幂函数典型例题
幂函数的典型例题.doc
经典例题透析类型一、求函数解析式例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数，则幕函数y二___________________ .解析：由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数，所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\.当ni = 2时，nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数；当m = -l时，/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + «)上为常数函数，不合题意，舍去.故所求幕函数为y = x-3.总结升华：求慕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白需函数的定义是关键.类型二、比较幕函数值大小例2.比较下列各组数的大小.4 4 _ 3 _ 3(1)3」4万与兀了；(2)(-近门与(-73)^.4 4_4解：⑴由于幕函数y = •亍(x>0)单调递减且3」4 <龙，・・・3.14万 > 兀了._3(2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.・•・f (-x) =-f (x)—_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此，(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减，且血3 3 3 3 3 3・・・(血戸 >"门即(一血门v(总结升华.(1)各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根据幕函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题.当然，若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小.思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0・8°5与0.9°"的大小，再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小.解：y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增，且0.8 v 0.9 ,.•,0.805 <0.905.作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖，易知0.严< 0.9心.故 0.胛 vO.9°5 <0.9心.例3.已知幕函数y = f y = y = y = 在第一象限内的图象分别是G, C 2, C 3, G,（如图），则m, n 2, n ：“ m, 0, 1的大小关系？解:应为 ni<n 2<0<n 3<l<n4.总结升华：对于幕函数y = x a （aeR ）的图象，其函数性质的正确把握主要来源 于对图象的正确处理，而幕函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布; 反过来，也能通过第一彖限的图彖判断指数的取值范围.举一反三ABC思路点拨：已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断.解:取W 则尸知*，选项B, D 符合；取归,则尸1,选项B 符合题意.类型三、求参数的范围例4•已知幕函数y = x m2（rneN ）的图象与兀y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求加的值，并画出它 的图象.解：图象与上y 轴都无交点，/.zn-2<0,即m<2.又 m G N , m = 0/h2 .幕函数图彖关于y 轴对称，/. m = 0 ,或 m = 2 .当加=0时，函数为y = 图象如图1；图1图2举一反三 【变式一】若（a + l ）-2〉（3 —2d ）_2,求实数a 的取值范围.解法1:・・・仗+ 1）「2 >（3-2订2,考察y = 的图象，得以下四种可能情况:1总结升华.以上两种另法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征 有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.【变式二】当m 为何值时，幕函数y 二(n?-5m+6)丹5”-3的图象同时通过点(°, 0)和(1, 1).解：V y= (m 2-5m+6) x m ~2,n ~3 是幕函数..*.m 2-5m+6=l.得:m- ~ , 2又•・•函数图象过(0, 0)和(1, 1)点，.-.m 2-2m-3>0,得m>3或水-1,类型四、讨论函数性质例5.求函数y 二。
简单的幂函数习题举例
