反函数专题练试卷及解析
反函数练习附答案
13.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为1(x),则1(32)的定义域为,值域为.
解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤32≤3,解得 ≤x≤ .
3.若函数y＝f(1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,则f(x)等于()
212x2122
解析:由函数y＝f(1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f(1)与 互为反函数,有 x＝e22,所以y＝e22 y＝f(1)＝e22.故f(x)＝e2x.答案
4.已知函数f(x)＝231(x)是f(x)的反函数,若＝16(∈),则1(m)1(n)的值为( )
又y＝f(x)与y＝1(x)关于y＝x对称＝x沿向量(-1,2)平移得到y＝3,
∴y＝f(1)+2与y＝1(1)+2关于y＝3对称.答案＝3
三、解答题
15.已知函数 (x)＝1(),求g(x).
解:由 ,得＝1,∴ ,即 ，∴g(x)＝1()＝ .
16.已知函数f(x)＝2( )(a＞0且a≠1).
8.设0＜a＜1,函数 ,则函数1(x)＜1的x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(2∞) C.(0∞) D.((2)∞)
解析(x)在(0,2)上是减函数,所以x＞f(1)＝0.故选C.
9.设函数为y＝f(x)的反函数为y＝1(x),将y＝f(23)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是( )
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.函数的反函数为_______.【答案】【解析】由题意得，，所以反函数为.【考点】反函数.2.函数是奇函数，且当时，，则= 。
【答案】-2【解析】∵时,,∴时,＜0∵=-＜0由反函数的性质得-=x=-2∴=-23.已知函数存在反函数，若函数的图像经过点，则的值是___________．【答案】2【解析】本题关键是出函数的反函数，由得，，即函数的反函数为，那么这个反函数图象一定过点，所以，．【考点】反函数的性质与求反函数．4.函数与的图像关于直线对称，则 .【答案】4【解析】由已知可知g（x）与f(x)是互为反函数，设g（3）=b，则1+logb=3，解得b=4，所以2g（3）=4.【考点】反函数的图象及其性质.5.函数的反函数________________．【答案】【解析】由函数≥2，可得x=2y-1（y≥2），所以所求的反函数为.【考点】反函数的求法.6.函数与的图像关于直线对称，则 .【答案】4【解析】因为函数与的图像关于直线对称，所以，与互为反函数。
就是为3时的x值，即由=3得，，x=4，故 4.【考点】本题主要考查反函数的概念，互为反函数的图象关系。
点评：简单题，函数f(x)的图象过（a，b），则其反函数的图象过（b，a）。
7.设函数的反函数是，且过点，则经过点．【答案】【解析】因为函数的反函数是，且过点，而的图象就是的图象沿x轴向右平移1单位的结果，所以反函数是的图象过（0,2），的图象过（2,0），故经过点（3,0）.【考点】本题主要考查互为反函数的函数图象之间的关系，图象的平移。
点评：基础题，点（a,b）在函数的图象上，则点（b，a）在反函数的图象上。
8.已知函数，则________．【答案】-2．【解析】即x的值，解得：x=－2.【考点】本题主要考查互为反函数的函数关系。
点评：简单题，注意互为反函数的函数定义域，值域互换。
9.已知函数，则的反函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，故f(x)的反函数即为再结合原函数的值域得到反函数的定义域，选A10.函数的反函数是，若，则( )A．B．C．D．．【答案】D【解析】根据原函数与反函数定义域与值域的关系可知.11.函数的反函数的大致图象为【答案】C【解析】首先先找出的反函数。
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数.【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换3.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为．【答案】【解析】由题意知，，所求的切线斜率为，所以切线方程为化简即.【考点】互为反函数的函数图象的关系，导数的几何意义，切线方程的求法.4.函数的反函数是．【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。
5.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。
【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。
6.若满足2x+="5," 满足2x+2(x－1)="5," +＝A．B．3C．D．4【答案】A【解析】如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交点A的横坐标；又因为2x+2(x－1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得，所以，选择A【考点】本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性。
点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了。
7.函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=_______．【答案】-1【解析】因为函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=-18.已知函数f (x)=a x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．（1）求；（注意：指数为x+2）（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．(x+1)-2(x>-1)．（2）或．【答案】（1）=loga（3）满足条件的x的取值范围为．【解析】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题（y+1）-2，即可得f-1（x）；（1）由y="f" （x）=a x+2-1，求得x=loga（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；（3）由题意可得转化为不等式x2≤a3+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。
专题14(5.4 反函数)(解析版)
专题14（*5.4 反函数）一、单选题1．（2019·上海杨浦·复旦附中高一期末）下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ） A ．3y x -=和13y x -=B ．23y x =和()320y xx =≥C ．()20x y x =>和()2log 1y x x => D ．()()lg 11y x x =->和101x y =+【答案】B【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y ，即3y x -=和13y x -=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x ∈R ，由()320y xx =≥得320=≥y x，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y xx =≥不是互为反函数；对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101x y =+也互为反函数. 故选B【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.2．（2019·上海市建平中学高一期末）函数()10y x =≤的反函数是（ ）A ．)1y x =≥- B ．)1y x =≥-C ．)0y x =≥D ．)0y x =≥【答案】B【分析】根据反函数：用原函数中的函数表示自变量，且原函数的值域为定义域，原函数的定义域为值域， 即可求()10y x =≤的反函数；【详解】()10y x =≤，知：值域为[1,)-+∞且x =∴其反函数为)1y x =≥-；故选：B【点睛】本题考查了反函数，从解析式角度写出原函数的反函数，注意用函数表示自变量且定义域、值域互换即为所求反函数解析式；3．（2019·上海徐汇·高一期末）函数()()21122f x x x =+>的反函数是（ ）A ．)13y x =≤<B ．)3y x =>C ．)13y x =≤<D ．)3y x =>【答案】B【分析】先根据原函数的定义域求出值域,再由原函数解析式反解出x ,然后对调,x y 的位置可得反函数的解析式,并写上原函数的值域作为反函数的定义域即可得到. 【详解】因为2x >,所以211()141322f x x =+>⨯+=,由2112y x =+,得222x y =-,又2x >,所以x =对调,x y 的位置可得反函数1()f x -=(3)x >.故选B .【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,特别要注意反函数的定义域,属于基础题.4．（2019·上海华师大二附中高一期中）函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是（ ）A ．1sin ([0,])3y x x π=∈B ．1cos ([0,])3y x x π=∈ C ．1sin ([0,])3y x x π=-∈D ．1cos ([0,])3y x x π=-∈【答案】D【分析】根据反三角函数的定义即可求出【详解】函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是1cos 3y x =-，[0,]x π∈， 故选D ．【点睛】本题主要考查反正弦函数的定义和性质，熟记反三角的定义是关键，属于基础题． 5．（2019·松江·上海市延安中学高一期末）若函数()y f x =的图像位于第一、二象限，则它的反函数1()y fx -=的图像位于（ ）A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限【答案】D【分析】结合函数与反函数关于y x =得出，即可得出反函数位于第一、四象限，即可． 【详解】结合函数与反函数关于y x =得出，即可得出反函数位于第一、四象限，即可． 【点睛】本道题考查了函数与反函数的性质，难度中等．6．（2020·徐汇·上海中学高一期末）函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x - C ．()1f x + D ．()1f x -【答案】C【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位， 得到1(1)y f x -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 7．