江苏省南通市通州区2019-2020学年高二下学期期中学业质量监测数学答案
江苏省南通中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷(含答案和解析)
江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限、2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点3.若函数xx x f 1)(2+=,则()=-'1f （）3A.-1B.1C.-3D.4.已知*∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（）79100 A.nA -80100 B.nA -nnA --21100 C.nA -21100D.5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内极小值点个数为()1 A.2 B.3 C.4D.28515 A.C C 28915 B.C C 285390 C.C C -385390 D.C C -7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为()41A.31B.32C.43D.8.若函数bx x x x f -+=221ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)(2, A.+∞,2)2( B.-),2()2,( C.+∞⋃--∞)2,0( D.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（）A.6B.7C.8D.910.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2B.z 的虚部是i2 C.iz 21-= D.5=z 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为61 B.2个球不都是红球的概率为31C.至少有1个红球的概率为32D.2个球中恰有1个红球的概率为216.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）A.()()2112x f x x f x <B.()()2211x f x x f x +<+C.()()02121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()1222112x f x x f x x f x <+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为_______.14.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为．15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．16.已知函数2(2)2,1,(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．18.已知二项式(2()n x n N+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）计算式子061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．19.已知函数32()2(,)f x x ax bx a b R =+++∈的图象在点(1M ，f （1）)处的切线方程为1230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[2-，4]的最值．21.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知，是单位向量，且⊥，则•（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．使式子有意义的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．[﹣2，3]D．（2，3]4．已知角α的终边为，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．设集合，则A∩B中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．36．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）A．B．C．D．7．已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为（）A．3πB．4πC．6πD．8π8．设直线l过点P（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.810．设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab有最大值B．有最大值C．a2+b2有最小值D．a2﹣b2有最小值11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为12．某同学在研究函数f（x）＝+|x﹣1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，（1，+∞）上单调递增B．函数f（x）的最小值为，没有最大值C．存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x＝t对称D．方程f（x）＝2的实根个数为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间中，已知直线l，两个不同的平面α，β，下列三个条件中，一定能推出“α∥β”的条件序号是．①l∥α，l∥β；②l⊥α，l⊥β；③l⊥α，l∥β14．圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有条．15．函数的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为．16．某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶（如图），已知该垃圾桶由上、下两部分组成（上部为多面体，下部为长方体，高度比为1：2），垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该垃圾桶下部长方体的容积为，该垃圾桶的顶部面积（最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和）为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①sin A＝ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＝，____，____，求△ABC的面积．18．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如图：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．19．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：气温x（℃）272930323335数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y关于x的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计为＝，a＝﹣．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝PD，点M为AD中点，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）用一个平面去截四棱锥P﹣ABCD，请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平行四边形截面的个数．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线上，且圆心的横坐标为整数，圆C被x轴截得的弦长为8，点M（7，7）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），与圆C相交于点A，B．问：直线OA，OB是否关于x轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由．22．已知函数f（x）＝，其中a＞0．（1）若f（f（0））＝1，求a的值；（2）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知，是单位向量，且⊥，则•（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】由已知结合向量的数量积的性质即可求解．解：∵，是单位向量，且⊥，∴＝0，•（﹣）＝＝﹣1．故选：A．2．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】利用正弦定理把已知比例中的角的正弦化成边，分别设出三边的长，利用余弦定理求得答案．解：由正弦定理知＝2R，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵sin A：sin B：sin C＝3：5：7，∴a：b：c＝3：5：7，设a＝3t，b＝5t，c＝7t，∴cos C＝＝＝﹣，∵0°＜C＜180°，∴C＝120°．故选：C．3．使式子有意义的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．[﹣2，3]D．（2，3]【分析】由题意可得，，解不等式即可求解．解：由题意可得，，解可得2＜x＜3．故选：B．4．已知角α的终边为，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．解：∵角α的终边落在射线y＝x（x≥0）上，∴tanα＝，可得cosα＝，又∵sin2α+cos2α＝sin2α+（）2＝1，解得sinα＝，则＝﹣sinα＝﹣．故选：D．5．设集合，则A∩B中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】列方程组，求出A∩B，由此能求出A∩B中的元素的个数．解：∵集合，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（﹣1，0），（0，1），（1，0）}．∴A∩B中的元素个数为3．故选：D．6．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝23＝8，该重卦恰含2个阳爻包含的基本事件个数m＝，由此能求出该重卦恰含2个阳爻的概率．解：每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，后3个爻随机产生，基本事件总数n＝23＝8，该重卦恰含2个阳爻包含的基本事件个数m＝，则该重卦恰含2个阳爻的概率为P＝．故选：B．7．已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【分析】由题意可得当OP垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，先球的表面积求出球的帮忙，再由r2＝R2﹣OP2求出截面的半径r2，进而求出截面的最小面积．解：设球的半径为R，截面面积最小的半径为r，由题意可得r2≥R2﹣OP2所以当OP垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，由题意可得4πR2＝16，所以R2＝4，由r2＝R2﹣OP2＝4﹣1＝3，所以截面的面积的最小值为S＝πr2＝3π，故选：A．8．设直线l过点P（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分两种情况考虑：当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y＝kx，当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设，由题意可得|a|＝|b|且，可求．解：当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y＝kx，因为直线过P（2，1），则1＝2k即k＝，此时直线方程为y＝，当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设，由题意可得|a|＝|b|且，解可得，a＝b＝3或b＝1，a＝﹣1，综上可得，满足条件的直线有3条．故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.8【分析】先将原数据按照从小到大的顺序进行排列，再根据中位数、众数、平均数和方差的计算方法逐一求解即可．解：将原数据按从小到大的顺序进行排列：2，3，3，4，6，6，8，8，所以中位数为，众数为3，6，8，平均数为＝5，方差为×[（2﹣5）2+（3﹣5）2×2+（4﹣5）2+（6﹣5）2×2+（8﹣5）2×2]＝4.75．故选：BC．10．设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab有最大值B．有最大值C．a2+b2有最小值D．a2﹣b2有最小值【分析】由已知结合基本不等式及二次函数的性质分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝1，由基本不等式可得1＝a+2b，解可得，ab，当且仅当a＝2b＝即a＝，b＝时取等号，故A正确；∵（）2＝×2＝1+2≤2，∴，即最大值，故B正确；∵，∴，结合二次函数的性质可知，a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，故C正确；因为，结合二次函数的性质可得，a2﹣b2＝（1﹣2b）2﹣b2＝3b2﹣4b+1＞，故D错误．故选：ABC．11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判定A；由正方体的结构特征及直线与平面垂直的性质判断B；求出二面角D1﹣BC﹣B1的大小判断C；分别求出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球与外接球的半径，作差判断D．解：如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BB1C1C，则D1C1⊥B1C，又B1C⊥BC1，D1C1∩BC1＝C1，∴B1C⊥平面BC1D1，则B1C⊥BD1，即异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°，故A正确；∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥DB，DD1⊥DC，再由BC⊥平面DD1C1C，可得BC⊥DC，BC⊥D1C，得四面体D1DBC的每个面都是直角三角形，故B正确；由BC⊥平面DD1C1C，可得BC⊥D1C，BC⊥CC1，即∠D1CC1为二面角D1﹣BC﹣B1的平面角，大小为45°，故C错误；正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的半径为，外接球的半径为，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为，故D正确．故选：ABD．12．某同学在研究函数f（x）＝+|x﹣1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，（1，+∞）上单调递增B．函数f（x）的最小值为，没有最大值C．存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x＝t对称D．方程f（x）＝2的实根个数为2【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化判断A；求出最小值，分析无最大值判断B；由对称性的定义判断C；由单调性与函数值的关系判断D．解：f（x））＝可理解为动点P（x，0）到两个定定点A（0，1），B（1，0）的距离和．