简单的幂函数习题举例题组一：幂函数的概念例1：下列函数是幂函数的是：．①()2xf x =．②2()3f x x =．③2()f x x =-．④()f x x π=．⑤3()(1)f x x =-．⑥21()f x x =2．已知2212()(2)m m f x m xm --=+,当m 取何值时,〔1()f x 是幂函数；〔2()f x 是正比例函数〔3()f x 是反比例函数 1．下列函数中是幂函数的是〔 ①31y x =②m y ax =〔,a m 为非零常数,且1a ≠； ③145y x x =+④n y x = ⑤3(6)y x =-⑥28y x =⑦2y x x =+⑧1y =A ．①②③⑧B ．①④C ．③④⑤⑥D ．②④⑦参考答案：B2．在函数y=,32y x =,21y x =+,3(1)y x =+中,幂函数的个数为〔 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4参考答案：A3．已知2121(23)(22)m y n m x m -=+-+-⋅是幂函数,求,m n 的值。
参考答案：33,2m n =-= 4．已知函数f <x >＝<m 2＋2m >·xm 2＋m －1,m 为何值时,f <x >是：<1>正比例函数；<2>反比例函数；<3>二次函数；<4>幂函数？解：<1>若f <x >为正比例函数,则错误!⇒m ＝1；<2>若f <x >为反比例函数,则错误!⇒m ＝－1；<3>若f <x >为二次函数,则错误!⇒m ＝错误!；<4>若f <x >为幂函数,则m 2＋2m ＝1,∴m ＝－1±错误!.5．下列函数中是幂函数的是<>A ．y ＝3x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x －1＋1D ．y ＝x 3.14[答案] D题组二：函数奇偶性的判断。
幂函数题型及解析
α幂函数题型及解析1. （1 ）下列函数是幂函数的是y=x 2， y=（ ） x， y=4x 2 ， y=x 5 +1 ， y= （ x ﹣1）2 ， y=x ， y=a x （ a ＞ 1 ）分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x 2 和 y=x ．解：由幂函数的定义知， y=x 2， y=（ ） x ，y=4x 2，y=x 5+1 ， y=（ x ﹣1 ） 2， y=x ，y=a x （ a ＞ 1），七个函数中是幂函数的是 y=x 2 和 y=x ，（ 2 ） ① y=x 2+1 ； ② y=2 x ； ③ y=； ④y=（ x ﹣1） 2； ⑤ y=x 5； ⑥ y=x x+1分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可． 解：根据幂函数 y=x， α∈R 的定义知，① y=x 2 +1 不是幂函数， ② y=2 x 不是幂函数， ③ y==x ﹣2是幂函数， ④ y=（ x ﹣1 ）2 不是幂函数， ⑤ y=x 5 是幂函数，⑥ y=x x+1 不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤2. 已知幂函数 y=f （ x ）的图象过点（ 9 ， ） .（ 1）求 f （ x ）的解析式； （ 2）求 f （ 25 ）的值；（ 3）若 f （ a ） =b（ a ， b ＞0），则 a 用 b 可表示成什么？分析：（ 1）设出幂函数 f （ x ）的解析式，根据图象过点（ 9， ），求出函数解析式； （2 ）根据函数的解析式求出 f （25 ）的值；（ 3）根据函数的解析式求出a 与b 的关系．解：（ 1 ）设幂函数 f （x ） =x t ，∵图象过点（ 9， ），∴ ；即 3 2t =3 ﹣1，∴，∴ ；（ 2 ）∵f （ x ）=，∴f （ 25） =25 -0.5 = = = ；（ 3）∵f （a ） =a -0.5 =b ，∴a -0.5 ＝ b ，∴a ﹣1 =b 2，∴a= ．3. 比较下列各组中两个值的大小（ 1 ） 1.5， 1.7；（ 2） 0.7 1.5 ， 0.6 1.5 ；（3） (2 1.2 ) 3，(1.25)21 3 54；（4 ）（ ） ﹣0.24与 ( ) ； 6（ 5 ） 3.1 0.5 ， 3.1 2.3 ；（ 6 ）（ ） ﹣1.5 ，（ ）﹣1.8 ；（ 7 ）0.6 2 ， 0.6 3 ；（ 8）（ ） ﹣0.3 ，（ ） ﹣0.24分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得．解：（ 1）∵幂函数 y= 3 x 5在（ 0 ，+ ∞）单调递增，∴ 3 1.553 ＜ 1.7 5；（ 2 ）∵幂函数 y=x 1.5 在（ 0， +∞ ）单调递增，∴0.7 1.5 ＞ 0.6 1.5 ；（3 ） ∵幂函数 y= 2x 3 在（﹣∞，0）单调递增， ∴(1.2) 23＞ (1.25) 23 ；（ 4）∵0＜ ＜ 1，﹣0.24，∴（ ） 0.24＜ ( 5) 614 ；（ 5）3.1 0.5 ＜ 3.1 2.3；（ 6）（ ）﹣1.5＞（ ） ﹣1.8 ；（ 7） 0.6 2 ＞0.6 3 ；（ 8）（ ） ﹣0.3＜（ ） ﹣0.244. 若函数 y=（ m 2 +2m ﹣2 ）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，求 m 的值②已知幂函数 y= （ m 2﹣m ﹣1） x m2 ﹣2m ﹣3，当 x ∈（0 ， +∞）时为减函数，求幂函数分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出 m 的值即可解：①∵函数 y=（ m 2 +2m ﹣2 ） x m 为幂函数且在第一象限为增函数，∴m 2+2m-2=1 且 m ＞0；解得 m=1②解：∵幂函数y=（m 2﹣m ﹣1 ）x m2 ﹣2m ﹣3 ，∴m 2﹣m ﹣1=1 ，解得m=2 ，或m= ﹣1；又x∈（0 ，+∞）时y 为减函数，∴当m=2 时，m 2-2m-3= ﹣3，幂函数为y=x -3，满足题意；当m=-1 时，m 2-2m-3=0 ，幂函数为y=x 0 ，不满足题意；综上幂函数y=x -35. 