5_桥梁结构的材料几何非线性分析

0 迭代步骤类似于切线刚度法，首次近似解通常取 {F }0 ，切线性弹性问题的解。 以上叙述的是常刚度迭代法中的初应力法，类似的还有适于求解蠕变问题的初应变法，可 参阅文献[1]
写成迭代公式 [ K 0 ]{ }n1 { F } { F }n
{ F } n [ B ]T ({ } n { } nel )dV
桥梁结构的材料几何非线性分析



桥梁结构的非线性问题 桥梁结构材料非线性分析 桥梁结构几何非线性分析 活载非线性分析 小结 本章参考文献 本章附录：几种常见单元的切线刚度矩阵
桥梁结构的非线性问题
从20世纪中起，科学为困扰人们的非线性问题奠定了力学基础 上世纪60年代末，有限元法与计算机相结合，使工程中的非线 性问题逐步得以解决； 目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要 的是提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂 问题的简化方法。 经典线性理论基于: 小变形 弹性本构关系 理想约束 三个基本假定，使得: 本构方程 几何运动方程 平衡方程 成为线性。 若研究的对象不能满足以上假定中的任何一个时，就转化为各 种非线性问题。
（4）桥梁结构非线性 材料非线性问题在混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料 本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始 终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因 素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分析后 ，再近似叠加考虑综合因素影响。 圬土材料桥梁结构的材料非线性特性是材料非线性问题在桥梁 工程上的又一难点，这方面的研究文献亦不多见，长安大学公路学 院胡大琳教授的研究[3]具有代表性。 相对材料非线性问题来说，桥梁结构的几何非线性问题更多一 些，特别是跨径增大，结构变柔，系统复杂后，分析中的梁柱效应 、索垂度效应、结构位移与后期荷载的二次影响等变得不可忽略。 所建立的挠度理论平衡微分方程求解也越来越困难。 寻求更精确、更方便的理论和方法一直是研究者努力的方向， 也是工程界所渴望的
全应变增量可以分为两部分：弹性增量 (d{ }e ) 塑性增量 (d{ } p )
d{ } d{ }e d{ } p
而应力增量与弹性应变增量之间是线性关系，即
弹性矩阵
d{ } [ D]e d{ }e [ D]e (d{ } d{ } p )
塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑 性变形增量。若采用相关联流动法则（普朗特——路斯流动法则 [1] ）。塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交， R 用数学公式表示为
恒、活载计算问题 结构稳定 等均属几何非线性问题。 众所周知的吊桥挠度理论以及第19章的拱桥挠度理论则是典型 的桥梁几何非线性问题。 几何非线性理论一般可分为大位移小应变即有限位移理论和大 位移大应变即有限应变理论两种。 桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。 一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如压弯杆稳定问题 ，拱圈刚度按一定规律变化的拱桥大挠度问题，悬索桥在简单荷载 作用下的大挠度问题等。 但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解 （3）接触问题 若受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束 假定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为接触问题。 如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题 支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象 等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。
R d{ } A 0
用
R [ D]e乘上式
T
T
1 R A dK k
，并消去 d{ } ，可得
T
T R R R [ D]e d{ } A [ D]e T
桥梁结构材料非线性分析
(1) 材料非线性问题的平衡方程
以钢材和混凝土为主要材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主 要是弹塑性问题。 以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为
[ B ]T { }dV { F }
{ } [ B]{ }
由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍 然成立，但物理方程是非线性的，可以写成
aI1 J 2 K 0
在一般情况下，对于弹塑性状态的物理方程，无法建立起最终 应力状态和最终应变状态之量的全量关系，而只能建立反映加载路 径的应力应变之间的增量关系，且可反映加载和卸载过程。研究弹 塑性增量理论必须从本构矩阵开始。设屈服函数为
应力状态
R( ij , K ) 0
硬化函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3） 增量求解方法 （a）弹塑性本构关系的特点 单轴应力下的材料典型弹塑性本构关系如图所示，其特点可归纳 为：
①应力在达到比例极限前， 材料为线弹性； ②应力在比例极限和弹性 极限之间，材料为非线性弹 性。 ③应力超过屈服点（ s ） ，材料应变中出现不可恢复 的塑性应变，应力和应变间
卸载前材料曾 经受到过的最 大应力值，称 后屈服应力
d{ } p
得 对
R( ij , K ) 0 全微分得
R d{ } [ D] { } [ D] F e e d{ } [ D] d{ }
1 e
R R R dR d 1 d 2 dK 0 1 2 K1

