Part2-第11章-桥梁结构几何非线性计算理论解析
大跨度桥梁实用几何非线性分析
大跨度桥梁实用几何非线性分析桥梁被广泛应用于道路和铁路等交通领域，尤其是大跨度桥梁的设计和施工是一个具有挑战性的任务。
为保证桥梁的安全可靠性，实用几何非线性分析成为了一种重要的工具。
本文将探讨大跨度桥梁实用几何非线性分析的方法和应用。
一、什么是实用几何非线性分析？实用几何非线性分析是一种结构分析方法，旨在评估桥梁在实际使用过程中的受力和变形情况。
与传统线性静力分析不同，实用几何非线性分析能够考虑材料的非线性特性和结构的几何非线性效应，对桥梁的性能进行更为准确的评估。
二、大跨度桥梁实用几何非线性分析的步骤和方法1.建立桥梁的有限元模型大跨度桥梁的复杂性要求我们使用有限元模型来进行分析。
在建立有限元模型时，需要准确地考虑桥梁的几何形状、材料特性和荷载情况。
2.进行初始静力分析通过初始静力分析，我们可以获得桥梁在荷载作用下的初始应力、应变和变形情况。
这是进行后续非线性分析的基础。
3.引入材料的非线性特性在实用几何非线性分析中，我们需要考虑材料的非线性特性，如混凝土的非弹性行为和钢材的塑性变形。
这需要根据实际材料的本构关系进行模拟。
4.引入结构的几何非线性效应除了考虑材料的非线性特性外，我们还需要考虑结构的几何非线性效应，如大变形和位移控制。
这需要使用适当的非线性几何算法来描述结构的变形情况。
5.施加荷载并进行分析在完成前述准备工作后，我们可以施加不同的荷载情况，并进行实用几何非线性分析。
通过观察结构的应力、应变和位移响应，我们可以有效评估大跨度桥梁的性能。
三、大跨度桥梁实用几何非线性分析的应用大跨度桥梁实用几何非线性分析在实际工程中具有重要的应用价值。
首先，它可以帮助设计人员更准确地评估桥梁的安全可靠性和承载能力，避免结构的超载和事故发生。
其次，实用几何非线性分析还能够指导结构的优化设计，提高桥梁的经济性和效益。
此外，该分析方法还对于应对突发情况和灾害性荷载具有重要意义。
总结：大跨度桥梁作为一种重要的交通设施，其安全可靠性至关重要。
第十一章 几何组成分析
目录
第十一章 几何组成分析\基本组成规则
11.2.2对瞬变体系的进一步分析
在(图a)所示体系中，在荷载F作用下，铰C向下发生一微小位移 而到达C＇位置。由 (图b)列出平衡方程
目录
第十一章 几何组成分析\概述
11.1.2 几何组成分析的目的
分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系 的几何组成分析。作这种分析的目的在于：
(1)判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构； (2)研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构是几何 不变的； (3)正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必 要的基础；
独立坐标的数目。设一个点A在平面内运动时，确定其位置要用两 个坐标x和y (图a)，因此平面内一个点的自由度等于2。一个刚片在 平面内运动时，其位置可由它上面的任一个点A的坐标x、y和过点A
的任一直线AB的倾角来确定 (图b)，因此平面内一个刚片的自由度
等于3。
目录
第十一章 几何组成分析\概述 3. 约束对自由度的影响 约束是刚片和刚片之间的某种连接装置，是限制体系运动的一
目录Байду номын сангаас
第十一章 几何组成分析\概述 如果用一个铰A将刚片Ⅰ与刚片Ⅱ相连接 (图c)，设刚片Ⅰ的位
置可以由点A的坐标x、y和倾角1确定，由于点A是两刚片的共同点， 则刚片Ⅱ的位置只需用倾角2就可以确定。因此，两刚片原有的6
个自由度就减少为4个。连接两个刚片的铰称为单铰。可见一个单 铰相当于两个约束。
论析斜拉桥几何非线性的解法
论析斜拉桥几何非线性的解法斜拉桥的结构分析与传统的连续梁和刚构桥的结构分析相比，几何非线性的影响显著，特别是特大跨径的斜拉桥，几何非线性效应尤为突出。
斜拉桥几何非线性影响因素概括为3个方面：（1）斜拉索自重垂度引起的拉索拉力与变形之间的非线性关系；（2）大位移产生的结构几何形状变化引起的几何非线性效应；（3）由于斜拉索的拉力作用，主梁和索塔不仅承受弯矩而且还将承受巨大的轴向力，在主梁和索塔变形过程中，由于轴向力和弯矩相互影响，而产生所谓的梁一柱效应（P -△效应），使整个斜拉桥结构表现出几何非线性行为。
斜拉索的模拟有许多种方法，而应用最为普遍的则属等效弹性模量法，运用Ernst公式进行弹性模量的修正，详细介绍了等效弹性模量法的原理。
1.大跨度斜拉桥几何非线性效应的有限元解法1.1非线性方程的求解几何非线性有限元平衡方程，能够用全量列式法式和增量列式法式（实际上是微分方程表示法）2种方法表示。
