2020高考数学第二章函数、导数及其应用考点测试8二次函数与幂函数文(含解析)

考点测试8 二次函数与幂函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读1．了解幂函数的概念2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1．若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 关于y 轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为( ) A ．y ＝2x 2＋x ＋3 B ．y ＝2x 2＋3 C ．y ＝2x 2＋x －3 D ．y ＝2x 2－3 答案 B解析 由题可知函数y ＝f (x )为偶函数，则b ＝0．又过点(0，3)，则c ＝3，故解析式为y ＝2x 2＋3．故选B ．2．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B ． 2 C ．2 2 D ．1 答案 C解析 设f (x )＝x α，由条件知f (4)＝2，所以2＝4α，α＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝22．故选C ． 3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋m ，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的值为( )A ．1B ．2C ．m －1D ．m 答案 C解析 由题意知，函数的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (1)＝m －1．故选C ．4．函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20，4] B ．(－20，4)C ．－20，92D ．－20，92答案 C解析 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f 32＝－2×94＋6×32＝92，f (x )min ＝min{f (－2)，f (2)}，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为－20，92，故选C ．5．若函数f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－6 答案 B解析 解法一：由f (1)＝f (2)＝0可得p ＝－3，q ＝2，故f (x )＝x 2－3x ＋2，f (－1)＝6．故选B ．解法二：由题意知f (x )＝(x －1)(x －2)，则f (－1)＝6．6．若函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域都是[1，b ]，则实数b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 二次函数的对称轴为直线x ＝1，它在[1，b ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f (b )＝b 2－2b ＋2＝b ，b >1，解得b ＝2．故选C ．7．已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0] 答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，满足题意；当a >0时，函数f (x )的图象在其对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a <0时，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－a －32a，∵函数f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－a －32a≤－1，得－3≤a <0．综上可知，实数a 的取值范围是[－3，0]．故选D ．8．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，则实数a ＝( )A ．－15B ．1C ．1或－15D ．－1或－15答案 A解析 因为f (x )＋2x >0的解集为(1，3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a ．由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0．因为方程有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－15．由于a <0，则a ＝－15．故选A ． 9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，且y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，则f (－2)的值为( )A ．16B ．8C ．－16D ．－8 答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，∴函数f (x )为偶函数，又幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，∴－m 2＋2m ＋3是偶数，且－m 2＋2m ＋3>0，∵m ∈Z ，∴m ＝1，∴幂函数f (x )＝x 4，f (－2)＝16．故选A ．10．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( )A ．12，＋∞ B．12，＋∞ C ．[－4，＋∞) D．(－4，＋∞) 答案 B解析 由题意得，对一切x ∈12，2，f (x )>0都成立，即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－21x －122＋12在x ∈12，2上恒成立，而－21x －122＋12≤12，则实数a 的取值范围为12，＋∞．故选B ． 11．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________． 答案 －4解析 由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4．12．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析 因为y ＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，且f (0)＝－4，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，所以32∈[0，m ]，即m ≥32．又f (m )≤－4，则0≤m ≤3，所以32≤m ≤3．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，即a <c ，又因为函数y ＝4x在R 上单调递增，所以425<423，即b <a ，所以b <a <c ．故选A ．14．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b ．∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B ．解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M－m 的值在变化，故与a 有关．故选B ．15．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f [f (x )]的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 记g (x )＝f [f (x )]＝(x 2＋bx )2＋b (x 2＋bx )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋bx ＋b 22－b 24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24＋b 22－b 24． 当b <0时，－b 24＋b2<0，即当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24＋b2＝0时，g (x )有最小值，且g (x )min ＝－b 24，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b24，所以f [f (x )]的最小值与f (x )的最小值相等，都为－b 24，故充分性成立．另一方面，当b ＝0时，f [f (x )]的最小值为0，也与f (x )的最小值相等．故必要性不成立．故选A ．16．(2015·陕西高考)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上 答案 A解析 由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A ，B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a ．由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错误．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错误，与题意不符，故A ，B 中有一个错误，C ，D 都正确．若A ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8，②4ac －b 24a ＝3，③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0， 又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错误．若B ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A ．