（2020·宝山·上海交大附中高一期末）设1x ，2x 分别是函数()xf x x a-=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则129x x +的取值范围是（ ）A ．[)6,+∞B ．()6,+∞C ．[)10,+∞D ．()10,+∞【答案】D【分析】根据零点定义,可得1x ,2x 分别是1xa x =和1log a x x=的解.结合函数与方程的关系可知1x ,2x 分别是函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =交点的横坐标,所以可得101x <<,21>x .而x y a =与log a y x =互为反函数,则由反函数定义可得121x x ⋅=.再根据基本不等式,即可求得12x x +的最小值,将129x x +化为1228x x x ++,即可得解. 【详解】因为1x ,2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点则1x ,2x 分别是1xa x =和1log a x x=的解所以1x ,2x 分别是函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =交点的横坐标所以交点分别为121211,,,x x x x A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1a >所以101x <<,21>x由于函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =都关于y x =对称所以点A 与点B 关于y x =对称因为111,A x x ⎛⎫⎪⎝⎭关于y x =对称的点坐标为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以121x x =即121x x ⋅=,且12x x ≠ 所以129x x +1228x x x =++28x ≥228x >+,由于12x x ≠,所以不能取等号因为21>x所以2282810x +>+= 即()12910,x x +∈+∞ 故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.二、填空题8．（2018·上海杨浦·复旦附中高一期末）函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1fx -=______．【答案】()1f x -=[]2,3x ∈【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）即可． 【详解】()2210y x x =+-≤≤ []2,3y ∴∈又x =()1fx -∴=[]2,3x ∈故答案为()1f x -=[]2,3x ∈【点睛】本题考查反函数的求解，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．9．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________.【答案】-2【分析】求出反函数与原函数比较可知2a =-．【详解】由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为2-．【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 10．（2019·上海南汇中学高一期末）已知()1f x x x=+，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】1 【分析】令1=21xx+，解方程即得解.【详解】令1=21x x+， 所以1x =.由反函数与原函数的关系得1112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为1【点睛】本题主要考查反函数和原函数的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.11．（2020·上海市控江中学高一期末）设函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，若()13f a -=，则a =__________.【答案】3【分析】由()13f a -=，可得(3)a f =，即可求解.【详解】函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，()13f a -=，则2(3)log 83a f ===. 故答案为:3.【点睛】本题考查互为反函数图像的关系，属于基础题.12．（2020·上海黄浦·高一期末）若函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是________. 【答案】(0,2)-【分析】首先求出函数log (3)a y x =+过的定点，再根据原函数与反函数图象关于y x =对称即可求出点P 的坐标.【详解】令31+=x 得2x =-，此时log 10a y ==，所以函数log (3)a y x =+过定点()2,0-， 所以函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点(0,2)-. 故答案为：(0,2)-【点睛】本题考查对数函数、对数函数的反函数，属于基础题. 13．（2019·上海青浦·高一期末）函数13x y +=的反函数是______． 【答案】31log (0)y x x =-+>【分析】该题考查指数式和对数式的互化及反函数的求法，利用反函数的定义结合指对互化即可获得．【详解】由13x y +=得31log x y +=，即：31log x y =-+， 又原函数的值域是0y >，∴函数()13x y x R +=∈的反函数是31log (0)y x x =-+>．故答案为31log (0)y x x =-+>．【点睛】求反函数，一般应分以下步骤：()1由已知解析式()y f x =反求出()x y =Φ；()2交换()x y =Φ中x 、y 的位置；()3求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域).题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．14．（2019·上海徐汇·高一期末）若函数()()111f x x x =≠-的反函数为()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭___________. 【答案】3【分析】求反函数中自变量为12的函数值,就是求原函数中函数值等于12时的自变量的值. 【详解】令1()1f x x =-12=,解得3x =, 所以函数()f x 的图象过点(13,2),所以反函数1()f x -的图象过点1(,3)2,即11()32f -=.故答案为:3【点睛】本题考查了求反函数值,属于基础题.15．（2019·上海市高桥中学高一期末）若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为_________. 【答案】12x y -=【分析】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，求得2a =，得到21log y x =+，再根据反函数的求法，即可求解. 【详解】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，即41log 8a =+，即log 83a =，解得2a =， 即21log y x =+，所以2log 1x y =-，即12y x -=， 所以函数21log y x =+的反函数为12x y -=. 故答案为12x y -=.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的求解，其中解答中熟记对数的运算性质，熟练应用反函数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．（2019·徐汇·上海中学高一期末）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果. 【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得1x =-； 当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x = 又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.17．（2019·上海市吴淞中学高一期末）已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x 代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握. 18．（2019·上海市第八中学高一期末）函数()()2111x f x x x +=≠-的反函数是()1f x -=______.【答案】()122x x x +≠-. 【分析】令211x y x +=-解得12y x y +=-，将其中的,x y 互换得12x y x +=-，再求出原函数的值域得其反函数的定义域，得解.【详解】令211x y x +=-，得12y x y +=-，将12y x y +=-中,x y 互换得12x y x +=-，所以()112x f x x -+=-， 又因为()2111x y x x +=≠-，2y ≠，所以()112x f x x -+=-中的2x ≠， 所以函数()()2111x f x x x +=≠-的反函数是()()1122x f x x x -+=≠-， 故填：()122x x x +≠-. 【点睛】本题考查求已知函数的反函数，求解反函数的步骤一般是：1、反解x ；2、互换,x y ；3、由原函数的值域得反函数的定义域，属于基础题.19．（2020·上海浦东新·高一期末）设函数()11f x x =-的反函数为()1f x -，则()11f -=_________. 【答案】2【分析】根据原函数与反函数的关系，解方程111x =-，即可. 【详解】令()111f x x ==-解得2x = 函数()11f x x =-的反函数为()1f x -. ∴()112f -=故答案为：2【点睛】本题考查反函数，属于较易题.20．（2019·上海市第二中学高一期中）函数arcsin(1)y x =-的定义域是________. 【答案】[]0,2【分析】利用反正弦函数的定义域即可得到结果. 【详解】由题意可知：111x -≤-≤， ∴02x ≤≤∴函数arcsin(1)y x =-的定义域是[]0,2 故答案为[]0,2【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，考查表达式有意义的条件，考查不等式的解法，属于基础题.21．（2020·上海奉贤·高一期中）已知()32f x x =-，则()1f f x -=⎡⎤⎣⎦______；()1f f x -⎡⎤=⎣⎦______.【答案】x x【分析】因为()32f x x =-，所以()123x f x -+=，代入即可. 【详解】因为()32f x x =-，所以()123x f x -+=， 所以()()1232233-+-+===⎡⎤⎣⎦f x x f f x x ，()()11232323--+⎡⎤=-=⋅-=⎣⎦x f f x f x x . 