第一章线性方程组的化简(13-14年)

2.线性方程组的线性组合 线性方程的加法：将两个线性方程
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2
(1)
(2)
的左右两边相加得到如下的新线性方程：
a11 a12 x1 a12 a22 x2 a21 a2n xn b1 b2
系数
的解取决于
aij i , j 1,2,, n,
常数项 bi i 1,2 , , n
矩阵的定义
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a 21 a n1
b1 a 22 a 2 n b2 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. a n 2 a nn bn a12 a1 n
c11 x1 c12 x 2 c1r x r d1 c1，r 1 x r 1 c1n x n c22 x 2 c2 r x r d 2 c2，r 1 x r 1 c2 n x n crr x r d n cr，r 1 x r 1 crn x n
称为原来两个线性方程的和。
线性方程乘常数 将线性方程
方程的数乘。
a1 x1 a2 x2 an xn b,
两边同乘以已知常数

，得到一个新的线性方程：
a1 x1 a2 x2 an xn b.
线性方程的线性组合 将线性方程(1)和(2)分别乘两个已知常数 1 , 2 再将所得的两个方程相加，得到新方程：
（I）若 d r 1 0 . 则原方程组无解 ；
i） r n . 这时阶梯型方程组为：
（II）当 d r 1 0 或方程组中根本没有0 0 的方程，分两种情形：
c11 x1 c12 x 2 c1n x n d1 c22 x 2 c2 n x n d 2 cnn x n d n
第一章 线性方程组的消元法 和矩阵的初等变换
线性方程组的消原法 矩阵的初等变换
第一节 线性方程组的消元法
一、线性方程组的基本概念
1. 引例 线性方程组的定义 某农场有鸡和兔子15只，共有40条腿。 问：鸡和兔子各多少只？
几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知 数的个数为 n ，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如 下形式 ：
矩阵的定义
定义 1
由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 排成的 m行 n 列的数表
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
am 1 am 2 amn
称为 m n矩阵.简称 m n 阵. 记作
矩阵的定义
a11 a 21 A a m1
若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，
否则 ，称为非齐次线性方程组 .
n个数x1=c1， x2=c2 ，…，xn=cn组成的有序数组称为方 程组的一个解，记为：
c1 c2 x , cn
所有解组成的集合称为解集合 两个方程组有相同的解集合，则称为同解方程组
一、矩阵及其初等变换
1. 线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方 程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性 组合。 若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组等 价 等价的线性方程组一定同解。 将方程组(I)变成方程组(II)的过程称为同解变换。
二、消元法解线性方程组
1、线性方程组的初等变换 分析：用消元法解下列方程组的过程． 例1 求解线性方程组
其中 cii 0 , i 1,2,, r . 将它改写成 ： c11 x1 c12 x 2 c1r x r d1 c1，r 1 x r 1 c1n x n c22 x 2 c2 r x r d 2 c2，r 1 x r 1 c2 n x n crr x r d n cr，r 1 x r 1 crn x n
x1 x2 x3 4 2 x1 x2 x3 2 3 x1 2 x2 2 x3 4
1 2
(1)
3
x1 x2 x3 4 (1) 2 x1 x2 x3 2 1 3 3 x1 2 x2 2 x3 4 x1 x2 x3 4 3 x2 x3 6 x2 x3 8
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
其中 aij ( i 1,2,, m ；j 1,2,, n) 称为系数 ， bi ( i 1,2,, m ) 称为第 i 个方程的常数项 .
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 考查方程组 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
1 2
解
1 2
3
x1 x2 x3 4 x2 x3 8 3 x2 x3 6
x1 x2 x3 4 x2 x3 8 2 x3 18
x1 x2 x3 4 x2 x3 8 x3 9
这样我们可以把 x1 ，x2 ， ，xr 通过x1 ，xr 1 ， ，xn 表示出来 这样一组表达式称为方 程组的一般解，而 xr 1 ， ，xn 称为 一组自由未知量 .
定理2 在齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n 0
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同 解变换．
定理1 线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解 方程组 ．
例2
求解线性方程组
x1 2 x2 3 x3 x4 1, 3 x1 x2 5 x3 3 x4 2, 2 x x 2 x 2 x 3. 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 0 . x1 x2 x3 3 x4 1 x x 2x 3x 1 2 1 2 3 4
a12 a 22 am1
1a11 2 a21 x1 1a12 2 a22 x2
1a1n 2 a2 n xn 1b1 2b2
称为原来两个方程(1)和(2)的一个线性组合，
(3)
1 , 2 称为这个线性方程的组合系数。
将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一 定是线性组合(3)的解。
定义1 上述三种变换均称为线性方程组的初等变换 ．
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
j
k k
j
( B ), 则( B ) ( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i
i i
j
( A);பைடு நூலகம்
k ( A); k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
ii） r n . 这时阶梯型方程组为：
c11 x1 c12 x 2 c1r x r c1，r 1 x r 1 c1n x n d1 c22 x 2 c2 r x r c2，r 1 x r 1 c2 n x n d 2 crr x r cr，r 1 x r 1 crn x n d r
中，如果 m n , 那么它必有非零解.
第二节 矩阵的初等变换
为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知 数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表， 用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与 求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上 可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的 概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化 为阶梯型方程组后求解。
（3）化为阶梯型方程组：
c11 x1 c12 x 2 c1n x n d 1 c22 x 2 c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r 0 d r 1 00 00
x 1 x2 x3 4 x x 4 2x 1 ．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 1 2 3 2 下三种变换 3 x x 6 2 x x x 2 2 3 1 2 3 （ 1）交换方程次序； 3 x x 8 3 x 2 x 2 x 4 2 3 2 3 1 x1 x2 x3 4 x1 x2 x3 4 （ 2 ）以不等于０的数乘某个方程； 3 x2 x3 6 x2 x3 8 x2 x3 8 3 x2 x3 6 （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
于是解得
x1 x2 5 x2 1 x3 9