第四讲 幂函数及反函数(教师)
《幂函数》PPT课件
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
幂级数的反函数
幂函数的反函数是什么?依然是幂函数因为y=f(x)=x^a所以x=y^(1/a)既f-1(x)=x^(1/a)解析函数的研究主要有两个方法：由Weierstrass提出的幂级数方法和由Cauchy提出的积分表示方法。
这篇文章中我们将对幂级数作一点简单的介绍，这些方法与数学分析中的思想别无二致，读者可以快速过完本章。
设z0∈C。
我们称形如∑n=0+∞an(z−z0)n的级数为z0处展开的幂级数，或称对z−z0展开的幂级数，其中an ∈C。
对给定的z∈C，如果部分和序列{Sk=∑n=0kan(z−z0)n}收敛，则称此幂级数在z出收敛，记为S(z)=∑n=0+∞an(z−z0)n=limk→+∞∑n=0kan(z−z0)n并称S(z)为级数的和；否则称幂级数在z处发散。
我们称幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在区域ω上一致收敛于函数f(z)，如果∀ε>0,∃k>N则∀z∈Ω，都有|f(z)−∑n=0kan(z−z0)n|<ε与序列极限相同，对幂级数一致收敛的判别我们有下面的Cauchy准则。
定理1（Cauchy准则）幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在Ω上一致收敛充要条件是∀ε>0,∃N，只要k1>k2>N，则∀z∈Ω，都有|∑n=k2k1an(z−z0)n|<ε证明方法与实的幂级数相同，略。
利用Cauchy准则，可得到下面关于一致收敛常用的一个判别准则。
定理2：（控制收敛原理）如果对n=0,1,2,⋯存在Mn，使得∀z∈Ω，有|an(z−z0)n|⩽Mn，且∑n=0+∞Mn收敛，则∑n=0+∞an(z−z0)n在Ω上一致收敛。
证：如果级数∑n=0+∞Mn收敛，则其满足Cauchy准则，于是得幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在Ω上满足一致收敛的Cauchy准则。
证毕。
与实的幂级数相同，关于复的幂级数收敛性质的基本定理是下面的Abel定理。
定理3（Abel）定理：如果幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在z′≠z0处收敛，则对于任意0<r<|z′−z0|，幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在闭圆盘D(z0,r)¯={z||z−z0⩽r|}上一致收敛。
高三数学 反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲
高三数学反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲一、反函数1. 函数y f x =()存在反函数的条件若函数y f x =()有定义域为A ，值域为B ，对于B 中每一个元素y 0，在A 中都有唯一确定的元素x 0与之对应，则函数y f x =()存在反函数，记为y f x =-1()，否则，就不存在反函数。
2. 互为反函数的图像之间的关系 互为反函数的图像关于直线y x =对称由此可得到如下结论：①反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域 ②fa b f b a -=⇔=1()()③函数y f x =()与x f y =-1()的图像完全相同。
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性。
3. 求y f x =()的反函数的一般步骤 ①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 ②由y f x =()的解析式解出x f y =-1()③将x 、y 对换、得反函数的习惯表达式y f x =-1()并注明定义域二、二次函数1. 二次函数的基本知识（1）定义：形如f x ax bx c a ()()=++20≠的函数叫做二次函数。
（2）图像：二次函数y ax bx c a =++20()≠的图像是以直线x ba=-2为对称轴的抛物线，其开口方向由a 的符号确定，顶点坐标为()--b a ac b a2442，。
（3）性质：二次函数y ax bx c a =++20()≠的单调性是以项点的横坐标x ba=-2分界。
当a ＞0时，x ba∈-∞-(]，，2f x ()单调递减，x b a ∈-+∞[)2，，f x ()单调递增。
当a ＜0时，x b af x ∈-∞-(]()，，2单调递增，x ba f x ∈-+∞[]()2，，单调递减。
2. 二次函数的解析式（1）一般式f x ax bx c a ()()=++20≠； （2）顶点式f x a x k h a ()()()=++20≠； （3）零点式f x a x x x x a ()()()()=--120·≠；求解析式都是用待定系数法。
《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数精美版课件
4.当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
5.做一做:已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0,+∞)上的
增函数,则m的值为
.
