第一章第2-3节 几种常用的函数与反函数

1、定义：函数 y=tanx，x（

2
，

2
）上的反函数
称为反正切函数，记作 y=arctanx。
2、反正切函数的图像
3、性质
①y=arctanx 的定义域 D= R，值域 M=（ ， ） ； 2 2
②y=arctanx 在 R 上是单调增函数； ③y=arctanx 是奇函数，即 arctan(-x)=-arctanx， x R，其图像 关于原点对称。 ；
0, 上的反函
数称为反余弦函数，记作 y=arccosx。
2、反余弦函数的图像
3、性质
①y=arccosx 的定义域 D=[-1，1]，值域 M=
0, ；
②y=arccosx 在区间[-1，1]上是单调减函数，最大值为 ，最小值 为 0； ③y=arccosx 既不是奇函数也不是偶函数； ④y=arccosx 是有界的，即 arccos x ； ⑤arccos(-x)= -arccosx。
④y=arctanx 是有界的，即 arctan x ； 2
五、反三角函数 （三）反余切函数
1、定义：函数 y=cotx，x （0， ）上的反函数称为 反余切函数，记作 y=arccotx。
2、反余切函数的图像
3、性质
①y=arccotx 的定义域 D= R，值域 M=（0， ） ； ②y=arccotx 在 R 上是单调减函数； ③y=arccotx 既不是奇函数也不是偶函数； ④y=arccotx 是无界的。
，arccot 3 =
， ，
，arccot（- 3 ）=
练习答案 arctan0= 0 ，arctan
3 = 3 6
，arctan 3 =
3
2、余弦函数的图像
y cos x
3、性质
（1）y=cosx 的定义域为 R，值域为[-1，1]； （2）y=cosx 在 R 内有界，即 cosx 1 ； （3）y=cosx 是偶函数，即 cos(-x)=cosx,其图像关于 y 轴对称； （4）y=cosx 是周期函数，最小正周期 T=2 , 即 cos(x+2k )=cosx，k Z； （5）当 k Z 时，y=cosx 在区间[ 2k ， 2k ]上是单调递减的， 在区间[ 2k ， 2 2k ]上是单调递增的； 当 x= 2k , k Z 时，y 取得最大值，y max = 1, 当 x= 2k , k Z 时，y 取得最小值，y min =- 1,
1 解: y 2 x 3 解出x得 x ( y 3). 2
函数y=2x–3的反函数为
1 y ( x 3) 2
y
y 2x 3
y x
1 y ( x 3) 2
0
x
练习： 求函数 y 1 x , x R且x 1 的反函数， 并求反函数的定义域。
1 2
y=x 的定义域为 x x 0
1 2
（2）当 >0 时，y=x 在(0, )是单调增加的。 当 <0 时，y=x 在(0, )是单调减少的。 （3）幂函数的奇偶性是由 的值确定的，是无界的， 没有周期性。
二、指数函数
1 、 定义： 函数y a x (a 0, a 1)叫做指数函数
1 x
解：由 y 1 x 得， x
1 x
y 1 y 1
把 x、y 对调， 得函数 y 反函数的定义域为 x x R且x 1
1 x x 1 , x R且x 1 的反函数为： y 1 x x 1
一、幂函数
1 、 定义： 称函数y x (常数 0, R)为幂函数
2、图像：
y a x (0 a 1)
y ax
(a 1)
3、性质：
（1）指数函数的定义域是（ ， ） ， 值域为（0， ） （2）指数函数的图像都经过点（0，1） （3）当 >1 时， y a 在( , )是单调增加的。
x
当 0< <1 时， y a 在( , )是单调减少的。
（三）正切函数
1、定义： y tan x 2、正切函数的图像
y tan x
3、性质
（1）y=tanx 的定义域为 x x R且x （2）y=tanx 是无界的； （3）y=tanx 是奇函数，即 tan(-x)=-tanx,其图像关于原点对称； （4）y=tanx 是周期函数，最小正周期 T= , 即 tan(x+k )=tanx，k Z； （5）当 k Z 时，y=tanx 在区间（ 增的。
2

