高中数学竞赛函数练习题旧人教原创
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x xD ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x xx x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．186.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmaxS S 的值为 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122243=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a aa a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==， 则 1sin sin sin12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知，33arcsin32≤++<γβαπ。
高中数学竞赛试题
高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. -8C. -6D. 12. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_3 \)的值。
A. 7B. 9C. 11D. 133. 若圆\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)与直线\( 2x + 3y - 6 = 0 \)相切，求圆心到直线的距离。
A. 5B. 10C. 15D. 204. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、60°和80°，求\( \sin B \)的值。
A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，\( a \)和\( b \)为正整数，求\( a + b \)的值。
6. 已知等差数列\( \{c_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项\( c_{10} \)的值。
7. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(2) \)的值。
8. 若正六边形的边长为1，求其外接圆的半径。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
10. 解不等式：\( |x-2| + |x+3| > 8 \)。
11. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
人教版高中数学经典题目练习
❶等比数列｛an｝的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18,求图片中式子的值解:由于{an}为等比数列则:a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10又a5a6+a4a7=18则:2a5a6=18a5a6=9则:log3(a1)+log3(a2)+...+log3(a9)+log3(a10)=log3[a1*a2*a3*...*a10]=log3[(a1a10)*(a2a9)*...*(a5a6)]=log3[9*9* (9)=log3[9^5]=log3[3^10]=10log3[3]=10❷设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n。
(1)设bn=an+3,证明:数列｛bn｝是等比数列(2）求数列｛n倍an｝的前n项和(1)Sn=2an-3nn=1时，S1=a1,故有：a1=2a1-3,a1=3n>=2时，an=Sn-S(n-1)＝2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]＝2an-2a(n-1)-3即：an＝2a(n-1)+3两边+3an+3＝2[a(n-1)+3]而bn=an+3,代入：bn=2b(n-1)所以数列{bn}是等比数列，q=2,首项为b1=a1+3＝6bn=6*2^(n-1)=3*2^nan=bn-3=3*2^n-3(2)设Cn=nan=3n*2^n-3n,为两项和前n项和为TnTn＝3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n]2Tn＝3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n]上式减去下式：-Tn＝3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n]＝3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2＝(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6故：Tn＝(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6注：求这类n项和，都是用Tn减去qTn，错位相消法。
高中数学：竞赛班培训之函数综合练习新课标人教A版必修1
函数综合练习1.已知函数f （x ）=lgxx+-11,若f （a ）=b ,则f （－a ）等于 A.b B.－b C.b 1 D.－b12.设函数f （x ）=log a |x |在（－∞,0）上单调递增,则f （a +1）与f （2）的大小关系是 A.f （a +1）=f （2） B.f （a +1）＞f （2） C.f （a +1）＜f （2） D.不能确定3.函数y =log a （2－ax ）在［0,1］上是减函数,则a 的取值范围是 A.（0,1） B.（0,2） C.（1,2） D.（2,+∞）4.在f 1（x ）=x 21,f 2（x ）=x 2,f 3（x ）=2x ,f 4（x ）=log 21x 四个函数中,x 1＞x 2＞1时,能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是（ ） A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x5.已知f （x ）=x 2－2x +3,在闭区间［0,m ］上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是___________________.6方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.7已知f （x ）=⎩⎨⎧<≥,0,0,0,1x x 则不等式xf （x ）+x ≤2的解集是___________________.8.