反函数基础练习 +答案

4 反函数·基础练习
(一)选择题
1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是
[ ]
A y (x 0)
B y (x 0)
C y (x 0)
D y |x|
．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --
2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]
A ．[0，＋∞)
B ．[－∞，
1]
C ．(0，1]
D ．(－∞，0]
3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2
[ ]
A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)
B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)
C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)
D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)
4．下列各组函数中互为反函数的是
[ ]
A y y x
B y y 2
．＝和＝．＝和＝
x x x
11
C y y (x 1)
D y x (x 1)y (x 0)
2．＝
和＝≠．＝≥和＝≥313131
1x x x x x +-+-
5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是
[ ]
A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数
B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数
C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数
D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点
6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是
x 1
y＝－，那么另一个函数是
[ ] A．y＝x2＋1(x≤0)
B．y＝x2＋1(x≥1)
C．y＝x2－1(x≤0)
D．y＝x2－1(x≥1)
7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点
[ ] A．(a，f-1(a))
B．(f-1(b)，b)
C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))
8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是
[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)
C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)
9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是
[ ]
10y g(x)．函数＝的反函数是，则1
3
x
[ ]
A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3)
B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1)
C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2)
D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题
1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．
．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，
x x ++21
21 解f(x)＝________．
3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．
4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是
，反函数的定92-x
义域是________．
5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．
6y 7y (x 1)
(x 1)
8f(x)(x 1)f ()1
．函数＝
的反函数的值域是
．
．函数＝≥－＜的反函数是：
．．函数＝＜－，则－＝
．
1
2
1121232
x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪--
(三)解答题
1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．
．已知函数＝．
x ax x +++25
2
(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．
3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．
4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝
，函数＝的图像是＝＋的图像23
1
1x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．
参考答案
(一)选择题
1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=
－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-
2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．
3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－
＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．
4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反
函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．
(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1
x 3
(x 3)y =
3x 1
3x 1
(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有
交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1
6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-
＋1(x ≤0)．选(A)．
7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．
8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．
9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0)，即f(x)=x 2＋
2(x ≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2，值域y ≤0，故选(C)．
10(B)g(x)=
1
x (0)33
．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜1 00g(3)g(1)g(2)=
1
20g(2)g(3)g(1)3
，∴＞－＞－而＞，∴＞－＞－．故选 (B)．
(二)填空题
1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(
x ≥3)
2y =
12x 1(x 0)y 1f(x)=1x
2x
(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜． 3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b
4144
3
比较两边对应项系数得，．a =
1
4
b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x
5．a
6．[0，2)∪(2，＋∞)
7f (x)=x 1(x 1)1x
(x 0)
1
22
．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪
8．－2
(三)解答题
1x 2y 1y =x 21=．解：∵≥－，得值域为≥．由＋＋得反函数f x -1()
(x －1)2－2，(x ≥1)，其图像如右图．
2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1，x ∈R ，∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1，y ∈R}．
解(2)：∵点P(1，2)在，y=f -1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x
的对称点为′，一定在的图像上，即由
＋＋得－，∴－＋，其反函数－＋．∵的定义域为≠－
，∈，∴的值域为≠－，∈．P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1
f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}1
125221
2
121
2
a
3．证明略．
4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11．略解；＋－的反函数是＋－，∴＋x 2
x 4x 1x 4
x 1
=2x =6g(2)=6＋－，由＋－得即．。