答案:-1
解析:由题意知m2-m-1=1,
∴m2-m-2=0,
∴m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x-13,不符合题意,故舍去;
当m=-1时,f(x)=x2,符合题意,故m的值为-1.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解析:由m2+3m-17=1,解得m=3或m=-6,
分析:先利用f(x)在(0,+∞)内为减函数求出m的取值范围,再用代入检验的方法来验证是否为偶函数.
当m=-3时,m2-2m-3=12,y=x12是幂函数,但不满足当x∈(0,+∞)时,y随x的增大而减小,应舍去.
(-1,-1),(0,
(-1,1),(0,0),
定点 ),
0),
(0,0),(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(-1,-1),(1,1)
课前篇自主预习
一
二
三、幂函数共有的性质
1.幂函数在(0,+∞)上都有定义.
2.幂函数的图像过点(1,1).
3.当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,1),且在(0,+∞)上单调
人教版高中数学B版必修二
指数函数、对数函数与幂函数
4.4
幂函数
-1-
课标阐释
思维脉络
1.通过实例,了解幂函数的
概念.
《幂函数》 讲义
《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y ＝x^α（α 为常数）的函数，叫做幂函数。
其中x 是自变量，α 是常数。
需要注意的是，幂函数的系数必须为 1 ，例如 y ＝ 2x^3 就不是幂函数，而 y ＝ x^3 就是幂函数。
二、幂函数的图像1、当α ＞ 0 时（1）当α 为整数时若α 为偶数，幂函数的图像在第一、二象限，关于 y 轴对称，在第一象限，函数单调递增；在第二象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^2 的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点，对称轴为 y 轴。
若α 为奇数，幂函数的图像在第一、三象限，关于原点对称，在第一象限，函数单调递增；在第三象限，函数单调递减。
比如，y ＝x^3 的图像是一个经过原点，穿过第一、三象限的曲线。
（2）当α 为分数时若α 的分子为奇数，分母为偶数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增。
若α 的分子为偶数，分母为奇数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增，且图像在 x 轴上方。
2、当α ＜ 0 时幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^（－1) ，也就是 y ＝ 1/x ，其图像是双曲线，分布在第一、三象限。
三、幂函数的性质1、定义域当α 为整数时，定义域为 R；当α 为分数时，分母为偶数时，定义域为 0, ＋∞），分母为奇数时，定义域为 R。
2、值域与定义域和α 的取值有关。
3、奇偶性当α 为整数时，若α 为偶数，函数为偶函数；若α 为奇数，函数为奇函数。
当α 为分数时，需要根据具体情况判断奇偶性。
4、单调性当α ＞ 0 时，函数在第一象限单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限单调递减。
四、幂函数的应用1、在物理学中的应用例如在研究自由落体运动时，下落的距离与时间的关系可以用幂函数来表示。
2、在经济学中的应用如成本与产量的关系，可能符合幂函数的特征。
3、在数学建模中的应用通过建立幂函数模型来解决实际问题，如人口增长、资源消耗等。
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
幂函数与反函数
幂函数与反函数【知识要点】1.幂函数的定义：一般地，把形如ay x =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 2.幂函数的图像3.图像性质总结： Ⅰ 0a >（1）图像都过点(0,0)和(1,1)； （2）函数在区间(0,)+∞上都是增函数；（3）当1x >时，指数大的图像在上方；当01x <<时，指数大的图像在下方.Ⅱ 0a <（1）图像都过点(0,0)和(1,1)； （2）函数在区间(0,)+∞上都是减函数；（3）在第一象限内，图像向上无限地接近y 轴，向右无限地接近x 轴； （4）当1x >时，指数大的图像在上方；01x <<时，指数大的在下方. Ⅲ 总之，无论指数正负如何，它们都有共同的性质： （1）图像都过点(1,1)；（2）1x >时，指数大的图像在上方；01x <<时，指数大的在下方. 3.反函数（1）定义及写法（2）性质：①互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称②若函数()y f x =的图像上有一点(,)a b ，则(,)b a 必在其反函数的图像上；反之，(,)b a 在反函数的图像上，则点(,)a b 必在原函数的图像上；③函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；④严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数——【反函数存在定理】。
⑤一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （3）反函数的求法：1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；2、反解x ，也就是用y 来表示x ；3、改写x 和y ，交换位置，也就是把x 改成y ，把y 改成x ；4、写出原函数及其值域——即反函数的解析式和定义域。