故答案为：x ；x【点睛】本题主要考查反函数的定义，解题的关键是准确找出()32f x x =-的反函数，属于基础题.22．（2020·上海奉贤·高一期中）设()1f x -是函数()()2log 1f x x =+的反函数，若()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦，则()f a b +的值是______.【答案】2【分析】先求出()()2log 1f x x =+的反函数，然后根据()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦及可求出3a b +=，代入原函数即可.【详解】解：由()()2log 1f x x =+可得()f x 的反函数为()121xf x -=-，因为()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦，所以()()1211218+-⋅+-=a b，即28a b += 所以3a b +=，所以()()2log 312f a b +=+=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查求反函数的方法以及函数求值问题，属于基础题. 23．（2020·上海浦东新·高一期中）已知函数()1f x x =-，则1(0)f -=________ 【答案】1【分析】由原函数的解析式反解出x ，再将x 与y 互换，可得原函数的反函数，进而得解. 【详解】()1f x x =-， 令1y x =-，解得1x y =-， 所以()11f x x -=-， 所以()11100f-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查反函数的求法，属于基础题.一般情况下，求反函数就是从原函数()y f x =，解出()1x f y -=，最后互换x 与y 的位置，得()1y f x -=，同时注意反函数的定义域，即为原函数的值域.24．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）已知()3131-=+x x f x ，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【分析】根据互为反函数的两个函数的性质计算可得；【详解】解：因为()3131-=+x x f x 与()1f x -互为反函数，则()311312x x f x -==+解得1x =即()112f =，则1112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：1【点睛】本题考查反函数的性质，若点(),x y 在原函数上，则(),y x 在反函数上，属于基础题.25．（2020·上海杨浦·复旦附中高一月考）函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________【答案】56π 【分析】点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解.【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.26．（2019·上海市曹杨中学高一期末）已知函数()y f x =是奇函数,且当0x ≥时,()()2log 1f x x =+.若函数()y g x =是()y f x =的反函数,则()3g -=_______.【答案】7-【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，且反函数与原函数奇偶性一致，即可求解.【详解】解：由函数()y f x =是奇函数,则其反函数()y g x =也为奇函数，则(3)(3)g g -=-，设2log (1)3x +=，则7x =，则(3)7g =，故(3)(3)7g g -=-=-， 故答案为7-.【点睛】本题考查了反函数与原函数奇偶性一致，重点考查了反函数的定义域是原函数的值域，属基础题.27．（2019·上海市曹杨中学高一期末）函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点(2,-2),那么函数()11y f x -=+的图像一定过点________.【答案】()2,3-【分析】利用函数与其反函数的图像关于直线y x =对称的关系即可求得1(2)2f --=，再利用该结论即可得解.【详解】解：因为函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，又(2)2f =-，则1(2)2f --=，所以1(2)13f --+=，即函数1()1y f x -=+的图像一定过点()2,3-， 故答案为()2,3-.【点睛】本题考查了函数与其反函数的图像关于直线y x =对称的性质，重点考查了函数与其反函数图像的关系，属基础题.28．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）下列四个命题中正确的是______． ①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，yA 是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【分析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④．【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数， 则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A ，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-， 故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为①②．【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．29．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f =+-⎡⎤⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得到答案．【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称，()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -，化为log 21a -， 解得12a，舍去． ②当01a <<时，log a y x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -，解得102a <． 综上可得：102a<． 故答案为(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30．（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222x xf x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202x xm --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________. 【答案】③【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可．【详解】对于①：对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同， 如f （x ）＝x 2，x ∈R 与g （x ）＝x 2，x ∈[0，+∞），∴①错误； 对于②： ()222xxf x -=在(),1-∞ 上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增，故②错误；对于③：∵函数()1f x -的定义域为[]0,2，∴111x -≤-≤ ，即()f x 的定义域为[]1,1-， ∴111x -≤+≤，即20x -≤≤，∴函数()1f x +的定义域为[]2,0-，∴③正确；对于④：函数f （x ）1x=在定义域上不单调，但函数f （x ）存在反函数，∴④错误； 对于⑤：()42222xx f x =+++，令()222,xt =+∈+∞ 则()4f x t t=+在()2,+∞上单调递增，没有最小值，∴⑤错误. 对于⑥：由|2x ﹣m |12x -＜0，得|2x ﹣m |12x＜，∴11222x x x m --＜＜， 即112222xx x xm -+＜＜在区间[0，1]内恒成立， ∵函数f （x ）122xx=-在区间[0，1]内单调递增，∴f （x ）的最大值为32；令g （x ）122xx=+，t ＝2x（1≤t ≤2），则y ＝t 1t+在[1，2]上为增函数，由内函数t ＝2x 为增函数，∴g （x ）122xx=+在区间[0，1]内单调递增，g （x ）的最小值为2．∴322m ＜＜．∴⑥错误. 故答案为③【点睛】本题考查了命题真假性的判断问题，考查两个函数相同的条件，复合型函数的单调性，抽象函数的定义域，存在反函数的充要条件，不等式恒成立问题，是综合题．31．（2019·上海市吴淞中学高一期末）已知()2xf x =的反函数为()1y fx -=，()()()1111g x f x f x --=--+，则不等式()0g x <的解集是______.【答案】(0,1)【分析】先计算反函数，代入数据得到21log ()01xx-<+，计算得到答案. 【详解】()2xf x =的反函数为()12log y fx x -==()()()112222111log (1)log (1)log ()0log 11xg x f x f x x x x---=--+=--+=<=+ 满足：1010111x x x x ⎧⎪->⎪+>⎨⎪-⎪<+⎩解得：01x <<故答案为(0,1)【点睛】本题考查了反函数，对数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.32．（2019·上海理工大学附属中学高一期末）设常数a R ∈，函数()()lg f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______.【答案】99【分析】反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得． 【详解】依题意知：f （x ）＝lg （x +a ）的图象过（1，2），∴lg （1+a ）＝2，解得a ＝99． 故答案为99【点睛】本题考查了反函数，熟记其性质是关键，属基础题．33．（2020·上海普陀·曹杨二中高一期末）函数()y f x =的定义域为[1,1]-，其图像如图所示，若()y f x =的反函数为1()y f x -=，则不等式111(())(())022f x f x --->的解集为________【答案】3(,1]4【分析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集. 【详解】根据函数图象可得()f x 图象经过()()1,0,1,1-，所以[]11(),[1,1],()0,122f x x x f x =+∈-∈， 1122y x =+，得21x y =-， 所以()f x 的反函数[]1()21,0,1f x x x -=-∈不等式111(())(())022f x f x --->，[]0,1x ∈即[]110,22210,1x x x ⎛⎫⎛⎫>⎪⎪⎝⎝⎭--∈⎭，解得：3(,1]4x ∈故答案为：3(,1]4【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式.34．