必修五基本不等式(第一课时)
数学北师大版高中必修5北师大版数学必修五不等式《基本不等式——第一课时》doc教案
课题: §3.1基本不等式第1课时授课类型：新授课【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】2a b +≤的证明过程； 【教学难点】2a b +≤等号成立条件 【教学过程】1.课题导入2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +2）2a b +≤用分析法证明：要证 2a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
人教A版高中数学必修五课件第一课时基本不等式
(C)
(A)1+ 2 (B)1+ 3 (C)3 (D)4
解析:∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)=x+ 1 =x-2+ 1 +2≥
x2
x2
2 x 2 1 +2=4,当且仅当 x-2= 1 ,即 x=3 时,等号
x2
x2
成立,∴a=3.故选 C.
3.若 m≠0,则实数 m2+ 1 与 2 的大小关系为
解:(1)∵x>0,
∴ 9 >0, x
由基本不等式可得
f(x)=x+ 9 ≥2 x 9 =6,当且仅当 x= 9 ,即 x=3 时 f(x)取到最
x
x
x
小值 6.
(2)由 lg a+lg b=2 可得 lg ab=2, 即 ab=100,且 a>0,b>0,
因此由基本不等式可得 a+b≥2 ab =2 100 =20,当且
跟踪训练 3-1:(2013 新泰一中高二期中)设 x,y∈R,且
xy≠0,则（x2+ 1 ）（ 1 +4y2）的最小值为
.
y2
x2
解析:（x2+ 1 ）（ 1 +4y2）=1+4x2y2+ 1 +4=5+4x2y2+ 1
y2 x2
x2;2 4x2 y2 1 =9, 当且仅当 4x2y2= 1 ,
点击进入课后作业
4
2
∴lg（x2+ 1 ）≥lg x(x>0),故选项 A 不正确;运用基本不 4
等式时需保证一正二定三相等,而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确;由基本不等式可知,选项 C 正
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
《基本不等式(第1课时)》教学设计
课题：基本不等式（第1课时）一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系.认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况，符合学生的认知规律．学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的“最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题．同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容．教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程．有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一．《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……”、“还应注重提高学生的数学思维能力”．本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识．二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A 版《数学（必修5）》第三章 3.4基本不等式：2a b +≤的第1课时． “基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型．基本不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化．这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量．这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
人教版A版高中数学必修5：3.4 基本不等式(第一课时)
一.内容：
●利用基本不等式求最值
二.公式：
（1）a b 2 ab (2)ab ( a b ) 2
2
三.均值定理：
一“正”，二“定”，三“相等”
1.课本P100 练习1、2、3； 课本P100 习题3.4 A组 1.
2.同步练习册完成.
等时取最值.简记“和定积最大”.
三、极值定理
利用均值不等式求最值：
a b 2 ab或ab ( a b)2 (a 0, b 0) 2
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数：
(1)若积 xy=P（定值）， 则和 x+y有最小值为 2 p ，
(当且仅当 x=y = p 时, “=”成立).
二、均值不等式
ab a b (a>0,b>0)
2
（当且仅当 a b 时取“=”）
a b 称为a、b的算术平均数，
2
ab 称为a、b的几何平均数.
注意：1．公式适用范围：a>0,b>0
2．文字表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.
变形公式：
() 2
即2(x y) 40 当且仅当x=y=10时,“=”成立.
∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱 笆是40m.
结论1：两个正数积为定值时，和有最小值，当且仅当两正数相
等时取最值.简记“积定和最小”.
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最 大面积是多少？
3.4
基本不等式： ab
a
2
b
（第一课时）
三国时期吴国数学家赵爽
高中数学必修五课件基本不等式(1)
利用基本不等式求最值的步骤和技巧
通过代换、拆分、配凑等方法简化计算过程。 求解不等式，得出最值。
利用基本不等式求最值的步骤和技巧
01
技巧
02
03
04
灵活运用基本不等式及其变形 形式。
善于观察不等式特点，选择合 适的求解方法。
注意求解过程中的等价变换， 确保解的正确性。
解析
基本不等式的证明通常可以采用以下方法之一
1. 综合法
利用已知的不等式和基本不等式性质进行推导；
2. 分析法
从结论出发，分析使结论成立的条件，逐步推导出 已知条件；
3. 放缩法
通过适当的放大或缩小，将不等式转化为易于证 明的形式。
总结
证明基本不等式时，需要灵活运用已知的不等式和基本 不等式性质，选择合适的证明方法。
05
典型例题解析
典型例题一：一元二次不等式的解法
题目：解不等式 $ax^2 + bx + c > 0$（$a neq 0$）。
解析：一元二次不等式的解法通常包 括以下几个步骤
1. 判断 $a$ 的符a = b^2 - 4ac$ ，判断不等式对应方程的根的情况；
一元二次不等式具有对称性、周期性 等性质，这些性质在解题过程中具有 重要作用。
一元二次不等式的图像
一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集 对应的图像是抛物线在 $x$ 轴上方或 下方的部分。
一元二次不等式在实际问题中的应用
面积、体积问题
练习题三：利用基本不等式求最值
题目
求函数 $y = x + frac{4}{x}$ 在 $x > 0$ 的最小值。
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式
ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能 应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必 须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一 对基本不等式的理解
【例 1】 给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三 利用基本不等式证明不等式 【例 3】 已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.