【典型例题】例1 设221333111(),(),()252a b c ===，则（ ）.A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. b a c <<例2 已知幂函数(,p qy x p q N +=∈，且互质）的图像如图所示，则（ ）.A. ,p q 均为奇数，且p q >B. p 为奇数，q 为偶数且p q >C. q 为奇数，p 为偶数且p q >D. q 为奇数，p 为偶数且p q <例3 已知点在幂函数()f x 的图像上，则()f x 的解析式是（ ）.A. 3()f x x =B.3()f x x -= C. 12()f x x-= D.12()f x x =例4 求函数2245()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-和(f 的大小.例5已知幂函数223()m m y xm N --+=∈的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上函数值随x 的增大而减小，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围.例6 函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是（ ）.A. ,020xx y x ⎧≥⎪=<B. 2,00x x y x ≥⎧⎪=<C. ,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D. 2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩例7 函数21(0)21x xy x +=<-的反函数是（ ）. A. 21log (1)1x y x x +=<-- B. 21log (1)1x y x x +=>- C. 21log (1)1x y x x -=<-+ D. 21log (1)1x y x x -=>+ 例8 设函数()y f x =的反函数为1()y fx -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过点（ ）.A. 1(,1)2B. 1(1,)2C. (1,0)D. (0,1)【课堂练习】1. 函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 如右图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小，有（ ）.A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<4. 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f +D ． 无法确定 5. 函数31xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g = .6.)()27,3)(14x f x f -，则的图象过点（幂函数的解析式是.7.函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是（ ）.1α3α4α2αA. (,1]a ∈-∞B. [2,)a ∈+∞C. [1,2]a ∈D. (,1][2,)a ∈-∞+∞ 8.已知函数223()()m m f x xm Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()log [()](0,1)a g x f xax a a =->≠，是否存在实数a ，使得()g x 在(2,3)上为增函数？9. 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里,a b 均为正常数，且10a <，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.【课后作业】1.若不等式2233(2)(24)a ->+恒成立，求实数a 的取值范围.2. 942--=a axy 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .3. 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数4. 下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x =-145.函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 6. 幂函数(1)(,,*,,)k nmy xm n k N m n -=∈互质图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .7.已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图像经过点(3,1)，则函数1()y f x -=必经过点 .。
反函数与幂函数
反函数与幂函数知识要点：反函数：1、反函数的定义:若f 对应的函数记作：y =f (x ), 则f -1对应的函数则为x = f -1(y ). 它们是一对互反函数。
原函数的定义域是反函数的值域，而原函数的值域是反函数的定义域。
2、求反函数的步骤：（1）由y=f(x)解出x=f 1-(x),即用y 表示x （2）将x=f-1(y)改写为y=f-1(x),即x,y 互换。
（3）标注反函数定义域。
3、一般地，函数y=f(x)的图象与它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。
幂函数：1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 23 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数. （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 典型例题： 反函数例题例1、 求)3,(,232)(-∞∈+=x x x f 的反函数例２、 求)12(1)(2≥+-=x x x x f 的反函数．例3、设函数y=)(x f =⎩⎨⎧≥<)0()0(2x x x x ，求它的反函数.例4、已知函数c x b ax y ++=的反函数是213-+=x x y (x ∈R,x ≠2)，求a,b,c 的值.同步练习1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 （ ）A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 （ ）A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3.如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是y ＝－，那么另一个函数是x -1 （ ） A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1) C ．y ＝x 2－1(x ≤0) D ．y ＝x 2－1(x ≥1)21214.1________3.1)1(1α3α4α2α4．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点 （ ） A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a) D ．