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2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师
题号一二三总分
得分
第 I 卷（选择题）
评卷人得分
一、选择题
1．化简的结果为（）
A． 5B．C．﹣D．﹣5
【答案】 B
【解析】===
故选 B
2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3
，则a的值为
（）
A. 1 7 2
B. C. D.
4
3
2 2 2 2
【答案】 C
【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时，
o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ，
4
解得 a
2
（负舍） . 2
考点：指数函数的性质.
3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（）
A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2
【答案】 B
【解析】
试题分析：对于指数函数
x
1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a
函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 .
考点：指数函数的性质 .
4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2
【答案】 A
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【解析】
试题分析：由题意，得
2m 3 1 m 1
，解得
．
考点：幂函数的解析式．
5．若幂函数 y (m 2
3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（
）
A ． 1 m 2
B ． m 1 m 2
或
C ． m 2
D
． m
1
【答案】 B
【解析】
试题分析： y (m 2
3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2
3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ，
又函数图象不过原点，可知其指数
m
2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项
为 B.
考点：幂函数的概念 .
【思路点睛】首先清楚幂函数的形式
f (x)
x a , a 为常数，说明幂的系数必须为
1，即
可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含
有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点
.
6．设
2, 1, 1
,1,2,3 ，则使幂函数 y
x a 为奇函数且在 (0,
) 上单调递增的 a
2
值的个数为 (
)
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
【答案】 C 【解析】
试题分析：因为
a
y x
是奇函数，所以
a
应该为奇数，又在
(0, )
是单调递增的，所
以
a 0
则只能
1,3 ．考点：幂函数的性质 .
7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ）
A ．
B ．
C ． 2
D ． 9 【答案】 C
【解析】因为
，
所以
．
试卷第 2 页，总 9 页
. .
∴
．
即 a
2 ．
8．幂函数 y x 3m 5 ，其中 m N ，且在 (0,
) 上是减函数，又 f ( x) f ( x) ，
则 m =（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】 B
【解析】
试题分析：由题意知 3m 5 0 ，解得 m 5 x)
f (x) 知函数 f ( x) 为偶函
，由 f (
数，又因 m
N ，所以 m 1，故选 B ． 3
考点： 1．幂函数的解析式样 2 ．幂函数的单调性与奇偶性．
9．已知幂函数 f ( x) x m 的图象经过点（ 4， 2），则 f (16) （
）
A. 2
2
B.4
C.
4 2
D.8
【答案】 B 【解析】
试题分析：因为幂函数
f ( x) x m 的图象经过点（ 4，2），所以有 2 4m ，解得 m 1 ，
2
所以 f (16) 4 ．
考点：幂函数解析式与图象．
10．函数 f ( x)
3x 3 x 是（
）
A ．奇函数，且在 ( , ) 上是增函数
B ．奇函数，且在
C ．偶函数，且在 ( ,
) 上是增函数
D
．偶函数，且在 ( , ) 上是减函数
(
,
) 上是减函数
【答案】 A 【解析】
试题分析：易知 f(x) 的的定义域为 R ，又 f (- x)
3-x
3=-f x ，所以 f(x) 是奇函数；
3 x =3x - 1
，因为 y=3 x 和 y=- 1 x
又 f ( x) 3
x
在 R 上都是单调递增函数，所以
3x 3
f (x) 3x
3 x 也是 R 上的单调递增函数，故选
A 。
考点：函数的单调性和奇偶性；指数函数的单调性。 点评：此题主要考查函数单调性的判断，属于基础题型。
11．函数 y=
4 2x 的值域是 (
)
(A)[0,+ ∞ ) (B)[0,2] (C)[0,2)
(D)(0,2)
【答案】 C 【解析】∵ 2x >0, 故 0≤ 4-2 x <4,
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∴函数值域为[0,2).
23 2
3 5 2 5 2 5
的大小关系是 () 12．设 a= ,b= ,c= , 则 a,b,c
55 5
(A)a>c>b (B)a>b>c
(C)c>a>b (D)b>c>a
【答案】 A
2
2 【解析】 y= x5 在 x>0 时是增函数 , 所以 a>c;y=
5 a>c>b. x
在 x>0 时是减函数 , 所以c>b, 故
1
13．函数 y= x3 的图象是 ()
【答案】 B
1 1
【解析】 y= x3过点 (1,1) 和点 (8,2), 由过点 (8,2) 可知此时函数y= x3 在直线 y=x 下方 . 故选 B.