幂函数y=（m 2 ﹣3m+3 ）x m 是偶函数，求m 的值分析：根据幂函数的定义先求出m 的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．解：∵函数是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1 ，即m 2﹣3m+2=0 ，则m=1 或m=2 ，当m=1 时，y=x 是奇函数，不满足条件．当m=2 时，y=x 2 是偶函数，满足条件，即m=26. 求函数y= x23 的定义域和值域．分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=22x 3 化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．解：∵函数y= x 3= ，∴x≠0 ，且y＞0 ；∴函数y 的定义域是{x|x ≠0} ，值域是{y|y ＞0}7. 求函数y=0.2 ﹣x2 ﹣3x+4 的定义域、值域和单调区间．分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可．解：令f（x）=﹣x2 ﹣3x+4= ﹣（x2 +3x+ ）+ =﹣+ ，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，∴函数y=0.2 ﹣x2 ﹣3x+4 在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴y min = = ，∴函数y=0.2 ﹣x2 ﹣3x+4 的定义域是R、值域是[ ，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增8. 已知幂函数y= x4 3 m m 2（m ∈Z）的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象分析：由题意得4-3m-m 2 ＞0 解得﹣4 ＜m＜1 ，又因为图象关于y 轴对称，所以 4 ﹣3m ﹣m 2 必须为偶数，故m=0 ，﹣1 ，﹣2 ，﹣3 ，即可画出图象．解：由题意得 4 ﹣3m ﹣m 2＞0 ，即有（m+4 ）（m ﹣1）＜0，解得﹣4 ＜m＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，所以m=0 ，﹣1 ，﹣2 ，﹣3 ，m= ﹣3 ，y=x 4，m= ﹣2 ，y=x 6，m= ﹣1 ，y=x 6，m=0 ，y=x 4其图象如图：9. 已知函数y= （n∈Z）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图象．分析：由题意可得，可得幂指数n 2 ﹣2n﹣3 为负数，且为偶数．由于当n=1 时，幂指数n 2﹣2n﹣3= ﹣4 ，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象．解：已知函数y= （n∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，可得幂指数n 2﹣2n ﹣3 为非正数，且为偶数．由于当n=1 时，幂指数n2 ﹣2n ﹣3= ﹣4 ，满足条件，当n=3 时，n2 ﹣2n﹣3=0 ，满足条件故函数为y=x ﹣4，或y=x 0 ，它的图象如图所示：10. 已知幂函数y=x m﹣2 （m ∈N ）的图象与x，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．分析：由题意利用幂函数的性质可得m ∈N ，m ﹣2≤0，且m ﹣2 为偶数，由此求得m 的值．解：∵幂函数y=x m﹣2 （m ∈N）的图象与x，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，∴①m ﹣2 ＜0，m ﹣2 为偶数，故m=0 ，即幂函数y=x ﹣2，它的图象如右图所示．或②m ﹣2=0 ，m=2 ，此时y=x 0 ，（x≠0），它的图象如图所示11. 已知幂函数的图象与x 轴，y 轴没有交点，且关于y 轴对称，求m 的值分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m 2﹣2m ﹣3 ≤0 且m 2﹣2m ﹣3 为偶数，从而可得答案．解：∵幂函数y= （m ∈Z）的图象与x 轴，y 轴没有交点，且关于y 轴对称，∴m 2 ﹣2m ﹣3≤0 且m 2﹣2m ﹣3 为偶数（m ∈Z ），由m 2 ﹣2m ﹣3≤0 得：﹣1≤m ≤3 ，又m ∈Z ，∴m= ﹣1，0 ，1，2，3．当m= ﹣1 时，m 2﹣2m ﹣3=1+2 ﹣3=0 ，为偶数，符合题意；当m=0 时，m 2﹣2m﹣3= ﹣3，为奇数，不符合题意；当m=1时，m 2 ﹣2m ﹣3=1 ﹣2 ﹣3= ﹣4 ，为偶数，符合题意；当m=2 时，m 2﹣2m ﹣3=4 ﹣4﹣3= ﹣3 ，为奇数，不符合题意；当m=3 时，m 2﹣2m ﹣3=9 ﹣6﹣3=0 ，为偶数，符合题意．综上所述，m= ﹣1，1，312. 已知幂函数y=x m2 ﹣2m ﹣3（m ∈Z）的图象与x、y 轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m 的值，并且画出它的图象．分析：由题意知，m 2 ﹣2m ﹣3＜0，且m 2﹣2m ﹣3 为奇数，解此不等式组可得m 的值．