17．(2017·北京高考)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 解法一：由x ＋y ＝1，得y ＝1－x ．又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12．由0≤x ≤1，得0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14，所以12≤x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1．解法二：x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ，已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝1－2xy ． 因为1＝x ＋y ≥2xy ，所以0≤xy ≤14，所以12≤1－2xy ≤1，即x 2＋y 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1．解法三：依题意，x 2＋y 2可视为原点到线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－1|22＝12，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝|OB |2＝1，故x 2＋y 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1． 18．(2018·上海高考)已知α∈－2，－1，－12，12，1，2，3．若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．答案 －1解析 ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1．三、模拟小题19．(2018·湖北黄冈中学质检)幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1答案 D解析 在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0，1)内作直线x ＝x 0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n <0<m <1，故选D ．20．(2018·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．2 答案 A解析 f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4，∴函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值，当x ＝1时，f (x )取得最大值，∴f (0)＝a ＝－2，f (1)＝3＋a ＝3－2＝1，故选A ．21．(2018·湖北荆州模拟)二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，又f (0)＝3，f (2)＝1，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B．[2，＋∞) C ．(0，2] D ．[2，4] 答案 D解析 ∵二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，∴其图象的对称轴是x ＝2，又f (0)＝3，∴f (4)＝3，又f (2)<f (0)，∴f (x )的图象开口向上，∵f (0)＝3，f (2)＝1，f (4)＝3，f (x )在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1，∴由二次函数的性质知2≤m ≤4．故选D ．22．(2018·河南洛阳二模)已知点a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数 答案 A解析 ∵点a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，∴a －1＝1，解得a ＝2，则2b＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A ．23．(2018·河南南阳模拟)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．0，57C ．(－∞，0)∪0，57D ．－∞，57答案 D解析 由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1，3]恒成立，即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1，3]恒成立．∵当x ∈[1，3]时，x 2－x ＋1∈[1，7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1．∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57，∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1，3]恒成立，则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为－∞，57，故选D ．24．(2018·湖北武汉模拟)幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A ．0B ．1C ．12 D ．2答案 A解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M 13，23，N 23，13，分别代入y ＝x a，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log2313＝0．故选A ．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·湖南祁阳二模)已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k ．(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．解 (1)依题意得，(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0．(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)， 当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )， 即B ＝[2－k ，4－k )，因p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1．2．(2018·河北邯郸一中月考)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R ． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2． (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0． 解得a ＝－1或a ＝32．(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0， 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32．∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174，∴f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴－194≤f (a )≤4，即f (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4． 3．(2018·河南信阳一中月考)已知函数f (log 2x )＝x 2＋2x ． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a ·2x－4在区间(0，2)内有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围． 解 (1)设t ＝log 2x ，t ∈R ，则x ＝2t，f (t )＝22t ＋2·2t ＝4t ＋2t ＋1．∴f (x )＝4x＋2x ＋1．(2)∵方程f (x )＝a ·2x－4在区间(0，2)内有两个不相等的实根， ∴4x ＋(2－a )2x＋4＝0在(0，2)有两个不相等实根． 令2x＝m ，则m ∈(1，4)，h (m )＝m 2＋(2－a )m ＋4， ∴h (m )＝0在(1，4)上有两个不相等的实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2－16>0，1<a －22<4，7－a >0，28－4a >0，解得6<a <7．4．(2018·河北正定中学质检)已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )． (1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b 的取值范围．解 (1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c .由条件知x 1，x 2就是－1，1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1．(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0， 所以c ＝－1－2b ．记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，由g (x )的图象，得⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0，解得15<b <57．故b 的取值范围为15，57．。