14．设a ,b, c , d都是不等于的正数，y a x, y b x, y c x, y d x在同一坐标系中的图像如图所示，则a, b ,c , d 的大小顺序是（）
A、.a b c d
B、.a b d c
C、.b a d c C、.b a c d
【答案】 C
【解析】解：利用指数函数的底数变化，可以做直线x=1，与其相交，交点的纵坐标即
为底数，因此可以判定答案为 C
15．化简(x<0,y<0) 得 ( )
(A)2x 2y (B)2xy (C)4x 2y (D)-2x 2y
【答案】 D
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.
. 【解析】
=
=2x 2|y|=-2x 2
y.
16．某种 菌 60 分 培养，可繁殖 原来的 2 倍，且知 菌的繁殖 律
y 10e kt ，
其中 k 常数， t 表示 （ 位：小 ） ， y 表示 菌个数， 10 个 菌 7 小 培
养， 菌能达到的个数
A. 640
B. 1280
C.2560
D. 5120
【答案】 B 【解析】
分析： 菌 60 分 培养，可繁殖 原来的 2 倍，所以 1 个 菌 7 小 的培
养可使 菌能达到 27=128 个
10 个 菌
7 小 培养， 菌能达到的个数
1280。
考点：指数型函数的 用；数列 用。
点 ：本 主要考 了有理数的乘方， 菌培养
60 分 ， 菌个数 21；培养 2 个小
， 菌个数
2
n
2 ；?；培养 n 小 ， 菌个数 2 ，学生做 出此 律是解本
的关 ，属于基 ．
17． y= (1
) x - 3x 在区 [-1,1]
上的最大 等于（
）
5
A.3
B.
【答案】 B 14
16
C.5
D.
3
3
【解析】 解：由 y= (
1
)
x
是减函数， y=3x
是增函数， 可知 y= (
1
)
x - 3 x 是减函数， 故当 x=-1
5
5
，函数有最大
14
．故答案 B ．
3
18．已知方程 2x 1 a 有两个不等 根， 数
a 的取 范 是（
）
A ．,0 B
． 1,2C ． 0,
D ． 0,1
【答案】 D 【解析】
分析：画出 y
| 2x
1| 的 象，然后 y=a 在何范 内与之有两交点，a 属于 0,1
符合 意
考点：指数函数的 象，平移 .
19．已知函数 (a 常数 ) ．若
在区 [- 1,+ ∞) 上是增函数
,
a 的取
范 是（
）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】 B
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【解析】∵
∴在区间上是增函数,则．
∴a 1 ．
20．已知函数f(x)=2 x-2, 则函数 y=|f(x)|的图象可能是()
【答案】 B
【解析】 |f(x)|=|2x-2|=
易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1, 且过点 (1,0),(0,1),又|f(x)|≥ 0,故选B. 【误区警示】本题易误选 A 或 D, 出现错误的原因是误以为y=|f(x)|是偶函数.
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第 II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
21．函数 f ( x) a x 3 1 的图像一定经过的定点的坐标为
【答案】 (-3,2)
【解析】
22．如图，给出幂函数y x n在第一象限内的图象，n 取 2 , 1 四个值，则相应于曲
2
线 C1 ,C2 ,C3 ,C4的n依次为_
【答案】 2, 1
,
1
,2 2 2
【解析】
考点：幂函数的图像．
分析：可取特殊值，作直线x=2，分别交四条曲线于四点，即可判断．
解答：
解：如图，作直线x=2，分别交四条曲线依次为A， B， C， D，四点，
由于 n 取± 2，±1
四个值，当 x=2 时，对应的四个函数值为 1 1
2-2，2 2 ， 2
2 ， 22 2
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1 1
∵
2
-2
＜
2
2 ＜
2 2
＜
22
1
1
故四个点的纵坐标依次为 2-2 ， 2 2 ， 2 2
， 22
由四个点得位置关系，四个函数图象对应的
n 的值从下而上依次为 -2 ， -
1
， 1
， 2
2
2
故选 A
点评：本题主要考查了幂函数的图象与性质．
23．已知幂函数 f ( x) x 在 [1,2] 上的最大值与最小值的和为
5 ，则
=
．
【答案】 2
【解析】
试题分析：解：由题意知 0 ，函数 f x x 在 1,2 上为增函数
所以， 1
2 5 ，解得：
2 .