如图：当x＜0时，随着x的增大，P越靠近原点O，PA越小，PB越小，则PA+PB越小，即f（x）越小，函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，当x＞1时，随着x的增大，P越远离点B，PA越大，PB越大，则PA+PB越大，即f （x）越大，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，故A正确；当P与B重合时，PA+PB最小为，P越向左远离O或向右远离B，PA+PB越大，无最大值，即函数f（x）的最小值为，没有最大值，故B正确；当P与B重合时，PA+PB最小为，若函数f（x）有对称轴，则对称轴方程为x＝1，而f（0）＝2，f（2）＝，f（0）≠f（2），则x＝1不是对称轴，∴存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x ＝t对称错误，故C错误；∵当P与O重合时，f（x）＝2，当x＜0时，f（x）＞2，当0＜x＜1时，f（x）∈（，2），当x＞1时，f（x）＞．由f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴有一个x0＞，使得f（x）＝2，则方程f（x）＝2的实根个数为2，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间中，已知直线l，两个不同的平面α，β，下列三个条件中，一定能推出“α∥β”的条件序号是②．①l∥α，l∥β；②l⊥α，l⊥β；③l⊥α，l∥β【分析】对于①，α与β相交或平行；对于②，由面面平行的判定定理得α∥β；对于③，α与β相交或平行．解：由直线l，两个不同的平面α，β，知：对于①，l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故①错误；对于②，l⊥α，l⊥β，由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；对于③，l⊥α，l∥β，则α与β相交或平行，故③错误．故答案为：②．14．圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有4条．【分析】根据题意，分析两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系分析可得两圆相离，据此分析可得答案．解：圆C1：x2+（y﹣1）2＝4，圆心C1（0，1），半径为2，圆C2：（x﹣3）2+y2＝4，圆心C2（3，0），半径为1，两圆的圆心距为＞2+1＝3，正好大于两圆的半径之和，故两圆相离，故两圆的公切线有4条，故答案为：4．15．函数的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为2．【分析】由题意利用点到直线的距离公式、基本不等式，求得结果．解：设函数的图象上一点A（a，a﹣），则A到坐标原点的距离的平方的为a2+＝2a2+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当a2＝时，取等号，故答案为：2﹣2．16．某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶（如图），已知该垃圾桶由上、下两部分组成（上部为多面体，下部为长方体，高度比为1：2），垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该垃圾桶下部长方体的容积为12a3，该垃圾桶的顶部面积（最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和）为a2．【分析】由正六边形的边长求出下部长方体的底面边长及高，再求出上面正方形的对角线长，得到正方形的边长，然后利用长方体体积公式及正方形与三角形的面积公式求解．解：如图，由正六边形边长为a，可得AD＝，则AC＝，OB＝a．由题意，下部长方体的底面为边长是a的正方形，高为4a，∴下部长方体的体积为；最上面正方形的对角线长为，则正方形边长为．∴每一个小三角形是等腰三角形，底边长为，腰长为a，则一个小三角形的面积为＝．∴垃圾桶的顶部面积为＝．故答案为：12a3；．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①sin A＝ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＝，____，____，求△ABC的面积．【分析】选①②，由已知结合正弦定理可得a，b关系，然后结合余弦定理即可求解；选①③结合已知及正弦定理进行化简即可判断；选②③，由余弦定理可得cos C＝﹣，结合范围0＜C＜π，可求C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，在△ABC中，由正弦定理可得b的值，可得a2+a ﹣4＝0，解方程可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：选①②由sin A＝sin B，结合正弦定理可得a＝，因为c＝，cos B＝＝＝，解可得，b＝1或b＝5，此时三角形的解不唯一，选①③由sin A＝sin B，结合正弦定理可得a＝，因为a2+b2+c2＝﹣ab，联立此时a，b不存在，选②③，在△ABC中，由余弦定理可得cos C＝，因为a2+b2+c2＝﹣ab，①所以cos C＝﹣，又0＜C＜π，可得C＝，因为sin2B+cos2B＝1，cos B＝，由于0＜B＜π，所以sin B＝，在△ABC中，由正弦定理，可得b＝＝＝1，又c＝，代入①中，可得a2+a﹣4＝0，解得a＝（负值舍去），于是△ABC存在且唯一，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．18．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如图：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．【分析】（1）利用分层抽样能估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数．（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为22人，样本总数为50，由此能求出样本中阅读时间在60分钟以上的频率．（3）样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在60～75分钟的共有3人，记为a1，a2，a3，另一类是阅读时间在75～90分钟的共有2人，记为b1，b2，从这5人中任选2人，利用列举法能求出至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．解：（1）∵以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样，∴该校高二年级选修物理的人数约为：（6+9+9+3+2+1）×10＝300（人），∴该校高二年级选修历史的人数约为：500﹣300＝200（人）．（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为：（3+2+1）+（9+6+1）＝22（人），∵样本总数为：10%×500＝50，∴样本中阅读时间在60分钟以上的频率为：．（3）样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在60～75分钟的共有3人，记为a1，a2，a3，另一类是阅读时间在75～90分钟的共有2人，记为b1，b2，从这5人中任选2人，共有10种等可能基本事件，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），记事件A为：“至少有1人阅读时间在75～90之间”，则事件为：“2人阅读都在60～75之间”，且包含3个基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），∴至少有1人阅读时间在75～90之间的概率为：P＝1﹣P（）＝1﹣．19．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：气温x（℃）272930323335数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y关于x的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计为＝，a＝﹣．【分析】（1）根据题意画出散点图，计算、，求出回归系数、，写出回归方程；（2）计算x＝36.6时的值，即可预测这天小卖部卖出的冷饮数量．解：（1）根据题意画出散点图，如图所示；根据销量与气温对照表知，＝×（27+29+30+32+33+35）＝31，＝×（12+15+20+27+28+36）＝23；所以＝＝＝＝，＝﹣＝23﹣×31＝﹣；所以y关于x的线性回归方程是＝x﹣，（2）计算x＝36.6时，＝×36.6﹣＝40.2≈40，所以当气温为36.6℃时，可预测这天小卖部卖出的冷饮数量为40．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝PD，点M为AD中点，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）用一个平面去截四棱锥P﹣ABCD，请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平行四边形截面的个数．【分析】（1）推导出BC∥MD，BC＝MD，四边形BCDM是平行四边形，从而BM∥CD，由此能证明BM∥平面PCD．（2）连结PM，推导出PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，四棱锥P﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD ＝．（3）取PD、PA的中点E，F，连结CE，EF，FB，则截面BCEF是平行四边形截面，作出的平行四边形截面的个数是无数个．解：（1）证明：∵AD∥BC，BC＝1，AD＝2，点M为AD的中点，∴BC∥MD，BC＝MD，∴四边形BCDM是平行四边形，∴BM∥CD，∵BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD．（2）解：连结PM，∵PA＝PD，M为AD的中点，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABC，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，∴PM⊥平面ABCD，∴直线PB与平面ABCD所成角为∠PBM，且tan∠PBM＝＝，∵∠BAD＝90°，AB＝AM＝1，∴BM＝，PM＝1，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V P﹣ABCD＝＝．（3）解：取PD、PA的中点E，F，连结CE，EF，FB，则截面BCEF是平行四边形截面，作出的平行四边形截面的个数是无数个．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线上，且圆心的横坐标为整数，圆C被x轴截得的弦长为8，点M（7，7）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），与圆C相交于点A，B．问：直线OA，OB是否关于x轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由．【分析】（1）设圆C的标准方程，可得圆心坐标，由题意可得a，b的关系，再求出在x轴的弦长，由题意可得a，b，r的关系，再由点M在圆上，可得a，b，r的关系，由a为整数可得a，b，r的值，进而求出圆C的方程；（2）由题意可得直线l的方程，将直线l与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线OA，OB的斜率之和，代入整理可得斜率之和为0，可得直线OA，OB关于x轴对称．解：（1）设圆C的的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），则圆心（a，b）在直线y＝x，且圆心的横坐标为整数，所以b＝a，①在方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2中，令y＝0，则x＝a±，则圆C被x轴截得的弦长为2＝4，即r2﹣b2＝16 ②又M在圆C上，所以（7﹣a）2+（7﹣b）2＝r2，③由①②③可得2a2﹣49a+164＝0，所以a＝4或a＝（舍），所以b＝3，r2＝25，所以圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；（2）因为直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），所以直线l的方程为：y＝x+t，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立直线l与圆的方程，整理可得：x2+（﹣16）x+t2﹣6t＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，从而k OA+k OB＝+＝＝＝＝+＝+t•＝0，所以∠AOx＝∠BOx，即直线OA，OB关于x轴对称．22．已知函数f（x）＝，其中a＞0．（1）若f（f（0））＝1，求a的值；（2）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求a的取值范围．【分析】（1）由已知分段函数求得f（0）＝1，再对a分类利用f（f（0））＝1求a的值；（2）函数f（x）的图象在x轴的上方，即对任意x∈R，f（x）＞0成立，分x＜与x≥求解函数的最小值，由最小值大于0求解a的范围．解：（1）∵a＞0，∴＞0，从而f（0）＝1．当＞1，即0＜a＜2时，f（f（0））＝f（1）＝1﹣a+1＝1，解得a＝1符合；当≤1，即a≥2时，f（f（0））＝f（1）＝1+a﹣3＝1，解得a＝3符合．∴a的值为1或3；（2）∵函数f（x）的图象在x轴的上方，∴对任意x∈R，f（x）＞0成立．①当x＜时，x2﹣ax+1＞0恒成立，其中a＞0．若＜，即0＜a＜2，则＞0，解得0＜a＜2；若≥，即a≥2，则，解得0＜a≤2，∴a＝2．∴0＜a≤2；②当x≥时，x2+ax﹣3＞0恒成立，其中a＞0．则＞0，解得0＜a＜2．综上，0＜a＜2，∴a的取值范围为（0，2）．。
江苏省南通市通州区2019-2020学年高二下学期期中调研数学试题(含答案)
13． C22 + C32 + C42 + C52 + C62 ＝
．
14．规定
A
m x
=
x(x
− 1)L ( x
−
m +1)
，其中
x∈R，m∈ N∗ ，且 A0x
= 1 ，这是排列数 Amn（n，
m∈ N∗ ，且 m≤n）的一种推广．则 A3 3+1 ＝
2
，则函数 f (x) = A3x 的单调减区间
x
x
A．a＝1 B．展开式中常数项为 160 C．展开式系数的绝对值的和 1458
D．若 r 为偶数，则展开式中 xr 和 xr−1 的系数相等
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．其中第 14 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空，每空 5 分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
测
数学试卷 2020.5.18
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．在复平面内，复数 z = −1+ 2i （i 为虚数单位）对应的点所在象限是
A．一
B．二
C．三
D．四
2．已知回归直线方程中斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为
为了分析竞赛成绩与性别是否有关现随机抽取了60名学生的成绩进行分析数据如下图所示的22列联表补充完整判断是否有90的把握认为学生按成绩分组与性别有2如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人再从这6人中随机抽取2求至少有1人在甲组的概率
江苏省南通市通州区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