⑦由卸载转入反向加载，应力 应变关系继续依线性关系，一 直到反向屈服。
若 若
0 s ，称此材料为理想塑性材料 0 s，称此为硬化现象或加工硬化。
理想塑性材料
（b）增量形式的弹塑性矩阵通式 在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可用应力的某种函数表示 即此式的几何意义为
R( ij ) 0
f ({ }, { }) 0
注意到平衡方程式是以应力 { } 表示的，由于小变形的关系仍然是 线性的，但是以结点位移{ } 表示的平衡方程则不再是线性的，因为 应力和应变 { } 之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关 系所联系，于是改写为
[ K ({ })]{ } { F }
④应力在 0 s下卸载，则应 力增量与应变增增量之间存在 线性关系，即
d E d
为非线性关系
f ( )
e p
⑤可用下列条件判断是加载还 是卸载： 当 d 0时为加载，且满 f ( ) 足； 当d 0 时为卸载，且满 足 d E d ⑥在卸载后某应力 下重新加载， 则当 0 时， d Ed
[ ]n1 { }n [ ]n1
②算出
{ }n 及 { }n1 ，则 { }n1 { }n { }n1
③重复①、②步骤，直到接近真实解，使 { }n1 给定小数
计算时，可取 { }0 0进行首次迭代。 下图是此种迭代过程的应力变化。可看出，弹性矩阵[ D({ })] 表示应力、 应变曲线上的切线斜率，所以此法亦称为切线刚度法。
此图是此种迭代 过程的应力变化， 可以看出，弹性 矩阵[ D({ })] 表示 应力应变曲线上 的割线斜率，所 以此法称为割线 刚度法或称直接 迭代法
如果材料的应力应变关系能够表示为增量的形式，即 并将平衡方程式改写为 { ({ })} [ B]T { }dV {F } 0 上式的增量形式为 则有
d{ } ( [ B]T [ DT ({ })][ B]dV )d{ } [ KT ]d{ }
切线刚度矩阵 切线弹 性矩阵 [ K T ] [ B ]T [ DT ({ })][ B ]dV
d{ } [ DT ({ })]d{ }
d{ } [ B]T d{ }dV
以 ij 为坐标轴的空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一个 点，当此点落在屈服面之内时， ( ij ) 0 ，材料呈弹性状态； R R( ij ) 0 时，材料开始进入塑性。 各向同性材料的屈服条件与坐标轴的选取无关，屈服函数可以主 应力函数形式表示为 R( 1 , 2 , 3 ) 0 屈服准则表达形式较多，常用的有： ①米赛斯（Von Mises,1913）准则：应力偏量的第二不变量（ J 2 ）达 到某一极限时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第四强度理论， 即
有平衡方程
{ }0 { }el
假想弹性应力
( [ B]T [ D][ B]dV ){ } { F } [ B]T [ 0 ]dV
[ K 0 ] [ B ]T [ D ][ B ]dV
{ }el [ D]{ }
[ K 0 ]{ } { F } [ B]T { 0 }dV
（1）材料非线性问题 若被研究结构的材料本构方程成非线性方程，而引起基本控制 方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第13章所介绍的混凝 土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的 非线性。 在桥梁工程问题中: 混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题 桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段， 呈现出材料非线性本质。 材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类， 前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本 质是相同的，求解方法亦完全一样。 （2）几何非线性问题 若放弃小变形假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变 化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性 问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚 度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有 关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题

J2 K 0
②特雷斯卡（Tresca,1864）准则：最大剪应力达到某一极限值时， 材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论，即
1 1 1 max 1 2 , 2 3 , 3 1 K 0 2 2 2
③Drucker-Prager准则：