(b ，f -1(b))5.（湖北文）函数21(0)21x x y x +=<-的反函数是（ ）Ａ．21log (1)1x y x x +=<-- Ｂ．21log (1)1x y x x +=>- Ｃ．21log (1)1x y x x -=<-+ Ｄ．21log (1)1x y x x -=>+ 6．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________， b ＝________．7．已知函数()f x ax k =+的图像经过(1,3)，其反函数图像经过点(2,0)，则()f x 的表达式为 ；8．已知函数65()(,1x f x x R x +=∈-且1)x ≠有反函数1()y f x -=，则1(7)f -= ；幂函数例题例1、如图：幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<例2、比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）例3、证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数1127.0________26.0)2(--22)3.5________()2.5)(3(--221)7.0________()7.0)(4(例4、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
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第四讲 幂函数、与反函数一、知识梳理1．幂函数：①定义：形如ay x =（a 为常数）的函数叫幂函数。
当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0<a 时，图象过定点)1,1(。
当10<<a 时，函数图象在第一象限缓慢增长； 当1>a 时，函数图象在第一象限剧烈增长； 当0<a 时，函数图象在第一象限单调递减。
② 几个常见幂函数的图象：③几个常见幂函数的性质：2、反函数①定义：设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中y x ,的关系，用y 把x 表示出，得到()y x ϕ= 若对于y 在C 中的任何一个值，通过()y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()y x ϕ= (C y ∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x fy -=。
②注意事项：（1）“一一映射”确定的函数才有反函数；定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数的反函数必是奇函数；定义域为非单元素集合的偶函数不存在反函数； （3）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成；（4）反函数的单调性与原函数的单调性相同； （5）反函数的定义域由原函数的值域确定。
③函数)(x f y =与)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称；若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数。
④如果函数)(x f y =的反函数就是本身，则函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称。
⑤公式：()()A x x x f f C x x x ff ∈=∈=--)]([,)]([11。
（其中C 是值域，A 是定义域）。
二、典型例题题型一 幂函数概念例1、已知是32)22(1122-+-+=-n x m m y m 幂函数，求n m ,的值。
解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-≠-=-+2330320112222n m n m m m ，23,3=-=∴n m 即为所求。
题型二 幂函数的图像例2、幂函数213112,,,--====x y x y x y x y在第一象限内的图像依次是图中的曲线（ ）函 数 x y = 2x y =3x y =21x y =1-=x y定义域 R R R ),0[+∞ }0|{≠x x 值域 R ),0[+∞ R ),0[+∞}0|{≠y y奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性R 增]0,(-∞减 ),0[+∞增R 增),0[+∞增(,0)-∞减 (0,)+∞减定 点0>n 时，都过)0,0(和)1,1(，0<n 时，都过)1,1(yO x12y x=1y x -=1y x -=3y x =2y x =2y x =3y x =y x =y x=3-3-2-2-1-1-3213211 xy1C3C 2C 4CA.4312,,,C C C CB. 2314,,,C C C CC. 4123,,,C C C CD. 3241,,,C C C C解析：由于在第一象限内直线1=x 的右侧时，幂函数αx y =的图像从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数2x y =在第一象限的图像为1C ，同理1-=x y 在第一象限的图为4C ，31x y =在第一象限的图为2C ，21-=x y 在第一象限的图为3C 。
故选D 。
例3、函数13y x =的图像是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）解析：选B.取18x =，18-，则12y =，12-，选项B 、D 符合；取1x =，则1y =，题型三 幂函数的性质例4、求下列函数的定义域与值域。