（2020·上海浦东新·华师大二附中高一期末）已知函数()f x =，]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1g x -的定义域为__________．【答案】2,⎡⎣【分析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，即为()1gx -的定义域.故答案为:2,⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.35．（2020·上海奉贤·高一期中）给出下列四个命题： （1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c ；（2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（3）【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确，由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c，所以0c 是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确；（4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.36．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）函数()13912x x f x +=+-的反函数()1f x -=_______.【答案】()133og 2l f x -⎫⎪⎪⎭=，()12,x ∈-+∞ 【分析】首先求出原函数的值域即反函数的定义域，再用y 表示x ，从而得到()1f x -.【详解】解：()221573912333123432x xxx x y +⎛⎫=+-=⋅+-- ⎪⎭+=⎝因为30x >，所以12y >-2325734x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∴332x ∴+=233x ∴=33log 2x ⎫∴=⎪⎪⎭()3132log x f-⎫⎪⎪⎭∴=，()12,x ∈-+∞故答案为：()133og 2l f x -⎫⎪⎪⎭=，()12,x ∈-+∞ 【点睛】本题考查反函数的计算，指数型函数的值域，属于中档题. 37．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）已知函数()1x x a f b -=+（0,1b b >≠）的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，则()1fx -=____.【答案】14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞．【分析】函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图象经过点(1,3)，则()13f =．1()(0)f x a a -+>的图象经过点(4,2)，试求函数1(4)2f a -+=．根据两个方程，求出参数a 、b ．再根据求反函数的方法，求出反函数即可． 【详解】解：函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图象经过点(1,3)，()013f a b ∴=+=，03312a b =-=-=．又函数1()(0)f x a a -+>的图象经过点(4,2)，1(4)2f a -∴+=． ()24426f a ∴=+=+=，即2126b -+=．4b ∴=．故1()24x f x -=+．再求其反函数即得14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞． 故答案为：14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞．【点睛】本题考查反函数的一个重要性质，若()1f a b -=则()f b a =，要灵活使用该性质．在求出反函数后，必须标明反函数的定义域，属于中档题．38．（2019·上海宝山·高一期末）若点P 关于直线的对称点在函数()f x 的图像上，则称点P 、直线l 及函数()f x 组成系统(,,)T P l f ，已知函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)，且第一象限内的点00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g ，则代数式000011()()22x y x y ++的最小值为________.【答案】94【分析】根据函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)可求出m ,由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 可知00(,)M y x '在()g x 的图象上，4m =且0014x y +=， 代入000011()()22x y x y ++化简为20020049144x x x x -+--，换元2004,t x x =-则914t y t=+-，利用单调性求解. 【详解】因为函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)， 所以(1)13g m =-=，即4m =，由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 知00(,)M y x '在()g x 上， 所以00140,0x x y y +=>>，， 代入000011()()22x y x y ++化简得0000000011114()()()()22242x x x y x y x x -++=++- 20020049144x x x x -=+--，令2004,t x x =-由00140,0x x y y +=>>，知004x << ，故04t <≤ 则91361()144t y t t t=+-=+-在(0,4]t ∈上单调递减， 所以当4t =即02x =时，min 94y =，故填94.【点睛】本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题.三、解答题39．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）设()xf x a b =+同时满足条件()02f =和对任意x ∈R 都有()()121f x f x +=-成立. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在定义域内()()g x f x =，求()1g x -；（3）求函数()()1y g x gx -=+的值域.【答案】（1）()21xf x =+；（2）()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）5421,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）将0x =代入()f x ，解得b 的值；写出恒成立的不等式，令2a -等于0，求出a 的值．（2）写出()g x 的解析式，根据定义域求出值域，即反函数的定义域，再令21x y =+，利用y 表示x 即可求出()1g x -．（3）利用两个增函数的和函数为增函数；利用函数的单调性求出函数的最值． 【详解】解：（1）由(0)2f =，得1b =， 由(1)2()1f x f x +=-，得(2)0x a a -=， 由0x a >得2a =， 所以()21x f x =+．（2）由题意知，当[2,2]x ∈-时，()()21x g x f x ==+．则()5,54g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令21x y =+，5,54y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则2log (1)x y =-，所以2log (1)y x =-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）()21x g x =+，[2,2]x ∈-，()()12log 1gx x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．两个函数的公共定义域是5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()1y g x g x -=+2log (1)21xy x ∴=-++，5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由于函数()21x g x =+与()()12log 1gx x -=-在区间524⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上均为增函数， 因此当54x =时，5544min 25log 121214y ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭，当2x =时，()2max 2log 21215y =-++=，所以函数()()1y g x g x -=+，5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为5421,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、反函数的求法、利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．40．（2019·上海市文来中学高一期末）设函数()2(x f x p p =+为常数且)p R ∈. （1）若(3)5,f =求()f x 的解析式.（2）在（1）的条件下，解方程：122()log (1)log (21).f x x x -=++-【答案】（1）()23xf x =-；（2）x =【分析】（1）根据题意(3)5f =代入方程，求出p 的值，从而求出解析式. （2）先求出函数的反函数，然后解对数方程注意定义域优先原则，从而求出所求. 【详解】（1）由题设可得3253p p +=⇒=-，所以()23xf x =-.（2）由（1）可得()()()12log 33f x x x -=+>-，于是方程()2221log 3log (1)log (21)2x x x x ⎛⎫+=++->⎪⎝⎭()()3121x x x ⇒+=+-，解得12x x ==（舍去），所以方程的根为x 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、反函数的求法、对数的运算，属于基础题. 41．（2020·上海浦东新·高一期末）已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1f x -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21xg x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()22xF x g x =+-的零点；(3)设()g x 的反函数为()1gx -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4.