解：幂函数y=x m2 ﹣2m ﹣3（m ∈Z ）的图象与x、y 轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m 2﹣2m ﹣3＜0 ，且m 2﹣2m ﹣3 为奇数，即﹣1 ＜m＜3 且m 2﹣2m ﹣3 为奇数，∴m=0 或2，∴y=x ﹣3 ，其图象为：13. 若实数m 满足不等式0.64 2m+3 ＜1.25 3m ，求实数m 的取值范围分析：不等式0.64 2m+3 ＜1.25 3m ，即为（）﹣（4m+6 ）＜（）3m ，再由y=（）x 在R 上递增，得到﹣（4m+6 ）＜3m ，解出即可．解：不等式0.64 2m+3 ＜1.25 3m ，即为0.8 2（2m+3 ）＜（）3m ，即有（）﹣（4m+6 ）＜（）3m ，由于y=（）x 在R 上递增，则﹣（4m+6 ）＜3m ，解得，m＞﹣，故实数m 的取值范围是（﹣，+∞）14. 已知幂函数若该函数还经过点．（1 ）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2），求m 的值并求满足条件f（2 ﹣a ）＞f（a﹣1）的实数 a 的取值范围．分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性（2 ）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．解：（1 ）∵m 2 +m=m （m+1 ），m ∈N *∴m 2+m 为偶数，∴x ≥0 ，所以函数定义域为[0 ，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2 ）依题意得：，∴，∴m=1（m ∈N*）由已知得：，∴，故 a 的取值范围为：Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
幂函数经典例题(答案)
幂函数经典例题(答案)A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R.错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32， 所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R)的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
高一幂函数的试题及答案
高一幂函数的试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是幂函数？- A. \( y = x^2 + 1 \)- B. \( y = \sqrt{x} \)- C. D. \( y = \frac{1}{x} \)2. 幂函数 \( y = x^3 \) 的图像通过哪个点？- A. (0, 1)- B. (1, 1)- C. (-1, 1)- D. (0, 0)3. 如果幂函数 \( y = x^n \) 的图像关于y轴对称，那么 \( n \) 的值是多少？- A. 1- B. 2- C. -1- D. 任意实数二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个_________。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而_________。
三、解答题6. 已知幂函数 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，请确定 \( n \) 的值。
7. 讨论幂函数 \( y = x^n \) 图像的变化趋势，并说明 \( n \) 的不同取值对图像的影响。
四、计算题8. 计算幂函数 \( y = x^{-2} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
9. 假设幂函数 \( y = x^n \) 的图像经过点 (2, 8)，求 \( n \)的值，并描述其图像的特点。
答案一、选择题1. 正确答案：B. \( y = \sqrt{x} \)（因为 \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)）2. 正确答案：C. (-1, 1)3. 正确答案：B. 2二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个抛物线。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而增加。
三、解答题6. 由于 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，我们有 \( 27 = 3^n \)。
幂函数的练习题
幂函数的练习题幂函数的练习题幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的表达式为y = ax^n，其中a是常数，n是指数。
在解决实际问题或数学题目时，我们经常会遇到幂函数的练习题。
本文将通过一些例题来帮助读者更好地理解和应用幂函数。
例题一：已知y = 2x^3，求当x = 4时，y的值。
解析：将x = 4代入幂函数的表达式中，得到y = 2(4^3) = 2(64) = 128。
因此，当x = 4时，y的值为128。
例题二：已知y = 5x^2，求当y = 45时，x的值。
解析：将y = 45代入幂函数的表达式中，得到45 = 5(x^2)。