函数y =f （x ）的图象与y =2x 的图象关于直线y =x 对称,则函数y =f （4x －x 2）的递增区间是___________________.9.设函数f （x ）=x 2+x +21的定义域是［n ,n +1］（n ∈N ）,问f （x ）的值域中有多少个整数？10．已知f （x ）是R 上的偶函数,且f （2）=0,g （x ）是R 上的奇函数,且对于x ∈R ,都有g （x ）=f （x －1）,求f （2002）的值.11.设f （x ）=log 21（11--x ax）为奇函数,a 为常数, （1）求a 的值；（2）证明f （x ）在（1,+∞）内单调递增；（3）若对于［3,4］上的每一个x 的值,不等式f （x ）＞（21）x+m 恒成立,求实数m 的取值范围.12.对于函数f （x ）,若存在x 0∈R ,使f （x 0）=x 0成立,则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）.（1）当a =1,b =－2时,求f （x ）的不动点；（2）若对于任意实数b ,函数f （x ）恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围.1.【答案】 B2解析：由f （x ）=⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-),,0(,log ),0,(),(log x x x x aa 且f （x ）在（－∞,0）上单调递增,易得0＜a＜1.∴1＜a +1＜2.又∵f （x ）是偶函数,∴f （x ）在（0,+∞）上单调递减.∴f （a +1）＞f （2）.答案：B3解析：题中隐含a ＞0,∴2－ax 在［0,1］上是减函数.∴y =log a u 应为增函数,且u = 2－ax 在［0,1］上应恒大于零.∴⎩⎨⎧>->.02,1a a ∴1＜a ＜2.答案：C4解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数.答案：A5解析：通过画二次函数图象知m ∈［1,2］.答案：［1,2］6解析：由lg x +lg （x +3）=1,得x （x +3）=10,x 2+3x －10=0.∴x =－5或x =2.∵x ＞0。
高二人教版函数练习题
高二人教版函数练习题函数是数学中的重要概念，高二学生需要通过大量的练习来加深对函数的理解和应用。
下面是一些高二人教版函数的练习题，希望能帮助同学们巩固所学知识，并提升解题能力。
题目一：已知函数 f(x) = 2x + 3，求下列各式的函数值：1. f(1)2. f(0)3. f(-2)解答一：1. f(1) = 2*1 + 3 = 52. f(0) = 2*0 + 3 = 33. f(-2) = 2*(-2) + 3 = -1题目二：已知函数 g(x) = x^2 + 2x - 1，求下列各式的函数值：1. g(2)2. g(-1)3. g(0)解答二：1. g(2) = 2^2 + 2*2 - 1 = 72. g(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) - 1 = -23. g(0) = 0^2 + 2*0 - 1 = -1题目三：已知函数 h(x) = 3x^3 + 2x^2 - x，求下列各式的函数值：1. h(1)2. h(-2)3. h(0)解答三：1. h(1) = 3*1^3 + 2*1^2 - 1 = 42. h(-2) = 3*(-2)^3 + 2*(-2)^2 + (-2) = -243. h(0) = 3*0^3 + 2*0^2 - 0 = 0题目四：已知函数 k(x) = |x|，求下列各式的函数值：1. k(1)2. k(-2)3. k(0)解答四：1. k(1) = |1| = 12. k(-2) = |-2| = 23. k(0) = |0| = 0题目五：已知函数m(x) = √x，求下列各式的函数值：1. m(4)2. m(9)3. m(0)解答五：1. m(4) = √4 = 22. m(9) = √9 = 33. m(0) = √0 = 0通过以上的练习题，我们巩固了对高二人教版函数的理解和应用。
希望同学们能够运用所学知识，灵活解决各类函数题目，并在高中数学学习中取得优异的成绩！。
高中数学函数大题(含详细解答)
高中函数大题专练２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.（2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x mn ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。
高中数学函数题型练习与参考答案
高中数学函数题型练习与参考答案1. 函数概念与性质练习题1.1 判断题：1）对于任意函数 f(x) 和 g(x)，若它们的定义域相同且在定义域上满足 f(x) = g(x)，则它们一定是同一个函数。
（√）2）对于函数 f(x) = x^2 + 1，当 x > 0 时，f(x) > 0。
（√）3）对于函数 f(x) = 2^x，其值域为全体正实数。
（√）1.2 填空题：1）设函数 f(x) = ax + b，若 f(1) = 2，f(-1) = -2，则 a = 2，b = 0。
2）函数 f(x) = 3^x 的定义域为 (-∞, +∞)。
3）若函数 f(x) = 3x + a 在 x = 0 处有极值 5，则 a = 5。
2. 函数的图像与性质练习题2.1 判断题：1）若函数 f(x) 为偶函数，则它的图像关于 y 轴对称。
（√）2）若函数 f(x) 为奇函数，则它的图像关于原点对称。
（√）3）若函数 f(x) 的图像关于点 (1, 2) 对称，则它一定为偶函数。
（×）2.2 填空题：1）函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图像顶点坐标为 (-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ 表示判别式。
2）函数 f(x) = a^x 在平面直角坐标系中的图像上，点 (0, 1) 必在曲线上。
3）给定函数 f(x) = a(x - h)^2 + k，若其图像顶点为 (2, -3)，则 h = 2，k = -3。
3. 函数的运算与复合练习题3.1 判断题：1）复合函数 (f ∘ g)(x) = f(g(x))，其中 f(x) 和 g(x) 都是函数。
（√）2）若函数 f(x) = sinx，g(x) = 2x，则 (f - g)(x) = sinx - 2x。
（√）3）若函数 f(x) = x + 1，则 f(f(x)) = x + 2。
