函数图像+反函数+基本初等函数(讲义+例题)
基本初等函数的图像与性质
在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。
一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。
它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。
二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。
幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。
3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。
② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。
③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。
2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。
高数总结：基本初等函数图像及其性质
⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。
三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。
(完整版)函数图像变换与基本初等函数
函数图像变换与基本初等函数一、函数的图象与图象交换与图象的对称点坐标函数解析式对称性关于x轴对称（x，y）与（x，－y）关于y轴对称（x，y）与（－x，y）关于原点对称（x，y）与（―x，―y）关于直线y=x对（x，y）与（y，x）称是偶函数，其图象关于y轴对称，图象在y 轴右侧部分与图象重合。
图象全部在x轴上方（含x轴）：保留图象在x 轴上方部分，将图象在x轴下方部分沿x轴翻折上去。
（即作出这部分关于x轴的对称图形）基础例题1、已知函数，且满足，则a=________。
解析：，∴的曲线关于（1，0）点对称。
又是由y=x3左右平移得到的，易知a=－1。
2、利用图象变换画出下列函数的图象（1）；（2）；（3）。
解析：（1）∴的图象可由的图象向右平移一个单位得。
（2）（3）3、已知函数的图像过点（0，1），那么函数的反函数的图像一定经过下列各点中的（）A．（4，―1）B．（1，―4）C．（―4，1）D．（1，4）解析：原函数向左平移，相应反函数向下平移。
答案选B。
4、填空：（1）将函数y=3x2―4x―12的图象沿向量平移后的解析式为__________。
（2）函数与的图像关于直线x=1对称，则________。
解析：（1）∴即∴（2）的图象与图象关于直线x=1对称，即，∴5、若函数在R 上单调递减，则的单减区间为（―2，+∞）。
解析：由复合函数单调性可知，的单减区间即为|x+2|=u的单增区间。
二、几个具体常见的函数二次函数指数函数对数函数解析式，，2，3 ，，2，3 定义域RR （0，+∞）值域、最值a＞0，a＜0，（0，+∞）R 图象a＞0单调性a＞0，在递减a＜0，在a＞0，递增a＜0，递减a＞1，递增0＜a＜1，递减递增奇偶对称性b=0时偶非奇非偶非奇非偶反函数无1、设二次函数满足，且图象在y轴上的截距为1，截x轴所得线段的长为，求的解析式。
解析：∴图象关于x=―2对称，∴①图象在y轴截距为1，∴c=1 ②截x轴所得线段长为，即的2根③由①②③可解，b=2，c=1，∴2、已知函数的值域为R，求a的取值范围。
(完整版)六大基本初等函数图像与性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数 2.2 对数函数 互为反函数的两个函数图象之间的关系》示范课件_3
的值.
点评：
利用互反函数的图象关于 直线y=x对称.
2019/10/20
作业： P75 习题2.2B组:1，4，5.
2019/10/20
y=x对称.
方法：
结合这个函数的单
在PQ((m函n,,mn数)),y也证=f在明(x函P)的关数图于y调在=象直f性反(上x线数)可函任的y是=以数取图它x的说，一象自对明 且点上己称它 反.. 点存 函
举例:(1)y=x+c,
(2)y=kx－1.
2019/10/20
例3 若点P（1，2）同时在函数y＝
图象上任意一点，点Q（n，m）在哪
个函数的图象上？
将点P的坐标代入y=logax得：
n=logam 化成指数式 m=an
所以，点Q（n，m）在函数y=ax的
图像上.
2019/10/20
探究3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样 的位置关系？由此说明对数函数y=logax
的图象与指数函数y＝ax的图象有怎样
2019/10/20
探究（二）：反函数的存在性
问题1:在函数y＝x2中，若将y作自变量， 那么x与y的对应关系是函数吗？为什 么？
对比： 下列函数哪些存在反函数：
(1)y=x2(x>0);
(2)y=x2(x<－2)；
(3)y=x2(x>－2);
2019/10/20
(4)y=x3(x∈R).
探究（二）：反函数的存在性 问题2:一个函数在其对应形式上有一 对一和多对一两种，那么在哪种对应 下的函数才存在反函数？ 结论：
探究（一）：反函数的概念 一般地，由函数y=f(x)解得x=f－1(y)， 且x是y的函数(即对于每一个y值，都 有唯一的x与之对应)，那么，我们把 函数x=f－1(y)叫做函数y=f(x)的反函数.