基本不等式的证明第一课时
ab
(2) ab≤
(a >0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。
2
2. 利用基本不等式求最值
注意把握 “一正，二定，三相等”
五、作业
课本P98
练习题1-7题
① l1 a=l2M；② l1M=l2b,两式相乘再除以 l1 l2，可得到 M= ab。
问题3：这两个值相等吗？这两个数大小关系如何？
二、自主探究，学习新知
探究活动1：
猜想结论：
二、自主探究，学习新知
探究活动2：
结论：两个正数的几何平无均数不大于它们的算术平均数，当两
个正数相等时两者相等。
你能给出证明吗？
二、自主探究，学习新知
探究活动3：
如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b。
过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
可用a,b表示图中的半径和CD长
连接OD，在直角三角形OCD中
CD和OD始终满足什么关系？
ab
≥ ab
2
几何意义：半径不小于弦长的一半
x
变式 3：若 x 3 ，求 y x
1
的最小值。
x 3
③注意等号成立的条件.
一“正”
二“定”
三“相等”
四、课堂小结：
1. 本节课你学到了什么？在运用基本不等式
时要注意什么？
2. 你还有哪些疑问？
1. 基本不等式
（1）正数的几何平均数小于等于算术平均数
一、创设情景，引入新课
问题 1：物体放在不等臂天平左盘上称得质量为 a，物体放在不等臂天平右盘上称得质
+
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Q xy x y 50 25 得 xy<625 22
当且仅当x=y=25时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为25m时，菜园 面积最大，最大面积是625 m2
时，
x
6 y取的最 大 值，且此值为
。
2、（1）把 36 写成两个正数的积，当这两个正数
x y6
12 取什么值时，它们的和最小？
（2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数
x y9 81 取什么值时，它们的积最大？
3、用 20cm 长的铁丝，怎样才能折成一面积最大的矩形？
长和宽都为5时，面积最大，最大面积为25
Q x y xy x y 2 36, 2 2(x y) 24
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=6.
因此，这个矩形的长、宽都为6m时，所用的篱笆 最短，最短的篱笆是24m.
例3、（2）一段长为100m的篱笆围成一矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。 最大面积是多少？
剖析新知
比对分析、加深理解 基本不等式1： 基本不等式2： 相同点：
不同点下列表述的正误。
（基本不等式的灵活使用） （基本不等式的适用范围） （基本不等式的取等条件）
× ×
剖析公式应用
1. 注意成立的条件
⑴ a、 b是两个正数. ⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立 2.变形用
)
-2
当x=-1时，y取得最大值，最大值为-2
[规律方法] 在使用基本不等式 ab≤a＋2 b a≥0，b≥0 时，要注意不 等式的双向性.
①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤a＋2 b2； ②从右到左：常使用 a＋b≥2\r(ab).
学以致用，小试牛刀
强调环证境明：
取等条件
变式： 当 a＞0，b＞0 时，求证：1a＋2 b1≤ ab. 证明 ∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2 ab＞0，
解：Q x 0, y x 1 2 x 1 2
x
x
当x=1时，等号成立
当x=1时，y取得最小值，最小值为2
变式：若x 0,求y x 1 的最大值。 x
解：Q x 0,x 0
(x) 1 2 (x) 1 2,
x
(x)
当-x= 1 时，即x=-1时等号成立 x
y
-(- x
1 -x
课堂小结
1.两个非常重要的基本不等式
2.代数、几何多种方法去证明基本不等式 3.两个重要的数学思想
变形思想、数形结合思想 4.使用基本不等式时需要注意的地方 适用范围、取等条件、灵活使用
【课后作业】
3 1、 (1) x 0, y x 9 ，当x= x
时，
6 ymin =
。
3 (2) x 0, y x 9 ，当x=
4、直角三角形的面积为 50，两条直角边各为多少时， 两直角边的和最小？最小值为多少？
两条直角边都为10时，和最小，最小为20
1.两个 正 数的和为 定 值时，它们的积有最大值，
即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则
ab £ M2 4
等号当且仅当a＝b时成立.
和定积最大
2.两个 正 数的积为 定 值时，它们的和有最小值，
即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则
a＋b≥ 2 P 积定和最小
等号当且仅当a＝b时成立.
探索新知
正方形ABCD
四个直角三角形
结论交给你，解释靠自己！ 动手吧！回答问题！
探索新知
证明：
“作差法”
把已有的知识进行变形，是我们 数学研究中推陈出新的重要方法
探索新知
快 快 动 手 吧 ！
探索新知
基本不等式的证明方法非常多，我们再来欣赏另一种利用几何图形来证明 定理2的方法吧！
几何平均数
基本不等式：
几何平均数
ab
a
b 2
(a
0, b
0)
当且仅当当且仅 当a=b
等号成立时，等
号成立。
算术平均数
注意：
两个不等式的不同,而等号成立的条件相同.
剖析新知
我们把这个基本不等式也经常称作均值不等式
不等式说明：
多角度理解不等式：
1.从平均数的角度： 两正数的 算术平均数 大于或等于它们的 几何平均数 2.从数列的角度： 两正数的 等差中项 大于或等于它们的 等比中项
4、 判断正误：
√ (1) x2 +1≥2 x ( )； × (2) x 1 ≥2 ( )；
x
× (3) b a ≥2 ( )；
ab
(4) lg a lg b ≥2 lg a lgb (× )； √ (5) ab ≤( a b ) 2 ( )。
2
例1、若x 0,求y x 1 的最小值及此时x的值。 x
∴1≤ a＋b 2
1ab，
∴a2＋abb≤22aabb＝ ab.
又∵a2＋abb＝1a＋2 b1， ∴1a＋2 1b≤ ab(当且仅当 a＝b 时取等号).
例3、（1）用篱笆围一个面积为36m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=36，篱笆的长为2（x+y）m.