高考反函数问题常见类型解析
反函数
反函数[重点难点]概念的把握,求反函数一、定义高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射.若将某映射f:的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射f-1:为原映射的逆映射.若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数.定义:如果确定函数y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是从A到B上的一一映射，则它的逆映射f-1:B→A(f-1:y→x=f-1(y), y∈B).所确定的函数y=f-1(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数.二、说明及性质1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.如f(x)=x2(x∈R)无反函数（非一一），g(x)=x2+1(x≤0)有反函数，因为它是到[1，+∞）上的一一映射.2．f(x),x∈A和f-1(x), x∈B互为反函数.3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域.4．单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数.可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性.5．若b=f(a), 则a=f-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题.6．x∈A, f-1[f(x)]=x; x∈B, f[f-1(x)]=x.7．原函数与反函数图象关于y=x对称.8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数.如：y=x3-x, 当y=0时x=0, ±1,这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.三、求反函数的一般步骤1．求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的.2．在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y).3．x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.4．下结论（注意给出反函数定义域）四、例题.例1．已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函数.分析：这里要先求f(x)的范围（值域）.解：∵0≤x≤4,∴0≤x2≤16, 9≤25-x2≤25,∴3≤y≤5,∵y=, y2=25-x2,∴x2=25-y2.∵0≤x≤4,∴x=(3≤y≤5)将x, y互换，∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).例2．已知.f(x+1)=x2-3x+2, x∈(-∞,),求.f-1(x).分析：本题是求函数解析式与求反函数两类问题的稼接，因此可套用相应方法分别处理. 解：(1)求f(x)解析式（用换元法）令t=x+1, ∴t<, x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, t∈(-∞,).即y=f(x)=x2-5x+6, x∈(-∞,).这是f(x)的单调区间，存在反函数.(2)求反函数易知y∈(-,+∞).y=(x-)2-, (x-)2=y+,∵x<, x-<0,∴x-=-(y>-).∴x=-(y>-).∴f-1(x)=-(x>-).例3．已知f(x)=，求f-1(x).分析：求分数函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当x≥0时，y=x+1≥1,∴y∈[1,+∞),∴f-1(x)=x-1 (x≥1)当x<0时，y=1-x2<1,∴y∈(-∞,1).反解x2=1-y, x=-(y<1)∴f-1(x)=-(x<1)∴综上f-1(x)=.例4．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).分析：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设f-1(5)=x0, 则f(x0)=5,即=5 (x0≥3)∴x02+1=5x0-5, x02-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴f-1(5)=3.例5．设点（4，1）既在f(x)=ax2+b (a<0,x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.分析：由前面总结的性质我们知道.点（4，1）在反函数的图象上，则点（1，4）必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a,b的点，也就有了两个求解a,b的方程.解：解得.a=-, b=,∴f(x)=-x+.另这个题告诉我们.函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上.这一点好些同学弄不清楚.例6．已知f(x)=的反函数为f-1(x)=,求a,b,c的值.分析：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f-1(x)=的反函数就是含字母的反函数f(x).解：求f-1(x)=的反函数，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.∴(y-2)x=3y+5∴x=(y≠2),f-1(x)的反函数为y=.即=，∴a=3, b=5, c=-2.参考题目：求f(x)=-2x2-4x+1 (x≤-1)的反函数.（答案.f-1(x)=-1-(x≤3)）求f(x)=x(x<0)的反函数.（答案.f-1(x)=-x(x>0)）.在线测试选择题1．已知函数y=(x∈R且x≠1) ，那么它的反函数为（）A、y=(x∈R且x≠1)B、y=(x∈R且x≠6)C、y=(x∈R且x≠-)D、y=(x∈R且x≠-5) 2．若f(x-1)=x2-2x+3(x≤0)则f-1(x)为（）A、(x≥2)B、1-(x≥2)C、-(x≥3)D、(x≥3)3．