从数学角度来看，其实质都是非线性方程。
目前，非线性方程主要的解法有：简单增量法、迭代法、增量迭代混合法、一阶自校正方法、二阶自校正方法、摄动法等。
本文采用迭代法，其迭代过程见图1 （3）索单元的刚度矩阵。
由于索单元比较特殊，一般采用等效刚度的修正弹性模量法。
该法是1965年由德国学者Ernst提出的，被总结为Ernst公式[3]：分析表明，对于承受较大拉应力、索长不是太长的普通斜拉索相差不大，采用的Ernst公式形成索单元刚度能满足工程要求。
以上的常见单元切线刚度矩阵，集合当前状态下所有单元刚度矩阵就可以形成当前状态下结构的切线刚度矩阵。
1.3不平衡力的求解1.4迭代流程对于大跨度斜拉桥，一个典型的迭代循环包括：（1）利用整体坐标下的节点位移单元的局部坐标；（2）计算在局部坐标下各单元的位移列阵，建立在局部坐标下的各单元刚度矩阵，并计算节点力；（3）利用索单元已求得的内力，用Ernst公式修正索单元弹性模量；（4）变换和到整体坐标下的和；（5）集合各单元刚度矩阵，形成结构的整体刚度矩阵，矩阵就是当时变形位置的结构刚度矩阵；（6）计算各单元并且算出不平衡力，作用到节点上的力它就是；（7）求解结构平衡方程式得到位移增量，将位移增量加到前次迭代中累积起来的节点位移中去，这就给出节点位移的新的近似值；（8）检查收敛性，如果不满足，返回到步骤1，直至趋向于零为至。
几何非线性分析非线性2几何非线性分析
几何非线性分析非线性2几何非线性分析几何非线性分析随着位移增长，一个有限单元已移动的坐标可以以多种方式改变结构的刚度。
一般来说这类问题总是是非线性的，需要进行迭代获得一个有效的解。
大应变效应一个结构的总刚度依赖于它的组成部件（单元）的方向和单刚。
当一个单元的结点经历位移后，那个单元对总体结构刚度的贡献可以以两种方式改变变。
首先，如果这个单元的形状改变，它的单元刚度将改变。
（看图2─1(a)）。
其次，如果这个单元的取向改变，它的局部刚度转化到全局部件的变换也将改变。
（看图2─1（b)）。
小的变形和小的应变分析假定位移小到足够使所得到的刚度改变无足轻重。
这种刚度不变假定意味着使用基于最初几何形状的结构刚度的一次迭代足以计算出小变形分析中的位移。
（什么时候使用“小”变形和应变依赖于特定分析中要求的精度等级。
相反，大应变分析说明由单元的形状和取向改变导致的刚度改变。
因为刚度受位移影响，且反之亦然，所以在大应变分析中需要迭代求解来得到正确的位移。
通过发出NLGEOM，ON（GUI路径Main Menu>Solution>Analysis Options)，来激活大应变效应。
这效应改变单元的形状和取向，且还随单元转动表面载荷。
（集中载荷和惯性载荷保持它们最初的方向。
）在大多数实体单元（包括所有的大应变和超弹性单元），以及部分的壳单元中大应变特性是可用的。
在ANSYS/Linear Plus程序中大应变效应是不可用的。
图1─11 大应变和大转动大应变处理对一个单元经历的总旋度或应变没有理论限制。
（某些ANSYS单元类型将受到总应变的实际限制──参看下面。
）然而，应限制应变增量以保持精度。
因此，总载荷应当被分成几个较小的步，这可以〔NSUBST，DELTIM，AUTOTS〕，通过GUI路径Main Menu>Solution>Time/Prequent)。
无论何时当系统是非保守系统，来自动实现如在模型中有塑性或摩擦，或者有多个大位移解存在，如具有突然转换现象，使用小的载荷增量具有双重重要性。
悬索桥的几何非线性分析
悬索桥的几何非线性分析摘要：大跨度悬索桥结构具有显著的几何非线性行为，且在悬索桥结构计算中必须考虑其非线性。
因此，系统介绍了悬索桥的几何非线性影响因素，分析的基本原理及计算方法。
关键词：悬索桥几何非线性结构分析引言索结构是以一系列受拉的索作为主要承重构件的结构形式，通过索的轴向拉伸来抵抗外荷载的作用，可以充分发挥钢材的强度，从而大大减轻结构的自重。
因而索结构可以较为经济地跨越较大的跨度，成为大跨径桥梁的主要结构形式之一。
一、悬索桥的几何非线性影响因素悬索桥的承重结构主要为主缆、桥塔及锚碇构成的大缆系统，其次为加劲梁，吊索用来连接主缆和加劲梁，主缆为几何可变体系，主要靠其自重及恒载产生的初始拉力及改变几何形状来获得结构刚度，以抵抗荷载产生的变形，缆索受力呈明显的几何非线性性质，对于大跨悬索桥，通用的计算方法是以有限位移理论为基础的几何非线性有限元法。
从有限位移理论的角度来分析，引起悬索桥结构的几何非线性的因素主要有三个:第一，缆索在初始恒载作用下具有较大的初张力，使悬索桥维持一定的几何形状。
当作用外荷载时，索梁发生变形，初张力对后续状态的变形存在抗力，这种来自恒载自重的刚度称为重力刚度。
第二，由于悬索桥主梁和缆索相对纤细，引起整个结构在外荷载作用下产生较大变形。