所以答案应填
2.
考点：幂函数的性质 .
24 ． 已 知 幂 函 数 f (x)
(m 2
m 1)x m 在 x
(0, ) 上 单 调 递 减 ， 则 实 数
m
.
【答案】 1
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为 函 数
f ( x) ( m 2
m 1) x m
为 幂 函 数 ， 故
m 2 m 1 1
m 2 m
2 0 m 2 或 m
1，而函数 f (x) 在 (0,
) 上单调递
减，故 m
0 ，所以 m
1.
考点：幂函数的图像与性质 .
25．函数 y ＝ a x
－ 1
(a>0 ， a ≠ 1) 的图象可能是 ________． ( 填序号 )
a
【答案】④
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【解析】当 a>1 时， y＝ a x－1
为增函数，且在y 轴上的截距0<1－
1
<1，故①②不正a a
确；当 0 为减函数，且在 y 轴上的截距1－ 1 <0，故④正确．a a 欢迎您的光临，W d 文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。 Word 完美格式 .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 幂函数与指数函数得区别 1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0； 当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。 ? 幂函数得性质: 根据图象，幂函数性质归纳如下： （１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1); （2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。 指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。 思考讨论: (１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。 §3.3 幂函数 一、基础过关 1．幂函数y ＝f(x)的图象过点(4，1 2 )，那么f(8)的值为 ( ) A ．2 6 B ．64 C.2 4 D.164 2．函数y ＝x 1 2 －1的图象关于x 轴对称的图象大致是 ( ) 3．下列是y ＝x 2 3 的图象的是 ( ) 4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一 象限的图象，已知n 取±2，±1 2 四个 值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ( ) A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－1 2 5．给出以下结论： ①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点； ③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________． 6．函数y ＝x 12 ＋x － 1的定义域是________． 7．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： (1)y ＝x 2＋x － 2； (2)y ＝x 12＋x －12； (3)f(x)＝x 12＋3(－x)14. 8．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·xm 2 ＋m －1，m 为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 二、能力提升 9．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)2 5 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>b D ．b>c>a 10．函数f(x)＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 11．若(a ＋1)－12<(3－2a)－1 2 ，则a 的取值范围是________． 12．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，1 4 )． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x 为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x) 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 2.1.2 指数函数及其性质（一） 一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数 的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质， 本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。 二、问题引领： 1、指数函数的概念、图象和性质 2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数 ,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与 0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析： 例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。 分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π， ()2f π∴= 即2 a π=，解得1 2 a π= ()2x f x π∴=，即：()( )()10 12 1 01,12f f f ππππ -====-== 。 点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。 例题2：1、设1111333b a ???? <<< ? ????? ，求,,a b a a a b 的大小关系。 2、 比较235 4 0.5,1.2,1的大小。 分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。 解：1、因为函数13x y ?? = ??? 在R 上为减函数，又由1111333b a ????<<< ? ?????， 所以得：01a b <<<， 因为当01a <<时，函数x y a =为减函数，又a b <， 所以a b a a >，因为函数x y a =与x y b =在R 上同为减函数且当0x >时， 随着x 的增大，函数x y a =比函数x y b =减小的快，所以a a a b <， 即b a a a a b <<。 第四讲 幂函数、与反函数 一、知识梳理 1．