【分析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可. (2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121x xF x =-+-+，令()0F x =，即()()21212xx -+=，即43x =，解方程，即可.(3)由题意可知，()()121log ,1,11xg x x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x-<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t ⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围. 【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a = 所以()()24log 1f x x =+-. (2)()g x 为R 上的奇函数∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121x g x =-+ 则()()22xF x g x =+- 令()0F x =，即221021xx-+-=+ 则()()()2212121412x x xx -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =. (3)由(2)可知()2121xg x =-+∴()()121log ,1,11xg x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1x k f x g x x x-+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x xx-+-++=+=+++令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤又k 为正实数∴(0,4]k ∈.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.42．（2019·上海杨浦·复旦附中高一期末）已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.【答案】（1）()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭ ； （2）()[][)1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩. 【分析】（1）先由2a =，得到()2log 21+>x ，解不等式，即可得出结果；（2）先由()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，得到()20log 0==g a ，求出1a =，分别求出01x ≤≤时，对应的反函数解析式，以及10x -≤<时，对应的反函数解析式，即可得出结果. 【详解】（1）当2a =时，不等式()1f x >可化为：()2log 21+>x ，所以2log (2)1+>x 或2log (2)1+<-x ，即22x +>或1022<+<x ， 所以0x >或322-<<-x ， 因此满足()1f x >的x 取值范围为：()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为01x ≤≤时，()()2log ()==+g x f x x a ，因为()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()20log 0==g a ，解得1a =； 所以，当01x ≤≤时，()2log (1)=+g x x ，所以()21=-g x x ，因此()121-=-x g x ；当10x -≤<时， 01x <-≤，所以()2log (1)-=-+g x x ，因为()()-=-g x g x ，所以()2log (1)-=-+g x x ，因此()21--=-g x x ， 所以()12-=-g x x ，因此1()12--=-x g x ，综上，()[][)1210,1121,0xxx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型.43．（2020·上海黄浦·格致中学高一期末）已知函数()log a x bf x x b-=+ ()0,0,0a a b >≠≠. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）求()f x 的反函数()1f x -的解析式.【答案】（1）0b >时，()),(,x b b ∈-∞-+∞，0b <时，()),(,x b b ∈-∞-+∞；（2）为奇函数，理由见解析；（3）()11212xxf x b +=⋅-﹣（0x ≠）. 【分析】（1）由0x bx b->+，化为：()()0x b x b -+>，对b 分类讨论即可解出； （2）定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义即可判断出结论； （3）由log ax b y x b -=+，化为：2y x bx b-=+，解得用y 表示x ，把x 与y 互换可得()f x 的反函数()1f x -．【详解】(1)由x bx b->+0，化为：()()0x b x b -+>. 当0b >时，解得x b >或x b <-；0b <时，解得x b >-或x b <. ∴函数()f x 的定义域为：0b >时，()),(,x b b ∈-∞-+∞，0b <时，()),(,x b b ∈-∞-+∞.(2)∵定义域关于原点对称，()()log aa xb x bf x log f x x b x b----==-=--++，∴函数()f x 为奇函数.(3)由log a x b y x b -=+，化为：2yx b x b -=+，解得12 12y yx b +=⋅-. 把x 与y 互换可得：1212xxy b +=⋅-. ∴()f x 的反函数()()112 ,012xx fx b x -+=⋅≠-.【点睛】本题考查了函数的定义域、反函数、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．44．（2020·上海虹口·高一期末）已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-.（1）当1a =时，求()11f -；（2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【分析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f -等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可. （2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定. （3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可. 【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+.。
反函数(练习+详细答案)
提能拔高限时训练7 反函数一、选择题1.若y ＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a 为常数)的实根的个数为( )A.无实数根B.只有一个实数根C.至多有一个实数根D.至少有一个实数根解析:y ＝f(x)存在反函数,则x 与y 是“一对一”的.但a 可能不在值域内,因此至多有一个实根. 答案:C2.设函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x),若f(x)＝2x ,则f -1(21)的值为( ) A.2 B.1 C.21 D.-1 解析:令f(x)＝2x ＝21,则x ＝-1,故f -1(21)＝-1,故选D. 答案:D3.若函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,则f(x)等于…( )A.e 2x-1B.e 2xC.e 2x+1D.e 2x+2 解析:由函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln+=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,可知y ＝f(x-1)与1ln +=x y 互为反函数,有1ln +=x y ⇒1ln -=y x ⇒1-=y e x ⇒x ＝e 2y-2,所以y ＝e 2x-2⇒y ＝f(x-1)＝e 2x-2.故f(x)＝e 2x .答案:B4.已知函数f(x)＝2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数,若mn ＝16(m,n ∈R +),则f -1(m)+f -1(n)的值为( )A.-2B.1C.4D.10 解析:设y ＝2x+3,则有x+3＝log 2y,可得f -1(x)＝log 2x-3.于是f -1(m)+f -1(n)＝log 2m+log 2n-6＝log 2mn-6＝-2.答案:A5.设函数x x f -=11)((0≤x ＜1)的反函数为f -1(x),则( )A.f -1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1B.f -1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f -1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f -1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0解析:由x x f -=11)((0≤x ＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f -1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D6.函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y B.⎩⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y C.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y D.⎩⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y解析:当x ≥0时,y ＝2x,且y ≥0, ∴2)(1x x f =-(x ≥0). 当x ＜0时,y ＝-x 2且y ＜0, ∴x x f --=-)(1(x ＜0).∴函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=.0,,0,2x x x x y 答案:C7.(2009北京东城期末检测,7)已知函数24)(x x f --=在区间M 上的反函数是其本身,则M 可以是( )A.