将方程两边除以5，得到9 = x^2。
开平方根，得到x = ±3。
因此，当y = 45时，x的值为±3。
例题三：已知y = 2^x，求当x = 0时，y的值。
解析：将x = 0代入幂函数的表达式中，得到y = 2^0 = 1。
因此，当x = 0时，y的值为1。
例题四：已知y = 3^x，求当y = 81时，x的值。
解析：将y = 81代入幂函数的表达式中，得到81 = 3^x。
将等式两边取对数，得到log3(81) = x。
由于3的多少次幂等于81，可以得到x = 4。
因此，当y =81时，x的值为4。
通过以上例题，我们可以看到幂函数在解决实际问题中的应用。
幂函数的指数决定了函数的增长速度，当指数为正数时，函数呈现递增趋势，当指数为负数时，函数呈现递减趋势。
幂函数也可以用来描述物理现象中的指数增长或衰减。
除了以上的例题，我们还可以通过一些练习题来进一步巩固对幂函数的理解。
练习题一：已知y = 4x^2，求当x = -2时，y的值。
练习题二：已知y = 2^x，求当y = 16时，x的值。
练习题三：已知y = 3^x，求当x = -1时，y的值。
练习题四：已知y = 5^x，求当y = 625时，x的值。
通过解答这些练习题，读者可以进一步熟悉幂函数的性质和运算规律。
幂函数练习(含答案详解)
3.3 幂函数练习一、单选题1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．32D ．22、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x－2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝31x3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C )4、幂函数()()2222m f x m m x -=--在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-5、若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A )A ．⎣⎡⎭⎫2，167B ．(0，2]C ．⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝()12255a a a x---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D )A ．1B ．6C ．2D ．－17、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a >>>8、已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0二、多选题9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数()a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫⎪⎝⎭则（ CD ）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞11、已知幂函数f (x )＝()2231mm m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足2121)()(x x x f x f -->0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能12．若函数()f x x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ BD ）A ．1-B ．1C ．2D ．3三、填空题13．若幂函数()21my m m x =--为偶函数，则m = ___2_____ .14、已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝_____0__. 15、若()()21221112-+>+m m m ，则实数m 的取值范围是______⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2__________.16、给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为__③______． 四、解答题17．已知幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可得139α=，解得2α=-，故()2f x x -=，其定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称；其函数图象如下所示：数形结合可知，因为()f x 的图象关于y 轴对称，故其为偶函数； 且()f x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增.18、已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1(m ∈R)为偶函数．(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3. 当m ＝2时，f (x )＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去；当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.