2023~2024学年（下）初二期中学业水平质量监测数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 已知中，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题重点考查平行四边形的性质．由平行四边形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，故选：A ．2. 下列各点在函数图象上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．【详解】解：A 、当时，，点不在函数图象上；B 、当时，，ABCD Y 60A ∠=︒C ∠60︒80︒100︒120︒C A ∠=∠60A ∠=︒60C ∠=︒ ABCD C A ∴∠=∠60A ∠=︒ 60C ∴∠=︒21y x =-()0,1()1,1-()1,3--()2,50x =2011y =⨯-=-∴()0,121y x =-1x =2111y =⨯-=点不在函数图象上；C 、当时，，点在函数图象上；D 、当时，，点不在函数图象上；故选：C ．3. 如图，，分别是，的中点，测得，则池塘两端，的距离为（ ）A. 45mB. 30mC. 22.5mD. 7.5m【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形中位线等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：，分别是，的中点，是的中位线，，故选：B ．4. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】通过经过的象限判断比例系数k 的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限，∴，∴的值可为2，故选：D．∴()1,1-21y x =-=1x -2(1)13y =⨯--=-∴()1,3--21y x =-2x =2213y =⨯-=∴()2,521y x =-D E AC BC 15m DE =A B D E AC BC DE ∴ABC 221530(m)AB DE ∴==⨯=y kx =k 0k ≠k 2-1-12-y kx =k 0k ≠0k >k【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，符合题意；C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6. 如图，四边形中，E ，F ，G ，H 分别是，，，的中点．若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，，，再根据菱形的判定定理解答即可．【详解】解：，，，分别是，，，的中点，、、、分别为、、、的中位线，ABCD Y AC BD O AC BD=OA OC =AC BD ⊥ADC BCD∠=∠ABCD AC BD O AC BD =OA OC =AC BD ⊥ADC BCD ∠=∠ABCD AD BC BD AC EGFH ABCD AB DC=AB DC ⊥AC BD =AC BD ⊥12EG AB =12FH AB =12FG CD =12EH CD =E F G H AD BC BD AC EG ∴GF FH EH ABD △BCD △ABC ACD，，，，，，四边形为平行四边形，当时，，平行四边形为菱形，故选：A ．7. “漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度．不考虑水量变化对压力的影响，下列图象最适合表示y 与x 对应关系的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象．根据题意，可知随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．【详解】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，随的增大而减小，符合一次函数图象，故选：D ．8. 两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，与交于点G ，与交于点H ．若，，则四边形的面积为（）12EG AB ∴=12FH AB =12FG CD =12EH CD =EG FH ∴=F G E H =∴EGFH AB CD =EG FG =EGFH y x x y y ∴x ABCD AECF AB AF =AE BC =AE BC AD CF 30AGB ∠=︒2AB =AGCHA. 4B. C. 8 D. 16【答案】C【解析】【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键．证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解．【详解】解：∵两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，∴，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．四边形的面积．故选：C ．9. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，的长为（ ）AGCH AGCH AG ABCD AECF AB AF =AE BC =30AGB ∠=︒AD BC ∥FC AE ∥90B F ∠=∠=︒30HAG AGB ∴∠=∠=︒30FHA HAG ∠=∠=︒2AG AB ∴=2AH AF=2AB = 4AG AH ∴==AG HC ∥AH GC∥∴AGCH AG AH =∴AGCH ∴AGCH 248AB AH =⋅=⨯=ABCD Y B BA BC F G F G 12FG H BH AD E CE CE AD ⊥3AD =BE =ABA. 1.5B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、勾股定理．由作图过程可知，为的平分线，则，再结合平行四边形的性质可得．在中，由勾股定理得，．设，则，，在中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得出答案．【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，，四边形为平行四边形，，，，，，．在中，由勾股定理得，．设，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得，的长为2．故选：C ．10. 对于一次函数，其自变量和函数的两组对应值如表所示，则的值为（ ）x4kBE ABC ∠ABE CBE ∠=∠AB AE=Rt BCECE ==AB x =CD AE x ==3DE x =-Rt CDE △222CD CE DE =+x BE ABC ∠ABE CBE ∴∠=∠ ABCD AB CD ∴=3AD BC ==AD BC ∥AEB CBE ∴∠=∠ABE AEB ∴∠=∠AB AE =∴Rt BCECE ===AB x =CD AE x ==3DE x =-Rt CDE △222CD CE DE =+()2223x x =+-2x =AB ∴y kx b =+b c -y c A. B. C. 2 D. 7【答案】A【解析】分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法得到，据此求出，进而可得．【详解】解：由题意得，，∴，即，∴，∴，∴，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11. 函数中，自变量的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x -3≥0，解得：x ≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12. 若正比例函数的图象经过点，则______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．将点代入函数解析式即可求得．【4c -8-2-244k b c k b c +=⎧⎨+=-⎩2k =8b c -=-244k b c k b c +=⎧⎨+=-⎩2440k k -+=()220k -=2k =8b c +=8bc -=-y =x 3x ≥y kx =()1,2-k =2-()1,2-【详解】解：点代入函数解析式得：，即，故答案为：．13. 如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A 的坐标是，则菱形的周长为______．【答案】40【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理等知识．于点D ，根据勾股定理求出，根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，作于点D ，∵点A 的坐标是，∴，∴菱形的周长为40．故答案为：4014. 将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．【详解】解：函数的图象向下平移2个单位长度为，()1,2-y kx =2k -=2k =-2-xOy AOBC ()6,8AD OB ⊥10OA =AD OB ⊥()6,810OA ===AOBC 23y x =+21y x =+23y x =+23221y x x =+-=+故答案为：．15. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________．【答案】【解析】【分析】设图象交点的纵坐标是m ，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：设图象交点的纵坐标是m ，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．∴，解得，经检验是方程的根且符合题意，∴两图象交点的纵坐标是．故答案为：【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．16. 如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______．【答案】21y x =+s t P 250P 35P 3510035m m -=250m =250m =P 250250Rt ABC △90ACB ∠=︒67.5B ∠=︒8AB =CD AB ⊥D E AB DE【解析】【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出．【详解】解：在中，，，则，在中，，，是斜边的中点，则，，，，，，故答案：17. 如图，直线分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，C 是线段上一点，，则点C 的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，熟练掌握一线三垂直证明全等是解答本题的关键．首先得，，作，交直线于点，作，垂足为点，利用证明得到，，设，则，，将点为A ∠142CE AB AE ===22.5ECA A ∠=∠=︒45BEC ∠=︒DE Rt ABC △90ACB ∠=︒67.5B ∠=︒9067.522.5A ∠=︒-︒=︒Rt ABC △90ACB ∠=︒8AB =E AB 142CE AB AE ===22.5ECA A ∴∠=∠=︒45BEC A ECA ∴∠=∠+∠=︒CD AB ⊥ 90CDE \Ð=°DE ∴==122y x =+OA =45ABC ∠︒2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,2)B (4,0)A -CD BC ⊥AB D DE x ⊥E AAS CDE BCO △≌△DE CO =CE OB =(,0)C m -(2,0)E m --(2,)D m m --代入直线解析式解出值即可．【详解】解：如图，作，交直线于点，作，垂足点，，，，，，，直线解析式为直线，，，设则，，点在直线的图象上，解得：，．故答案为：．18. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为______．为D m CD BC ⊥AB D DE x ⊥E 45ABC ∠=︒ CD CB ∴=90DEC BCO DCE CBOCD CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=⎨⎪=⎩(AAS)CDE BCO ∴ ≌DE CO ∴=CE OB = AB 122y x =+(0,2)B ∴(4,0)A -(,0)C m -(2,0)E m --(2,)D m m -- (2,)D m m --122y x =+1(2)22m m ∴=--+23m =2(3C ∴-0)2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD 2AB =3BC =E F AD BC AE CF =B EF H BH【解析】【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质．由矩形的性质推出，，，，由推出，得到，由勾股定理求出，得到，又，即可得到线段长的最大值为．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，线段．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 已知y 是x 的一次函数，且当时，；当时，．AD BC =2DC AB ==AD BC ∥90DBC ∠=︒ASA ODE OBF △≌△OB OD =BD ==12OB BD ==BH OB ≤BH ABCD AD BC ∴=2DC AB ==AD BC ∥90DBC ∠=︒ODE OBF ∴∠=∠OED OFB ∠=∠AE CF = AD AE BC CF ∴-=-DE BF ∴=()ASA ODE OBF ∴≌ OB OD ∴=BD === 12OB BD ∴==BH OB ≤ ∴BH 2x =4y ==1x -1y =（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点在该一次函数的图象上，求a 的值．【答案】（1）该一次函数的解析式为（2）【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征；（1）设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可；（2）把代入（1）中的解析式得到的方程，然后解方程即可．【小问1详解】解：设该一次函数的解析式为，分别把代入得：解得：所以，该一次函数的解析式为．【小问2详解】把代入，得：，解得：a 的值：20. 如图，在中，E 是上一点，，点F 在上，．求证：．【答案】见解析【解析】(),1a a -2y x =+12a =-()0y kx b k =+≠k b 、(),1a a -a ()0y kx b k =+≠2,4;1,1x y x y ===-=y kx b =+241k b k b +=⎧⎨-+=⎩12,k b =⎧⎨=⎩2y x =+(),1a a -2y x =+12a a -=+12a =-12a =-ABCD Y BC DE DA =DE DAF EDC ∠=∠DF EC =【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．先根据平行四边形的定义得到，再证明，即可证明．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，又∵，，，．21. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线l 经过点A ，交y 轴于点．（1）求m 的值和直线l 的函数表达式；（2）若点在直线l 上，点在直线上．若，求t 的取值范围．【答案】（1），直线的解析式为（2）【解析】【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先将代入，代入得到，，然后根据求解即可．【小问1详解】把点代入得：，设直线的解析式为，把和分别代入ADF DEC ∠=∠ADF DEC △≌△DF EC = ABCD AD BC ∴∥ADF DEC ∴∠=∠DE AD =DAF EDC ∠=∠ADF DEC ∴ ≌DF EC ∴=()2,A m -22y x =--()0,4B ()1,P t y ()2,Q t y 22y x =--120y y -<2m =AB 4y x =+2t <-()1,t y 4y x =+()2,t y 22y x =--14y t =+222y t =--120y y -<()2,A m -22y x =--()2222m =-⨯--=AB y kx b =+()2,2-()0,4y kx b=+得：解得：所以，直线的解析式为．【小问2详解】把代入，代入，得：，因为，所以，解得．22. 如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）的长为【解析】【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．（1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；（2）根据矩形的性质和菱形的性质，以及勾股定理即可得到结论．