新人教版九年级上册数学教案：24. 1. 4 圆周角

24. 1. 4 圆周角
第1课时圆周角的概念和圆周角定理
教学目标
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．
2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．
重点难点
重点：圆周角的概念和圆周角定理．
难点：用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．
教学过程
活动一：复习类比，引入概念
1．用几何画板显示圆心角．
2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图．
(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.
(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？
学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．
3．总结圆周角概念．
(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义，估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．
(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图．
学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．
(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．
设计意图：采用类比圆心角的定义，迁移得到圆周角的定义．为了强调圆周角的两边要和圆相交，通过上图，学生能准确、深入理解圆周角的概念，明确定义中的两个条件缺一不可，通过圆心角和圆周角概念的比较，加深了学生对概念的理解．
活动二：观察猜想，寻找规律
1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，
它们之间有什么数量关系？由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．
2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
设计意图：圆周角和圆心角联系的桥梁是它们所共同对着的那条弧，在特殊情况下，较易发现它们之间的关系，符合从特殊到一般的认识规律．
活动三：动手画图，证明定理
1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．
2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否全面？
3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对的圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．
4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评．
5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”通过转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，
进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示，然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．
设计意图：让学生动手面出图形，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系，为后面证明中的分类讨论做好铺垫，从特殊的位置关系“圆心在圆周角的一边上”的情形入手证明，再把这种情形作为基本图形，将其他两种情形转化为第一种情形，降低了证明的难度，有利于探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系．同时，通过此定理的证明，要使学生明确，要不要分不同情况来证明，主要看各种情况的证明方法是否相同，相同者不需分，不相同者必须对各种不同情况逐个加以证明，感悟分类讨论的数学思想．
活动四：达标检测，反馈新知
1．教材第88页练习第1题．
2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.
3．如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.
(答案：1.略；2.120°；3.120°.)
活动五：归纳小结，作业布置
归纳小结：
1．圆周角概念及定理．
2．类比和一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．
第2课时圆周角定理的推论和圆内接多边形
教学目标
1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．
2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．
3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．
重点难点
重点：圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．
教学过程
活动一：温习旧知
1．圆周角定理的内容是什么？
2．如图，若︵BD的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A＝________.
3．如图，四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC 所夹∠2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________.
4．判断正误：
(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．( )
(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．( )
(答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略．)
设计意图：在本节课一开始设计“温习旧知”这个环节，不只是对上一节课知识的简单回顾，用意在于要由“旧知”引出“新知”．三个具体问题既全面地“温习旧知”，又为下面的教学环节搭起支架．活动二：探索圆周角定理的“推论”
1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC、∠ADC、∠AEC的大小关系如何？为什么？
让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？
2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？
让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．
3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
4．师生共同解决教材第87页例4.
设计意图：通过设计问题串让学生了解几个推论的由来，同时培养学生的探索精神．
活动三：探索圆内接四边形的性质
1．教师给学生介绍以下基本概念：
圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接
圆．
2．要求学生画一画，想一想：
在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B、∠C、∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形的对角互补．
4．课件展示练习：
(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B ＋∠ADC＝________；若∠B＝80°，则∠ADC＝ ________，∠CDE＝________；
(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝100°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________；
(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；
(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.
(5)观察并思考：在(1)题图中，∠B和∠CDE什么关系？想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？
(答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)相等，都有．)
设计意图：活动三展示的是本节课的最重要的探究活动，共分为四个环节．第1个环节简单介绍相关概念，由于概念简单，教师不必纠缠；第2个环节“要求画一画，想一想”，学生在教师的引导之下进行思考，初步得出结论；第3个环节先用几何画板从实验的角度去探究结论的正确性，然后教师再引导学生用所学知识证明结论；第4个环节的练习是圆内接四边形的性质的应用．四个环节层层递进，步步深入．
活动四：基础练习
1．教材第88页练习第5题．
2．圆的内接梯形一定是________梯形．
3．若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4 B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4 D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1
(答案：1.略；2.等腰；3.B.)
活动五：课堂小结与作业布置
课堂小结：1.本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质；并初步应用性质进行有关问题的证明和计算．
2．我们结合几何画板探索出圆内接四边形的性质，在这一过程中用到了许多数学方法(实验、观察、类比、分析、归纳、猜想等)．因此，同学们要逐步学会并应用这些方法去探讨有关的数学问题，提高我们的数学实践能力与创新能力．。