（1）32-=xy ； （2）43-=xy解析：（1）解析式化为321x y =，其定义域为}0,|{≠∈x R x x ，值域为),0(+∞；（2）解析式化为431x y =，其定义域为),0(+∞，值域为),0(+∞；例5、已知10a -<<，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是 . 解析：a a a 3331<< . 例6、942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .解析：5例7、设函数121()f x x =，12()f x x -=，23()f x x =，则123(((2009)))______f f f =.解析：122221231211(((2009)))((2009))(2009)(2009)2009f f f f f f --====. 例8、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系 是（ ）（A ）)2(21x x f +>2)()(21x f x f + （B ）)2(21x x f +<2)()(21x f x f + （C ）)2(21x x f +=2)()(21x f x f + （D ） 无法确定 解析：选A. 题型四 反函数的求法例9、函数11(1)y x x =-+≥的反函数是（ ）（A ）222(1)y x x x =-+< （B ）222(1)y x x x =-+≥ （C ）22(1)y x x x =-< （D ）22(1)y x x x =-≥ 解析:选B.例10、将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象1C ，再将1C 向上平移一个 单位得到图象2C ，作出2C 关于直线y x =对称的图象3C ，则3C 的解析式为 . 解析：1)1(log 2--=x y .例11、已知()()1122-<-=x x x f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛--321f . 解析：由反函数的定义可得：32122-=-x且1-<x ， 解之可得：2-=x ， y xO11O yx11O yx11O y 11x所以2321-=⎪⎭⎫⎝⎛--f 。
题型五 互为反函数的图像关系例12、函数()x f y -=与()x fy 1--=的图像（ ）（A ）关于原点对称 （B ）关于x 轴对称 （C ）关于直线x y =对称 （D ）关于直线x y -=对称 解析：()x f y -=与()x f y =关于x 轴对称；()x fy 1-=与()x f y =关于x y =对称；()x fy 1--=与()x fy 1-=关于x 轴对称，故()x f y -=与()x f y 1--=的图像关于直线x y -=对称。
另：可结合图象说明。
故选D 例13、设函数()()01112≤≤---=x x x f ，则函数()x f y 1-=的图像可能是（ ）解析：原函数图象上有点)231,21(),1,1(---，故反函数图象上有点)21,231(),1,1(--- 结合图象即知选B 。
例14、已知1x 是方程27lg =+x x 的解，2x 是方程2710=+x x 的解，则21x x +的值是 。
解析：由x x x x -=⇒=+27lg 27lg ，由x x x x -=⇒=+27102710。
令x y y x y x-===27,10,lg 321，如图，由)227,227(22722727A y x x y x y ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-==又因为xy x y 10,lg 21==的图像关于x y =对称。
故22721=+x x 。
题型六 幂函数综合例15、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
据此可推测，对任意的非零实数,,,,a b c m n ，关于x 的方程|()|0f x m n -=的解集都不可能是（D ） （A ）{}1 （B ）{}5,9 （C ）{}6,8,10 （D ）{}1,3,9,10 解析：选D.例16、已知函数xxa b y 22++=(a b 、是常数且0a >，1a ≠)在区间3[,0]2-上有max 3y =，min 52y =，试求a 和b 的值. 解析：令222(1)1u x x x =+=+-，3[,0]2x ∈-∴当1x =-时，min 1u =-；当0x =时，max 0u =①当1a >时，01352b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩； ②当01a <<时，01523b a b a -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 综上得：22a b =⎧⎨=⎩或2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 例17、已知())1(112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x f 。
（1）求()x f 的反函数()x f 1-；（2）令()()211++=-x x fx g ，求()x g 的最小值；（3）若不等式()()()x a a x fx ->--11，对一切⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41x 恒成立，求a 的范围。
解析：（1）由222)121()121()11(+-+=+-+=+-=x x x x x y ，1>x ∴11210<+-+<x ， 故)1,0(∈yyo -11yxo11xoy-11x1-1oyxDABC1x2x yxO x y =xy 102=x y lg 1=A由2)11(+-=x x y 得：yy x y x x -+=⇒=+-1111， 故)10(11)(1<<-+=-x xx x f 。
（2）)10(12)1(211)(<<+++=+++-=x x x x xx x g令)2,1(1∈=+t x ，则tt t h 2)(+=在]2,1(上递减，在)2,2[上递增 故2=t ，即223-=x 时，22)(min =x g（3）问题转化为)(1x a a x ->+，即01)1(2>-++a x a 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41x 恒成立 令]22,21[∈=n x ，)1()1()(2a n a n L -++=，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+⋅+=>-+⋅+=0122)1()22(0121)1()21(22a a L a a L 解之得：)23,1(-∈a 。
题型七 二次函数常见综合题型例18、设()x f 是定义在()+∞∞-,上的增函数，如果不等式()()a f x ax f -<--212对于任意[]1,0∈x 都成立，求实数a 的取值范围。
解：依题意()()012121222>+-+⇔-<--⇔-<--a ax x a x ax a f x ax f 对[]1,0∈x 恒成立，令1)(2+-+=a ax x x g ，问题转化为当[]1,0∈x 时，0)(min >x g⎪⎩⎪⎨⎧>-=<-⇔01)0(02a g a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--=-≤-≤0141)2(1202a a a g a 或⎪⎩⎪⎨⎧>=>-02)1(12g a 10<<⇔a 或02≤≤-a 或2-<a 故)1,(-∞∈a 。