［-2,-1］B.［-2,0］C.［0,2］D.［-1,0］ 解析:画出函数24)(x x f --=; 由24x y --=得y 2＝4-x 2且y ≤0,即x 2+y 2＝4,y ≤0,所以图象是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆在x 轴下方的部分(包括点(±2,0));又y ＝f(x)在区间M 上反函数是其本身,故y ＝f(x)图象自身关于y ＝x 对称,故区间M 可以是［-2,0］.答案:B8.设0＜a ＜1,函数)2(log log )(1x x x f aa -+=,则函数f -1(x)＜1的x 的取值范围是( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,+∞)D.(log a (2-a),+∞) 解析:f(x)在(0,2)上是减函数,所以x ＞f(1)＝0.故选C.答案:C9.设函数为y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x),将y ＝f(2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x 轴的对称图形所对应的函数的反函数是( ) A.21)(1--=-x f y B.2)(11x f y --=- C.2)(1x f y -= D.21)(-=x f y解析:由题意知,最后得到的图形对应的函数可以表示为y ＝-f ［2(x+2)-3］＝-f(2x+1),即-y ＝f(2x+1),2x+1＝f -1(-y),21)(1--=-y f x ,故所求函数的反函数是21)(1--=-x f y . 答案:A 10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=,1,13,1,12)(x x x x x x f 若函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,则g(11)的值是( ) A.512 B.913 C.513 D.1115 解析:∵函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,∴函数y ＝g(x)与函数y ＝f -1(x-1)互为反函数.由g(11)得f -1(x-1)＝11,∴x-1＝f(11),即x ＝f(11)+1.∵57)11(=f ,∴512)11(=g . 答案:A二、填空题11.设f(x)＝x 5-5x 4+10x 3-10x 2+5x+1,则f(x)的反函数为f -1(x)＝_____________.解析:∵f(x)＝(x-1)5+2, ∴12)(51+-=-x x f .答案:125+-x12.若函数)54(541≠++=a x ax y 的图象关于直线y ＝x 对称,则a ＝_________. 解析:∵54≠a , ∴541++=x ax y 不是常函数,且存在反函数. 在f(x)的图象上取一点(0,51),它关于y ＝x 的对称点(51,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a ＝-5.答案:-513.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为f -1(x),则f -1(3x-2)的定义域为___________,值域为____________.解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数f -1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤3x-2≤3,解得31-≤x ≤35.故函数f -1(3x-2)的定义域为［31-,35］,值域为［-1,1］.答案:［31-,35］ ［-1,1］ 14.(2009河南南阳期末质检,14)定义在R 上的函数y ＝f(x)有反函数,则函数y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2的图象关于直线__________对称.解析:函数y ＝f(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f(x+1)+2,函数y ＝f -1(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f -1(x+1)+2,又y ＝f(x)与y ＝f -1(x)关于y ＝x 对称,y ＝x 沿向量(-1,2)平移得到y ＝x+3,∴y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2关于y ＝x+3对称.答案:y ＝x+3三、解答题15.已知函数11)(-+=x x x f ,g(x)＝f -1(-x),求g(x). 解: 由11-+=x x y ,得xy-y ＝x+1, ∴11-+=y y x ,即11)(1-+=-x x x f . ∴g(x)＝f -1(-x)＝11+-x x . 16.已知函数f(x)＝2(1121+-x a )(a ＞0且a≠1). (1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x);(2)判定f -1(x)的奇偶性；(3)解不等式f -1(x)＞1.解:(1)化简，得11)(+-=x x a a x f . 设11+-=x x a a y ,则y y a x -+=11. ∴yy x a -+=11log . ∴所求反函数为xx x f y a-+==-11log )(1(-1＜x ＜1). (2)∵)(11log )11(log 11log )(111x f x x x x x x x f a a a ----=-+-=-+=+-=-, ∴f -1(x)是奇函数. (3)111log >-+xx a . 当a ＞1时， 原不等式⇒a x x >-+11⇒011)1(<--++x a x a . ∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x a a x 或 ∴-1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为(11+-a a ,1); 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为(-1，11+-a a ). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,0,1,0,0,0,1)(x x x x f 若g(x)＝(x-1)2f(x-1),y ＝g(x)的反函数为y ＝g -1(x),则g(-1)·g -1(-4)＝___________.解析:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=-.1,1,1,0,1,1)1(x x x x f∴g(x)＝(x-1)2f(x-1)＝⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-.1,)1(,1,0,1,)1(22x x x x x设g(x)＝-4,可得-(x-1)2＝-4且x ＜1,解得x ＝-1.∴g(-1)＝-4.∴g -1(-4)＝-1.∴g(-1)·g -1(-4)＝-4×(-1)＝4.答案:4【例2】 已知f(x)是定义在R 上的函数,它的反函数为f -1(x).若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数且f(a)＝a(a 为非零常数),则f(2a)＝____________.解析:设y ＝f -1(x+a),则x ＝f(y)-a,即y ＝f -1(x+a)的反函数为y ＝f(x)-a,∴f(x+a)＝f(x)-a. 令x ＝a,得f(2a)＝f(a)-a ＝a-a ＝0.答案:0。
高一求反函数试题及答案
高一求反函数试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = 2x + 3 \)，求该函数的反函数。
答案：首先，我们设 \( y = 2x + 3 \)，然后解出 \( x \) 以求得反函数。
将 \( y \) 代入得 \( x = \frac{y - 3}{2} \)。
因此，函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函数为 \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)。
2. 给定函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)，求该函数的反函数。
答案：对于函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)，我们设 \( y =\sqrt{x - 1} \)，然后平方两边得到 \( y^2 = x - 1 \)。
解出\( x \) 得到 \( x = y^2 + 1 \)。
因此，函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \) 的反函数为 \( g^{-1}(x) = x^2 + 1 \)。
3. 函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \) 的反函数是什么？答案：对于函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \)，我们设 \( y =\log_2(x + 1) \)，然后利用指数和对数的关系，得到 \( 2^y = x + 1 \)。
解出 \( x \) 得到 \( x = 2^y - 1 \)。
因此，函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \) 的反函数为 \( h^{-1}(x) = 2^x - 1 \)。
4. 求函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上的反函数。
答案：对于函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，我们设 \( y =\frac{1}{x} \)，然后解出 \( x \) 得到 \( x = \frac{1}{y} \)。
高一数学下册反函数的概念过关检测试题及答案