（√）3.2 填空题：1）设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3，g(x) = x - 1，则 (f + g)(2) = 11。
最新的高中数学竞赛函数练习题
最新的高中数学竞赛函数练习题高中数学竞赛函数练题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则答案：C解析：将XXX(10x+1)拆分为XXX(10x)和XXX(1+1/10x)，前者是x的一次函数，后者是x的负一次函数，即为奇函数和偶函数之和。
所以，g(x)=x。
h(x)=lg(10x+1)－x。
2.若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则答案：C解析：将不等式化简，得到x/y≥(log23-log5)/(log25)，即x/y≥2/(log25)。
因为x>y>0，所以x/y>1，即2/(log25)>1，所以(log23)-y<(log53)-y，即y<(log53)/(log25)-(log23)/(log25)，即y<(log25)/(log5)-(log23)/(log5)，即y<(log23)/(log5)-1.3.已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是答案：B解析：由题意，得到以下不等式组：a-c≥-4，a-c≤-1，4a-c≤5，a-c≤1.将这些不等式组合起来，可得-4≤a-c≤1，即-3≤a≤2.因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以f(3)一定在f(1)和f(2)之间，即-1≤f(3)≤5.因此，B选项正确。
4.已知f(n)=logn(n+1) (n N*且n≥2)，设∑p n=2logf(n)=100 (p,q N*且(p,q)=1)，则p+q=答案：D解析：根据对数的性质，有logn(n+1)=logn+log(n+1)，所以f(n)=logn+log(n+1)。
因此，∑p n=2 logf(n)=∑p n=2logn+log(n+1)=∑p n=2 (logn+log(n+1))=plog2+∑p n=2 log(n+1)。
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高中数学竞赛 函数练习题幂函数、指数函数、对数函数一、选择题1．定义在R 上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x +1)，则A ．g(x)=x, h(x)=lg(10x +10-x +2)B ．g(x)=21[lg(10x +1)+x], h(x)=21[lg(10x +1)－x] C ．g(x)=21x, h(x)= lg(10x +1)－21xD ．g(x)=－21x, h(x)= lg(10x +1)－21x2．若(log 23)x －(log 53)x ≥(log 23)-y －(log 53)-y ，则A ．x －y ≥0B ．x+y ≥0C ．x －y ≤0D ．x+y ≤0 3．已知f(x)=ax 2－c 满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是 A ．7≤f(3)≤26B ．－4≤f(3)≤15C ．－1≤f(3)≤20D ．－338≤f(3)≤3354．已知f(n)=log n (n+1) (n ∈N*且n ≥2)，设∑=10232)(100l o g1n n f =pq(p,q ∈N*且(p,q)=1)，则p+q= A ．3 B ．1023 C ．2000 D ．2001 5．如果y=log 56•log 67•log 78•log 89•log 910，则 A ．y ∈(0,1) B ．y=1 C ．y ∈(1,2) D ．y ∈[2,3]6．若实数a, x 满足a>x>1，且A=log a (log a x)，B=log a 2x, C=log a x 2，则 A ．A>C>B B ．C>B>A C ．B>C>A D ．C>A>B 7．设a>0,a ≠1，函数f(x)=log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是A ．a>1B ．a>1或61≤a<41 C ．a>1或81≤a<41 D ．a>1或61<a<41 8．f(x)是同期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f(x)=2x －1，则f(24log 21)的值是A ．－2423B ．－65 C ．－25 D ．－21 二、填空题9．设f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数，g(x)=xx b24-是奇函数，则a+b 的值为 。
三、解答题10．已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(－x)，且当x ∈(-1,0)时，f(x)=2x 。
①证明：f(x+4)=f(x)；②求f(18log 21)的值。
11．解方程lg(4x +2)=lg2x +lg3。
12．设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--001221x x x x ，解不等式f(x)>1。
13．设f(x)=221+x，求f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)。
14．求函数f(x)=3•4x －2x (x ≥0)的最小值。
15．设函数f(x)=|lgx|，若0<a<b 且f(a)>f(b)，证明：ab<1。
16．设不等式2(x 21log )2+9x 21log +9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时，函数f(x)=(log 22x )(log 28x)的最大值、最小值。
17．已知实数t 满足关系式log a 3a t =log t 3ay(a>0,a ≠1)①令t=a x ，求y=f(x)的表达式；②若x ∈(0,2)时，y min =8，求a 和x 的值。
18．解不等式|x21log 1+2|>23。
19．解不等式1log 2-x +21321log x +2>0。
20．已知a 、b 、c 、d 均为正整数，且log a b=23, log c d=45，若a －c ＝9，求b －d 。
21．已知函数f(x)=ln[3x－xa a )22(23--]的定义域为(0,+∞)，求实数a 的取值范围。
22．解方程log 5(3x +4x )=log 4(5x －3x )。