在进行结构分析时，力的平衡方程应根据变形后结构的实际几何位置来建立，力与位移的关系是非线性的。
第三，缆索在自重作用下具有一定垂度，垂度大小与张力成反比。
若用两力杆模拟缆索单元时，应计入垂度的非线性影响。
在结构分析时，任何微小的应变都可能会引起索单元较大的内力和位移，大变形的发生改变了单元的形状，最终导致了单元刚度的改变，但这种特性是有利于结构受力的，因为发生的几何大变位可使结构自动调整内力分布，从而改善结构的受力状态。
提高结构的承载能力。
同时，结构的面外刚度可能受到结构中面内应力状态的严重影响。
二、大跨度桥梁的几何非线性静力问题随着桥梁跨度的增大，使得结构越来越柔，几何非线性越来越显著。
混凝土桥梁结构的非线性分析
混凝土桥梁结构的非线性分析I. 概述混凝土桥梁结构的非线性分析是研究桥梁在承受外力作用下，产生的非线性变形和应力分布规律的一种分析方法。
在桥梁结构设计中，非线性分析是必不可少的一环，它可以更准确地预测桥梁的行为和性能，为工程设计提供更加可靠的依据。
II. 混凝土桥梁结构的非线性分析方法混凝土桥梁结构的非线性分析方法可以分为两种：弹塑性分析和非线性有限元分析。
1. 弹塑性分析弹塑性分析方法是一种经验性的方法，它假设材料在一定范围内具有线性弹性行为，当应力达到一定值时，开始出现塑性变形。
这种方法主要用于简单的结构和静态荷载作用下的分析，比如梁和柱等。
2. 非线性有限元分析非线性有限元分析是目前应用最广泛的混凝土桥梁结构非线性分析方法。
该方法通过对桥梁结构进行离散化，将结构分割成许多小单元，在每个小单元内求解结构的应力、应变等参数，最终得出整个结构的应力、应变分布和变形情况。
III. 非线性分析中的影响因素混凝土桥梁结构的非线性分析中，影响因素主要有材料非线性、几何非线性和边界条件非线性。
1. 材料非线性材料非线性是指混凝土在承受外力作用下产生的非线性变形和应力分布规律。
混凝土的本构关系会随着应力大小和应变历史的变化而发生改变，因此在非线性分析中需要考虑其非线性特性。
2. 几何非线性几何非线性是指桥梁结构在变形过程中，由于几何形状的变化而产生的非线性效应。
这种非线性效应主要表现为结构的刚度和应力分布的变化。
3. 边界条件非线性边界条件非线性是指桥梁结构受到荷载作用时，支座约束条件的变化所引起的非线性效应。
这种效应的主要表现为支座刚度的变化和支座接触状态的变化。
IV. 非线性分析的应用实例非线性分析在桥梁结构设计和评估中的应用越来越广泛。
下面介绍一个实际工程中的应用实例。
某高速公路上的一座大型钢筋混凝土拱桥，在设计时采用非线性有限元分析方法进行了计算和验证。
通过对桥梁结构的受力情况进行模拟，得出了桥梁在各种荷载作用下的应力、应变分布和变形情况。
几何非线性分析
几何非线性分析第1页几何非线性分析随着位移增长随着位移增长,,一个有限单元已移动的坐标可以以多种方式改变结构的刚度。
一般来说这类问题总就是就是非线性的度。
一般来说这类问题总就是就是非线性的,,需要进行迭代获得一个有效的解。
大应变效应一个结构的总刚度依赖于它的组成部件一个结构的总刚度依赖于它的组成部件((单元单元))的方向与单刚。
当一个单元的结点经历位移后结点经历位移后,,那个单元对总体结构刚度的贡献可以以两种方式改变变。
首先首先,,如果这个单元的形状改变如果这个单元的形状改变,,它的单元刚度将改变。
(瞧图瞧图22─1(a))。
其次其次,,如果这个单元的取向改变单元的取向改变,,它的局部刚度转化到全局部件的变换也将改变。
(瞧图瞧图22─1(b))。
小的变形与小的应变分析假定位移小到足够使所得到的刚度改变无足轻重。
这种刚度不变假定意味着使用基于最初几何形状的结构刚度的一次迭代足以计算出小变形分析中的位移。
计算出小变形分析中的位移。
((什么时候使用“小”变形与应变依赖于特定分析中要求的精度等级。
相反相反,,大应变分析说明由单元的形状与取向改变导致的刚度改变。
因为刚度受位移影响受位移影响,,且反之亦然且反之亦然,,所以在大应变分析中需要迭代求解来得到正确的位移。
通过发出NLGEOM ,ON (GUI 路径Main Menu>Solution>Analysis Options),来激活大应变效应。
这效应改变单元的形状与取向这效应改变单元的形状与取向,,且还随单元转动表面载荷。
(集中载荷与惯性载荷保持它们最初的方向。
)在大多数实体单元在大多数实体单元((包括所有的大应变与超弹性单元弹性单元),),),以及部分的壳单元中大应变特性就是可用的。
在以及部分的壳单元中大应变特性就是可用的。
在ANSYS/Linear Plus 程序中大应变效应就是不可用的。
图1─11 大应变与大转动大应变与大转动大应变处理对一个单元经历的总旋度或应变没有理论限制。
最新大跨度桥梁中几何非线性综述1
大跨度桥梁中几何非线性综述1大跨度桥梁中几何非线性综述摘要：随着桥梁跨度的不断增加，非线性因素对结构的影响也越来越大。