欲使y=x2+4x(x≥a)有反函数，则a的最小值为（）A、-2B、2C、0D、44．f(x)=(x<-1)的反函数是（）A、f-1(x)=-B、f-1(x)=-,(x>0)C、f-1(x)=,(x<0)D、f-1(x)=,(x>0) 5．f(x+1)=则f-1(x+1)的解析式是（）A、B、-C、-D、答案与解析答案：1、B 2、C 3、A 4、C 5、B解析：1．解答：由y=x=y=, x≠6．选B．2．解答：由f(x-1)=x2-2x+3,x≤0 f(x)=(x+1)2-2(x+1)+3=x2+2,x≤-1 y≥3,又由y=x2+2,x≤-1 x=-y=-, x≥3.选C．3．解答：由y=x2+4x=(x+2)2-4, x≥a有反函数，则a≥-2，因此选A．4．解答：由y=x2=1-,∵ x<-1, ∴x2>1 1->1且x=-y<0, f-1(x)=, x<0，选C．5．解答：由f(x+1)=f(x)=x=f-1(x)=f-1(x+1)==-．选B．反函数1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2-反函数
大 纲 版 数 学 ·
《高考调研》 高考总复习 高考调研》
第二章
函数
探究3 的解析式．
注意到f－1(x)与f(x)有相同的奇偶性和单调性，
只需研究原函数f(x)的奇偶性和单调性，从而回避了求f－1(x)
大 纲 版 数 学 ·
《高考调研》 高考总复习 高考调研》
第二章
函数
思考题 3
－
1 (08·天津卷)设函数 f(x)＝ (0≤x<1)的反 1－ x )
大 纲 版 数 学 ·
《高考调研》 高考总复习 高考调研》
第二章
函数
x－5 5＋my (3)由 y＝ 得 x＝ 2x＋m 1－2y 5＋mx －mx－5 ∴f (x)＝ ＝ 1－2x 2x－1
－1
∵函数 f(x)的图象关于直线 y＝x 对称
大 纲 版 数 学 ·
∴f(x)＝f 1(x) ∴m＝－1.
大 纲 版 数 学 ·
在 y
《高考调研》 高考总复习 高考调研》
第二章
函数
3．反函数的性质 (1)y＝f(x)与y＝f－1(x)具有 (2)奇函数的反函数是 的反函数是本身 ． 相同 的单调性． ．(若存在) 奇函数
(3)若函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则y＝f(x)
大 纲 版 数 学 ·
大 纲 版 数 学 ·
①求反函数忘记注明定义域． ②错误地将y＝f－1(x＋a)理解为y＝f(x＋a)的反函数． ③易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性关系，从而 导致解题过程繁琐．
－
《高考调研》 高考总复习 高考调研》
第二章
函数
探究2 本题主要考查函数与反函数之间的关系． ①②题主要训练：若f(a)＝b，则f－1(b)＝a ③题主要训练：f(x)与f－1(x)的图象关于直线y＝x对称 以上这几种关系是常考点．
4.4反函数
4.4 反函数的概念考点诠释1 反函数的定义：2 互为反函数的两个函数的性质：① 原函数和反函数的图像关于直线y x =对称；② 反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域 ③ 若原函数是奇函数则反函数也为奇函数； ④ 原函数与反函数有相同的单调性； ⑤ [()][()]11f f x f f x x --==注意：①“一个函数为单调函数”是“这个函数具有反函数”的充分非必要条件；（单调函数一定有反函数；但是若一个函数有反函数这个函数未必单调，例如，反比例函数）②反函数与原函数的交点不一定在直线y x =上；若反函数与直线y x =有交点，这个点一定在反函数上。
③若函数()y f x =的反函数为()1y f x -=则函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-； 函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-例题精析例1 求下列函数的反函数 （1）[,]503y x =∈-；（2）(,)332232x y x x x +=≥-≠-+ 精辟分析解： （1）[,]252503y x =-∈-，[,],50y ∴∈-且.22259y x =-x ∴=；所以原函数[,]503yx =∈-的反函数为[,]50y x =∈-。
（2）31323246x y x x +==+++,,,324624602x x x x ≥-≠-∴+≥-+≠33462x ∴≤-+或3046x >+,112y y ∴≤->又,.1333333461246422212y y x x x y y y --=+=∴=-=+--- 所以函数(,)332232x y x x x +=≥-≠-+的反函数是(,)3311212x y x x x -=≤->- 方法规律和总结 求一个函数的反函数可以遵循以下步骤：1 求原来函数的值域；2 把()()y f x x D =∈看作关于x 的方程，用y 的解析式表示x ，即()x g x =；2 如果()x g y =中任一个y 对应唯一的x ，那么()(),.1f x g x x A -=∈如果()x g y =中，存在一个y 对应多个x ，那么原函数不存在反函数。
高考数学函数专题、反函数
函数专题（一）、反函数1.原函数存在反函数的条件：原函数从定义域到值域上要满足一对一的对应关系，而不能有多对一的的对应关系。
因此单调函数一定有反函数，存在反函数的原函数不一定是单调函数。
偶函数一定没有反函数。
2.)1(+=x f y 的反函数不是)1(1-+=x f y 而是1)(1--=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1-1-1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y . 同理，)1(1-+=x f y 的反函数不是)1(+=x f y ，而是1)(-=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y .3.原函数和反函数在相同定义域内的单调性相同。
4.原函数与反函数的交点不一定都在直线y =x 上，它们还可以位于直线y =x 的两侧，且以（a ，b ）、（b ，a ）的形式成对出现，如x x f ）（161)(=与其反函数x x f 1611-log )(=的交点有），（4121和），（2141，这两个交点就不在直线y =x 上。