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数，定义域为[-1，1]，值域为，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数，定义域为，值域，为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
基本初等函数图像及性质
基本初等函数图像及性质六大基本初等函数图像及其性质一、常数函数（也称常值函数）y=C（其中C为常数）；常数函数（y=C）是平行于x轴的直线，定义域为R，值域为{C}，非奇非偶，单调性为不变，公共点为(0,C)。
二、幂函数y=x^α，x是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：当α为正整数时，函数的图像都经过原点，并且在原点处与x轴相切。
当α为奇数时，图像关于原点对称；当α为偶数时，图像关于y轴对称。
2.幂函数的性质：函数。
定义域。
值域。
奇偶性。
单调性。
公共点y=x^2.R。
[0,+∞)。
偶。
增。
(0,0)y=x。
R。
R。
非奇非偶。
增。
(0,0)y=x^3.R。
R。
奇。
增。
(0,0)y=x^-1.{x|x≠0}。
{y|y≠0}。
奇。
(-∞,0)减。
(-1,0)∪(0,1)三、指数函数y=a^x（a>1且a≠1），定义域为R，为无界函数。
1.指数函数的图像：当a>1时，图像是单调增的曲线，经过点(0,1)；当0<a<1时，图像是单调减的曲线，也经过点(0,1)。
2.指数函数的性质：函数。
定义域。
值域。
奇偶性。
单调性。
公共点y=a^x(a>1)。
R。
(0,+∞)。
非奇非偶。
增。
(0,1)y=a^x(0<a<1)。
R。
(0,1)。
非奇非偶。
减。
(0,1)本文介绍了指数函数和对数函数的基本概念和性质。
首先，介绍了指数函数的图像和比较大小的方法。
当底数互为倒数时，两个指数函数的图像关于y轴对称。
当底数大于1时，指数函数的值随着底数的增大而增大；当底数小于1时，指数函数的值随着底数的增大而减小。
其次，介绍了指数的运算法则，包括整数指数幂的运算性质和分数指数幂的运算性质。
其中，整数指数幂的运算性质包括指数相加、相减和相乘的规律；分数指数幂的运算性质包括分数指数幂的乘方和除法的规律。
接着，介绍了对数函数的概念和性质。
对数函数是指底数为常数且大于1的指数函数的反函数。
常用对数是以10为底的对数，自然对数是以无理数e为底的对数。
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精心整理
函数图像+反函数+基本初等函数
一、函数图像：注意数形结合
（1）平移：−−−−−−→−=个单位向右平移a x f y )()(a x f y -=；)(x f y =−−−−−−→−个单位向上平移b .)(b x f y +=
（2）对称：)(x f y =−−−−−→−轴对称关于
x )(x f y -=；)(x f y =−−−−−→−轴对称关于y )(x f y -=； )(x f y =−−−−−→−关于原点对称
)(x f y --=. *若有等式)()(x a f x a f -=+成立，那么函数关于a x =对称； *若有等式)()(a x f a x f -=+成立，那么函数是周期函数，且周期为a 2
（3）其他：)(x f y =−−−−−−−−→−再把轴上方图象保留
,x |)(|x f y =；)(x f y =−−−−−−−−−→−再把轴右边的图象保留,x |).(|x f y = 习题1.例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象：
（1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f
习题2.函数1
11--=x y 的图象是（B ） 习题3.已知)(x f 是偶函数，则)2(+x f 的图像关于__2x =-____对称；已知)2(+x f 是偶函数，则函数)(x f 的图像关于____2x =_____对称.
二、反函数
（1）互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.
（2）原函数与反函数有相同的增减性
（3）求反函数的步骤：
（a ）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.
（b ）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）.
（c ）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕.
习题4.函数y =－1
1+x （x ≠－1）的反函数是（A ） A.y =－x 1－1（x ≠0）B.y =－x 1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ）
轴下方图象对称到上方x 轴左边
轴右边图象对称到y y
习题5..函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（A ）
A.y =2x －1－1（x ＞1）
B.y =2x －1+1（x ＞1）
C.y =2x +1－1（x ＞0）
D.y =2x +1+1（x ＞0）
习题6.函数f （x ）=－12+x （x ≥－2
1）的反函数（D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2
1，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数
D.在（－∞，0］上为减函数
习题7.设函数f （x ）是函数g （x ）=
x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为（C ）
A.［0，+∞）
B.（－∞，0］
C.［0，2）
D.（－2，0］ 习题8.求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)
1(1),1(12x x x x 的反函数
习题9.求函数x a y =的反函数
三、基本初等函数
（1）指数函数：)1,0(≠>=a a a y x 且
a.定义域：R x ∈,
b.函数的值域为),0(+∞；
c.当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数，
d.过定点（0,1）
e.0<c<d<1<a<b
指数函数运算法则：
①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈
②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
（2）对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a 且
a.定义域：),0(+∞
b.函数的值域为R ；
c.当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数；
d.过定点（1,0）
e.0<c3<c4<1<<c2<c1
对数函数运算法则：如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么
（3）幂函数：()a f x x =，定义域根据特定的a 值来确定。
习题
45
（3习题习题习题习题习题15.若{|2},{|x M y y P y y ====，则M∩P （C ）
A.{|1}y y >
B.{|1}y y ≥
C.{|0}y y >
D.{|0}y y ≥
习题16.对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ C ）
A.a>5,或a<2
B.2<a<5
C.2<a<3,或3<a<5
D.3<a<4
习题17.已知x a x f -=)()10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（D ）
A.0>a
B.1>a
C.1<a
D.10<<a
习题18.函数|log |)(2
1x x f =的单调递增区间是(D)
A 、]
1,0(B 、]1,0(C 、（0，+∞）D 、),1[+∞ 习题l y =A C 习题习题习题习题习题习题8100
习题26.函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点
习题27.点（2，1）与（1，2）在函数()2ax b f x +=的图象上，求()f x 的解析式：()22x f x -+= 习题28．已知()2x f x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．：()23g x x =- 习题29.已知函数x
x x f -+=11lg
)(，（1）求)(x f 的定义域；（2）使0)(>x f 的x 的取值范围. x
（1）(-1,1),（2）(0,1)
习题30.已知定义域为R 的函数12()22
x x b f x +-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性;（减函数）。