高一数学下册反函数的概念过关检测试题及答案训练14 反函数的概念基础巩固站起来，拿得到！ 1.函数y= 的反函数是( ) A.y= (x∈R且x≠-4) B.y= (x∈R且x≠3) C.y= (x∈R且x≠ ) D.y= (x∈R且x≠- ) 答案：C 解析：由y= ,得x= .故所求反函数为y= (x∈R且x≠3). 2.函数y= 的反函数是( ) A.y= B.y= C.y= D.y=答案：A 解析：当x<0时,由y=x2,得x=- .故反函数为y=f-1(x)=- (x>0). 当x≥0时,由y=- x,得x=-2y. 故反函数为y=f-1(x)=-2x(x≤0). ∴y=f-1(x)=-x,x>0, -2x,x≤0. 3.若函数f(x)的反函数f-1(x)=1+x2(x<0),则f(2)等于( ) A.1 B.-1 C.1和-1 D.5 答案：B 解法一:由y=1+x2(x<0),得x=- .故f(x)=- (x>0),f(2)=- =-1. 解法二:令1+x2=2(x<0),则x=-1,即f(2)=-1. 4.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-1≤x≤0),则原函数的定义域是( ) A.(-1,0) B.［-1,1］C.［-1,0］ D.［0,1］答案：C 解析：∵原函数的定义域为反函数的值域, 又-1≤x≤0, ∴0≤1-x2≤1,即y∈［-1,0］. 5.设y= +m和y=nx-9互为反函数,那么m、n的值分别是( ) A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3 答案：D 解析：求出y= +m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数即得. 6.已知f(x)=x2-1(x≥2),则f-1(4)=______________. 答案：解析：因为f(x)=x2-1,x≥2,所以其反函数为f-1(x)= (x≥3). 所以f-1(4)= . 7.求下列函数的反函数: (1)y=- (-1≤x<0);(2)y=-x2-2x+1(1≤x≤2); (3)y= 解：(1)由y=- ,得y2=1-x2, 即x2=1-y2. ∵-1≤x<0, ∴x=- . 又∵y=- ,-1≤x<0, ∴-1<y≤0. ∴所求反函数为y=- (-1<x≤0). (2)由y=-x2-2x+1=-(x+1)2+2,得(x+1)2=2-y. ∵1≤x≤2, ∴2≤x+1≤3. ∴x+1= ,即x=-1+ . ∴反函数为y=-1+ (-7≤x≤-2). (3)①由y=x2(x≤0),得x=- ,即y=x2(x≤0)的反函数为y=- (x≥0). ②由y=-x-1(x>0),得x=-y-1,即y=-x-1(x>0)的反函数为y=-x-1(x<-1). 由①②可知f(x)= 的反函数为f-1(x)= 能力提升踮起脚,抓得住! 8.函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是( ) A.［0,+∞］) B.(-∞,0)] C.［-4,4］D.［2,4］答案：C 解法一:函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在［0,+∞),(-∞,0］,［2,4］上单调. 解法二:当x=±4时,y=8,知不是一一映射. 9.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是( ) A.a<b B.a=b C.a>b D.无法确定答案：A 解析：∵f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,∴f(3)>f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.10.已知f(x)=3x-2,则f-1［f(x)］=__________________;f［f-1(x)］=__________________. 答案：x x 解析：∵f-1(x)= , ∴f-1［f(x)］= ［(3x-2)+2］=x,f［f-1(x)］=3• -2=x. 一般地,f［f-1(x)］与f-1［f(x)］的表达式总为x,但两个函数定义域不一定相同,故不一定是同一个函数. 11.函数f(x)=ax2+(a+2)x-1在x∈R上存在反函数,则f-1(1)=_______________. 答案：1 解析：依题意a=0,f(x)=2x-1,令f-1(1)=b,则f(b)=1,即2b-1=1 b=1. 12.已知函数f(x)=(x≠-a,a≠ ). (1)求它的反函数; (2)求使f-1(x)=f(x)的实数a的值; (3)当a=-1时,求f-1(2). 解：(1)设y= ,∵x≠-a,∴反解得(y-3)x=2-ay. 若y=3,则a= 与a≠ 矛盾. ∴y≠3.∴x= . ∴f-1(x)= (x≠3,a≠ ). (2)当f-1(x)=f(x)时,有 , 整理得(a+3)x2+(a2-9)x-2(a+3)=0. ∴a+3=0,即a=-3. (3)当a=-1时,由(1)知f-1(x)= . ∴f-1(2)=-4. 13.已知f(x)=( )2(x≥1), (1)求f(x)的反函数f-1(x),并求出反函数的定义域; (2)判断并证明f-1(x)的单调性. 解：(1)设y=( )2 x= ,又x≥1, ∴ ≥1 0≤y<1,即f-1(x)= ,f-1(x)的定义域为［0,1］. (2)f-1(x)在［0,1)上单调递增. 证明如下:设0≤x1<x2<1,∴0≤ < <1. ∴f-1(x1)-f-1(x2)=<0.∴f-1(x)在［0,1］上单调递增. 拓展应用跳一跳,够得着! 14.要使函数y=x2-2ax+1在区间［1,2］上存在反函数,则a的取值范围是( ) A.a≤1 B.a≥2 C.a≤1或a≥2 D.1≤a≤2 答案：C 解析：由已知得函数y=x2-2ax+1在区间［1,2］上单调,则a≤1或a≥2. 15.已知函数y=f(x-1)的反函数为y=f-1(x-1),且f(1)=2,则f(2)的值为______________. 答案：1 解析：y=f-1(x-1) x-1=f(y) x=f(y)+1, 故y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1. 故f(x-1)=f(x)+1,即f(x)=f(x-1)-1, 则f(2)=f(1)-1=1. 16.(1)已知f(x)= (a、b、c是常数)的反函数是f-1(x)= ,求a+b+c的值. (2)设点P(-1,-2)既在函数f(x)=ax2+b(x≤0)的图象上,又在f(x)的反函数的图象上,求f-1(x). 解：(1)设y= ,解得x= , 即f-1(x)= , 因此, , 由对应项系数相等得a=3,b=5,c=-2, ∴a+b+c=6. (2)点P(-1,-2)在f(x)=ax2+b上,则-2=a(-1)2+b, ① 又∵点P(-1,-2)在f-1(x)上, ∴点(-2,-1)在f(x)上.∴-1=a(-2)2+b. ② 由①②联立,解得a= ,b=- . ∴f(x)= x2- (x≤0). ∴f-1(x)=- (x≥- ).。
反函数题型及解析
反函数题型及解析1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=．2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+23.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3）4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣15.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1）6.求下列函数的反函数．（1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x．反函数题型解析1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R．由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1，此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）；（2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；（3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}．2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域．解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2）3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y=的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1}（2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以，则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0）（3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠}（2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞），则反函数的定义域为[0，+∞）（3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）5.分析:由已知解析式，用y表示出x，然后把x与y互换，即得反函数，应注意定义域与值域的互换．解：（1）由y=得到x=，把x与y互换可得：y=，（x∈R）；（2）由y=（e x﹣e﹣x）得到：e x=y±，∵e x＞0，∴e x=y+，由此得：x=ln（y+）∴函数y=（e x﹣e﹣x）的反函数是y=ln（x+）（x∈R）；（3）∵y=1+ln（x﹣1）∴x=e y﹣1+1（y∈R），∴函数y=1+ln（x﹣1）的反函数为y=e x﹣1+1（x∈R）；6.分析:首先确定函数的值域，即反函数的定义域，然后看作方程解出x，从而将x与y互换即可．解：（1）∵y=log（1﹣x）+2（x＜0）；∴y＜2，∴y=﹣log2（1﹣x）+2，∴x=1﹣22﹣y，即y=1﹣22﹣x，（x＜2）；（2）∵y=2﹣（﹣2≤x≤0）的值域为[0，2]，∴x=﹣，即y=﹣，（x∈[0，2]）；（3）∵y=（﹣1≤x≤0）的值域为[，1]，∴x2=1+log3y，∴x=﹣，故y=﹣，（≤x≤1）；（4）y=x|x|+2x的值域为R，当x≥0时，y=x2+2x，故x=，当x＜0时，y=﹣x2+2x，x=1﹣；故y=．。
