岩土边坡稳定性分析新方法与工程应用

θ(x)
Kw(x)
Hale Waihona Puke Thrust force滑面应力分布
w(x)
τ(x) σ(x)
u(x)
σ (x ) = λ1ξ1 ( x ) + λ2ξ 2 (x ) + ξ 3 ( x )
ξ1 (x ) =
α(x)
(x − a )(x − b)(x − a2 ) (x − a )(x − b )(x − a1 ) ξ2 (x ) = (a1 − a )(a1 − b)(a1 − a2 ) (a2 − a )(a2 − b )(a2 − a1 )
400
method
E(x) Present method Spencer method
300 200 T(x) 100 0 (c) Magnitude of internal forces
Present method Spencer method
(a) Lines of thrust forces
kPa
150 100
σ (x)
Present method Spencer method
u(x)
50 0 (b) Distribution of total normal stresses along the slip surface kN/m
400
E(x)
300 200 T(x) 100 0 Present method Spencer method
=W −
b
1 Fs
2
∫
b
a
b s ′( x ) s ′( x )[c( x ) − u (x ) tan φ ( x )]dx − ∫ 1 + tan φ ( x )ξ 3 ( x )dx a Fs
(12b)
Fs
∫ {[λ ξ (x ) + λ ξ (x ) + ξ (x ) − u(x )] tan φ (x ) + c(x )}⋅ [y − s(x ) + s ′(x )(x − x )]dx = ∫ σ (x ){s ′(x )[y − s(x )] + x − x }dx
Present method
Spencer method
(a) Lines of thrust forces
kPa
150 100
σ (x)
Present method Spencer method Simplified Bishop
u(x)
50 0 (b) Distribution of total normal stresses along the slip surface kN/m
边坡稳定性极限平衡法显式解答
传统方法：通过对条块间作用力方式进行假设， 传统方法：通过对条块间作用力方式进行假设，使 滑体满足部分或全部平衡条件。 滑体满足部分或全部平衡条件。 除瑞典法外， 除瑞典法外，安全系数是隐含于平衡方程或方 程组，需迭代求解。如需严格满足平衡条件， 程组，需迭代求解。如需严格满足平衡条件，安全 系数求解过程非常复杂且可能出现不收敛。 系数求解过程非常复杂且可能出现不收敛。
a 1 1 2 3 c c b a c c
(12c)
安全系数求解
简化的平衡方程组： 简化的平衡方程组：
λ1 ⋅ A1 +
1 1 1 ′ ′ A1′ + λ 2 ⋅ A2 + A2 = A3 + A3 Fs Fs Fs 1 1 1 ′ ′ B1′ + λ 2 ⋅ B2 + B2 = B3 + B3 Fs Fs Fs
安全系数3次代数方程： 安全系数 次代数方程： 次代数方程
F + t2 F + t1Fs + t0 = 0
3 s 2 s
t t Fs − 2 + p Fs − 2 + q = 0 3 3
根据卡尔丹公式，上式根有4种组合情况： （1）1个实根，两个共轭复根；（2）3个重零根；（3）3个实根 中，有两个相等；（4）3个不相等的实根。 对实际边坡稳定性问题，不存在2个或3个不等的安全系数同时使边坡 达到极限平衡状态，因此式P1-22只有1个实根，其余为无意义的复根 ，该实根为安全系数显解： 安全系数显解： 安全系数显解
1 (D1T1 + D2 S1 + D3G1 ) + 12 (D1T2 + D2 S2 + D3G2 ) Fs Fs Fs = (E1T0 + E2 S0 + E3G0 ) + 1 (E1T1 + E2 S1 + E3G1 ) + 12 (E1T2 + E2 S2 + E3G2 ) Fs Fs
(D1T0 + D2 S0 + D3G0 ) +
Fs
滑面应力分布
(7c)
σ (x ) = λ1ξ1 ( x ) + λ2ξ 2 (x ) + ξ 3 ( x )
个末知量（ 个平衡方程： 含3个末知量（λ1 , λ2 and Fs）的3个平衡方程： 个末知量 个平衡方程
λ1 ⋅ ∫ − s ′(x ) +
b a

b 1 1 tan φ ( x )ξ 1 ( x )dx + λ 2 ⋅ ∫ − s ′( x ) + tan φ ( x )ξ 2 ( x )dx a Fs Fs
(13a) (13b) (13c)
λ1 ⋅ B1 +