2
2 k ，

2
2k ]上是单调递

3 2k ]上是单调递减的； 2
当 x=

2
2k , k Z 时，y 取得最大值，y max = 1,
当 x=- 2k , k Z 时，y 取得最小值，y min =- 1,
2

（二）余弦函数
1、定义： y cos x
第 2 -3节 几种常用的函数及其图像
反函数
反函数
1、定义：设函数 y=f(x)是定义域为 D，值域为 M，若对 于任意 y∈M ,如果有唯一确定的满足 y=f(x)的 x∈D 与 之对应，则得到一个定义在 M 上以 y 为自变量的函数， 我们称它为函数 y =f (x)的反函数，记作 x=f 1 (y)。 习惯上，常用 x 来表示自变量，y 表示因变量，所以我 们可以将反函数改写成 y=f 1 (x)。
2、反函数的图像
y
原函数y f ( x)
Q ( b, a ) P (a , b)
反函数y f 1 ( x)
o
x
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3、几点说明： ①原函数 y=f(x)与反函数 y=f 1 (x)是相互的； ②只有单值对应才有反函数； ③原函数 y=f(x)的定义域是反函数 y=f 1 (x)的值域， 原函数 y=f(x)的值域是反函数 y=f 1 (x)的定义域； 求原函数的值域可以通过求其反函数的定义域得到 ④原函数 y=f(x)与反函数 y=f 1 (x)的图像关于直线 y=x 对称； ⑤原函数 y=f(x)与反函数 y=f 1 (x)具有相同的单调性；
y x
(1,1)
2、图像：
y
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
3、性质：
（1）幂函数 y=x 图像都过点（1，1） ，不论 取何值， y=x 在(0, )内总有定义，其定义域是由 的值确定的。 如，y=x 2 的定义域为 R， y=x 1 的定义域为 x x 0， y=x 的定义域为 x x 0，
arcsin (
2 )= 2 4
2 3 练习：arcsin0= ，arcsin = ，arcsin = ，arcsin1= 2 2 3 1 ( ) arcsin = ，arcsin（- ）= ，arcsin（-1）= 2 2
五、反三角函数 （二）反余弦函数
1、定义：函数 y=cosx，x


2、反正弦函数图像
3、性质
①y=arcsinx 的定义域 D=[-1，1]，值域 M= , ； 2 2

②y=arcsinx 在区间[-1，1]上是单调增函数，最大值为 ，最小值 2 为 - ； 2
③y=arcsinx 是奇函数，即 arcsin(-x)=-arcsinx， x [-1，1]，其图 像关于原点对称。
x
（4）指数函数不是奇函数也不是偶函数，是无界的， 没有周期性。
三、对数函数
1、定义：称函数 y loga x (a>0 且 a 1)为对数函数。
2、图像：
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log a x(0 a 1)
3、性质：
（1）对数函数的定义域是（0， ） ， 值域为（ ， ） （2）对数函数的图像都经过点（1，0） （3）当 >1 时， y loga x 在(0, )是单调增加的， 当 0< <1 时， y loga x 在(0, )是单调减少的； （4）对数函数不是奇函数也不是偶函数，是无界的， 没有周期性。
☆除了上述正弦、余弦、正切、余切 4 个函数外，三角函数还包括 正割函数和余割函数，
1 正割函数 y=secx= cos x
1 余割函数 y=cscx= sin x
五、反三角函数 （一）反正弦函数
1、定义：函数 y=sinx，x , 上的反函数称为反正弦函数， 2 2 记作 y=arcsinx，其定义域 D=[-1，1]，值域 M= , 。 2 2
④y=arcsinx 是有界的，即 arcsin x ； 2
⑤sin(arcsinx)=x。
1 例题：求①arcsin ， 2
②arcsin (
1 sin = 2 ，且 2 , 2 6 6
2 ) 2 1 arcsin 2 = 6
2 sin（ ）= ，且 , 2 4 4 2 2
1 例题：求①arccos ， 2
1 cos = 2 ，且 3 3
②arccos (

0,
2 ) 2 1 arccos 2 = 3
3 cos = 4
2 3 ，且 0, 2 4
2 3 )= 2 4
arccos (
2 另 cos = ，且 4 2 4
四、三角函数 （一）正弦函数