【小问1详解】证明：在菱形中，，，224k b b -+=⎧⎨=⎩14k b =⎧⎨=⎩AB 4y x =+()1,t y 4y x =+()2,t y 22y x =--14y t =+222y t =--120y y -<()()4220t t +---<2t <-ABCD A AE BC ⊥E BC F CF BE =DF AEFD 6BF =3DF =AD AD 154CF BE =EF BC =EF AD =AD BC ∥AEFD AE BC ⊥AEFD ABCD AD BC ∥AD BC CD AB ===，，，，∵，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形；【小问2详解】解：设，，，，，解得，．23. 如图，有两个全等的直角三角形，直角边长分别为2和4，我们知道，用这样的两个直角三角形可以拼成平行四边形．（1）请画出所有可能拼成的平行四边形：（要求：用直尺画图，并在图上标出平行四边形每一条边的长度．）（2）在所有拼成的平行四边形中，求最长对角线的长度．【答案】（1）共有3种拼法，画图见解析（2）（1）中图（3）中一条对角线最长，长度为【解析】【分析】本题考查图形的剪拼，涉及矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形性质，作辅助线构造直角三角的CF BE = CF EC BE EC ∴+=+EF BC ∴=EF AD ∴=AD BC ∥∴AEFD AE BC ⊥ ∴AEFD AD BC EF CD x ====6CF BE BF EF x ∴==-=-90F ∠=︒ 222CD CF DF ∴=+222(6)3x x ∴=-+154x =154AD ∴=形求解是解答的关键．（1）根据平行四边形的性质求解即可；（2）分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理求解即可．【小问1详解】共有3种拼法，如下图：【小问2详解】如图①所示：其对角线长；如图②所示：∴∴∴如图③所示：∴∴∴．∴图③中的一条对角线最长，长度为．24. 家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A ，B 两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案：A 厂家：一律打8折出售；B 厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折．该家电超市计划购买充电器x 个，设去A 厂家购买应付元，去B 厂家购买应付元．AB ==4CD ==122OD CD ==OA ==2AB OA ==2C D ==112OD CD ==OB ==2AB OB ==1y 2y（1）分别求出、与x 之间的函数关系；（2）若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？【答案】（1），（2）当时，厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在厂家购买划算【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键．（1）根据“去厂家购买应付款进价折扣购买数量”求出与之间的函数关系；分别求出当且为整数时、当且为整数时与之间的函数关系即可；（2）根据不同的取值范围，分别求出当、、时对应的的取值范围即可．【小问1详解】解：根据题意，得且为整数）；当且为整数时，；当且为整数时，；综上，，与之间的函数关系为，与之间的函数关系为．【小问2详解】解：当且为整数时：；当且为整数时：若，得，解得；若，得，解得；若，得，解得；综上，当时，；当时，；当时，．在1y 2y ()1400y x x =≥()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩060x <<A 60x =60x >B A =⨯⨯1y x 020x ≤≤x 20x >x 2y x x 12y y <12y y =12y y >x 10.85040(0y x x x =⨯=≥x 020x ≤≤x 250y x =20x >x 250200.750(20)35300y x x =⨯+⨯-=+()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩1y ∴x ()1400y x x =≥2y x ()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩020x ≤≤x 12y y <20x >x 12y y <4035300x x <+60x <12y y =4035300x x =+60x =12y y >4035300x x >+60x >060x ≤<12y y <60x =12y y =60x >12y y >当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算．25. 已知四边形是正方形，点E 是射线上一点，连接，点D 关于直线的对称点为M ，射线与直线相交于点G ．（1）若点M 在对角线上，则 度；（2）如图，若E 是的中点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（3）若点E 在边的延长线上，，求的长．【答案】（1）（2），证明见解析（3）【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质和判定：（1）根据正方形的性质以及对称的性质得到结果；（2）先作辅助线，根据正方形的性质以及中点得到角度和边长之间的关系，证明出两个三角形全等，得到对应边以及对应角，再根据边长之间的关系可得到结果；（3）先作辅助线，根据勾股定理得到，然后根据对称性以及正方形的特点证明出，即可得到结果；作出正确的辅助线是解题的关键．【小问1详解】解：若点M 在对角线上，如图所示：，此时，∵点D 关于直线的对称点为M，∴060x ≤<A 60x =A B 60x >B ABCD DC AE AE AM BC AC DAE ∠=CD AG AD CG DC 4,3AD BG ==DE 22.5AG AD CG =+8DE =5AG =ABN ECN △≌△AC 45DAC ∠=︒AE∴，故答案为：；【小问2详解】解：，证明如下：延长交的延长线于点，如图所示：，四边形是正方形，，，点是中点，在和中，，，点与点关于直线对称，，，，，而，；【小问3详解】解：设与相交于点，如图所示：122.52DAE EAC DAC ∠=∠=∠=︒22.5AG AD CG =+AE BC F ABCD ,90AD BC ADC ∴∠=︒∥90DCF ADC ∴∠=∠=︒ E CD DE EC∴=ADE V FCE △ADC DCF DE CEAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ADE FCE ∴ ≌,AD CF DAE CFE ∴=∠=∠ D M AE GAF DAE ∴∠=∠GAF CFE ∴∠=∠AG FG ∴=FG CF CG =+ CF AD =AG AD CG ∴=+AE BC N，在中，，，，点与点关于直线对称，，四边形是正方形，，，，，，，，，四边形是正方形，，，在和中，，，Rt ABG △222AB BG AG +=22243AG ∴+=5AG ∴= D M AE DAE GAE ∴∠=∠ ABCD AD BC ∴∥DAE ANG ∴∠=∠GAE ANG ∴∠=∠5GN AG ∴==3GB = 532BN GN GB ∴=-=-=4BC AD == 2BN NC ∴== ABCD AB DC ∴ ABC BCE ∴∠=∠ABN ECN ABC BCE BN NCANB ENC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABN ECN ∴ ≌4CE AB ∴==．26. 如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点．（1）求点D 的坐标；（2）如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点．①若，求的长；②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式．【答案】（1）（2）①的长为2；②【解析】【分析】（1）直线，令，求出，即可得点的坐标；（2）①过作轴于，证明，可得，，设，则，代入直线即可求解；②在上截取，连接，证明，在中，利用勾股定理求解即可．【小问1详解】解：，轴，直线与交于点，点的纵坐标为6，直线，令得，解得，点的坐标为；【小问2详解】448DE DC CE ∴=+=+=xOy ()8,6B x y C A 26y x =-AB D y M E AO O E ED DM F DE EF =AE COM ∠EF H OH m =OE n =m n ()6,6AE m =+26y x =-6y =6x =D F FG y ⊥G ()AAS EFG DEA ≌FG EA =6EG DA ==AE a =(),F a a -26y x =-AD AN AE =NE EOH DNE ≌Rt NAE (8,6)B BA y ⊥26y x =-AB D ∴D 26y x =-6y =266x -=6x =∴D ()6,6解：①过作轴于，，，，，，，，，，设，则，，，，，代入得，解得，的长为2；②在上截取，连接，∵平分，∴，F FG y ⊥G 90EGF A ∴∠=∠=︒90FEG EFG ∠+∠=︒EF DE ⊥ 90FEG DEA ∴∠+∠=︒EFG DEA ∴∠=∠DE EF = ()AAS EFG DEA ∴ ≌FG EA ∴=6EG DA ==AE a =FG EA a ==6OA AE OE =+= 6EG OG OE =+=OG AE a ∴==(,)F a a ∴-26y x =-26a a -=-2a =AE ∴AD AN AE =NE OH COM ∠11904522MOH COM ∠=∠=⨯︒=︒∴，∵，，∴∴，∴，由（1）中D 的坐标可知，∴，即．∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，能够通过作垂线构造全等三角形是解题的关键．180********EOH MOH ∠=︒-∠=︒-︒=︒AN AE ==90DAE ∠︒45ANE ∠=︒180********END ANE ∠=︒-∠=︒-︒=︒EOH END ∠=∠()6,6AD AO =AD AN AO AE -=-DN EO =EOH DNE ≌NE OH m ==NAE 90NAE ∠=︒222AE AN NE +=AN AE =222AE AE NE +=222AE NE =NE =m ∴=+。
江苏南通市2019-2020学年度第二学期高三数学适应性测试(含答案)
2020届高三数学适应性练习参考公式：样本数据12n x x x L ，，，的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1． 已知集合{}13=A ，，{}2|20B x x x =-<，则集合A B I = ． 2． 已知复数(1i)43i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 . 3． 现有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：10，11，12，13，14，则康复时间的方差为 . 4． 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S 的值是 ．5． 一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B ，C ，D 三人随机坐到其他三个位置上，则A 与B 相对而坐的概率为 ．6． 已知向量，，a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若λμλμ=+∈R （，）a b c ，则λμ+的值为 ．7． 将函数()π()sin 23f x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，所得函数为偶函数，则ϕ的最小正值是 ．8． 已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若31412a a -=，4217S S =，则2a 的值为 ．I ← 1While I < 6 I ← I +2 S ←2I +3 End While Print S（第4题）（第5题）cba（第6题）（第11题）BCDEFA（第14题）9． 过双曲线2221(0)5y x b b-=>的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为P ．若△POF 的面积5，则该双曲线的离心率为 ． 10．已知直线80ax by +-=()a b ∈，R 经过点(12)-，，则124a b +的最小值是 ．11．过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l 1，一般的十字捆扎（如图（2）所示）所用绳长为l 2．若点心盒的长、宽、高之比为2:2:1，则12l l 的值为 ． 12．已知函数()f x x =，则不等2(2)()f x f x ->式的解集是 ．13．已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)为圆M ：224x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设00()P x y ，为弦AB 的中点，则00|3410|x y +-的最小值为 ．14．已知等边ABC △的边长为1，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，且ADF DEF S S =△△13ABC S =△．若AD =x ，CE =y ，则yx的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin sin sin sin B C B AA B C--=+． （1）若ABC △3ab 的值； （2）若223c b a +=，求cos A ．16．（本小题满分14分）如图，已知EA 和DC 都垂直于平面ABC ，AB=AC ＝BC =AE =2CD ，F 是BE 的中点． （1）若G 为AF 中点，求证：CG ∥平面BDE ； （2）求证：AF ⊥平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，某度假村有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD ，其内有一以正方形中心O 为圆心，2百米为半径的圆形观景湖．现规划修建一条从边AB 上点P 出发，穿过生态园且与观景湖相切的观赏道PQ （其中Q 在边AD 上）． （1）设APQ θ∠=，求观赏道PQ 的长l 关于θ的函数关系式()f θ； （2）试问如何规划设计，可使观赏道PQ 的长l 最短？G （第16题）BDFE CA（第17题）θQOAD18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为22，点(21，在椭圆上．若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2-=x 相交于Q ．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求直线l的方程；（3）点T 是x 轴上一点，若总有0uu u r uu u rPT QT ⋅=，求T 点坐标．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足1(2)0n n n S nS n ---+=，N 2n n *∈，≥，22a =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记221111i i i b a a +=++，1(1)nn i i T b ==-∑．① 求T n ；② 求证：11ln ln n n n T T T ++<．20．（本小题满分16分）已知函数2()(1)f x ax a x =-+-，21()ln 2g x x x ax x =--．（1）若函数f (x )与g (x )在(0)+∞，上均单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当(e 0]a ∈-，（其中e 为自然对数的底数）时，记函数()g x 的最小值为m ．求证：312em -<-≤；（3）记()()()2ln h x g x f x x '=--，若函数h (x )有两个不同零点，求实数a 的取值范围．