Fs =
D1λ1 + D2 λ 2 + D3 E1λ1 + E 2 λ 2 + E 3
1 1 T1 + 2 T2 Fs Fs λ1 = 1 1 G0 + G1 + 2 G2 Fs Fs T0 +
1 1 S1 + 2 S2 Fs Fs λ2 = 1 1 G0 + G1 + 2 G2 Fs Fs S0 +
σ (x ) =
w(x )[cosθ (x ) − K c sin θ ( x )]cos α ( x ) + cos[α (x ) − θ ( x )] + 1 [u(x ) tan φ (x ) − c(x )]sin[α (x ) − θ (x )] F0
1
1 tan φ (x )sin[α ( x ) − θ ( x )] F0
ξ3 (x ) = σ a
(x − b )(x − a1 )(x − a2 ) + σ (x − a )(x − a1 )(x − a2 ) (a − b )(a − a1 )(a − a2 ) b (b − a )(b − a1 )(b − a2 )
极限平衡方程组
平衡条件：水平力平衡、竖直力平衡、 平衡条件：水平力平衡、竖直力平衡、力矩平衡
Line of thrust 10 m 45°
kPa 50 40 30 20 10 0
The present method : σ(x)
The theory of plasticity : σ(x)
结论： 结论：尽管本法对应的滑面正应力分布与理论解有一定的 差别， 差别，但计算的安全系数或坡面极限荷载与理论解非常接 据此可认为， 近，据此可认为，建议假设的滑面正应力分布形状在边坡 工程应用中是可以接受的。 工程应用中是可以接受的。
(12a)
= K cW −
1 Fs
∫a [c(x ) − u(x ) tan φ (x )]dx − ∫a − s ′(x ) +
b b

1 tan φ ( x )ξ 3 ( x )dx Fs
λ1 ⋅ ∫ 1 +
a
b

b s ′( x ) s ′( x ) tan φ ( x )ξ 1 ( x )dx + λ 2 ⋅ ∫ 1 + tan φ (x )ξ 2 ( x )dx a Fs Fs
−∫
b a
σ ( x )s ′(x )dx + ∫ τ (x )dx = K cW
b a b
(7a) (7b)
c
∫
b a
a
σ ( x )dx + ∫ τ ( x )s ′(x )dx = W
b a c
∫ {[− σ (x )s ′(x ) + τ (x )]⋅ [y − s(x )] + [σ (x ) + τ (x )s ′(x )](x − x ) }dx = 0 1 τ ( x ) = {[σ ( x ) − u ( x )] tan φ ( x ) + c( x )} 破坏准则： 破坏准则：
t q q q p q p Fs = 2 + 3 − + + + 3 − − + 3 2 2 2 3 2 3
2 3 2 3
3
算例1： 算例 ：与理论解比较
111.4 kPa
无粘性土边坡，坡顶受均 布荷载作用，其极限荷载 有理论解，Sokolovskii解。 c=10 kPa and φ =30° 111.4 理论极限荷载111.4 kPa 理论安全系数Fs=1.0 实际计算安全系数 Fs=1.032
显式方法：通过对滑面正应力分布形状进行假设， 显式方法：通过对滑面正应力分布形状进行假设， 使滑体满足全部平衡条件。 使滑体满足全部平衡条件。 安全系数为显式表达式，求解过程简单，不用 安全系数为显式表达式，求解过程简单， 划分条块，不存在不收敛问题。 划分条块，不存在不收敛问题。
滑体受力情况及滑面正应力分布假设