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反函数专题练习试卷及解析1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题已知函数101(),R 101x xg x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数． 求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 已知函数()1,(0x af x aa -=+>且1)a ≠恒过定点(2,2)．(1)求实数a ；(2)在(1)的条件下，将函数()f x 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函数()g x ，设函数()g x 的反函数为()h x ，求的()h x 解析式；(3)对于定义在(1,4]上的函数()y h x =，若在其定义域内，不等式22[()2]()()6h x h x h x m +≤++恒成立，求m 的取值范围．3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 已知函数()()lg 1f x x =+.(1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围;(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数.4.2014年华约自主招生数学试题第3题 （1）求证：(())y f g x =的反函数是11(())y g fx --=．（2）()()F x f x =-，1()()G x fx -=-，若1()()F x G x -=，求证()f x 为奇函数．5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题设1()1xxa f x a +=- （0a > 且 1a ≠），g (x )是f (x )的反函数.（Ⅰ）求()g x ； （Ⅱ）当102a <≤时，恒有2()log (1)(7)a t g x x x >-- 成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）当 102a <≤时，试比较f (1)+f (2)+…+f (n )与4n + 的大小，并说明理由. 6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 已知()lg(1)f x x =+．(1)若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；(2)若是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x = [](1,2)x ∈的反函数．7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 已知函数()lg(1)f x x =+．(1) 若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；(2) 若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =([1,2])x ∈的反函数．8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-．(1)若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-．(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．答案和解析1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题 答案：见解析分析：(1)∵1012()1,R 101101x xx g x x -==-∈++ ()1g x ∴<，.又1011x+>，2211110101x∴->-=-++. 1()1g x ∴-<<.由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y ++==--. 1()lg1xf x x+∴=-，(1,1)D =-. 2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 答案：(1)2 分析：(1)由已知2122aaa -+=∴=．(2)∵2()21()2x x f x g x -=+∴=2()log (0)h x x x ∴=> (3)要使不等式有意义：则有14x <≤且214x <≤，12x ∴<≤据题有22222(log 2)log log 6x x m x +≤++在(1,2]恒成立．∴设2log (12)t x x =<≤ 01t ∴<≤2(2)26t t tm ∴+≤++在(0,1]时恒成立.即：22222t t m t t t+-≥=-+在[0,1]时恒成立 设22y t t=-+，(0,1]t ∈单调递增 1t ∴=时，有max 1y =1m ∴≥.3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题答案：(1)2133x -<< 分析：(1)由22010x x ->⎧⎨+>⎩得11x -<<. 由220lg(22)lg(1)lg 11xx x x -<--+=<+得221101xx -<<+ 因为10x +>,所以211221010,33x x x x +<-<+-<<. 由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得 2133x -<< (2)当 [1,2]x ∈时 ,2[0,1]x -∈因此 ()(2)(2)(2)lg(3)y g x g x g x f x x ==-=-=-=-由单调性可得[0,lg 2]y ∈. 因为310yx =-,所以所求反函数是310,[0,lg 2]xy x =-∈4.2014年华约自主招生数学试题第3题 答案：答案见解析分析：（1）由(())y f g x =得1()()g x f y -=，11(())x g f y --=，故所求反函数是11(())y g f x --=．（2）由1()()G x fx -=-得1()()G x f x -=-，事实上，设()y G x =和1()y fx -=-，由()y G x =得反函数1()y G x -=；由1()y fx -=-得反函数()y f x =-；于是由1()()F x G x -=有()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数． 5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题 答案：答案见解析 分析：(1)由题意得：101xy a y -=>+ 故 1()log 1a x g x x -=+，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ . (2) 由 21log log 1(1)(7)aa x t x x x ->+--得①当a >1时， 2101(1)(7)x tx x x ->>+--又因为[2,6]x ∈，所以20(1)(7)t x x <<-- 令232()(1)(7)9157,[2,6]h x x x x x x x =--=-+-+∈ 则 2()318153(1)(5)h x x x x x '=-+-=--- 列表如下：所以()5h x = ，所以0<t <5②当0<a <1 时2101(1)(7)x tx x x -<<+--又因为[2,6]x ∈,所以2(1)(7)0t x x >-->令232()(1)(7)9157,[2,6]h x x x x x x x =--=-+-+∈由①知()32,[2,6]h x x =∈所以t ="">32综上，当a >1时，0<t <5；当0<a <1时t ="">32)设11a p=+ ，则 1p ≥当 1n =时, 2(1)135f p=+≤< 当2n ≥ 时设 *2,k k N ≥∈时则122122()111(1)1k k k k kk k k a f k a p C p C p C p +==+=+-+-+++ 所以122444()1+=1+1+(1)1k k f k C C k k k k ≤=-+++ 从而44(2)(3)()1121f f f n n n n ++⋯+≤-+-<++所以(1)(2)(3)()(1)14f f f f n f n n +++⋯+<++≤+ 综上，总有(1)(2)(3)()4f f f f n n +++⋯+<+.6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析 分析：(1) 由 220,10x x ->⎧⎨+>⎩ 得11x -<<．由()()220lg 22lg 1lg11x x x x -<--+=<+， 得221101xx -<<+ 因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，2133x ∴-<<．由 11,2133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩ 得 2133x -<<． (2) 当 [1,2]x ∈ 时，2[0,1]x -∈因此()(2)(2)(2)lg(3)y g x g x g x f x x ==-=-=-=- 由单调性可得[0,lg 2]y ∈．因为310yx =-，所以所求反函数是310yx =-，[0,lg 2]x ∈．7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析 分析：(1) 由22010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x -<<，由()()220lg 22lg 1lg11x x x x -<--+=<+得221101xx -<<+， 因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，2133x -<<，由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x -<<； (2) 当[]1,2x ∈时，[]20,1x -∈，因此()()()()()222lg 3y g x g x g x f x x ==-=-=-=-，由单调性可得[]0,lg2y ∈，因为310yx =-，所以所求反函数是310xy =-，[]0,lg2x ∈．8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) 1244()log 1x y fx x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞；(2) 见解析分析：(1)∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244log 1y x y +=-，∴1244()log 1x y fx x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞． (2) 若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x xx a aa a--++=--， 整理得(22)0xxa --=，∴0a =，此时为偶函数若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x a aa a--++=---， 整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数． 当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数． 9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) 121()2log ,1x fx x -+=+- ()(),11,x ∈-∞-⋃+∞ (2) 见解析 分析：(1) 因为2424x x y +=-，所以()4121xy y +=-，得1y <-或1y >，且212log 1y x y +=+-．因此，所求反函数为121()2log ,1x fx x -+=+-()(),11,x ∈-∞-⋃+∞． (2) ①当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ②当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数；③当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞⋃+∞关于原点不对称， 故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数． 综上可知，①当0a =时，故函数()y f x =是偶函数； ②当1a =时，函数()y f x =为奇函数；③当0a >且1a ≠时，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．。