（第18题）POxy Q2020届高三数学适应性练习附加21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区．．．．．．域内作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b ∈，R ，矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）若曲线1C ：292y x x =-在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为3112x y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线截得的弦长．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，1），点B 在直线:1l y =-上，点T 满足TB u u r ∥OA u u u r，()2AB AB TB ^-u u u r u u u r u u r ，T 点的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点P ()()00t t ，>的直线交曲线C 于点M N ，，分别过M ，N 作直线l 的垂线，垂足分别为11M N ，．① 若1190M PN ?°，求实数t 的值；② 点M 关于y 轴的对称点为Q （与N 不重合），求证：直线NQ 过一定点，并求出这个定点的坐标．23．(本小题满分10分)已知数列}{n a 满足：11||n n a a n n*+-∈N ≤，．（1）证明：||n k n k a a n k n*+-∈≤，，N ；（2）证明：221(1)||2m i mi m m a a m *=--∈∑≤，N ．y A TBO（第22题）参考答案及评分细则一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {}1； 2． 522； 3． 2； 4． 17；5．13； 6． 0； 7． 512π； 8． 4±；9． 35； 10． 32； 11． 2； 12． -21（，）； 13．5710-； 14．130222⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，，． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解】（1）因为 (sin sin )(sin sin )sin (sin sin )B C B C A B A +-=-，在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得()()()b c b c a b a +-=-，化简得222a b c ab +-=， ……3分在ABC V 中，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==， ……4分 因为(0,)C π∈，所以3πC =，又ABC V 3，可得1sin 32ab C =，所以4ab =. ……7分（2）因为223c b a +=,在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,所以2sin sin 2sin 3C B A += 因为A B C π++=，所以2sin sin()2sin 3C A C A ++= ……9分由（1）得3πC =，所以2sin sin()2sin 333ππA A ++=， 化简得333sin 2A A -=，所以1sin()63πA -=. ……11分 因为203A π<<，所以662πππA -<-<，所以222cos()1sin ()66ππA A -=--=所以22311261cos cos ()6632ππA A -⎡⎤=-+=-⋅=⎢⎥⎣⎦. ……14分16．（本小题满分14分）证明：（1）取EF 中点Q ，连结GQ ， 因为G 为AF 中点，所以GQ ∥AE ，且12GQ AE =. ……2分 因为EA 和DC 都垂直于平面ABC ， 所以CD ∥AE ，又AE =2CD ， 所以GQ ∥CD ，且GQ CD =. 所以四边形CDQG 为平行四边形，所以CG ∥DQ ， ……4分 又CG ⊄平面BDE ，DQ ⊂平面BDE ，所以CG ∥平面BDE ． ……6分（2）取AB 中点P ，连结FP ，CP ， 因为F 是BE 的中点， 所以FP ∥AE ，且12FP AE =.因为EA 和DC 都垂直于平面ABC ，所以CD ∥AE. 又AE =2CD ，所以CD ∥PF ，且CD =PF ， 所以四边形CDFP 是平行四边形.所以CP ∥DF . ……8分 因为AC ＝BC ，P 为AB 中点， 所以CP ⊥AB ，所以DF ⊥AB .因为EA 垂直于平面ABC ，CP ⊂平面ABC ，所以CP ⊥AE ，所以DF ⊥AE . ……10分 因为AB AE A =I ，AB AE ⊂，平面ABE ，所以DF ⊥平面ABE . 因为AF ⊂平面ABE ，所以DF ⊥AF . ……12分 因为AB=AE ，F 是BE 的中点， 所以AF ⊥BE .因为BE DF F =I ，BE DF ⊂，平面BDE ，所以AF ⊥平面BDE . ……14分17．（本小题满分14分）解：（1）以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则(22)O ，，(cos 0)P l θ，，(0sin )Q l θ，， 所以直线PQ 的方程为sin (cos )cos l y x l l θθθ=--，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ⋅+⋅-=. ……3分 因为直线PQ 与圆O 相切， 所以圆心到直线PQ 的距离为222sin 2cos sin cos 2sin cos l d θθθθθθ+-==+，化简得2sin 2cos sin cos 20l θθθθ+-=， ……5分 解得2sin 2cos 2l θθ+-=，2sin 2cos 2()f θθθ+-=π5π1212θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. ……7分（2）因为2sin 2cos 2()f θθθ+-=，则(cos sin )(2sin 2cos 22sin cos )()f θθθθθθθ-+--'=9分因为π5π1212θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2220θθ+-≤，2222sin cos 0θθθθ+--< 令()0f θ'=，得π4θ=， ……11分则ππ124θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'<，()f θ单调递减，π5π412θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>，()f θ单调递增，所以π4θ=时，()f θ取得最小值为22. 答：设计成π4APQ ∠=时，可使观赏道PQ 的长l 最短. ……14分18．（本小题满分16分） 【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意，得2222211+=1222.a b c aa b c ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，，解得21.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为2212x y +=． ……3分（2）由题意，设直线l 的方程为m x y +=21， 联立方程组221212y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，，得 0444322=-++m mx x ，因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()221612440m m ∆=--= 解得6m = ， 所以直线l 的方程为2621±=x y ． ……6分 （3）当直线l 的斜率不存在时，l 与直线2-=x 无交点，不符合题意，故直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +m ， 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()022412222=-+++m kmx x k ， 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()()22221681210k m m k ∆=--+=，化简得：2221m k =+， ……8分所以412,P P P k x y kx m m m =-=+=，即⎪⎭⎫⎝⎛-m m k P 1,2， 因为直线l 与直线2-=x 相交于Q ，所以)2,2(k m Q --，……10分 设(0)T t ，，所以021)2(2=-+--⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅m k t t m k ，即0)1(12=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++t t m k 对任意的k ,m 恒成立， ……14分 所以01=+t ，即1-=t ，所以点T 坐标为()0,1-. ……16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为1(2)0n n n S nS n ---+=， 所以2n =时，11S =，即11a =. 因为2n ≥时，1(2)0n n n S nS n ---+=，即2n n S na n =+. n =1时也适合该式.所以2n ≥时，2n n S na n =+，112(1)1n n S n a n --=-+-，两式相减得1(2)(1)10n n n a n a ----+=， 则1(1)10n n n a na +--+=，两式相减得112(1)(1)(1)02n n n n a n a n a n -+-----=，≥. 所以11202n n n a a a n -+--=，≥，所以11n n n n a a a a +--=-. 所以数列{a n }为等差数列.因为11a =，22a =，所以公差1d =，所以1(1)1n a n n =+-⨯=. ……4分（2）①因为a n =n ，所以2222222211(1)(1)1(1)(1)i i i i i b i i i i ++++=++=++ (1)111111(1)(1)1i i i i i i i i ++==+=+-+++， ……6分所以111111111()()()()1122334111n n T n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++，…8分 ②要证11ln ln n n n T T T ++<，只要证11ln ln212n n n n n n ++<+++， 只要证+12(1)ln (2)ln1n n n n n n ++>++，即证+1+122ln ln11+1+2111n n n n n n n n n n n n ++++>--+.…10分 设+1n x n =，x >1，令ln ()11x xf x x x =>-，， 则21ln ()(1)x xf x x --'=-， ……12分 易证1ln 0x x -->，故()0f x '>在()1+∞，上恒成立. 所以()f x 在()1+∞，上单调递增， 因为121n n n n ++>+，所以12()()+1n n f f n n ++>.所以所证不等式成立. ……16分 20．（本小题满分16分）【解】（1）因为函数2()(1)f x ax a x =-+-在(0)+∞，上单调递减，所以0102a a a-<⎧⎪⎨-⎪-⎩，≤，解得1a ≥.因为21()ln 2g x x x ax x =--在(0)+∞，上单调递减，所以()ln 110g x x ax '=+--≤在(0)+∞，上恒成立， 即ln 0x ax -≤在(0)+∞，上恒成立，所以ln x a x≥在(0)+∞，上恒成立. ……2分令ln ()x t x x =，则21ln ()x t x x-'=，令()0t x '=，得e x =， 当()0e x ∈，时，()0t x '>，()t x 单调递增； 当()e +x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单调递减， 所以max 1()e t x =，所以1ea ≥.故实数a 的取值范围为[)1+∞，. ……4分 （2）因为()ln g x x ax '=-，所以11()ax g x a x x -''=-=.当(e 0]a ∈-，时，[0e)a -∈，，所以11()0ax g x a x x -''=-=>恒成立，所以()ln g x x ax '=-在（0，+∞）上单调递增. 因为1e (1)()10e e ea a g a g +''=-=--=-<≥0，，所以(011e x ⎤∃∈⎥⎦，，使得0()0g x '=.，即00ln 0x ax -=.所以当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x x <时，()0g x '>，()g x 单调递增. 从而2000min00000ln ()()ln 22ax x x m g x g x x x x x ===--=-. ……8分令(ln 1()12e x x x x x ϕ⎤=-∈⎥⎦，，，则ln 1()02x x ϕ-'=<.所以ln ()2x x x x ϕ=-在(11e ⎤⎥⎦，单调递减，因此()(1)1x ϕϕ=-≥，13()()e 2ex ϕϕ<=-.所以312em -<-≤. ……10分（3） 因为2()(1)f x ax a x =-+-，21()ln 2g x x x ax x =--，所以2()()()2ln (1)ln 112ln h x g x f x x ax a x x ax x '=--=+-++---， 即2()ln h x ax x x =--.所以2121()21ax x h x ax x x--'=--=， 当0a ≤时，()0h x '<在(0)+∞，上恒成立，则h (x )在(0)+∞，上单调递减，故h (x )不可能有两个不同的零点. ……12分当0a >时，22ln ()x x h x x a x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令2ln ()x x F x a x +=-， 则函数()h x 与函数()F x 零点相同.因为312ln ()x x F x x -+'=，令()12ln G x x x =-+，则2()10G x x'=+>在(0)+∞，上恒成立，因为(1)0G =，则x(01)，1 (1)+∞，()F x '- 0 + ()F x递减极小值递增所以()F x 的极小值为(1)1F a =-，所以要使()F x 由两个不同零点，则必须(1)10F a =-<，所以a 的取值范围为()01，. ……14分 因为(1)0F <，1()0e F >，又()F x 在()01，内连续且单调， 所以()F x 在()01，内有唯一零点. 又()()()()22222222ln 2022a a a a a a F a a a a⋅--+=->=，且21a >， 又()F x 在()1+∞，内连续且单调，所以()F x 在()1+∞，内有唯一零点. 所以满足条件的a 的取值范围为()01，. ……16分21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解】（1）因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量， 所以1111λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即1113311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1333a b +=⎧⎨+=⎩，，解得20a b =⎧⎨=⎩，．所以矩阵2130⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ……4分 （2）设曲线1C 上任一点00()Q x y ，在矩阵M 的作用下得到曲线2C 上一点()P x y ，， 则002130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以00023x y x x y +=⎧⎨=⎩，，解得00323y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．