例1.（2010长宁区二模）如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上例2.设)(1x f -是函数f (x )＝2x －(13)x ＋x 的反函数，则)(1x f ->1成立的x 的取值范围是________例3.已知132)(-+=x x x f ，函数)(x h y =的图像与)1(1-=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则)8(h =__________变式训练：1.已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，则实数t 的值为_________2.已知函数()log (2)log (2)(0,1)a a f x x x a a =+-->≠，设()f x 的反函数为1()f x -.若关于x 的不等式1()()f x m m R -<∈有解，则m 的取值范围是________3.的反函数1()f x -的对称中心为（－1，3），则实数a 的值为4.()1x y a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若，则实数a 为____________5.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，1(5)2f -=，若函数(1)y f x =-是 奇函数，那么1(5)f --=________6.函数)(x f y =的图像与x y 2=的图像关于y 轴对称，若)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)2(21x x f y -=-的单调递增区间是_______________7.（2013上海）对区间I 上有定义的函数)(x g y =，记)(I g ={y |)(x g y =，x ∈I}．已知定义域为[0，3]的函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，且)2,1[))1,0([1=-f ，)1,0[])4,2((1=-f ．若方程0)(=-x x f 有解0x ，则0x =__________8.若1x 满足233=+xx ，2x 满足2)1(3log 33=-+x x ，则21x x +=_________9．（2007陕西）若函数)(x f 的反函数为)(1x f -,则函数)1(-x f 与)1(1--x f 的图像可能是（）10.已知函数存在反函数，方程－＝0的解集是P ，方程－＝0的解集是Q ，则一定有（） A.P QB.Q P C.P ＝Q D.P∩Q ＝11．函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，则)1(+=x f y 的图像与)1(1-+=x f y 的图像（）A.关于直线x y =对称B.关于直线1+=x y 的对称C.关于直线1-=x y 对称D.关于直线1=x 对称)(x f )(1x f -)(x f x )(x f )(1x f -⊆⊆Φ12.（2016闵行区二模）设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则()()y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则()()y ff x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点。
反函数释疑
反 函 数 概 念 释 疑由反函数的定义与性质可得出两个正确的命题：①函数()y f x =的定义域、值域分别是它的反函数1()y f x -=的值域、定义域；②函数()y f x =的图象和它的反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称。
但在同学们学习反函数时，还会有很多疑问，现列举如下： ①若函数()y f x =有反函数，则它一定是单调函数吗？ 答：不一定。
如1()f x x =不是单调函数，但它有反函数11()f x x-=，但单调函数必有反函数。
②奇函数若有反函数，则它的反函数仍然是奇函数吗？答：对。
不是所有的奇函数都有反函数，周期函数不存在反函数。
③偶函数一定没有反函数吗？答：不一定。
如函数()0(0)f x x =∈是偶函数，但它有反函数是本身，除此之外再也没有偶函数存在反函数的。
定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。
④互为反函数的两个函数的单调性相同吗？ 答：对。
⑤函数与它的反函数的图象如果有交点，则交点一定在直线y x =上吗？答：不一定。
如函数3y x =-与它的反函数交于三点（0，0），（-1，1），（1，-1），0.01xy =与它的反函数有三个交点其中一个在y x =上另两个关于y x =对称。
函数与它的反函数的交点有这样的规律，要不在直线y x =上，要不关于直线y x =对称。
⑥函数与它的反函数的图象不可能重合吗？ 答：不一定。
如函数1y x =与函数1y x=-的反函数是它本身，图象重合。
图象关于直线y x =对称的单调函数的反函是它本身。
⑦函数()y f x =的反函数1()y f x -=，则必有11[()][()]f f x f f x x --==吗？答：不一定。
只有当它们的定义域和值域相等时候才成立。
设函数(),,y f x x A y B =∈∈，它的反函数是1(),,y f x x B y A-=∈∈，则有：1[()],()f f x x x B -=∈，1[()],()f f x x x A -=∈。
人教版高三数学函数的单调性、反函数知识精讲
高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容： 函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间 （1）增函数：对任意，则为上的增函数。
，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。
，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。
图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。
注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。