23．设f(x)=lg nan n x x x +-+++)1(21 ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数，且n ≥2。
如果f(x)当x ∈(－∞,1)时有意义，求a 的取值范围。
24．f 是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数，满足条件：对任何x>1,y>1及u>0,v>0,都有f(x u•y v)≤ux f 41)(•vy f 41)(成立，试确定所有这样的函数f 。
函数的最值一、选择题1．如果在区间[1,2]上，函数f(x)=x 2+px+q 与g(x)=x+21x 在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是 A ．4+32211+34 B ．4－3225+34 C ．1－3221+34 D ．以上答案都不对2．已知x 、y 都在区间(－2,2)内，且xy=－1，则函数u=244x -+299y-的最小值是 A ．58 B ．1124 C ．712 D ．512 3．已知a 、b 、c ∈R*，则f(x)=a x +2+b x c +-2)(的最小值是A ．a +b c +2B ．a c +2+bC ．22c+a +b D ．22)(b a c ++二、填空题4．f(x)=|x 2－a|在区间[－1,1]上的最大值M(a)的最小值为 。
5．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间[－3,3]上的最小值是 。
6．若不等式|x －4|+|x －2|+|x －1|+|x|≥a 对一切实数x 成立，则a 的最大可能值是 。
三、解答题7．在区间[21,2]上，函数f(x)=－x 2+px+q 与g(x)=12+x x 在同一点取得相同的最大值，求f(x)在区间[21,2]上的最小值。
8．已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=－32。
①求证：f(x)为奇函数；②求证：f(x)在R 上是减函数；③求f(x)在[－3,6]上的最值。
9．已知a 为正常数，x>0，求函数y=x+x a +ax x +2的最小值。
10．已知f(x)=ax 2+bx+c ，其中a ∈N*,b ∈N,c ∈Z 。
①若b>2a ，且f(sinx) (x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求f(x)的最小值；②若对任意实数x ，不等式4x ≤f(x)≤2(x 2+1)恒成立，且存在x 0，使得f(x 0)<2(x 02+1)成立，试求c 的值。
11．求函数y=72106261742234++++++x x x x x x 的最值，其中|x|≤1。
12．已知f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (t ∈R 是参数)，如果x ∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t 的取值范围。
13．已知函数f(x)=log 212322+++mx nx x (m,n ∈R)。
①若m ∈N*,x ∈R 且f(x)的最大值为2，最小值为1，求m,n 的值； ②若n=－1，且f(x)的值域为R ，求m 的取值范围。
14．求函数f(x)=136324+--x x x －124+-x x 的最大值。
15．设f(x)=－x 2+2tx －t, x ∈[－1,1]，求[f(x)max ]min 。
16．设f(x)=x 2+px+q (p,q ∈R)。
若|f(x)|在[－1,1]上的最大值为M ，求M 的最小值。
17．设关于x 的一元二次方程2x 2―tx ―2=0的两个根为α,β(α<β)。
①若x 1、x 2为区间[α,β]上的两个不同的点，求证：4x 1x 2－t(x 1+x 2)－4<0； ②设f(x)=142+-x tx ，f(x)在区间[α,β]上的最大值和最小值分别为f min (x)和f max (x)，g(t)=f max (x)－f min (x)，求g(t)的最小值。
18．设实数x 、y 满足4x 2－5xy+4y 2=5，设S=x 2+y 2，求min1S +max1S 。
19．若函数f(x)=－21x 2+213在区间[a,b]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a,b]。
20．实数a,b,c 和正数λ使得f(x)=x 3+ax 2+bx+c, f(x)=0有三个实数根x 1、x 2、x 3，且满足：①x 2-x 1=λ；②x 3>21(x 1+x 2)；求339272λabc a -+的最大值。
函数的方程迭代一、填空题 1．已知f(x)+2f(x1)=3x ，则f(x)的解析式为 。
2．已知f(x)=ax 2+bx+c ，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= 。
二、解答题3．设f(x)=x 2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。
①求证：A ⊂B ；②如果A={－1,3}，求B 。
4．已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立： ①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1－x ，求g(6)的值。
5．已知二次函数f(x)=ax 2+bx (a,b 是常数，且a ≠0)满足条件：f(x －1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x 有等根。
①求f(x)的解析式；②是否存在实数m ，n (m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]？如果存在，求出m,n 的值；如果不存在，请说明理由。
6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x,y 为任意实数；③任意正实数x,y 满足x>y 时，f(x)>f(y)。
试求下列问题： （1）求f(1), f(4)；（2）试判断函数f(x)的单调性；（3）如果f(x)+f(x －3)≤2，试求x 的取值范围。
7．已知函数f(x)=6x －6x 2，设函数g 1(x)=f(x), g 2(x)=f[g 1(x)], g 3(x)=f[g 2(x)], …, g n (x)=f[g n-1(x)], …。
①求证：如果存在一个实数x 0，满足g 1(x 0)=x 0，那么对一切n ∈N*, g n (x 0)=x 0都成立； ②若实数x 0，满足g n (x 0)=x 0，则称x 0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。