因为200092y x x =-， 所以()2292333yy x y -=-⋅，即曲线2C 的方程为2y x =． ……10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解】曲线的直角坐标方程为2240x y x +-=， ……3分即22(2)4x y -+=，圆心(20)，，半径2r =，直线l 的普通方程为310x -=， ……6分 所以圆心(20)，到直线l 的距离12d =，所以直线l 被曲线C 截得的线段长度()22221222152L r d =-=-=……10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++． 证明：由柯西不等式得()()22222222211x z x y z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦≥ …… 6分 因为=5x y z ++， 所以2225(2)252≥x y z ++⋅，所以222210≥x y z ++，当且仅当2a b c ==时取等号．……………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)解:（1）设T 的坐标为(),x y ，则B 为(),1x -，因为 A （0，1），所以()0,1TB y =--u u r ，(),2AB x =-u u u r因为()2AB AB TB ^-u u u r u u u r u u r ，所以()20AB AB TB ?=u u u r u u u r u u r，所以220AB AB TB -?u u u r u u u r u u r，所以()24440x y +-+=，即 24x y =，所以曲线C 的方程为24x y = ……4分 （2）法一：由题意，直线MN 的斜率必存在，设为k则直线MN 的方程为：y kx t =+， 由24y kx tx yì=+ïí=ïî可得：2440x kx t --= 设()()1122,,,M x y N x y ， 则21212Δ1616044k t x x k x x t ì=+>ïï+=íï?-ïî①因为1190M PN ?°，所以110PM PN ?u u u u r u u u u r因为()()1112,1,,1PM x t PN x t =--=--u u u u r u u u u r所以()21210x x t ++=，所以()2410t t -++=解得：1t = ……6分 ②因为点M 关于y 轴的对称点为Q ，所以()()1112,0Q x y x x -+?xyPN 1MNM 1O所以222121212121444QNx x y y x x k x x x x ---===++ 所以直线NQ 的方程为：()21114x x y y x x --=+ 令0x =得：()22211121112144444xx x x x x x x x y y t -=+=-+==- 所以直线NQ 过定点，定点坐标为()0,t - ……10分（2）法二：设()()222,,2,M m m N n n ()m n ¹，因为,,M N P 三点共线，所以MP NP k k =，所以2222m t n t m n --=，化简得：()()0mn t m n +-= 因为m n ¹，所以mn t =- ①由题意：()()112,1,2,1M m N n --，所以()()112,1,2,1PM m t PN n t =--=--u u u u r u u u u r因为1190M PN ?°，所以110PM PN ?u u u u r u u u u r，所以()()2,12,10m t n t --?-=，所以()2410mn t ++=，所以()2410t t -++=，解得：1t = ……6分②因为点M 关于y 轴的对称点为Q ，所以()22,Q m m -()0m n +?所以22222QNn m n m k n m --==+， 所以直线NQ 的方程为：()222n my m x m --=+ 令0x =得：()222n m my m mn t -=+==- 所以直线NQ 过定点，定点坐标为()0,t - ……10分23．(本小题满分10分)【解析】（1）证明：||=n k n a a +-1121|()()()|n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+-+-++-L1121||||||n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+-+-++-L ≤11112n k n k n ++++-+-L ≤kn≤． ……3分（2）用数学归纳法证明．① 当1=m 时，左边0||22=-=a a =右边；当2=m 时，由（1）得左边||||4424a a a a -+-=2222||12a a +=-=≤=右边；② 设当k m =时，结论成立，即有221(1)||2k i ki k k a a =--∑≤， ……5分 则当1+=k m 时，∑+=-+1122||1k i i k a a||221221i k k k a a a aki -+-=∑=+1221||k k ki a a +=-∑≤∑=-+ki i ka a122||由（1）得||221k k a a -+||222k kk a a -=+212kk =≤，所以1221||k k ki a a k +=-∑≤， ……8分所以∑+=-+1122||1k i i k a a 221||k i ki k a a =+-∑≤(1)2k k k -+≤(1)[(1)1]=2k k ++- 所以1+=k m 时结论成立．由①②可知原不等式成立． ……10分。
江苏省南通市通州区2019年高二第二学期期中考试数学试题及解析
江苏省南通市通州区2019—2020学年第二学期高二期中学业质量监测数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)1.在复平面内,复数12z i =-+(i 为虚数单位)对应的点所在象限是( ) A.一B.二C.三D.四【参考答案】B 【试题解答】根据复数几何意义,即可求得答案.12z i =-+∴复数z 对应的点()1,2-故:复数12z i =-+对应的点在二象限 故选:B.本题主要考查了求复数点所在象限,解题关键是掌握复数的几何意义,考查了分析能力,属于基础题.2.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23,样本点的中心()4,5,则回归直线方程为( )A. 1.2308ˆ.0yx =+ B.0.0813ˆ.2yx =+ C. 1.234ˆyx =+ D. 1.235ˆyx =+ 【参考答案】A 【试题解答】由题意得在线性回归方程ˆy bx a =+中 1.23b =,然后根据回归方程过样本点的中心得到a 的值,进而可得所求方程.设线性回归方程ˆy bx a =+中,由题意得 1.23b =, ∴ 1.23ˆy x a =+.又回归直线过样本点的中心()4,5,∴5 1.234a =⨯+, ∴0.08a =,∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+. 故选A.本题考查线性回归方程的求法,其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键,利用这一性质可求回归方程中的参数,也可求样本数据中的未知参数,属于基础题. 3.已知随机变量X 的分布列为()()1,2,3,410kP X k k ===,则()13P X <≤=( ) A.310B.35C.12 D.15【参考答案】C 【试题解答】根据所给的离散型随机变量的分布列,可以写出等3和2时的概率,本题所求的概率包括两个数字的概率,利用互斥事件的概率公式把结果相加即可. 随机变量X 的分布列为()()1,2,3,410kP X k k === 2(2)10P X ∴==,3(3)10P X == 231(13)10102P X ∴<=+=故选:C.本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 4.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是( ) A.36B.72C.600D.480【参考答案】D 【试题解答】直接利用插空法计算得到答案.根据题意将2,4,5,6进行全排列,再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选:D .本题考查了排列组合中的插空法,意在考查学生的计算能力和应用能力.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,若两人各投篮2次,则两人各投中一次的概率为( ) A.0.42 B.0.2016C.0.1008D.0.0504【参考答案】B 【试题解答】本题是一个相互独立事件同时发生的概率,两人各投两次,两人都投中1次的概率为11220.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯,从而得到答案.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7∴两人都投中1次的概率为11220.60.40.70.30.2016C C ⨯⨯⨯=故选:B.本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率,解题关键是掌握相互独立事件概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6.设a Z ∈,且016a ≤≤,若20204a +能被17整除,则a 的值为( ) A .1B.4C.13D.16【参考答案】D 【试题解答】由()101020201010416171a a a +=+=-+,按照二项式定理展开,根据它能被17整除,结合所给的选项可得a 的值.∵a Z ∈,且016a ≤≤, 由()101020201010416171a a a +=+=-+()()()()110091010010101100910091101001010101010101010171171171171C C C C a =-+-++-+-+()()()10091009010********11010101010101711711711C C C a =-+-++-++又20204a +能被17整除∴ 1a +能被17整除,结合016a ≤≤ ∴ 16a =故选:D.本题考查了根据表达式整除来求参数问题,解题关键是掌握二项式定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7.在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中,学生的数学成绩服从正态分布()98,100XN .已知参加本次考试的学生约有9450人,如果某学生在这次考试中数学成绩为108分,那么他的数学成绩大约排在该区的名次是( ) 附:若()2,XN μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=.A.1500B.1700C.4500D.8000【参考答案】A 【试题解答】利用正态总体密度曲线的性质求出概率,即可得到结论. 考试的成绩X 服从正态分布(98,100)N98,10μσ==,1089810μσ=+=+,10.6826(108)2P ξ-∴≥=0.1587= 即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%.945015.87%1500∴⨯≈故选:A.本题考查正态分布曲线的性质的应用,解题的关键是求出108ξ≥的概率.8.函数()23xe f x x x=-,()()3,00,3x ∈-的图象大致为( )A. B. C.D.【参考答案】A 【试题解答】判断函数的奇偶性和对称性,3x →-时,函数值结()f x 值不趋近正无穷,利用排除法,即可求得答案. ()()3,00,3x ∈-由()23xe f x x x =-,可得()23x e f x x x --=+∴ ()()f x f x -≠-,故函数()23xe f x x x=-,不是奇函数,排除B,D;()23xe f x x x =-,3x →-时,函数值结()f x 值不趋近正无穷∴排除B综上所述,只有A 符合题意 故选:A.本题考查了根据函数表达式求解函数图象问题,解题是掌握奇函数图象特征和灵活使用排除法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9.若382828xx C C -=,则x 的值为( )A.4B.6C.9D.18【参考答案】AC 【试题解答】由382828xx C C -=,可得38x x -=或3828x x -+=,即可求得答案.382828x x C C -=∴ 38x x -=或3828x x -+=解得:4x =或9x = 故选:AC本题主要考查了求解组合数方程,解题关键是掌握组合数基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 10.直线12y x b =+能作为下列( )函数的图像的切线. A.1()f x x=B.4()f x x =C.()sin f x x =D.()xf x e =【参考答案】BCD 【试题解答】依次计算每个选项中的导数,计算()1'2f x =是否有解得到答案. 1()f x x =,故211'()2f x x =-=,无解,故A 排除; 4()f x x =,故31()42f x x ==,故12x =,即曲线在点11,216⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线为13216y x =-,B 正确;()sin f x x =,故1'()cos 2f x x ==,取3x π=,故曲线在点3π⎛ ⎝⎭的切线为126y x π=-C 正确; ()x f x e =,故'()12x f x e ==,故ln2x =-,曲线在点1ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线为111ln 2222y x =++,D 正确;故选:BCD .本题考查了曲线的切线问题,意在考查学生的计算能力. 11.下列说法正确的有( ) A.任意两个复数都不能比大小B.若(),z a bi a R b R =+∈∈,则当且仅当0ab 时,0z =C.若12,z z C ∈,且22120z z +=,则120z z == D.若复数z 满足1z =,则2z i +的最大值为3 【参考答案】BD 【试题解答】根据复数定义,复数的几何意义,逐项判断,即可求得答案.A,复数(),z a bi a R b R =+∈∈,当0b = 时,z 为实数,可以比较大小,∴ A 为假命题.B,复数(),z a bi a R b R =+∈∈,当0z = 时,0a = 且0b = ,∴B 为真命题.C,当121,z z i == 时,22120z z += ,但12z z ≠ ∴C 为假命题.D,设(),z x yi x y R =+∉复数z 满足1z =,可得:221x y +=即:221x y =-,11y -≤≤由2z i +,可得()222z i x yi i x y i +=++=++=将221x y =-代入可得:23z i +==≤∴D 为真命题.故选:BD本题解题关键是掌握复数的基础知识,掌握复数几何意义,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.12.已知6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则下列结论正确的有( ) A.1a =B.展开式中常数项为160C.展开式系数的绝对值的和1458D.若r 为偶数,则展开式中r x 和1r x -的系数相等 【参考答案】ACD 【试题解答】61(1)(2)a x x x+-中,给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ,利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果.对于A, 6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +,12a ∴+=1a ,故A 正确;对于B,661111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6611122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r r r T C x --+=-, 当612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为:令620r -=,得3r = 可得展开式中常数项为:33346(1)2160T C =-=-,当6112x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为: 662665261(1)2(1)2r r r r r r r rC xC x x ----=⋅-- 令520r -=,得52r =(舍去)故12x x x +- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为160-.