本文首先对三种非线性因素进行了较为详细的介绍，并且对斜拉桥、悬索桥和拱桥等受非线性影响较为明显的三种桥梁进行了非线性分析。
文章的最后介绍了目前通用的七种有限元程序对于非线性问题的考虑程度。
关键词：大跨度桥梁、非线性、有限元分析引言桥梁(指悬索桥和斜拉桥)的几何非线性源于四个方面：1、恒载初始内力；2、斜缆垂度效应；3、梁一柱效应；4、大变形效应。
普通的结构计算位移和内力时并不需要考虑自重的影响，但是对于这两种桥梁，恒载作用下，在索中产生巨大的拉力，对结构的整体刚度影响较大，从而对结构的位移、内力有影响，解决方法是：在刚度矩阵中考虑几何刚度项。
单元初内力对单元刚度矩阵的影响。
一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。
在大跨径桥梁结构分析中遇到的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的结构刚度变化对本期荷载响应的影响问题。
[1]关于缆索的垂度效应，它也是一种大变形效应，目前，一般都采用厄恩斯特(Ernst)公式来修正单元的弹性模量，用一等效的杆单元来模拟斜缆索；也有采用多根直连杆或曲线单元来模拟，曲线单元精度较高，但较复杂。
关于粱一柱效应，较精确的方法是用稳定函数法，它能考虑弯矩对轴力、轴力对弯矩、弯矩对扭转、剪力对轴力等影响。
通常计人几何刚度的方法是稳定函数法的一阶近似。
关于大变形效应，采用T．L．法或U．L．法。
对桥梁的材料非线性动力问题研究得较多，但是对几何非线性的动力问题研究得较少且不成熟。
[2][3]目前，对于悬索桥、斜拉桥的几何非线性动力问题的处理。
只限于恒载初始内力和缆索垂度效应，即考虑恒载产生的初始内力对刚度项的修正后，其它仍按线性分析计算。
这样处理的原因在于：1、计算简单，动力问题的时程分析可以看作有限多个静力问题的集合，如果每个静力问题都按非线性处理，计算量将非常大；2、精度较好，恒载在结构外荷载中所占比例较大，桥梁在恒载作用下，缆索已被拉紧，再产生大的变形可能性较小。
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我国李国豪教授于 1941 年提出了用于悬索桥分析的等
代梁法
将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数 揭示了悬索桥受力的本质
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
加劲梁挠度
C—挠度折减系数
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
o
2
4
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案 主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
Hp影响线
Q1/4 影响线
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
M1/4 影响线
位移η
1/4
影响线
（×10 -7）
1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论
考虑主缆拉力二阶影响 将平衡方程建立在变形后的位置上 忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响
挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大
大节省了工程造价，充分显示了它的优越性
此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作
第十一章
桥梁结构几何非线性 计算理论
同济大学桥梁工程系
大跨度桥梁研究室
第十一章
桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要内容
1 概 述
2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法
3 桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵
4 桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论
5 非线性方程的求解 6 算 例 7 小 结
1 概述
二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础L —桥梁柔度