幂函数： ①定义：形如a y x =（a 为常数）的函数叫幂函数。 当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0a 时，函数图象在第一象限剧烈增长； 当0n 时，都过)0,0(和)1,1(，0 (一)指数函数的定义 一般地，函数y =a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8 专题11 幂函数 （幂函数的定义与图像，幂函数的性质） 知识梳理 一、幂函数 1、幂的有关概念： 正整数指数幂：*)n n a a a a n N =?????∈个 （ 零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：*1 (0,)p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂： m *n (0,,1)n m a a a m n N n =>∈>且 *11 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a -== >∈> 2、幂函数的定义： 形如k y x =的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，高中阶段指数取有理数k 。 3、幂函数的图象. 根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,()k y x k Q =∈的图象. 其中,*,2,,n m N m m n ∈≥互质. 4、幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1） ?k>0时：（图A ） （1）图象都通过（0，0），（1，1）； （2）在第一象限内，函数值随x 的增大而增大（增函数）。 ?k<0时；（图B ） （1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而减小（减函数） （3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近。 ?设幂函数k y x =的指数q k p = ，其中p 、q 互素 当p 是偶数时，k y x =的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数； 当p 是奇数时，如果q 是偶数，那么k y x =是偶函数；如果q 是奇数，那么k y x =是奇函数 当0k ≠时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到 热身练习 1、下列命题中正确的是（） A 当m=0时，函数m y x =的图像是一条直线 B 幂函数的图像都经过（0,0）， （1,1）两点 C 幂函数m y x =图像不可能在第四象限内 D 若幂函数m y x =为奇函数，则 指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质 教学目标 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念 （1）规定底数大于零且不等于1的理由： 如果=0， 如果等等时，在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量，对它就没有研究的必要 （2）形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数 （二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像 第一课时：幂函数 知识点一 幂函数的概念 思考 y ＝1 x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？ 答案 底数为x ，指数为常数. 梳理 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 知识点二 五个幂函数的图象与性质 1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12 x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x － 1；(5)y ＝x 3的图象如图. 2.五个幂函数的性质 y ＝ x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝12 x y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增， 在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 第九节 幂函数与函数应用 基本不等式 知识点三 一般幂函数的图象特征 思考 类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质. 答案 y ＝x 3与y ＝x 5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3 解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1． 例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性． ∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴． (2)，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B). 变式训练： 1、下列函数是幂函数的是（） A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y= 2、下列说法正确的是（） A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数 C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数 3、下列函数中，定义域为R的是（） A．y=B．y=C．y=D．y=x－1 4、函数的图象是（） A．B．C．D． 5、下列函数中，不是偶函数的是（） A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（） A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 （2）对数的重要公式： 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 §2.1.2指数函数及其性质（2个课时） 班级 姓名 教学目标 :1、理解指数函数的概念、图象和性质。 2、利用图象来探索、掌握函数的性质，增强分析问题，解 决问题的能力。 教学重点: 指数函数的概念、图象和性质 教学难点:利用指数函数的图象概括出指数函数的性质。 学习过程 一、复习 1. 根式的概念；n = ； 当n = ； 当n = ={ 。 分数指数幂的意义：m n a = ，m n a - = 。 2.0的正分数指数幂 ，0的负分数指数幂 。 3.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂 。 