故B 错误; 661111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C,求其展开式系数的绝对值的和与61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和相等61112xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,令1x =,可得:66111112231458⎛⎫⎛⎫++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝==⎭ ∴61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和为:1458.故C 正确; 对于D,66611111222a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r r r T C x --+=-, 当r 为偶数,保证展开式中r x 和1r x -的系数相等 ①2x 和1x 的系数相等,61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中2x 系数为:622226(1)2C x -- 展开式系数中1x 系数为:622226(1)2C x --此时2x 和1x 的系数相等, ②4x 和3x 的系数相等,61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中4x 系数为:15146(1)2C x - 展开式系数中3x 系数为:15146(1)2C x -此时4x 和3x 的系数相等, ③6x 和5x 系数相等,12x x x +- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中6x 系数为:6(1)2C x -展开式系数中5x 系数为:66600(1)2C x -此时6x 和5x 的系数相等, 故D 正确;综上所在,正确的是:ACD 故选:ACD.本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于中档题. 三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.其中第14题共有2空,第一个空2分,第二个空3分;其余题均为一空, 每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.计算2222223456C C C C C ++++=______.【参考答案】35 【试题解答】根据组合数的性质11m m mn n n C C C -++=计算可得; 解:2222223456C C C C C ++++ 3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++322556C C C =++ 3266C C =+3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为:35本题考查组合数的性质,属于中档题.14.规定(1)(1)mx A x x x m =--+,其中x ∈R ,*m N ∈,且01x A =,这是排列数mn A (*,n m N ∈,且m n ≤)一种推广.则1=_______,则函数()3x f x A =的单调减区间为_______.【参考答案】 (1).133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【试题解答】利用定义即可得出1,函数332()(1)(2)3x f x A x x x x x ==--=-,利用导数研究其单调性,即可求得答案.(1)(1)mx A x x x m =--+∴))11111121=--==332()(1)(2)23x f x A x x x x x x ==--=+-则2()362f x x x '=-+令()0f x '<,即:23620x x -+<解得:3333x -+<<∴函数()f x 的单调减区间为:1⎛-+ ⎝⎭故答案为:1⎛ ⎝⎭本题解题关键是掌握新定义和排列数的计算方法,及其根据导数求函数单调性的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为67,则口袋中白球的个数为_______. 【参考答案】3 【试题解答】设口袋中有白球x 个,由已知可得取得白球ξ的可能取值为0,1,2,则ξ服从超几何分布,利用公式2727()k k x xC C P k C ξ--==(0,1,2k =),即可求得答案.口袋中有白球x 个,由已知可得取得白球个数ξ的可能取值为0,1,2则ξ服从超几何分布,2727()(0,1,2)k k x xC C P k k C ξ--===, 2727(0)x C P C ξ-∴==,11727(1)x xC C P C ξ-==,227(2)x C P C ξ== 1127227726()7x x C C C E C C ξ∴=+=6(7)(1)21187x x x x ∴-+-=⨯=,618x ∴= 3x ∴=故答案为:3.本题解题关键是掌握超几何分布期望的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 16.已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a x m +-=+++++∈,若127a =,则()81ii i a =⋅∑的值为_______.【参考答案】43 【试题解答】因为7(21)x -的展开通项为:777177(2)(1)(1)2r r r r r r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=,根据127a =,求的m ,将所给等式两边求导,即可求得()81ii i a =⋅∑的值.7(21)x -的展开通项为:777177(2)(1)(1)2r r r rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=又777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得:762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x ⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =,得:1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑故答案为:43本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知12z a i =+,234z i =-(其中i 为虚数单位).(1)若12z z 为纯虚数,求实数a 的值;(2)若121z z z -<(其中2z 是复数2z 的共轭复数),求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)83a =(2)32a >【试题解答】(1)由12z a i =+,234z i =-,可得12234z a iz i +=-,由12z z 为纯虚数,即可求得a ; (2)因为12(2)(34)(3)2z z a i i a i -=+-+=--,121z z z -<,故22121z z z -<,即可求得a 的取值范围.(1)由12z a i =+,234z i =-,得122(2)(34)384634252525z a i a i i a a i z i +++-+===+-, 12z z 为纯虚数,∴38025a -=,且46025a +≠, ∴83a =.(2)12(2)(34)(3)2z z a i i a i -=+-+=--,121z z z -<, ∴22121z z z -<,即()22344a a -+<+, 解得32a >. 本题解题关键是掌握根据复数类型求参数的方法,复数除法和复数模求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.18.在()*3,nn n N ≥∈的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列. (1)求n 的值;(2)求展开式中含2x 的项. 【参考答案】(1)7(2)2214x 【试题解答】(1)因为展开式中第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,可得:1322n n n C C C +=,整理得,29140n n -+=,即可求得n 的值;(2)当7n =时,7展开式的第1r +项为1441371(1)2rr r r r T C x +-=-⋅⋅,令14324r-=,即可求得含2x 的项. (1)因为展开式中第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,1322n n n C C C +=,整理得,29140n n -+=,即()()270n n --=,又3n ≥,*n N ∈,∴n 的值为7.(2)当7n =时,7展开式的第1r +项为 171743741(1)2r r rr r rr r T C C x -+-⎛==-⋅⋅ ⎝,其中07r ≤≤且r N ∈.令14324r-=,得2r , ∴2222372121(1)24T C x x =-⋅⋅=,∴展开式中含2x 的项为2214x .本题解题关键是掌握二项式通项公式,掌握二项式的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19.近期,某学校举行了一次体育知识竞赛,并对竞赛成绩进行分组:成绩不低于80分的学生为甲组,成绩低于80分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关,现随机抽取了60名学生的成绩进行分析,数据如下图所示的22⨯列联表.(1)将22⨯列联表补充完整,判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？ (2)如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求至少有1人在甲组的概率.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.参考数据及公式:【参考答案】(1)见解析,有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关.(2)2021【试题解答】(1)根据所给数据填写22⨯列联表,计算出2K ,即可求得答案;(2)甲组有40人,乙组有20人,若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人,从这6人中随机抽取2人,至少有1人在甲组的概率为22261C P C =-,即可求得答案.(1)22⨯列联表补充如下:根据列联表中的数据,可以求得2260(2717313)14.730302040K ⨯-⨯==⨯⨯⨯,14.7 2.706>,∴有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关.(2)甲组有40人,乙组有20人,若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人, 则抽取的6人中甲组有4人,乙组有2人.从这6人中随机抽取2人,至少有1人在甲组的概率为222620121C P C =-=.故:至少有1人在甲组的概率为2021. 本题解题关键是掌握卡方的求法和概率计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 20.已知函数()3221f x x ax a x =+-+,a R ∈.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间[]2,1-上的最大值;(2)当0a ≥时,求函数()f x 的极值.【参考答案】(1)2(2)当0a =时,没有极值;当0a >时,极大值为31a +,极小值为35127a -. 【试题解答】 (1)当1a =时,()321f x x x x =+-+,可得:()()23211)31(x x x x f x =+-=+-'.,()0f x '=,得1x =-或13x =,列出函数单调性表格,即可最大值;(2)()()22()323x ax a x a x f x a '=+-=+-,令()0f x '=,得x a =-或3ax =,分别讨论0a =和0a >,即可求得()f x 的极值.(1)当1a =时,()321f x x x x =+-+,所以()()()2321131f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '=,得1x =-或13x =, 列表如下:由于()12f -=,()12f =,所以函数()f x 在区间[]2,1-上的最大值为2. (2)()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-,令()0f x '=,得x a =-或3a x =. 当0a =时,()230f x x '=≥,所以函数()f x 在R 上单调递增,无极值.当0a >时,列表如下:∴函数()f x 的极大值为()31f a a -=+,极小值为351327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 本题主要考查根据导数求函数单调性和极值,解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义,考查分析能力和计算能力,属于中档题.21.为抗击疫情,中国人民心连心,向世界展示了中华名族的团结和伟大,特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”,各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院.(1)求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率;(2)若要求每家医院至少一人,设X ,Y 分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数,记X Y ξ=-,求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.【参考答案】(1)742(2)分布列见解析,199【试题解答】(1)设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A ,7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院,求出基本事件总数和事件A 情况数,根据概率计算公式,即可求得答案;(2)若要求每家医院至少1人共有722126-=种等可能的基本事件,随机变量ξ的所有取值为1,3,5,求得(1)P ξ=,(3)P ξ=,(5)P ξ=即可求得分别列,根据期望计算公式,即可求得答案.(1)设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A , 7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院, 共有72128=种等可能的基本事件,其中事件A 包含2721C =种情况,所以()21128P A =. 故:7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为742. (2)若要求每家医院至少1人共有722126-=种等可能的基本事件, 随机变量ξ的所有取值为1,3,5,3477705(1)1261269C C P ξ+====;2577421(3)1261263C C P ξ+====;1677141(5)1261269C C P ξ+====.∴ 随机变量ξ的分布列为∴ 数学期望51119()1359399E ξ=⨯+⨯+⨯=.故:数学期望()E ξ的值为199.本题主要考查了求事件的概率和数据的期望,解题关键是掌握概率计算公式和期望的求法,考查了计算能力和分析能力,属于基础题.22.已知函数()()1xf x x e =-,其中e 是自然对数的底数.(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; (2)设()()2g x x f x =+,求函数()g x 的单调区间;(3)设()()ln h x mf x x =-,求证:当10m e<<时,函数()h x 恰有2个不同零点. 