2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。
（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。
，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。
（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。
（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。
（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。
3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明） （3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。
如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。
()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。
有时也根据导数。
()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。
（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。
2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。
（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
高考数学反函数思想总结
高考数学反函数思想总结数学中的函数是指两个集合之间的一种对应关系，它将第一个集合中的每个元素都对应到第二个集合中的唯一元素。
数学中的反函数是指通过交换原函数的定义域和值域，得到一个新的函数。
在高考中，对于反函数的讨论主要集中在反函数的性质、求法以及应用等方面。
首先，反函数具有一些特殊的性质。
首先，对于一个函数，如果它有反函数，那么这个函数一定是一一对应的。
这是因为如果存在两个不同的自变量对应到同一个因变量，那么在反函数中就会存在一个因变量对应多个自变量，不符合函数的定义。
其次，反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域完全相反。
这是因为反函数是通过交换原函数的定义域和值域得到的。
另外，反函数与原函数图像关于直线 y=x 对称，这是因为原函数中的每一个点 (x,y) 的对称点就是反函数中的点 (y,x)。
其次，求反函数的方法有多种。
一般来说，求反函数的步骤主要包括确定反函数的定义域和值域，并建立反函数的表达式。
对于一元函数来说，可以通过以下步骤求反函数。
首先，求出原函数的解析式；然后，交换自变量和因变量，得到反函数的解析式；最后，确定反函数的定义域和值域。
对于一些特殊的函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，可以通过变量代换或解方程等方法求反函数。
对于多元函数来说，可以通过求解方程组的方法来求反函数。
最后，反函数在数学中有着广泛的应用。
在几何中，反函数可以用来求解两个函数之间的关系。
比如，给定一个函数和它的反函数，可以通过求出两个函数的交点来求解方程的解。
在概率与统计学中，反函数可以用来求解分布函数的反函数。
在微积分中，反函数可以用来求解应用题，比如求函数的最值、函数的增减性等。
在数学建模中，反函数可以用来求解实际问题，如人口增长模型、物种繁殖模型等。
总结起来，高考数学中的反函数是一个重要的概念和方法。
通过对反函数的性质、求法以及应用的研究，可以更深入地理解函数的特点和作用，并应用于实际问题的解决中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考反函数问题常见类型解析
反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 条件存在型
例1.函数f x x ax ()=--2
23在区间[
]
12，上存在反函数的充要条件是（ ）
A. (]a ∈-∞，1
B. [)a ∈+∞2，
C. (][)a ∈-∞+∞，，12
D. []
a ∈12，
解析：因为二次函数f x x ax ()=--2
23不是定义域内的单调函数，但在其定义域的
子区间(
]-∞，a 或[
)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函
数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。
故选（C ）
点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤23
10()的反函数是（ ）
A. y x x =+≥-()()113
B. y x x =-+≥-()()113
C. y x x =
+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103
解析：由x ≤0可得x 23
0≥，故y ≥-1，从y x =-23
1解得x y =±+()13
因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113
故选（B ）。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型 例3.若f
x -1
()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
解析：通法是先求出f （x ）的反函数f x x -=-1
101()，可求得f －1（x ）的值域为
()-+∞1，，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f －1（x ）的值域
为()-+∞1，。
点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。
四.性质判断型
例4. 函数y e e x x
=--2
的反函数是（ ）
A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数；
B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数
