幂函数知识点及典型题
二次函数与幂函数典型例题(含答案)
二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，f(x)min ＝；②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，f(x)max ＝.③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。
y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减，x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．两种方法二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是双基自测1．下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞253．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·陕西)函数的图象是()．5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－解析A，C，D均不符合幂函数的定义．答案 B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞25解析对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案 A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案 C4．(2011·陕西)函数的图象是()．解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案 B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3?x1＋x2＝6.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．解依题意得解得：∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解法一利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解之得∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8，∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案 C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案±1考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a＜b＜n.答案m＜a＜b＜n考向四有关二次函数的综合问题【例4】?设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．解当a＞0时，f(x)＝a＋2－.∴或或∴或或∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞；当a＜0时，解得a∈?；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】?(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－42－4a，∴抛物线顶点坐标为.(1分)①当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答]∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y min＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y min＝－1.综上，g(a)＝。
幂函数知识点笔记总结
幂函数知识点笔记总结一、基本概念1. 幂函数的定义幂函数是指以底数为自变量，指数为常数的函数，一般形式为 f(x) = a*x^n，其中a为常数，n为整数。
特殊情况下，指数可以是分数或负数。
2. 幂函数的图像特征当底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；当底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降；当底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数，图像在原点对称；当底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。
3. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性，可以是整个实数集合、正实数集合或负实数集合。
4. 幂函数的奇偶性当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。
二、函数性质1. 增减性当指数n为正数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；当指数n为负数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降。
2. 奇偶性当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。
3. 定义域和值域幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性。
4. 图像特征底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数；底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数；底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数；底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。
5. 渐近线当底数a为正数且指数n为正数时，幂函数的渐近线为y=0（x轴）；当底数a为正数且指数n为负数时，幂函数的渐近线为x=0（y轴）；其他情况下，幂函数没有渐近线。
三、常见变形1. 幂函数的平移对于幂函数f(x) = a*x^n，当a>0时，平移y轴时，可以通过加减常数来实现；当a<0时，平移x轴时，也可以通过加减常数来实现。
2. 幂函数的伸缩对于幂函数 f(x) = a*x^n，当a>0时，伸缩x轴时，可以通过系数a来实现；当a<0时，伸缩y轴时，也可以通过系数a来实现。
(word完整版)幂函数的性质
教学过程： 一、幂函数1．幂函数的定义⑴一般地，形如y x α=(x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数; ⑵11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像⑵归纳幂函数的性质：① 当0α>时:ⅰ)图象都过()()0,0,1,1点。
ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数,且α越大，上升速度越快。
ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时,图象上凸。
21x1-=x② 当0α<时：ⅰ)图象都过()1,1点。
ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数，且α越小，下降速度越快。
思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：例1 写出下列函数的定义域和奇偶性(1)4y x = (2）14y x = （3）3y x -= （4）2y x -=例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）11662,3 ；（2)4314.3-与43-π;（3）35)88.0(-与53(0.89)-．思考：.比较下列各数的大小：(1)2333441.1,1.4,1.1； (2) 3338420.16,0.5,6.25.--例3 已知函数()()2212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？例4 已知函数画出23y x -=的大致图象。
⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23y x -=的大致图象。
二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念对于函数y=f（x)，我们把使f(x）=0的实数x叫做函数y=f(x）的零点(zero point）。
方程f（x）=0有实数根函数y=f(x）的图象与x轴有交点函数y=f(x）有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:如果函数y=f（x)在区间［a，b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a）·f(b)〈0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b)内有零点.即存在c∈（a,b)，使得f（c ）=0，这个c也就是方程f(x）=0的根。
幂函数
幂函数、指数函数和对数函数上海市嘉定一中杨思源一、幂函数掌握幂函数1,10,0)(><<<==n n n x x f y n 的主要性质及三种情况下幂函数图像的主要特征。
高中阶段，n 仅限于在集合}3,2,1,21,31,21,1,2{---∈α中取值。
典型题：分别指出幂函数αx x f y ==)(图像具有下列特点时的α的值，其中}3,2,1,21,31,21,1,2{---∈α。
（1） 过原点，递增；（2） 不过原点，不与坐标轴相交； （3） 关于y 轴对称，并与坐标轴相交； （4） 关于y 轴对称，不与坐标轴相交； （5） 关于原点对称，且通过原点； （6）关于原点对称，但不通过原点。
解：.1)6(;3,1,31)5(;2)4(;2)3(;2,21,1)2(;3,1,21,31)1(-==-==---==αααααα （一） 选择题 1．幂函数),,,,()1(互质n m N p n m x y mnp∈=-的图像在第一、二象限，且不过原点，则有（ A ）为偶数；为奇数，n m p A ,. 为偶数；为奇数，m n p B ,. 为奇数；为偶数，n m p C ,. 为奇数。
为偶数，m n p D ,. 分析与解：因为函数的图像在第一、二象限，且不过原点；故函数的定义域p mny p∴<->+∞-∞,0)1(,0),0()0,(因此必有且 必为奇数，此时函数变形为.,,0,1A m n m n y xxy mnmn 必为奇数，故选互质，必为偶数，又∴∴>==-.2．当a x y x y x 的下方，则的图像在直线时，函数==+∞∈α),1(的取值范围是（ ） ;10.<<αA ;0.<αB ;1.<αC .1.>a D分析与解：当0),,1(10<==+∞∈<<ααα的下方；当的图像在时，对于x y x y x 时，对于αααx y x y x y ====时，的下方；当的图像也在0的图像也符合条件。
高考数学知识点幂函数知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。
具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。
幂函数知识点
Page 1对数函数典型例题例1．求下列函数的定义域： （1）2logx y a=； （2）)4(logx y a-=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y alog =的定义域(0,)+∞求解。