二、新课导学 1：归纳：指数函数的定义 阅读教材48P 问题1，问题2，观察这两个函数解析式有何共同特征？ 一般地，函数y = x a (a 0，且a 1)叫做指数函数， 其中x 是 .函数的定义域是 。 讨论: 下列函数中,哪些是指数函数？ (1) (2) (3) （4） （5） （6） （7） （8） 2、探索：指数函数的图象 请同学们完成函数y=x 2 、y=x ? ? ? ??21的表格中空白处并用描点法画出图象： x y 4=4x y =x y 4-=x y )4(-=x y π =2 4x y =x x y =x a y )12(-= )12 1 (≠>a a 且 观察、思考：（1）这两个函数的图象有什么关系？能否由函数2x y=的图 象得到函数1 2x y ?? = ? ?? 的图象？ （2）观察函数y=x2、y= x ? ? ? ? ? 2 1的图象，它们有哪些共同特征？ 尝试:①图象都分布在象限，与轴相交，位于x轴 的； ②（底数2大于1）当1 a>时，第一象限的点的纵坐标都大于；第二象限的点的纵坐标都大于且小于；从左向右图象逐渐。 ③（底数1 2大于0又小于1）当01 a <<时，第一象限的点的纵坐标都大 于且小于； 第二象限的点的纵坐标都大于；从左向右图象逐渐。3、概括：指数函数y = x a(01) a a >≠ 且的性质 考察:指数函数y = x a(01) a a >≠ 且的奇偶性 4、学习课本 56 P例6 、57P例7 例8 三、练习：教材 58 P2、3 k 幂函数与反比例函数（教师版） 【知识梳理】 1. 反比例函数 形如(0)k y k x = ≠的函数称为反比例函数. (1) 定义域: {|0,R}x x x ≠∈; (2) 值域: {|0,R}x x x ≠∈; (3) 奇偶性: 奇函数; (4) 单调性: 当0k >时, 其图像出现在1,3象限, 在每个象限中单调递减; 当0k >时, 其图像出现在2,4象限, 在每个象限中单调递增; (5) 图像: 双曲线, 直线0x =和0y =是它的渐近线. 2. 幂函数 形如(Q)k y x k =∈的函数称为幂函数. 需要注意的是, 这里的系数规定为1. 3. 幂函数的图像 (1) 幂函数(Q)k y x k =∈的作图可按以下流程进行(为讨论方便, 设0,1≠k ): (2) 幂函数过定点(1,1); (3) 设n k m = (m , n 既约), 则y ①当m , n 都为奇数时, 它是一个奇函数; ②当m 是奇数, n 是偶数时, 它是一个偶函数; ③当m 是偶数, n 是奇数时, 它是一个非奇非偶函数; (4) 0(0)=≠y x x 是一个特殊的幂函数, 其图像为直线1=y 去掉点(0,1); (5) 幂函数为偶函数?图像出现在第二象限; 为奇函数?图像出现在第三象限. 【基础训练】 1. 已知一次函数1y ax =+的图像与反比例函数k y x = 的图像交于点(2,3)M 与N , 则||MN = 2. 幂函数()f x 的图像经过点 , 则(8)f =3. 函数12(0)y x x x =+< 单调递增区间为单调递减区间为4. 当幂函数(Q)k y x k =∈ 的图像满足: (1)不经过原点; (2)不与坐标轴相较; (3)不是(0,)+∞上的减函数, 则k =_______; 解: 不经过原点, 则0k ≤ ; 不与坐标轴相交, 则0k ≤; 不是(0,)+∞的减函数, 则是(0,)+∞增函数或者常值函数, 若是增函数, 则0k >, 但此时函数必过原点; 若是常值函数, 则0k =, 则符合题意. 5. 作出下列函数的大致图像. (1)3 2 y x =; (2)43 y x =; (3)53 y x =; (4)23 y x -=. 【例题解析】 例1. 在2 2919 ()(279)m m f x m m x -+=--中, 当m 为何值时, (1) ()f x 是正比例函数, 且它的图像的倾斜角为钝角? (2) ()f x 是反比例函数, 且它的图像在第一, 三象限?. 解: (1)由题意, 倾斜角为钝角, 则斜率小于0, 得2 2 3 or 6919139 127902m m m m m m m m ==??-+=?? ??=??-≤≤--, 得2 2 4 or 5919159 (,1)(,)27902m m m m m m m m ==??-+=-?? ??=??∈-∞-?+∞-->????. (,-∞[0 汇贤公学TM·精品讲义 姓名： 年级： 科目： 教师： 日期： 幂函数 教学目标 1.掌握幂函数的概念； 2.掌握幂函数的性质和图像； 3.通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像； 4.熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想. 导入 函数的生活实例： 问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w 千克，那么她需要付的钱数p w =元，这里p 是w 的函数 问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积是2 S a =，这里S 是a 的函数； 问题3：如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积是3 V a =，这里V 是a 的函数； 问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长12 a S =，这里a 是S 的函数； 问题5：如果某人t 秒内骑车行进了1千米，那么他骑车的平均速度1 /v t km s -=，这里v 是t 的函数. 若将它们的自变量全部用x 来表示，函数值用y 来表示，则它们的函数关系式将是： （1）y x =；（2）2 y x =；（3）3 y x =；（4）1 2 y x =；（5）1 y x -=. 这些关系式的共同特征是：都是以自变量x 为底数，指数为常数，自变量x 前的系数为1，只有一项。 由此，引入幂函数的定义. 知识梳理 1.幂函数的定义：一般地，形如k y x =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，k 是常数； 2.幂函数的定义域： 若( )* N n n k ∈=，其定义域是一切实数；例如：3 x y =、2 x y =. 若( ) 互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈=，则m n m n x x =，其定义域满足：奇次方根被开方数为实数，偶次方根被开方数为非负数；例如：3 2 3 2x x y = =、434 3x x y ==. 若( )* N n n k ∈-=，则n n x x 1= -；例如：5-=x y 、6 -=x y 若() 互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈-=，则m n m n x x 1=-；例如：3232 1x x y ==-、 指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断；(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc
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