

【详解】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k<(k＋1)k；那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k ＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意n∈N*都成立．【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明不等式的简单应用，关键是注意书写格式，属于基础题。

18.18.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，都有，求的取值范围.【答案】（1）在和上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】试题分析：（1）先求导，根据可得的值。

将的值代入导数解析式并将导数变形分解因式，讨论导数的正负，导数大于0得增区间，导数小于0得减区间。

（2）将变形为（注意所以不等式两边同除以时不等号应改变）。

设.将问题转化为时恒成立问题，即。

将函数求导，分析讨论导数的正负，从而判断函数的单调性，根据单调性求其最值。

解：（1）因为， 1分因为，所以. 2分所以.令，解得. 3分随着的变化，和的变化情况如下：即在和上单调递减，在上单调递增. 6分（2）因为对于任意的，都有，即，所以. 8分设.因为， 9分又因为，所以. 10分所以.所以在上单调递增. 11分所以. 12分即. 13分考点：用导数研究函数的单调性及其最值问题。

19.19.分别是复数在复平面内对应的点，是原点，若，则一定是A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】因为，所以 ,因此，即一定是直角三角形，选C.20.20.已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )A. 0B. 1C.D. 3【答案】D【解析】【分析】根据导数定义，求得的值；根据点在切线方程上，求得的值，进而求得的值。

【详解】点M(1,f(1))在切线上，所以根据导数几何意义，所以所以所以选D【点睛】本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题。

21.21.设函数，f（2）=_______，若f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是________。

【答案】 (1). 0 (2).【解析】【分析】根据分段函数定义域，求得利用换元法，求得参数t的取值范围；再代入函数解析式，求得x的解集。