挠度折减系数与桥梁柔度关系图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
加劲梁弯矩和剪力
C—折减系数
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
剪力 弯矩
o
0.1
0.2
0.3
0.4
1 S= L
EI Hg
加劲梁弯矩和剪力折减系数图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
1.1 非线性问题及其分类(续)
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
平衡方程——点的应力状态
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解
用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力
二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工
程中的非线性问题逐步得以解决
1.1 非线性问题及其分类
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
本构方程（广义胡克定律）
——应力与应变的关系
1.1 非线性问题及其分类(续)
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
方程成为线性
材料的应力、应变关系满足广义虎克定律
位移是微小的
约束是理想约束 不满足其中任何一个假定，就转化为非线性问题
1.1 非线性问题及其分类(续)
非线性问题的分类及基本特点
桥梁工程中 非线性问题 定 义 由材料的非线性应力、应变关 材料非线性 系引起基本控制方程的非线性 材料不满足虎克定律 问题 放弃小位移假设，从几何上严 几何运动方程为非线性，平衡 格分析单元体的尺寸、形状变 方 程 建 立 在 结 构 变形后的位 几何非线性 化，得到非线性的几何运动方 置上，结构刚度除了与材料及 计算问题； 桥梁结构的稳定 程，由此造成基本控制方程的 初始构形有关外，与受载后的 非线性问题 应力、位移整体也有关 分析问题 悬索桥主缆与鞍座的接触 不满足理想约束假定而引起的 受 力 后 的 边 界 条 件在求解前 接触问题 边界约束方程的非线性问题 未知 后的部分落架现象 状态； 支架上预应力梁张拉 柔性结构的恒载状态确定 问题；柔性结构的恒、活载 砼徐变、 收缩和弹塑性问题 特 点 的典型问题
1 x [ x ( y x )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
yz xz xy
2(1 ) yz E 2(1 ) xz E 2(1 ) xy E
按几何非线性分析方法求解，可以找到平衡位置B’ ， 即为B点 受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进
行分析
几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理
论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种
桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究
1.2 几何非线性问题
几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上
任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实
意义上平衡的
一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变,线性理论才
得以广泛应用
1.2 几何非线性问题(续)
A
P
B P B’ C
按线性理论求解无法找到平衡位置
位移的解
1.1 非线性问题及其分类(续)
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
几何方程——位移与应变的关系
u x x v y y w z z w v yz y z u w yz z x v u yz x y
出了巨大贡献
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的
d 4 d 2 d2y EI 4 ( Hq H p ) 2 p ( x) H p 2 dx dx dx Timoshenko于1928年提出了三角级数解
Godard 通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线