例2．求函数251-⎪⎭⎫⎝⎛=x y 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。
例3．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
例4．求下列函数的值域：（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．例5．判断函数22()log (1)f x x x =+-的奇偶性。
例6．求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。
分析：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。
例7．若函数22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围。
§2.3 幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，项数只有1项．要注意幂函数与指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的区别，这里底数a 为常数，指数为变量．2．五个具体幂函数的图象与性质当α＝1,2,3，12，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝12时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型一、理解幂函数的概念例1 函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．二、幂函数性质的综合应用例2 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围。
指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题
指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题指数函数、对数函数及幂函数知识总结一、知识框图二、知识要点梳理函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.常见性质n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.常见性质几个重要的对数恒等式，，.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.三、考题训练1.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ11）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是（ ）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 2.（2012·安徽高考文科·Ｔ3）（2log 9）·（3log 4）=（ ）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 3.（2012·天津高考文科·Ｔ6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（ ）2x （A ）y=cos ，x R ∈ 2||x （B ）y=log ， 0x R x ∈≠且 2x xe e --（C ）y=， x R ∈ 3+x （D ）y=1， x R ∈4.（2012·北京高考文科·Ｔ12）已知函数f （x ）=lgx ，若f （ab ）=1，则f （a 2）+f （b 2）=___________.5.（2012·江苏高考·Ｔ5）函数6()12log f x x=-的定义域为 .6.（2012·山东高考文科·Ｔ15）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝ .7.函数y=(31)x -2x 在区间[-1, 1]上的最大值为 .8.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g = A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-9.若函数f （x ）=log x a 在[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a=___ 10．函数y =的定义域是____________10．f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧〉〈-)1(log )1(281x x xx 则满足f （x ）=41的x 的值是_______________3 11．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f (a +b )的值为A. 1B. 2C. 3D. 3log 2 12．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. 1>a B. 1,0≠>a a C. 10<<a D. φ∈a . 13.方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________14.21-=a 是函数ax e x f x ++=)1ln()(为偶函数的c（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件15.已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a的范围是 .16.函数y=log 2(1-x)的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）16.已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值17.设函数,241)(+=xx f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++=K 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.。
专题24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习
（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N ．
3、对数式与指数式的互化
x loga N a x N
对数式
指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1,
2
3
10 49 5 3
3
3
47
10．化简
（1）
2
5 3
0
22
2
1 4
1
2
1
0.01 2
4
3
（2） 3 8 4 3 2 3 2 3
16
【答案】（1） ；（2）-2.
15
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】
1
1
（1）原式 1
当 x 0 时， 0 y 1 ；
当 x 0 时， 0 y 1 。
当 x 0 时， y 1。
在 , 上是 增 函数。 在 , 上是 减 函数。
11．函数 y 3 x 的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【分析】 根据函数的最大值排除 A B D 可得答案. 【详解】
因为 | x | 0 ，所以 y 3|x| 30 1，排除 A B D.
log a M N log a M log a N
16．已知 a log3 2 1 ，则 2a （ ）
专题 24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题（解析版）
幂函数图像及性质分析
y1 x
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幂函数
知识点
一、幂函数的定义 一般地，形如y x α
=（R x ∈）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如1
12
3
4
,,y x y x y x -===等
都是幂函数 二、幂函数的图像
幂函数n
y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n
y x =，当11
2,1,,,323
n =±±±
的图像和性质，列表如下．
① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
② 11
,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．
③ 1
,1,22
a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．
④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
三、幂函数基本性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 四、解题方法总结
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝α
x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象
限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．
典型题
类型一、求函数解析式
例1.已知幂函数2
223
(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，
∞时为减函数，则幂函数y =__________． 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4
3
3.14
-与43
π
-
(2)35
(-
与35
(-
(3）比较0.5
0.8
，0.5
0.9，0.5
0.9
-的大小
类型三、求参数的范围
例3.已知幂函数2
()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．
例4.若()
()2
2
132a a --+>-，求实数a 的取值范围
五、讨论函数性质
例5.求函数y=
3221)3()2(x x -
+的定义域.
例6.讨论函数32
4
(23)
y x x -
=--的单调性.
例7.讨论函数2
1
1
()()m m f x x m *++=∈N 的定义域、奇偶性和单调性．
课后作业
1.已知幂函数f ( x )图像过点（2，
2
2），则f ( 4 ) = 2.函数()y f x =与2()log g x x =的函数图象关于直线y x =对称，则(2)f -= 3.求函数1
42
3x
x y +=-+的值域.
4、设3.0log ,3.0,222
3
.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是 5.1(),12
x A y y x ⎧⎫==>⎨⎬⎩
⎭
，{}
ln ,1B y y x x ==>，则A B ⋂=
6、若函数)1,0()(≠>=a a a x f x
的反函数是)(x g ，且)(x g 在[1，2]上的最大值与最小值之和为1-，则
=a .
7、若2
log 15
a
<，则实数a 的取值范围是___________ 8、已知幂函数()f x
的反函数的图像过，求函数()f x 解析式为 9
、()f x =
定义域是
；()f x =定义域是
10、函数223
12x x y -+⎛⎫=
⎪⎝⎭
的单调递增区间是 ，值域为
11、已知[]3,2x ∈-，求11
()142
x
x f x =-+的最小值与最大值。