C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数；
D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数 解析：因为e x 在（0，+∞）上是增函数，e x -在（0，+∞）上是减函数，所以
y e e x x =--2
在（0，+∞）上是增函数易知y e e x x =--2为奇函数
利用函数y f x =()与f －
1（x ）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条
性质，立即选（C ）。
五. 反函数求值型
例5. 设3
5
2)(-+=
=x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1
+=-x f y 的图象关于直线y=x 对
称，则 g(3)= 。
解析 ：我们知道， 反函数有一个非常重要的性质，即若点（a ，b ）在原函数上，则（b ，a ）一定在反函数上，反之也成立。
于是可设（4，a ）为 y=g(x) 图象上的任一点，则（a ，4）为)1(1
+=-x f
y 图象上的一点，（a+1，4）为)(1
x f
y -=图象上的一点，从而（4，a+1）为 y=f(x) 图象上的一点,代入y=f(x)的解析式，有123
45
421=⇒-+⨯=+a a 。
点评：在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f a =-1
()。
得来全不费工夫，反函数的一个简单而又重要的性质发挥了威力，这是逆向思维在解题中的重要体现。
六.方程关联型
例6.已知函数f x x ()log =+⎛⎝
⎫
⎭
⎪342，则方程f －1（x ）=4的解x=_____________。
解析：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f
a =-1
()。
所以只需求出f ()
4的值即为f －
1（x ）=4中的x 的值。
易知f ()41=，所以x =1即为所求的值。
点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。
即先求出反函数f －
1（x ）的解
析式，再解方程f －
1（x ）=4，也可得x =1。
七.不等式关联型
例7.设f －1
（x ）是函数f x a a a x x
()()=
->-2
1的反函数，则f －1（x ）>1成立时x 的取值范围是（ ）
A. a a 212-+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪，
B. -∞-⎛⎝ ⎫
⎭⎪，a a 212 C. a a a 212-⎛⎝ ⎫⎭
⎪， D. ()a ，+∞
解析：由a >1，知函数f （x ）在R 上为增函数，所以f －
1（x ）在R 上也为增函数。
故由f －1
（x ）>1，有x f >()1而f a a a a
()1121122
=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=
-，可得x a a >-2
12，故选（A ）。
点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。
八.图象挖掘型
例8.已知函数y x =log 2的反函数是y f
x =-1
()，则y f x =--11()的图象是（ ）
解析：由题意知f
x x
-=1
2()，则f x x x x ------===⎛⎝ ⎫⎭
⎪1111
12212()()
所以
y f x =--1
1()的图象可由y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪12的图象向右平移1个单位而得到。
故选（C ）。
点评：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。
对称法是指根据原、反函数的图象关于直线y x =对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x 对称，这种函数称为自反函数。
九.问题综合型
例9.设x R ∈，f （x ）是奇函数，且f x a a x x ()2441
2
=-+-·。
（1）试求f （x ）的反函数f －
1（x ）的解析式及f －
1（x ）的定义域； （2）设g x x k ()log =+21，若x ∈⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥1223，时，f x g x -≤1()()恒成立，求实数k 的取值范围。
解析：（1）因为f （x ）是奇函数，且x R ∈，所以f a a
()001
02=-
=，即，得a =1 所以f x x x ()=-+2121，可求得f x ()()∈-11，，令y x x =-+21
21
，反解出
211112x y y x y y =+-=+-，log ，从而f x x x
x -=+-∈-1
2
1111()log ()，，
（2）因为
x∈⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
2
2
3
，
，所以k>0，由f x g x
-≤
1()()得
log log log
222
2
1
1
11
+
-
≤
+
=
+
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
x
x
x
k
x
k
所以1
1
12
+
-
≤
+
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
x
x
x
k
，即k x
22
1
≤-对x∈⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
2
2
3
，恒成立。
令h x x
()=-
12其在
1 2
2
3，
⎡⎣⎢⎤
⎦⎥
上为单调递减函数，则h x h
()
min
=
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪=
2
3
5
9。
所以k h x
2
5
9
≤=
()
min
，又k>0，
故实数k的取值范围是0
5
3 <≤
k
点评：本题综合了反函数与函数的奇偶性，换元法求函数的解析式，对数不等式的解法以及含参不等式在定区间上恒成立等知识，是一道综合性较强的好题。