【参考答案】(1)()1y e x =-(2)单调增区间为()0,ln 2和[)1,+∞;单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1.(3)证明见解析【试题解答】(1)由()()1x f x x e =-,得()()1x x xf x e x e xe '=+-=,所以()1f e '=,即可求得答案; (2)()()()()2221,11,1x xx x e x g x x f x x x e x ⎧+-≥⎪=+=⎨--<⎪⎩,根据导数,分别讨论1x ≥和1x <函数的单调性,即可求得函数()g x 的单调区间;(3)因为()()ln h x mf x x =-,设()()1ln xF x m x e x =--,得()()2110x xmx e F x mxe x x x-'=-=>,令()()210x h x mx e x =->,当10m e<<,()()220x h x mx mx e '=+>,结合已知和零点定义,即可求得答案.(1)由()()1xf x x e =-,得()()1xxxf x e x e xe '=+-=,∴()1f e '=,∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()1y e x =-.(2)()()()()2221,11,1x xx x e x g x x f x x x e x ⎧+-≥⎪=+=⎨--<⎪⎩, 当1x ≥时,()()220xxg x x xe x e'=+=+>,∴函数()g x 的单调增区间为[)1,+∞.当1x <时,()()21x g x x x e =--,∴()()22x x g x x xe x e '=-=-,令()0g x '>,得0ln 2x <<;令()0g x '<,得0x <或ln 21x <<,∴函数()g x 的单调增区间为()0,ln 2;单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1.综上所述,函数()g x 的单调增区间为()0,ln 2和[)1,+∞;函数()g x 的单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1.(3)由题意知,()()1ln x F x m x e x =--,得()()2110x x mx e F x mxe x x x -'=-=>,令()()210x h x mx e x =->, 当10m e <<时,()()220x h x mx mx e '=+>,∴()h x 在()0,∞+上单调递增, 又()110h me =-<,211ln ln 10h m m ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴存在唯一的011,ln x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()020010xh x mx e =-=,当()00,x x ∈时,()0h x '<,∴在()00,x 上单调递减,当()0,x x ∈+∞时,()0h x '>,∴在()0,x +∞上单调递增,故0x 是()()210x h x mx e x =->的唯一极值点,令()ln 1t x x x =-+,当()1,x ∈+∞时,()110t x x'=-<, ∴在()1,+∞上单调递减,即当()1,x ∈+∞时,()()10t x t <=,即ln 1x x <-, ∴1ln 111ln ln 1ln ln m F m e m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11ln 11ln 0m m >-+-=, 又()0(1)0F x F <=,∴函数()F x 在()0,x +∞上有唯一的零点, 又()F x 在()00,x 上有唯一的零点,∴函数()F x 恰有2个不同零点.本题主要考查了根据导数求函数的单调性和根据单调性求证零点个数,解题关键是掌握导数求单调性的方法和根据单调求判断零点个数步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.。
2023-2024学年江苏省南通市通州区高三下学期期初质量检测地理试题
2023-2024学年江苏省南通市通州区高三下学期期初质量检测地理试题独特的地理位置与国土面积使澳大利亚大气活动中心的势力、位置、性质发生季节变化。
下图示意某日澳大利亚海平面等压线分布图。
据此完成下面小题。
1．据等压线推测，该日最接近我国二十四节气中的（）A．雨水B．大暑C．寒露D．小雪2．判断此时甲地的风向为（）A．西北风B．偏西风C．西南风D．偏北风3．该时节，下列说法最可信的是（）A．长江口等盐度线向西凸出B．南通太阳东南升西南落C．非洲大陆动物向北方迁徙D．智利车厘子出口到中国研究发现，我国北方某城市臭氧浓度受海陆风影响显著。
下图示意该市春季有无海陆风影响的两天中臭氧浓度日变化及海陆风影响当日风向和风速变化。
据此完成下面小题。
4．据海陆风影响当日风向和风速变化信息，可推测（）A．白天风速较夜间风速小B．12时前后陆风转为海风C．城市位于海洋东南方向D．热岛效应促使陆风增强5．海陆风对该城市臭氧浓度影响显著，主要受（）A．陆风影响，干燥空气增多B．陆风影响，臭氧浓度升高C．海风影响，臭氧浓度升高D．海风影响，气温变化明显6．与晴天比较，阴天臭氧浓度（）A．峰值时间更晚B．含量更高C．波动幅度更大D．峰值更高某半干旱区的一座砂岩山体于2023年7月份发生崩塌，形成若干倒石堆(如图所示),山体其他部位完好，ABC为倒石堆的剖面。
据此完成下面小题。
7．此次山体崩塌发生的直接原因最可能是（）A．植被破坏B．突发地震C．河流涨水D．短时暴雨8．若该山北坡崩塌再次发生，则AC一线将会（）A．长度变短，坡度变陡B．长度变长，坡度变陡C．长度变长，坡度变缓D．长度变短，坡度变缓9．大规模的崩塌可能会导致北侧河流出现（）A．冲积扇B．三角洲C．堰塞湖D．江心洲土壤含水量受到气候、植被、地形以及土壤性质等多种自然要素的影响。
图为我国某地天然森林区域不同深度土壤含水量与降水量年变化图。
据此完成下面小题。
10．根据图中信息，该地最有可能位于（）A．贵州B．甘肃C．青海D．河北11．关于当地土壤含水量，下列说法最准确的是（）A．不同深度土层含水量差异较小B．与土壤深度呈负相关C．随土壤深度变大，先增加再减少D．与降水量呈正相关12．研究表明，当地深厚的林下枯落物对土壤含水量有较大影响，主要是因为枯落物可以（）A．有效阻隔降水B．改变土壤性质C．促进地表蒸发D．延长下渗时间人口流动势能是反映城市人口集散能力的综合性指标，数值越大，表明该城市人口集散能力越强。
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,3,5,7}，B ={x|−x 2+4x ≥0}，则A ∩B =( )A. [1,3]B. [5,7]C. {1,3}D. {5,7}2.设函数f(x)={log 2 (2−x),x <1,2x−1,x⩾1,则f(−2)+f(log 210)=( )A. 4B. 5C. 6D. 73.“ln x >ln y ”是“ x >y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D =I 0e −KD 表示其总衰减规律，其中K 是消光系数，D(单位：米)是海水深度，I D (单位：坎德拉)和I 0(单位：坎德拉)分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln5≈1.6)A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.145.函数y =f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f(1−12x)B. y =−f(1−12x)C. y =f(4−2x)D. y =−f(4−2x)6.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为( )A. 12B. 24C. 28D. 367.已知x >0，y >0，x +y =1，则12x +xy +1的最小值为( )A. 54B. 43C. 1D.228.若函数f(x)=e 2x4−axe x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−12)B. (−12,0)C. (12,+∞)D. (0,12)二、多选题：本题共3小题，共15分。
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…… 4 分
又因为 n≥3，n N ， 所以 n 的值为 7．
…… 6 分
1
7
（2）当
n
7
时，
x
2
1
4
x
展开式的第 r 1 项为
Tr1 C7r
x
r
7r
1 24
x
143r
1
r
C7r
1 2r
x
4
，其中 0≤r≤7 且 r N ．
8分
令 14 3r 2 ，得 r 2 ， 4
…… 6 分
（3）由题意知， F (x) m(x 1)ex ln x ， 得 F (x) mxex 1 mx2ex 1(x 0) ，
x
x
令 h(x) mx2ex 1 (x 0) ，
当 0 m 1 时， h(x) (2mx mx2 )ex 0 ， e
所 以 h(x) 在 (0 ， ) 上单调递增，
（2） g(x) x2
f (x)
x2 (x 1)ex，x≥1，
x2
(x
1)ex，x
1.
当 x≥1时， g(x) 2x xex x(2 ex ) 0 ，
所以函数 g(x) 的单调增区间为[1， ) .
当 x 1 时， g(x) x2 (x 1)ex ，
所以 g(x) 2x xex x(2 ex ) ， 令 g(x) 0 ，得 0 x ln 2 ；
…… 4 分 …… 6 分
（2） f (x) 3x2 2ax a2 (x a)(3x a) ， 令 f (x) 0 ，得 x a 或 x a ． 3 当 a 0 时， f (x) 3x2≥0 ，所以函数 f (x) 在 R 上单调递增，无极值．… 8 分
当 a 0 时，列表如下：
所以 T3
12
C72
1 22
x2
21 x2 4
，
所以展开式中含 x2 的项为 21 x2 ． 4
19．（本小题满分 12 分）
【解】（1） 2 2 列联表补充如下：
甲组 乙组 合计
男生 27
3
30
女生 13
17
30
合计 40
20
60
根据列联表中的数据，可以求得 K 2 60(27 17 313)2 14.7 ，
z2 3 4i
25
25 25
因为 z1 为纯虚数，所以 3a 8 0 ，且 4a 6 0 ，
z2
25
25
所以 a 8 ． 3
…… 3 分 …… 5 分
（2） z1 z2 (a 2i) (3 4i) (a 3) 2i ．
2
2
因为 z1 z2 z1 ，所以 z1 z2 z1 ，
故 x0 是 h(x) mx2ex 1 (x 0) 的 唯 一 极 值 点 . 令 t(x) ln x x 1 ， 当 x (1， ) 时 ， t(x) 1 1 0 ， 所 以 在 (1， ) 上 单 调 递 减 ，
x
即当 x (1， ) 时 ， t(x) t(1) 0 ， 即 ln x x 1 ，
即 (a 3)2 4 a2 4 ，
…… 8 分
解得 a 3 ． 2
18．（本小题满分 12 分） 【解】（1）因为展开式中第 2，3，4 项的二项式系数依次成等差数列，
…… 10 分
所以 C1n C3n 2Cn2 ，
…… 2 分
整理得， n2 9n 14 0 ，即 n 2n 7 0 ．
…… 10 分 …… 12 分
…… 2 分
4
令 g(x) 0 ，得 x 0 或 ln 2 x 1，
所以函数 g(x) 的单调增区间为 (0，ln 2) ；单调减区间为 (，0) 和 (ln 2，1) .
综上所述，函数 g(x) 的单调增区间为 (0，ln 2) 和[1， ) ；
函数 g(x) 的单调减区间为 (，0) 和 (ln 2，1) .
3
9
所以数学期望 E( ) 1 5 +3 1 +5 1 19 . 9 3 99
答：数学期望 E( ) 的值为 19 . 9
22．（本小题满分 12 分）
【解】（1）由 f (x) (x 1)ex ，得 f (x) ex (x 1)ex xex ，
所以 f (1) e ， 所以曲线 y f (x) 在 x 1 处的切线方程为 y e(x 1) .
30 30 20 40 因为14.7 2.706 ， 所以有 90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关． （2）因为甲组有 40 人，乙组有 20 人， 若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 6 人， 则抽取的 6 人中甲组有 4 人，乙组有 2 人．
…… 10 分 …… 12 分
…… 2 分 …… 6 分 …… 8 分 …… 10 分
从这 6 人中随机抽取 2 人，至少有 1 人在甲组的概率为 P 1 C22 20 ． C62 21
答：至少有 1 人在甲组的概率为 20 ． 21
20．（本小题满分 12 分）
…… 12 分
【解】（1）当 a 1时， f (x) x3 x2 x 1，
所以 f (x) 3x2 2x 1 (x 1)(3x 1) ．
7 名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院， 共有 27 128 种等可能的基本事件，
…… 2 分
其中事件 A 包含 C72 21 种情况，
所以 P( A) 21 ． 128
3
答：7 名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为 7 . …… 4 分 42
（2）若要求每家医院至少 1 人共有 27 2 126 种等可能的基本事件. …… 6 分
又因为 h(1) me 1 0 ，h(ln 1 ) (ln 1 )2 1 0 ，
m
m
所以存在唯一的
x0
(1
，ln
1 m
)
，
使
得
h(x0 ) mx02ex0
1 0.
…… 8 分
当 x (0 ，x0 ) 时 ， h(x) 0 ， 所 以 在 (0 ，x0 ) 上 单 调 递 减 ，
当 x (x0 ， ) 时 ， h(x) 0 ， 所 以 在 (x0 ， ) 上 单 调 递 增 ，
12．ACD
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）
13．35
14． 2 3 ； 1 3 ，1 3
3
3
15．3
16． 43
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分） 17．（本小题满分 10 分）
【解】（1）由 z1 a 2i ， z2 3 4i ，
得 z1 a 2i (a 2i)(3+4i) 3a 8 4a 6 i ．
…… 12 分
5
2019～2020 学年（下）高二期中学业质量监测
数学参考答案与评分建议
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分） 1~4． B A C C 5~8．B D A A
2020．05．18
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）
9．AC
10．BCDm(ln 1
ln 1
1)e m ln
ln 1
1 ln ln 1
t ln 1
0，
m
m
m
m
m
又 因 为 F (x0 ) F (1) 0 ，
所 以 函 数 F (x) 在 (x0 ， ) 上 有 唯 一 的 零点，
又因为 F (x) 在 (0 ，x0 ) 上 有 唯 一 的 零点， 所 以 函 数 F (x) 恰 2 个不同零点．
随机变量 的所有取值为1，3，5 ， P( 1) C37 + C74 70 5 ；
126 126 9 P( 3) C72 + C57 42 1 ；
126 126 3 P( 5) C17 + C76 14 1 .
126 126 9 所以随机变量 的分布列为
X
1
3
5
P
5
1
1
9
x
(， a) a
(a，a )
a
( a ， )
3
3
3
f (x)
0
0
f (x)
极大值 极小值
…… 10 分
所以函数 f (x) 的极大值为 f (a) a3 1 ，极小值为 f ( a ) 1 5 a3 ．
3
27
…… 12 分
21．（本小题满分 12 分）
【解】（1）设“7 名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件 A．
2
令 f (x) 0 ，得 x 1 或 x 1 ， 3
列表如下：
…… 2 分
x
2
(2， 1)
1
(1，1) 3
1 3
( 1 ，1) 3
1
f (x)
0
0
f (x) f (2)
极大值 极小值
f (1)
由于 f (1) 2 ， f (1) 2 ，
所以函数 f (x) 在区间2 ，1 上的最大值为 2．