二次函数与幂函数典型例题(含答案)

第6讲 二次函数与幂函数 【2013年高考会这样考】 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．

基础梳理 1．二次函数的基本知识 (1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.

(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－b2a，

顶点坐标是－b2a，4ac－b24a. ①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在－∞，－b2a上递减，在－b2a，＋∞上递增，当x＝－b2a时，f(x)min＝4ac－b24a； ②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在－∞，－b2a上递增，在－b2a，＋∞上递减，当x＝－b2a时，f(x)max＝4ac－b24a. ③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|. (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．幂函数 (1)幂函数的定义 形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0}

续表 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减，x∈(－∞，0)时，减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1)

一条主线 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 两种方法 二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法： (1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)

图象的对称轴方程为x＝x1＋x22； (2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)． 两种问题 与二次函数有关的不等式恒成立问题：

(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是 a＞0，b2－4ac＜0；

(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是 a＜0，b2－4ac＜0. 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( )．

A．y＝2x2 B．y＝1x2

C．y＝x2＋x D．y＝－1x 解析 A，C，D均不符合幂函数的定义． 答案 B 2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )． A．f(1)≥25 B．f(1)＝25 C．f(1)≤25 D．f(1)＞25

解析 对称轴x＝m8≤－2，∴m≤－16， ∴f(1)＝9－m≥25. 答案 A 3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )． A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2. 答案 C 4．(2011·陕西)函数 的图象是( )．

解析 由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C. 答案 B 5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.

解析 由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有x1＋x2

2

＝3⇒x1＋x2＝6. 答案 6

考向一 求二次函数的解析式 【例1】►已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式． [审题视点] 采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．

解 依题意得 1＋m＋n＝3，－m2＝－1，

解得： m＝2，n＝0，∴f(x)＝x2＋2x. 设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y. ∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上， ∴y0＝x20＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x， 即g(x)＝－x2＋2x. 二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起． 【训练1】 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式． 解 法一 利用二次函数的一般式． 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得 4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之得 a＝－4，b＝4，c＝7. ∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 法二 利用二次函数的顶点式． 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)， ∵f(2)＝f(－1)．

∴此二次函数的对称轴为x＝2＋－12＝12. ∴m＝12，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8. ∴y＝f(x)＝ax－122＋8， ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1， 解之得a＝－4. ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7. 考向二 幂函数的图象和性质 【例2】►幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )． A．－1＜m＜3 B．0 C．1 D．2 [审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值． 解析 由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3， 又m∈Z，∴m＝0,1,2. ∵m2－2m－3为偶数， 经验证m＝1符合题意． 答案 C 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．

【训练2】 已知点(2，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点－2，12在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________. 解析 由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝(2)α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1. 答案 ±1 考向三 二次函数的图象与性质 【例3】►已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值． [审题视点] 先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论． 解 函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a， (1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1； 当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a； (2)若0≤a＜1，则 当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2； 当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a； (3)若1≤a＜2，则 当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2； 当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1； (4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减， 当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1； 当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a. 解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型： ①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动． 【训练3】 已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________． 解析 由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a＜b＜n. 答案 m＜a＜b＜n 考向四 有关二次函数的综合问题 【例4】►设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围． [审题视点] 通过讨论开口方向和对称轴位置求解．

解 当a＞0时，f(x)＝ax－1a＋2－1a.

∴ 1a≤1，f1＝a－2＋2≥0或 1＜1a＜4，f1a＝2－1a＞0

或 1a≥4，f4＝16a－8＋2≥0， ∴ a≥1，a≥0或 14＜a＜1，a＞12或 a≤14，a≥38. ∴a≥1或12＜a＜1或∅，即a＞12；