(2)由f (x )＝x－4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－13.19、已知幂函数f (x )＝21()mm x-+(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数f (x )＝21()m m x-+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－12()12m m +-，即122＝2()12mm +-，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝12x ， 又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．20、19．已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =++yg x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.解：(1)因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. (2)由（1）知，()f x x =，所以()()2121g x f x x x x =+=++ 令21t x =+212t x -=，11,0123,032x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211()222t t g t t t -=+=+-，3t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11122t =-=-⨯，开口向上，所以()g t 在3⎡⎣上单调递增；所以2min011()(0)0222g t g ==+-=-，(2max 31()(3)33122g t g === 所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为1312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
幂函数练习题
幂函数练习题幂函数是数学中的一种基本函数形式，它具有形如f(x) = ax^n的特点，其中a和n为常数，且n为整数。
在本文中，我们将通过一系列练习题来加深我们对幂函数的理解和运用。
练习题一：已知幂函数f(x) = 2x^3，求解以下问题：1. 当x取值为2时，求f(x)的值。
2. 求f(x)的定义域和值域。
3. 求f(x)的图像关于y轴的对称中心。
解答：1. 当x取值为2时，代入幂函数的表达式可得：f(2) = 2 * 2^3 = 2 * 8 = 16。
2. 幂函数的定义域为所有实数，因为x可以取任意实数值。
而幂函数的值域为所有非负实数，因为x的幂次可以是负数或零，当x为非负实数时，f(x)也同样为非负实数。
3. 幂函数的图像关于y轴的对称中心为原点(0, 0)，因为当x取相反数时，f(x)取相反数，即f(-x) = -f(x)。
练习题二：已知幂函数f(x) = 4x^(-2)，求解以下问题：1. 当x取值为3时，求f(x)的值。
2. 求f(x)的定义域和值域。
3. 求f(x)的图像关于x轴的对称中心。
解答：1. 当x取值为3时，代入幂函数的表达式可得：f(3) = 4 * 3^(-2) = 4 * (1/9) = 4/9。
2. 幂函数的定义域为所有除零以外的实数，因为在幂函数中，x不能为零。
而幂函数的值域为所有正实数，因为x的幂次为负数，当x 为正数时，f(x)为正实数。
3. 幂函数的图像关于x轴的对称中心不存在，因为幂函数的图像在x轴上不会有对称性。
通过以上练习题，我们对幂函数的性质有了更深入的理解。
幂函数在数学中有广泛的应用，例如在物理学中描述运动的速度、加速度，以及经济学中的成本、利润等。
对幂函数的熟悉和掌握将有助于我们更好地理解和解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
幂函数第一课时
典型例题
1． 作出函数21x y =，23x y =，23y x
-=， 2y x -=的图象，并求其定义域、值域和判断其奇偶性
2． 比较下列各组数的大小：
（1）212124.5,23.5；
（2）1127
.0,26.0--； （3）13
332211.3,1.4,()2
- (4) 112221.7,0.7,0.7---
3已知幂函数232()()m m f x x m Z +-=∈，且在(0,)+∞上偶函数，求()f x 的解析式并求()f x 的单调区间
幂函数第二课时
1. 设()(,,n m f x x m n N =∈且互质）
（1） 证明：当n 时候偶数时，其图像关于y 轴对称；当,m n 都是奇数时，其图像关于原
点对称；
（2） 若(8)4f =，求函数的表达式
2已知幂函数2221527()(919)m m f x m m x -+=-+图象不过原点，求m 的值
变1：将“不过原点”改成“过原点”，求m 的值
变2：将“不过原点”改成“与坐标轴无交点”，求m 的值
3已知3
355(31)(3)a a --+<-，求a 的取值范围 变：若将上面的条件改为4
455(31)
(3)a a --+<-，结果又将如何？
4已知幂函数24*()()m
m f x x m N --=∈的图象关于y 轴对称，且在(0.)x ∈+∞上位减函数，求满足条件33(1)
(32)m m a a --+<-时a 的取值范围。